独立事件积的概率
从条件概率入手 理解事件独立性——“互相独立事件积的概率”教学案例
从条件概率入手理解事件独立性——“互相独立事件积的概率”教学案例胡小群【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2014(000)012【总页数】3页(P30-32)【作者】胡小群【作者单位】200433 复旦大学附属中学【正文语种】中文在学习了古典概型后，许多学生虽然尚未学习互相独立事件积的概率，却往往会从生活经验出发，利用事件概率的积来计算一些“看似没有关联”的事件积的概率.比如，用计算连续掷一颗骰子两次都得到6的概率.即使在学习了互相独立事件的概念后，由于上海现行高中教材缺少条件概率的内容，学生也往往无法真正理解事件独立性的内涵，而将互相独立事件积的概率运算公式错误地推广到许多其他问题. 从教以来，这个教学难点的处理一直困惑着笔者.经过仔细的思考和研究，笔者认为，离开条件概率不可能深入理解事件的互相独立性.为此，笔者从条件概率入手，对互相独立事件积的概率做教学设计的再尝试，以巧妙的问题链启发学生层层深入，诱导学生自己揭示并深刻理解事件积的概率及互相独立事件的本质属性.教学片断1例1 设X={1,2,…,n}，记事件A,B为分别为从X中随机抽取一个数是2,3的倍数. 若n=300，求P(A), P(B), P(AB).生师(问题1)：P(AB)有其他做法吗？生2：有更快的方法，师(问题2)：生2用两个事件概率的乘积来计算两个事件积的概率，并得到了正确的结果.这个做法有没有一般性呢？生3：没有.比如考虑两红一白三球的不放回摸球模型，记事件A表示第一次摸到红球，事件B是第二次摸到白球，则师(问题3)：非常好，生3找到了一个反例.这说明一般情况下，两个事件概率的乘积不等于两个事件积的概率.那么，例1和不放回摸球的本质区别是什么呢？生3：不放回摸球模型中，第一次摸到的球对第二次摸到的球是有影响的.而在例1中，一个正整数被2整除和被3整除没有关系，互不影响，就好比掷一个骰子两次.在两个事件没有关系时，才可以用事件概率的乘积来计算事件积的概率.师(问题4)：生3说，因为被2整除和被3整除没有关系，所以例1可以用乘法计算.同学们同意这个看法吗？生4：如果例1中的n改为100，则师：非常好的反例！原来只需要改动一个数字，例1也不能用事件概率乘积来计算事件积的概率了.可见这个问题不像表面上那样简单，用之前同学的说法，在这个问题中，恐怕被2整除和被3整除并不是没有“关系”的.我们不禁要问，“有关系”和“没有关系”究竟是什么意思？改变n的值，“没关系”就能变成“有关系”了吗？教学片断1设计注释与教学反思授课前，笔者在一个班级调查发现，尽管从未学过互相独立事件，50%以上的学生会采取乘法计算例1中的P(AB).这种思路的延续使得许多学生对互相独立事件概念理解在所谓的“没有关系”上.这些学生在后续学习中，往往不从事件独立性的概念出发，却以已获得的知识和所积累的经验为依据，错误地对两个事件独立性作判断.教师以例1引入，其第一层设计意图是引导学生思考例1中概率积的乘法计算的可推广性.从以往教学经验来看，大部分学生都能回答出类似生3所给出的反例.然而，例1引入的深层意图是让学生意识到生3关于例1可用乘法计算的解释的错误，这才是学生中普遍存在且必须解决的隐藏问题.只有认识到这个问题，学生才可能在后续学习中不重复犯下类似错误.从教学效果来看，例1的设计是较为成功的.通过教师在提出事件独立性的相关概念前强化“事件之间没有影响”并不是“事件互相独立”的本质特征，学生在后续的概率学习中运用互相独立事件积的概率公式时变得更为谨慎.教学片断2师(问题5)：为了回答上面这个问题，我们先思考另一个问题.在不放回摸球和改变了例1的n后，虽然P(AB)≠P(A)P(B)，但是毫无疑问，P(AB)应该和P(A)及P(B)有关.我们计算发现，在不放回摸球模型中，有在改动后的例1中，有这两个例子中，和分别是什么？生是第一次摸到红球前提下，第二次摸到白球的概率.师：很好，这一点很明显.那么呢？生5：和一样，是在被2整除的数中，被3整除的概率.也就是说，似乎应该有这样的猜测：两个事件同时发生的概率等于一个事件发生的概率与在这个事件发生的前提下另一个事件发生的概率.师(问题6)：很好.目前为止，我们已经用反例推翻了最初的猜测：即两个事件概率的乘积等于两个事件积的概率.现在，同学们又提出了新的猜测，这个猜测是否正确呢？大家能举出反例，或者利用古典概型的定义证明吗？生6：可以证明.在古典概型假设下，我们记基本事件总数为N，用n(X)表示事件X中包含的基本事件数，则有而恰是事件AB与事件A包含的基本事件个数之比，也就是在事件A包含的基本事件中，任取一个恰在事件AB中的概率.也就是说，两个事件同时发生的概率的确等于一个事件发生的概率与在这个事件发生的前提下另一个事件发生的概率.图1师：太棒了！我们直观地结合图形再看一下这个证明.如图1，P(AB)相当于阴影部分与矩形部分含有的基本事件个数之比.其实，我们得到的公式相当于把这个比例写为阴影部分和圆A含有的基本事件个数之比与圆A和矩形含有的基本事件个数之比的乘积.教学片断2设计注释与教学反思考虑到教学时间及公式推导难度，教师通过提示学生考虑P(AB)与P(A)的关系诱导出条件概率公式并证明.因为教材中并无条件概率公式的内容(仅仅在小字部分有用条件概率公式对一个习题的补充解答)，教师刻意跳过了条件概率的符号，也不强调该公式本身.毫无疑问，条件概率公式与中学生的认知水平是有距离的.但是如果没有条件概率而提事件互相独立，学生很难理解互相独立事件的内涵.甚至教师会连如下基本问题都很难解释：“被2整除与被3整除到底是互相独立的吗？”中学生理解结论依赖于样本空间，“总数不同结论就不同”理解起来是相当困难的.这节课的主要难点也是如何尽量用更低起点落实更高观点的内容.因此，权衡再三后，教师通过实例以及条件概率公式的引入(但不强化)来作出妥协.课后，听课专家都表示，是否能引导学生自己发现、推导、理解条件概率公式是本节课是否成功的重要判断标志之一.在实践中，通过合适的问题链引导，学生表现出了强大的发现和推理能力，每个授课班级都能由学生猜测并证明该公式.但不可否认的是，即使是在上海一流学校的高三理科班，也依然有学生对此一片迷茫.笔者课后仔细反思，认为这一段的处理还是可以更慢一些，如果可以留出更多时间让学生自己构建一些相关例子，教学效果应该会更为理想.教学片断3师(问题6)：既然有了一般的P(AB)和P(A)、P(B)的关系，我们再回到特殊情况.在什么条件下，有P(AB)=P(A)P(B)呢？生7：当事件B发生的概率等于事件A发生的前提下事件B发生的概率.师：很好，这样我们就彻底回答了之前的问题：什么叫两个事件“没有关系”，“没有影响”.科学地讲，就是事件B发生的概率与事件A发生的前提下事件B发生的概率相等.这表示事件A的发生对于B是否发生没有提供任何消息. 比如例1、连续掷骰子问题、不放回摸球问题等.结合前面的图形来说，就是B在A中所占比例与B在样本空间Ω中所占比例相等，对B而言，A相当于Ω的缩影；反之亦然.这才是“没有关系”和“没有影响”的本质特征.师：在P(A)>0,P(B)>0的前提下，“事件A发生的前提下事件B发生的概率与事件B发生的概率相等”与“事件B发生的前提下事件A发生的概率与事件A发生的概率相等”是等价的.也就是说，一个事件发生的前提下另一个事件发生的概率是否受到影响是相互的，且都等价于P(AB)=P(A)P(B).为方便推导性质，也为了以后推广到多个事件的情形，我们索性利用P(AB)=P(A)P(B)来严格定义事件A,B的这种关系.即定义：对事件A,B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称它们是互相独立的.师(问题7)：在这个定义下，互相独立事件应该有哪些性质呢？生8：必然事件与不可能事件与任何事件互相独立.生9：如果事件A与事件B互相独立，则事件A的对立事件与事件B也互相独立. ……教学片断3设计注释与教学反思一方面，教师在学生提出互相独立事件的定义后，进一步深化了互相独立事件的内涵，并结合图形强调互相独立事件本质属性.另一方面，考虑到后续性质严格证明的需要，教师最终在解释了等价性后，绕过教材中没有的条件概率知识，利用P(AB)=P(A)P(B)来定义两个事件的互相独立性.这使学生理解和体会概念的发生、发展和形成过程后，又得到适当的具有延展性的定义，为学生未来的求学做好了准备.这样先借助条件概率理解，再抛开条件概率来定义，既能加深学生对互相独立事件内涵的理解，又避免了定义中超纲的知识内容.一般而言，对客观事物的认识经由两个过程：先通过感觉、知觉形成观念(表象)，再通过分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，把事物的共同特点(即本质属性)抽象出来，形成概念.停留在观念层面上只是“知其然”，准确、深刻地理解概念才是“知其所以然”，从知其然到知其所以然应通过辩证分析，揭示概念的本质. 长期根植于应试的教学方式忽视概念教学，蜻蜓点水，一带而过，只是将精力放在概念的“知道”和延伸结论的低层次应用上，直接后果是学生在概念面前不得要领、不求甚解，学习效果低下.以上案例表明，要改变这种现状，师生均任重道远.。
高中数学人教B版2019必修第二册随机事件的独立性课件
发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是 4 ； 7
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 5 .可见，前一事件是否发
7
生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. （3）记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝
{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以事件A与B相互独立.
【归纳总结】 判断两个事件相互独立的步骤
（1）写出样本空间Ω以及A，B；
（2）利用古典概型计算P（A），P（B）；
（3）写出AB，并计算P（AB）；
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，否则A与B不相互独立.
训练题1. ［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均 匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚 结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立. 以上命题中，正确的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】设甲中靶为事件A，则P（A）＝ 8 ＝ 4 ，设乙中靶为事件B，则P（B）＝ 7 .
10 5
10
甲、 乙两人同时射击，他们相互没有影响，所以事件A，B为相互独立事件，则他们
同时中靶为事件AB.则P（A答案】 A
【归纳总结】在运用概率乘法公式解决概率问题时，注意对事件的正确分析，弄清 楚哪些相互独立事件同时发生.若事件本身比较复杂，还要进行合理拆分，将其分解 为几个互斥事件的和事件；
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (20)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ．310B ． 35C ． 25D ． 152. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 15B ． 12C ． 35D ． 453. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 2144B ． 1522C ． 2150D ． 9254. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 316B ． 29C ． 718D ． 496. 若 P (AB )=19，P(A)=23，P (B )=13，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立C ．事件 A 与 B 相互独立D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( )A．142B．121C．221D．178.下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”9.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对10.已知0≤a<2，0≤b<4，为估计在a>1的条件下，函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点的概率P．用计算机产生了[{0,1})内的两组随机数a1，b1各2400个，并组成了2400个有序数对(a1,b1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如表：满足b1<a12的数对个数满足b1≥a12的数对个数合计满足a1≤12的数对个数1101200满足a1>12的数对人数550合计2400则数据表中数据计算出的概率P的估计值为( )A．1348B．1124C．1960D．712二、填空题（共6题）11.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是．12.思考辨析，判断正误A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)．( )13.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）．16. 古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：① 试验中所有可能出现的基本事件只有 个； ② 每个基本事件出现的可能性 ．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． （2）计算公式：对于古典概型，任何事件 A 的概率为 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．三、解答题（共6题）17. 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．18. 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取 n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表．(1) 求 a ，b ，n 的值；(2) 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率．19. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅰ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．20.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“✓”表示购买，“×”表示未购买．(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是16+37．该种想法正确吗？为什么？22.垃圾分类，人人有责．2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．(1) 应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】若函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数，则a2−2<0，又a∈{−2,0,1,2,3}，故只有a=0，a=1满足题意，所以函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数的概率P=25．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得P=35．【知识点】古典概型3. 【答案】A【解析】根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)=1−P(A)P(B)=1−(1−0.6)×(1−0.7)=0.88．则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(A∩B∣C)=P(A∩B∩C)P(C)=0.6×0.70.88=2144．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个古典概型．样本空间共包含36个样本点记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)(5,6),(6,5),(6,6)}，共16个样本点．所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．【知识点】古典概型6. 【答案】C【解析】因为P(A)=1−P(A)=1−23=13，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．又因为P(AB)≠P(A)+P(B)，所以事件A与B并不互斥．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C72=21，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，所以其和等于18的概率是P=221．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．【知识点】独立事件积的概率9. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】要使得函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点，4a2−4b>0，所以a2>b，条件中所给的共有2400对有序数对，在这些有序数对中，使得函数有两个相异的零点，共有110+(1200−550)=760，所以数据表中数据计算出的概率P的估计值是7602400=1960．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.8【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】×【知识点】事件和与事件积，事件和与事件积的概率计算13. 【答案】13；13【解析】设平局（用 △ 表示）为事件 A ，甲赢（用 ⊙ 表示）为事件 B ，乙赢（用 ⋇ 表示）为事件 C ．容易得到如图．平局含 3 个基本事件（图中的 △），P (A )=39=13．甲赢含 3 个基本事件（图中的 ⊙），P (B )=39=13．【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125，所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】712【解析】随机取出 2 个球的基本事件有 C 92=36 种，“至少有一个红球”的事件有 C 31C 61+C 32=21 种，所以至少有一个红球的概率为 2136=712． 【知识点】古典概型16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727，7895，0123，⋯，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 依题意得5n =0.05，an=0.35，20n=b，解得n=100，a=35，b=0.2．(2) 因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取3060×6=3名，2060×6=2名，1060×6=1名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,c1}，{a2,a3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c1}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,c1}，{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1−315=0.8．【知识点】频率分布直方图、古典概型、频率与频数19. 【答案】(1) 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2) （ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21种．（ⅰ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)=521．【知识点】古典概型、分层抽样20. 【答案】(1) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2．(2) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3．(3) 与（1）同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1．所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．【知识点】古典概型21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，由分层抽样，得x30=y15=z15=430+15+15=115，解得x=2，y=1，z=1，所以应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；(2) （i）样本空间为：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，所以n(M)=10，所以事件M发生的概率P(M)=n(M)n(Ω)=1012=56．【知识点】分层抽样、古典概型。
15事件和与事件积的概率【教师版】
事件和与事件积这节课我们学什么1.掌握事件和与事件积的概率的求法；2.理解事件独立的概念，并掌握独立事件积的概率的求法.知识框图知识梳理1.和事件（1）和事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B的和．（2）事件和的概率（概率加法公式）：()()()()P A B P A P B P AB=+-．（3）互斥事件：在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件．（4）互斥事件和的概率：如果事件A、B互斥，那么()()()P A B P A P B=+．2.积事件（1）积事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积．（2）独立事件：如果事件A出现和事件B出现，互相之间没有影响，即其中一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么就称事件A和事件B互相独立．如果A与B是独立的，则A与B、A与B、A与B也是互相独立的．（3）独立事件积的概率：如果事件A、B互相独立，那么()()()P AB P A P B=⋅．（4）推广：如果事件nAAA、、、21相互独立，则)()()(2121nnAPAPAPAAAP=）（（5）“事件nAAA、、、21至少出现一个”这一事件的对立事件是“nAAA、、、21都不出现”，即12121'''n nP A A A P A A A+++=-（）（）)'()'()'(121nAPAPAP-=)](1[)](1)][(1[121nAPAPAP----=3.总结：典型例题分析1.事件和概率例1、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率)(B A P U 为多少？.【答案：)(B A P ＝11()+()=+=524P A P B 726】 例2、某校高二(1)班45名同学都订阅了不同的报刊，其中订阅中学生报有30名同学，订阅中学生外语报有25名同学，10名同学即订了中学生报又订阅了中学生外语报。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
概率的加法与乘法原理
概率的加法与乘法原理概率是数学中的一个重要概念，用于描述某个事件发生的可能性。
概率的加法与乘法原理是概率论中的两个基本原理，它们在解决复杂事件的概率计算中起着重要的作用。
一、概率的加法原理概率的加法原理是指对于两个事件A和B，其概率的和等于这两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
以一个简单的例子来说明概率的加法原理。
假设有一个箱子，里面有红球和蓝球两种颜色的球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在从箱子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据概率的加法原理，我们可以计算出抽到红球或者蓝球的概率为：P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 5/5 = 1。
这个例子中，红球和蓝球是两个互斥事件，即不可能同时发生，所以它们的交集为空集，概率为0。
因此，抽到红球或者蓝球的概率等于红球的概率加上蓝球的概率。
二、概率的乘法原理概率的乘法原理是指对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之积。
用数学符号表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
以一个生日概率的例子来说明概率的乘法原理。
假设有一个班级，有30个学生，每个学生的生日是独立的且均匀分布在一年中的365天。
现在要求至少有两个学生生日相同的概率。
根据概率的乘法原理，我们可以计算出至少有两个学生生日相同的概率为：1 - P(所有学生生日都不相同)。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个学生的生日不能与第一个学生的生日相同，概率为364/365。
以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生的生日相同，概率为336/365。
因此，至少有两个学生生日相同的概率为：1 - (364/365 × 363/365 × ... ×336/365) ≈ 0.706。
相互独立事件的概率计算公式
相互独立事件的概率计算公式首先，我们需要了解概率的基本定义。
在概率论中，概率是一个事件发生的可能性的度量。
它是一个介于0和1之间的值，表示事件发生的相对频率。
在计算概率时，我们通常使用频率的性质（即事件发生的次数除以总次数）来估算概率的大小。
但是，对于相互独立事件，我们可以使用一些特殊的公式来计算概率。
假设我们有两个相互独立的事件A和B。
事件A的概率表示为P(A)，事件B的概率表示为P(B)。
我们需要计算的是同时发生事件A和B的概率，即P(A∩B)，其中∩表示“交集”。
在相互独立事件的情况下，同时发生事件A和B的概率可以用事件A 和B分别发生的概率的乘积来计算。
具体而言，我们可以使用以下公式来计算P(A∩B)：P(A∩B)=P(A)×P(B)这个公式是基于相互独立事件的假设，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
因此，我们可以将两个事件的概率相乘来计算它们同时发生的概率。
接下来，让我们通过一个简单的例子来说明如何使用这个公式。
假设我们有一副标准的扑克牌，其中包含52张牌。
我们从中抽取一张牌，并定义两个事件：A：抽到红心B：抽到A或K现在我们想要计算同时抽到红心和A或K的概率。
首先，我们需要计算事件A和B分别发生的概率。
事件A的概率可以通过红心牌的数量除以总牌数来计算：P(A)=13/52=1/4事件B的概率可以通过求出牌堆中有多少A或K来计算：P(B)=8/52=2/13现在我们可以使用概率计算公式来计算P(A∩B)：P(A∩B)=P(A)×P(B)=(1/4)×(2/13)=1/26因此，同时抽到红心和A或K的概率为1/26在一些情况下，我们可能需要计算多个相互独立事件的概率。
在这种情况下，我们可以将它们的概率逐个相乘来计算整个事件链的概率。
例如，假设我们有三个相互独立的事件A、B和C。
我们可以使用以下公式来计算它们同时发生的概率：P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)这个公式是根据相互独立事件的性质推导出来的。
相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.03×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05, nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A·B +·B+A·P(A·B +·B+A·)=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-.。
高二数学独立事件积概率
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4.2 独立事件积的概率
上海市育才中学 包志旻
(一)、复习回顾
1.事件和 2.事件积------设A、B为两个随机
事件,把“事件A与事件B同时出 现”叫做事件A与事件B的积.记 作A∩B或AB.
(二)、讲授新课
1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬
是版图狭窄 人口孤弱 力量单薄的王朝 国号汉 晋军开始发动灭吴之战 侨置州郡 工艺简便 至439年北魏拓跋焘（太武帝）灭北凉为止 王僧辩屈事而迎立萧渊明为梁帝 侨民主要先安置在侨州郡县 在东晋成立后 天文方面有《上“大明历”表》 《驳议》；但因孤军无援 诸秦将认 为阻敌淝水畔比较安全 军事制度 盛乐 政治编辑 528 是重要粮食产地 [24] 此外 拓跋什翼犍 岁输绢三匹 该诗内容叙述脱离尘世的悠游感 拓跋猗卢 丹药有些有毒 胡服便成了当时时髦的服装 南北朝绘画 前后发动几次北伐 317年 司马昭向发动灭蜀汉之战 3500万（300年） 庾 亮代之 贾后乱政 而南燕在慕容超继任后屡次攻伐东晋 淝水之战 主张儒学礼法 得勇士刘牢之等人 中原士族随晋元帝渡江的有百家 东晋 他们对政府的负担有租调 杂税 徭役三大项 [82] 改元泰始 ?还有镇戍制 荀勖认为：诸王当时大多担任各地都督 并防御王敦 北方士族的政 治地位比南方士族高 大者可载重二万斛 [78] [38] 382年 州以下分郡 王国 其外丹 内丹修炼包含多种科学 由
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (44)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y（若指针停在边界上则重新转），x，y构成数对(x,y)，则所有数对(x,y)中，满足xy=4的概率为( )A．116B．18C．316D．142.掷两颗骰子，事件“点数和为6”的概率为( )A．536B．16C．19D．1103.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个，若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( )A．14B．34C．13D．234.从分别标有1，2，⋯，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A．518B．49C．59D．795.古代"五行"学说认为："物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金"，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为A．310B．25C．12D．356.甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为( )A．13B．12C．23D．167.已知函数f(x)=log a x−3log a2，a∈{15,14,2,4,5,8,9}，则f(3a+2)>f(2a)>0的概率为( )A．13B．37C．12D．478.2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为( )A．23B．12C．13D．149.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，小明同学从中任取3道题解答．已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．若小明同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．则小明同学至少答对2道题的概率为( )A．1225B．57125C．36125D．9312510.某社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”，甲，乙两人能荣获一等奖的概率分别为35，23，两人能否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )A．35B．215C．1315D．815二、填空题（共6题）11.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为9，则参加联欢会的教师共有人．2012.甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，己知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是．13.甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为（用数字作答）．14.给出下列函数：① y=x+1；② y=x2+x；③ y=2∣x∣；④ y=x23；⑤ y=tanx；⑥xy=sin(arccosx)；⑦ y=lg(x+√x2+4)−lg2．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是．15.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0，1，2，3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．16.已知甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别随机摸出1个球，则恰有一个白球的概率为．三、解答题（共6题）17.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1) 求取出的4个球均为黑球的概率；(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]分组）．分组频数[55,65)2[65,75)4[75,85)10[85,95]4合计20第一车间样本频数分布表(1) 分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；(2) 分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）(3) 从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．19.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来．(1) 三个事件都发生；(2) 三个事件至少有一个发生；(3) A发生，B，C不发生；(4) A，B都发生，C不发生；(5) A，B至少有一个发生，C不发生；(6) A，B，C中恰好有两个发生．20.一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事求：件是相互独立的，并且概率都是13(1) 这名学生在途中遇到4次红灯的概率；(2) 这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；(3) 这名学生至少遇到一次红灯的概率；21.从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[160,168)，⋯，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；(2) 在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180,184]内的概率．22.2019年12月，全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛，现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40,50)，[50,60)，⋯[90,100]）．(1) 求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；(2) 若从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】满足 xy =4 的所以可能如下： x =1，y =4；x =2，y =2；x =4，y =1． 所以所求事件的概率为P =P (x =1,y =4)+P (x =2,y =2)+P (x =4,y =1)=14×14+14×14+14×14=316.【知识点】独立事件积的概率2. 【答案】A【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】设大灯下缀 2 个小灯为 x 个，大灯下缀 4 个小灯有 y 个， 根据题意可得 {x +y =360,2x +4y =1200,解得 x =120，y =240，则灯球的总数为 x +y =360 个，故这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 240360=23．【知识点】古典概型4. 【答案】C【解析】每次抽取 1 张，抽取 2 次，共有 C 91C 81=72（种）情况，其中满足题意的情况有 2×C 51C 41=40（种），所以所求概率 P =4072=59．【知识点】古典概型5. 【答案】C【知识点】古典概型6. 【答案】A【解析】甲、乙、丙 3 人站成一排，有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种站法．其中甲恰好站在中间的有：乙甲丙，丙甲乙，共 2 种站法．由古典概型的概率计算公式可得所求概率 P =13． 【知识点】古典概型、条件排列模型7. 【答案】B【解析】因为 a ∈{15,14,2,4,5,8,9}， 所以 3a +2>2a ， 又 f (3a +2)>f (2a )>0， 所以函数 f (x ) 为单调递增函数． 因为 f (x )=log a x −3log a 2=log a x8，所以 a >1， 又 f (2a )>0， 所以 log a 2a 8>0，所以2a 8>1，即 a >4，则 f (3a +2)>f (2a )>0 的概率 P =37．【知识点】古典概型8. 【答案】B【解析】小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，基本事件总数 n =C 42=6，小王被选中包含的基本事件个数 m =C 11C 31=3，则小王被选中的概率为 p =m n=36=12，故选B ．【知识点】古典概型9. 【答案】D【解析】设小明同学答对题的个数为 X ，则 P (X =2)=(35)2×15+2×35×45×25=57125，P (X =3)=(35)2×45=36125，故 P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=93125．则小明同学至少答对 2 道题的概率为 93125．【知识点】事件的相互独立性10. 【答案】C【解析】由题意可知，甲，乙两人都不能获得一等奖的概率为 (1−35)×(1−23)=215，因此这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1−215=1315．故选C．【知识点】独立事件积的概率、事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】120【解析】设男教师为x人，则女教师为(x+12)人，由概率的定义有xx+12+x =920，解得x=54．(x+12)+x=2x+12=2×54+12=120．【知识点】古典概型12. 【答案】0.28；0.3024【知识点】事件的相互独立性13. 【答案】16【知识点】古典概型14. 【答案】37【知识点】古典概型、函数的奇偶性15. 【答案】716【解析】规定每位顾客从装有0，1，2，3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，基本事件总数n=4×4=16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有(0,3)，(3,0)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(2,2)，共7种，所以顾客抽奖中三等奖的概率为P=716．【知识点】古典概型16. 【答案】12【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A ，“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B ．故概率为 P (A ⋅B )=P (A )⋅P (B )=C 32C 42⋅C 42C 62=12×25=15．(2) 设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件 C ，“从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D ．由于事件 C ，D 互斥，故概率为 P (C ∪D )=P (C )+P (D )=(C 32C 42⋅C 21⋅C 41C 62)+(C 31C 42⋅C 42C 62)=415+15=715．【知识点】事件的关系与运算、独立事件积的概率18. 【答案】(1) 估计第一车间生产时间小于 75 min 的人数为 200×620=60（人），估计第二车间生产时间小于 75 min 的人数为 400×(0.025+0.05)×10=300（人）． (2) 第一车间生产时间平均值约为 x 1=120×(60×2+70×4+80×10+90×4)=78(min )， 第二车间生产时间平均值约为 x 2=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5(min )， 因为 x 1>x 2，所以第二车间工人生产效率更高． (3) 由题意得，第一车间被统计的生产时间小于 75 min 的工人有 6 人，其中生产时间小于 65 min 的有 2 人，分别用 A 1，A 2 代表生产时间小于 65 min 的工人． 用 B 1，B 2，B 3，B 4 代表生产时间大于或等于 65 min ，且小于 75 min 的工人． 抽取 2 人基本事件空间为Ω={ (A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 1,B 4),(B 2,B 3),(B 2,B 4),(B 3,B 4)}, 共 15 个基本事件．设事件 A =“2 人中至少 1 人生产时间小于 65 min ”，则事件A ={ (A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4)},共 9 个基本事事件． 所以 P (A )=915=35．【知识点】古典概型、样本数据的数字特征、频率分布直方图19. 【答案】(1) ABC ． (2) A ∪B ∪C ．(3) ABC ． (4) ABC ． (5) (A ∪B )C ．(6) ABC ∪ABC ∪ABC ． 【知识点】事件的关系与运算20. 【答案】(1) 设事件 A 为在途中遇到 4 次红灯 P (A )=(13)4×(1−13)×5=10243． (2) 设首次停车前经过 3 个路口为事件 B ， 则 P (B )=(1−13)3×13=881． (3) 设至少遇到一次红灯为事件 C ， 则其对立事件为全遇到绿灯， 所以 P (C )=1−(1−13)5=211243． 【知识点】事件的相互独立性21. 【答案】(1) 由频率分布直方图得 [160,168) 频率为： (0.05+0.07)×4=0.48，[168,172) 的频率为：0.08×4=0.32， 所以中位数为：168+0.5−0.480.32×4=168.25．(2) 在这 50 名男生身高不低于 176 cm 的人中任意抽取 2 人， [176,180) 中的学生人数为 0.02×4×50=4 人，[180,184) 中的学生人数为 0.01×4×50＝2 人，所以在这 50 名男生身高不低于 176 cm 的人中任意抽取 2 人，基本事件总数 n =C 62=15，恰有一人身高在 [180,184] 内包含的基本事件个数 m =C 41C 21=8，所以恰有一人身高在 [180,184] 内的概率 p =815．【知识点】古典概型22. 【答案】(1) 第四小组的频率 =1−(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10=0.25． (2) 由题意可知，成绩在 [40,50) 的人数为 60⋅0.05=3，记他们分别为 a ，b ，c ，成绩在 [90,100) 的人数为 60⋅0.05=3，记他们分别为 A ，B ，C ，则从成绩在 [40,50) 和 [90,100) 的学生中任选两人的结果分别是 (A,B )，(A,C )，(A,a )，(A,b )，(A,c )，(B,C )，(B,a )，(B,b )，(B,c )，(C,a )，(C,b )，(C,c )，(a,c )，(b,c )，(a,b ) 共 15 种， 事件他们的成绩在同一分组区间的结果是：(A,B )，(A,C )，(B,C )，(a,c )，(b,c )，(a,b )，共 6 种，=0.4．所以所求事件的概率为P=615【知识点】古典概型、频率分布直方图11。
积事件的概率公式
积事件的概率公式
积事件的概率公式指的是多个独立事件同时发生的概率计算公式。
若事件A和事件B是独立事件，则事件A和事件B同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积。
因此，对于n个独立事件A1、A2、...、An，它们同时发生的概率为它们单独
发生概率的乘积：
P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1)×P(A2)×...×P(An)
其中，符号“∩”表示事件的交集，即两个事件同时发生的部分。
需要注意的是，该公式仅适用于多个独立事件同时发生的情况。
如果事件之间存在依赖关系，则需要考虑条件概率，无法直接使用积事件的概率公式进行计算。
第五讲：事件的独立性
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
上海高三二模分类汇编-排列组合和概率统计(详解版)
二模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为mn P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】（长宁金山青浦2017二模16）设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足 对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） A. 512 B. 256 C. 255 D. 64 【答案】A【点评】排列问题，列举法找出规律.【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n m m m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n -=.【例1】有15本不同的书，其中6本是数学书，问： （1）分给甲4本，且都不是数学书； （2）平均分给3人； （3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本； （5）1人2本，1人7本，1人6本.【答案】(1)49C (2)55510515C C C (3)3355510515P C C C （4）66713215C C C （5）3366713215P C C C【点评】注意平均分组问题.【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式： mn n m n C C -=；111+++=+m n m n m n C C C .【例1】(1)22361212x x x C C -+=,求x . (2) 333333345678C C C C C C +++++= .(3) 173213n n n n C C -++=. 【答案】(1)2236x x x -=+ 或221236x x x -=-- 2560x x --=或260x x +-=122,3x x == 或343,2x x =-=经检验2x =(2)原式=33333343456789126C C C C C C C +++++==(3)1721713631332n n n n n n-≤⎧⇒≤≤⇒=⎨≤+⎩∴ 原式=11181112191219121931C C C C +=+=+= 【点评】牢记组合中的两个基本公式.【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式.【知识点4.1】 应用记数原理【例1】(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？ (3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？ 【答案】(1)81 (2)36(3)42 【点评】计数原理.【知识点4.2】捆绑法与插空法、隔板法【例1】9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？ （1）排成一排；（2）排成前排4人，后排5人；（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻； （4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻； （5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾； （6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减； （8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个. 【答案】（1）99P （2）99P （3）2787P P（4）2828P P（5）81178777P P P P+（或9879872P P P -+）（6）992P （7）48C （8）226726P P P【例2】（宝山区7）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【参考答案】1688.【例3】（普陀区4）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.【参考答案】24.二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：kk n k nk b a C T -+=1(0,1,2,,)k n =;其中：kn C (0,1,2,,)k n =叫做二项式系数.【例1】（崇明2017二模7）若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为 ． 【答案】15； 【点评】公式应用.【例2】（虹口2017二模5）若7)(a x +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数=a ． 【答案】1【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：k n n k n C C -= ；② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n nn n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C N n ∈.【例1】（闵行、松江2017二模5）若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ． 【答案】16 【点评】公式应用. 【例2】（青浦区8）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．【参考答案】30.【例3】（长宁嘉定2）nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n ___________．【参考答案】4.【例4】（杨浦区3）若的二项展开式中项的系数是，则___________．【参考答案】4.【例5】（金山区9）(1+2x )n 的二项展开式中，含x 3项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ． 【参考答案】5.【例6】（徐汇区2）在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【参考答案】20.【例7】（虹口区8）若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于 ．【参考答案】20.【例8】（崇明区7）若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞++++= ．【参考答案】13-.【例9】（浦东区5）91)x二项展开式中的常数项为________. 【参考答案】84.【例10】（奉贤区10）代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答）概率论初步()13nx +2x 54n =【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】（浦东新区2017二模7）已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是__________. 【答案】0.98【例2】（徐汇2017二模6）把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示） 【答案】710【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】（长宁金山青浦2017二模10） 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = . 【答案】0.03【例2】 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不 大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为 . 【答案】97.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】（嘉定2017二模10）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种新产品研发成功的概率为______________． 【答案】1513【例2】（2009年高考理16）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F ⋅的值等于（ ） .A 0 .B 116 .C 14.D 12 【答案】B.【例3】（崇明区10）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是 ． 【参考答案】47.【例4】若事件A 、B 满足142()()()255P A P B P AB ===，，，则()()P AB P AB -= ． 【参考答案】310.【例5】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）. 【参考答案】221.【例6】（青浦区9）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【参考答案】151192.【例7】（长宁嘉定9）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 【参考答案】167. 【例8】（杨浦区4）掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为____________． 【参考答案】12.【例9】（金山区8）若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 ． 【参考答案】0.6.【例10】（黄浦区10）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 【参考答案】516.【例11】（徐汇区9）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【参考答案】16.【例12】（普陀区6）若321()nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 【参考答案】5.统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）.基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则样本平均数：n x x x x n+++=21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-= 样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：(n x xs ++-=,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】（2014年高考文5）某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ． 【答案】70.【例2】（浦东新区2017二模6）若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 . 【答案】9【点评】数据变动对平均数与方差的影响.【例3】（2009年高考理17文18）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）.A 甲地：总体均值为3，中位数为4 .B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .C 丙地：中位数为2，众数为3 .D 丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D.【例4】某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1. 73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是 （米）． 【参考答案】1. 72.【例5】（黄浦区9）已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人． 【参考答案】140.【例6】（崇明区5）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字）． 【参考答案】169.1.【例7】（闵行松江区12）设*n ∈N ，n a 为(4)(1)nnx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .【参考答案】254.【例8】（宝山区14）在x x62()-的二项展开式中，常数项等于（ ） （A ）160- （B ）160 （C ）150- （D ）150 【参考答案】A .【例9】 二项式40的展开式中，其中是有理项的项数共有( ). (A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项 【参考答案】()B .2019年二模真题汇编一、填空题宝山区1、在()()5311x x -+的展开式中，3x 的系数为___________（结果用数值表示） 【答案】9-【解析】观察法，3x 可以是()51x -中3x 项和后面的式中1相乘，也可以是()51x -中常数项和3x 相乘，()()5332351110x C x x -⇒-=-；()()50055111x C x -⇒-=所以系数为9- 10. 一个口袋中装有9个大小形状完全相同的球，球的编号分别为…,1,2,9，随机摸出两个球，则两个球的编号之和大于9的概率是_____（结果用分数表示）. 【答案】95 【解析】()2912342205369P C +++=== 崇明区1、已知二项式62)(xa x +的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是________. 【答案】2【解析】由通项公式可知，r r r r r r r x C a xa x C T 31266261)()(--+⋅==，令3312=-r ，得3=r ，所以，160363=C a ，解得2=a2、甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为__________（用数字作答）【答案】61【解析】61332433=⋅P C P奉贤2．在62()x x+的展开式中常数项为 【答案】160【解析】1602,322336266661=∴=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+C r x C x x C T r r r rr rr ， 10. 随机选取集合{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集A 和B 且A B ≠∅的概率是 【答案】4937【解析】{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集有7个，所以选取A 和B 的总结果数是4977=⨯种。
10.3.2相互独立事件的概率乘法公式
A
“从两个坛子里分别摸出l个球，都是白球”是一个事 件，它的发生就是事件A，B同时发生，我们将它记做 A· B。于是需要研究，两个相互独立事件A，B同时发生 的概率P(A· B)是多少？ 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙 坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。于是从两个坛 子里各摸出1个球，共有5*4种等可能的结果，如下图所 示。
例3 在一段线路中并联着3个独立控制的常用开 关， 只要其中有1个开关闭合，线路就能正常工作。 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率。 分析： 在一段线路中并联着3个独立控制的常 用开关， 只要其中有1个开关闭合，这可以包括恰 有其中1 个开关闭合、恰有其中2个开关闭合、恰有 其中3个开关闭合3种互斥的情况，逐一求其概率较 为麻烦，为此，我们转而先求3 个开关都不闭合的 概率，从而求得其对立事件——3个开关至少有1个 能够闭合的概率。
（白，白） （白，白） （白，白） （白，白）
（白，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
（白，白） （白，白）
（黑，白） （黑，白）（白，Fra bibliotek） （白，黑）
（黑，黑） （黑，黑）
（黑，白） （黑，白）
（黑，黑） （黑，黑）
（注：其中每个结果左、右分别表示从甲、乙 坛子里取出球的颜色。）
在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有 3×2种，因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都 是白球的概率是 P(A· B)=（3×2）/(5×4) 另一方面，从两个坛子里分别摸出1个球，甲 坛子里摸出白球的概率是 P(A)=3/5 从两个坛子里分别摸出1个球，乙坛子里摸出 白球的概率是 P(B)=2/4
概 率
统计 概率
相互独立事件有一个发生的概率
P(A B) P(A B).
独立事件与互斥事件
对事件A，B，有： P( A B) P( A) P(B) P( A) P(B)
特别地，若 A，B互斥，有： P( A) P(B) 0 P( A B) P( A) P(B)
独立事件必不互斥； 互斥事件必不独立
20.
袋中有r个红球与b个黑球，现 有放回地任意摸球，直到累计 摸到i个红球为止，求恰好摸k 次的概率.
求
系统正常工作的概率.
作业1：.
如图:已知电路中5个开关闭合的概 率都是0.7,且是相互独立的,求灯 亮的概率.
作业2：
如图所示的电路，该系统是由四个二极 管（串联，并联）连接而成。已知每个 二极管的可靠度为0.8，若要求系统的可 靠度大于0.85，请你设计二极管的连接 方式，并加以说明
10.
一个学生通过某种英语听力测试 的概率是0.5，他连续测试两 次，那么其中有一次通过的概率 是多少？
11.
在一段时间内，甲去某地的概 率0.25,为乙去某地的概率为0.2; 假定两人的行动之间没有影响， 那么这段时间内至少有一人去此 地的概率是多少？
12.
某射手每5发子弹平均有3发能射中： (1)试求射击n发子弹时每发都
有关等待首次成功时间（非重复试验次数）的模型： 当且仅当前k-1次非重复试验全失败时，第k次成功的 概率.
24.现请用概率的想法证明：
式子右边的一串加 号…？
A a
1
Aa A 1
A A
aA a 1 1A 2
...
A aA a 1 2 A 1 (a 1) a
1
加号间的每
一项你熟悉
么？
25.等待首次成功模型之二
1.
相互独立事件同时发生的概率 Ⅲ.积事件A ·B
臭皮匠老三解出的把握至少是多少， 探究3： 他们才胜似一个诸葛亮？
相互独立事件同时发生的概率
1． 两 人 射 击 同 一 目 标 各 ，击 一 发 ， 甲 击 中 的率 概为 0.9， 乙 击中的概率为 0.8， 求 事 件 “ 目 标 被 击 ” 中的 概 率 .
解析：设“甲击中目标”为事件A “乙击中目标”为事件B
相互独立事件同时发生的概率
一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 Ⅰ.相互独立事件： 没有影响的两个事件叫相互独立事件.
若 A 与 B 相 互 独 立 ， 则A 与 B , A与 B , A与 B也 相 互 独 立.
Ⅱ.互 斥 事 件 ： 指同一次试验中的两个事件不可能同时发生. 相互独立事件： 指在不同试验下的两个事件互不影响. Ⅲ.积事件A · B: 表示事件A、B 同时发生的事件. (1) A、B相互独时： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) ( 2) A1 , A2 , , An 彼此独立： P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
B A B C A C
N1
N2
0.648
0.792
5.(2004年福建高考)甲、乙两人参加一次英语口试，已知 在被选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中 的8道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测 试，至少答对2题才算合格。 （1）分别求甲、乙两人考试合格的概率 （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率
例在一段线路中并联着3个自动控制的 开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路 就能正常工作。假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率
相互独立事件与概率的乘法公式
2.结合引例回答下列问题 由相互独立事件的定义,很显然事件A、B是相互独立的
记 A C={从甲坛子里摸出1个球,得到黑球} B D ={从乙坛子里摸出1个球,得到黑球}
⑴A的发生与否对D事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事件
那1么 P(A)P(表B)示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个发生的概率
即 1 P(A)P(B) P(A B)
四.例题分析
例1、甲、乙2人各进行1次射击,如果2人击中目标的概 率都是0.6,且相互之间没有影响，计算 (1)2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
另解：1- P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答:两件都是正品的概率是0.855恰有一件是正品概率是0.14
五.课堂练习
1.若P(A)=0,P(B)=1,则事件A与事件B的关系是（ C ） A、互斥不独立 B、独立不互斥 C、独立又互斥 D、既不 独立也不互斥
解法2:两人都未击中目标的概率是 P（A B） P（A） P（B）（1 0.6)(1 0.6) 0.4 0.4 0.16, 因此,至少有1人击中目标的概率
P 1 P(A B) 1 0.16 0.84.
答：……
例2、制造一种零件,甲机床的正品率是0.9,乙机床的正品率是 0.95,从它们制造的产品中各任抽一件,计算: (1)两件都是正品的概率是多少? (2)恰有一件是正品的概率是多少?
即 如果那A么P、(1BA-P是1(·AA两)2•·个P·(·B相··)表A互n)示独=什P立(么的A1？事)·件P(, A2)·····P(想An)一．想？
相互独立的随机变量乘积的概率密度函数
相互独立的随机变量乘积的概率密度函数在统计学中，概率密度函数是连续随机变量的函数，它可以用来描述变量的概率分布。
它本质上是随机变量X关于带宽dx上的概率，以及相应事件发生的概率。
概率密度函数是对于随机变量的全部信息的完整描述，常见的概率密度函数有正态分布，指数分布和均匀分布等。
在一般情况下，概率密度函数是由随机变量X的各自概率密度函数共同决定的。
当X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量时，它们的乘积的概率密度函数可以用数学符号表示为：f(X1X2...Xn) = f1(X1)f2(X2)...fn(Xn)其中，fi(X1)是X1的概率密度函数，同理f2(X2)，…，fn(Xn)也是。
可以看出，任意两个以上的随机变量相乘的概率密度函数是由这些随机变量的各自概率密度函数共同决定的。
概率密度函数的重要性在于它能够提供有关某个变量的全信息，从而我们可以得出变量的期望，方差等特征。
根据乘积定律，当随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立的时候，它们的乘积的概率密度函数等于它们各自的概率密度函数的相乘，其函数形式为：f(X1X2...Xn) = f1(X1)f2(X2)...fn(Xn)关于相互独立的随机变量乘积的概率密度函数，对其进行求解计算可以采用多种方法。
一种常用的方法是采用极坐标系统，即以各个随机变量之间的角度和模长为坐标，在此系统中，可以将复杂的问题简化成一维的概率密度函数求解问题，这对于解决多个和复杂的随机变量的乘积的概率密度函数是非常有效的。
另外，采用Laplace变换也可以求解复杂的随机变量乘积的概率密度函数，Laplace变换的思想是将原来的函数的正负号倒转，以达到简化函数的目的。
Laplace变换可以将多维的相互独立随机变量乘积的概率密度函数求解问题简化成一维的求解问题，从而大大减轻了计算量和复杂度。
除此之外，也可以采用极限法和拟蒙特卡洛法等方法进行求解。
极限法是一种快速求解的方法，其原理是将概率密度函数的求解转换成概率的求解，最终求解出随机变量乘积的概率密度函数。
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4.2 独立事件积的概率
五、教学过程设计
(一)、复习回顾1.事件和
2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB.
(二)、讲授新课
1、有关概念、公式
概念引入
请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响.
上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响.
概念---互相独立事件
如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ;
注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件;
注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立.
概率乘法公式
一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么
P(AB)=P(A)·P(B)
也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式.
更一般地,如果n 21A ,,A ,A ⋯中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ⋯互相独立.如果n 21A ,,A ,A ⋯互相独立, 那么
P(n 21A A A ⋯)=)A (P )A (P )A (P n 21⋯
2、例题精析
(1)产品检验事件的概率问题(p.67)
例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？
解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件.
据题意,.1005)F (P ,1005)E (P ==
依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:
P(EF)=P(E)·P(F)=400
110051005 ·. 因此, 抽取２件产品都是次品的概率是
4001. [说明]1.返回抽取２件产品指抽取一件产品并记下是合格品还是次品,然后将产品放回这堆产品中,继续抽取.
2.不返回抽取指抽取一件产品并记下是合格品还是次品,然后将产品不放回这堆产品中,继续抽取.
3.如果本问“不返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？”，那么P(E)=100
5,但是“事件F 出现”受“事件F 出现”影响,即事件Ｅ与事件F 不是互相独立事件,如果事件F 出现,那么第二抽取被检产品总数为99件, P(F)=994,P(EF)= 1005·994=495
1,此处相乘是依据乘法原理. ⒋“不返回抽取２件产品”等价于“一次抽取２件产品”,所以P(EF)=210025C C =495
1 （2）扑克牌抽取事件的概率问题(p.67)
例２ 从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K;
（Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K.
解(见教材)
随堂练习p.67
①从一副52张的扑克牌中第一张抽取到Q,重新放回第二张抽取到有人头的牌,求这两事件都发生的概率.
②从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,4张牌都是A;
（Ⅱ）在不放回抽取的情况下,4张牌都是A.
（3）帕斯卡和费马的友人的一个猜测(p.68)
例３ 试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性.
解(见教材)
⑷机床维护事件的概率
例４ 一名工人维护甲乙丙３
台独立的机床,在一小时内,甲乙和
丙需要维护的概率分别为0.9、0.8、
0,85,求一小时内下列事件的概率
(Ⅰ)没有一台机床需要维护;
(Ⅱ)至少有一台机床不需要维
护.
解(见教材)
(5)电路故障事件的概率问题
例５ 如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ三个开关(图中从上往下三个开关分别ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路不通的概率.
解:设A 、B 、C 分别表示Ａ、B 、C 三个开关断开的事件,它们是互相独立事件,它们的对立事件C ,B ,A 也是独立事件,
P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.2,,06.02.03.0)AB (P =⨯= )B A (P =1－0.06=0.94
(或()0.80.70.80.70.94P A B =+-⨯=)
该电路接通的概率为0.8×0.94=0.752,
电路不通的概率为1－0.752=0.248
[说明] 并联不通的概率用概率乘法公式,串联接通的概率用概率乘法公式.
(6)频率问题
概率度量了随机事件Ｅ出现的可能性大小.一般来说,在n 次重复试验中,若概率P(E)较大,则E 出现的频率也较大;反之, 若概率P(E)较小,则E 出现的频率也较小.
概率与概率具有下列性质:
① 非负性,即n
m ≥0; ② 对必然出现的事件,ｎ次试验中应出现ｎ次,若以Ω表示必然事件,则应有P(Ω)=
n n =1 ③如果Ａ与Ｂ是两不同时出现事件, 那么事件和的频率有如下公式
P(A ∪B)=P(A)＋P(B)
例6 在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20, 射中7环及8环 频率0.40, 射中3环至6环频率0.10,计算小强射击成绩7环及以上频率和射击成绩3环及以下频率.
解(见教材)
例７ 己知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？
解(见教材)。