高二数学常用公式大全定稿版

高二数学常用公式大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第八章 圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

考试要求：

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。

(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

(4)了解圆锥曲线的初步应用。 一、椭圆

1．定义 1212||||2||PF PF a F F +=>

注意：当122||a F F = 轨迹为线段F 1F 2

122||a F F <轨迹为φ

2．方程与性质： 2220,a b a b c >>=+

（1）标准方程

22

22

2222

11x y y x a b a b +=+=

（2）焦点 (,0)(0,)F C F C ±±

（3）准线

2

2

a a x y c c

=±

=±

（4）顶点 (,0)(0,)(0,)(,0)a b a b ±±±±

（5）范围 ||,||||,||x a y b x b y a ≤≤≤≤

（6）焦半径

1010||||PF a ex PF a ey =+=+

（7）到焦点最远距离a +c ，最近距离a-c

（8）点00(,)P x y 在椭圆2222

0022221

1x y x y a b a b

+=⇔+<内 （9）,c

e a

=通径22b a =，焦准距2b c =，准线距22a c =

（10）22

221x y a b

+=上的点可设为(cos ,sin )P a b θθ

注：①只有准线2,(,0)a c

x F C e c a

==完全一致才是标准方程

②建立a ,b ,c 的齐次方程或不等式即可求e 的值或范围

③22

1x y A B +=表示椭圆,0A B A B

>⎧⇔⎨≠⎩

④

1212||||

,PF PF d d e e

==

二、双曲线

1．定义1 1212||||22||PF PF a a F F -=±<22a a ⎧⎨

-⎩

右支

左支 注意：122||a F F =是两射线

122||a F F >无轨迹

定义2

12121212||||

1||

||

PF PF e d d PF PF d d e

e

==>==

2．方程与性质 222c a b =+

（1）方程 22221x y a b -= 22

221y x a b

-=

（2）焦点 (,0)(0,)F C F C ±±

（3）顶点 (,0)(0,)A a A a ±±

（4）范围 ||||x a y a ≥≥

（5）渐近线 b

a

y x y x a

b

=±

=±

令“1”为0即可 （6）焦半径 1010||||||||PF ex a PF ey a =+=+

（7）c

e a

=，实轴长=2a ，虚轴长=2b ，焦准距2b c =，通径22b a =，准线距22a c =

（8）等轴双曲线 a =b

, e =

（9）00(,)p x y 在不含焦点的区域2200

221x y a b

⇔-<

注意：①22Ax By c +=表示双曲线0

0AB C <⎧⇔⎨≠⎩

②已知渐近线n

y x m

=±，可设双曲线方程2222x y k m n -=

③双曲线的切线⇒⇐/只有一个交点

直线与双曲线交点只有一个⇔切线，平行于渐近线的直线

三、抛物线

1．定义||PF d =

2．方程22222222y px y px x py x py ==-==-

3．焦点,0,00,0,2222p p p p F F F F ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛

⎫-- ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

4．准线2

2

2

2

p

p p p x x y y =-

=

=-

=

5．焦半径0000||||||||2

2

2

2

p p p p

PF x PF x PF y PF y =+

=

-=+

=

- 6．通径 2P

7．P 在内部2

2

2

2

0000000020202020y px y px x py x py -<+<-<+<

注意①与抛物线只交于一点的直线⇔切线，平行于对称轴的直线

②焦点弦问题

（i ）212y y p =-

（ii ）1112||||||AB AA BB x x p =+=++

（iii ）1190A FB ∠=

（iv ）以AB 为直径的圆与A 1B 1相切

（v ）22||sin p

AB θ

=

（vi ）

112

||||AF BF p

+= 四、直线与圆锥曲线主要问题

1．弦长问题22121221||1||11||

l x x k y y k k a ∆=-+=-+

=+ 焦点弦长12||||||AB AF BF ed ed =+=+

2．垂直问题121200

OA OB x x y y OA OB AMB MA MB AMB MA MB ⊥⇔+=⇔⋅=∠⇔⋅<∠⇔⋅>为钝角为锐角

1．对称问题：五式法，也可用违达定理（求出中点坐标，代入区域内）

4、范围问题：先建立等式，再由等式到不等式

5、最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题