二倍角公式练习题--有答案

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(完整版)三角函数系列二倍角公式测试题含答案.doc

评卷人得分二倍角公式一、选择题1.已知 2sin θ +3cosθ =0，则 tan2 θ =（）A ．B ．C ．D ．2.已知= ，则 sin2 α +cos （α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若 0＜α＜，﹣＜β＜ 0，cos （+α） = ，cos （﹣β），则 cos （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知 cos α=， cos （α +β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值： tan42 ° +tan78 °﹣tan42 ° ?tan78 ° =（）A．B．C．D．7.已知 sinx= ﹣，且 x 在第三象限，则tan2x= （）A．B．C．D．8.已知 tan α =4，= ，则则 tan （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算 log 2sin +log 2cos 的值为（）A．﹣ 4 B． 4 C． 2 D．﹣ 210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知 tan α=， tan β=，则 tan （α﹣β）等于（）12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则 cos2 θ =（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知 sin θ +cos θ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设 tan α， tan β是方程 x 2﹣3x+2=0 的两个根，则tan （α +β）的值为（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C． 1 D． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知 sin α +cos α =﹣，则 sin2 α =（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且 sin α=， cos β =﹣，则α +β的值为（）A．B．C．D．或19.若 tan （α﹣β） = ， tan β=，则 tan α等于（）A．﹣ 3 B．﹣C． 3 D．20. =（）A．B．C．D．21.若角 A为三角形 ABC的一个内角，且 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形第 II 卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若 tan （α +β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（ 1+tan 1°）（ 1+tan44 °）=．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜， cos （ +α） =﹣，则 sin α=．27.在△ ABC中，已知 tanA ，tanB 是方程 3x 2﹣ 7x+2=0 的两个实根，则 tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求 sin α的值；（2）求β的值．29.已知 cos α=， cos （α﹣β） =，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2 α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A 解答：解：由已知得：==sin α +cos α=，∴（ sin α+cosα）2=1+2sin αcosα=1+sin2 α=，∴ sin2α=﹣，又 sin α+cosα=sin （α+），∴ sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴ sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵ cos（+α） =，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin （+α） ==，∵ cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴ sin（﹣β）==，∵α +β=（+α）﹣（﹣β），∴ cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos （+α） cos （﹣β）+sin（+α） sin （﹣β）===．4.解答：由题意可得：tan α +tan β=； tan α tan β=，显然α，β﹣又 tan （α +β） ===1 且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.C解答：由 2α∈（ 0，π），及 cos α=2﹣，且，得到 cos2 α =2cos α﹣ 1=sin2 α==，由α+β∈（ 0，π），及cos （α +β） =﹣，得到sin（α +β）==，则 cos （α﹣β） =cos[2 α﹣（α +β）] =cos2αcos（α +β） +sin2 αsin （α +β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到 tan78 °+tan42 °=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78 °+tan42 °﹣tan18 °?tan42 °=﹣．故选： C．．7.A8.B解答：由得tanβ=3，又 tan α=4，所以tan （α +β） ===，故选：B．解答：α，β 为锐角，则cosα===；则 cos （α +β） =﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α +β﹣α）=cos （α +β） cosα+sin （α +β） sin α==．11.D12.B13.C14.A15.A16.D17.C18.C解答：∵α﹑β 为钝角，且sin α=，cosβ=﹣，∴ cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α +β） =cosαco sβ﹣ sin αsin β=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α +β∈（π， 2π），∴α +β=．故选：C．19.C 解答：∵ tan （α﹣β） = = = ，∴可解得：tan α =3．故选：C．20.D 21.B 解答：角 A 为三角形ABC的一个内角， sinA+cosA= sin （ A+ ），如果 A∈（ 0，] ， A+ ∈，sin （ A+ ）∈．A∈（，π）， A+ ∈，sin （ A+ ）∈（﹣ 1， 1）．∵sinA+cosA= ，∴A 是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22. 解答：∵tan （α+） =tan[ （α +β）﹣（β﹣） ] ，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24. 解答：∵∴∵，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α 为第三象限的角，所以2α∈（ 2（ 2k+1）π，π +2（ 2k+1）π）（ k∈ Z），又＜ 0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，? 4kπ+2π＜ 2α＜4kπ+3π ? 2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α） =﹣，∴sin （+α） ==，∴sin α=sin[ （α+）﹣]=sin （+α） cos﹣cos（+α） sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7 解答：∵ tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan= ﹣ tan （A+B） =﹣=﹣ 728.解答：（1）∵，∴tan α==．∵ tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sinα= ，cosα= ．（ 2）∵，，∴ sin（α﹣β）=﹣，∴tan （α﹣β）==﹣ 7==，∴ tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得： cosβ=cos=cosαcos（α﹣β） +sin αsin （α﹣β）=所以．。

2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形第4练二倍角公式及应用(解析版)

B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，

【2019-2020】高考数学一轮复习第4章三角函数第4课时二倍角公式练习理

【2019-2020】高考数学一轮复习第4章三角函数第4课时二倍角公式练习理4课时二倍角公式1．已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A2.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12答案 D3．计算tan15°＋1tan15°的值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin2α2＝1－23＝13.故选C. 5．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725C ．－725D ．－1625答案 C解析因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725.6．(2018·遵义第一次联考)2002年在召开国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为( ) A.13 B.32 C.2324 D.2425答案 D解析设锐角θ所对的直角边长为x ，由题意得x 2＋(x ＋1)2＝25，解得x ＝3，所以sin θ＝35，cos θ＝45，sin2θ＝2425.故选D.7．(2018·河北保定中学期末)已知sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos(π4－α)的值为( )A ．－15B.15 C ．－75D.75答案 D解析 ∵sin2α＝2425，0<α<π2，∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，∴sin α＋cos α＝75.∴2cos(π4－α)＝2(22cos α＋22sin α)＝cos α＋sin α＝75.8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4答案 D解析原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12，所以α＝π3，故tan α＝ 3.故选D.10．(2017·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos(2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.11．已知tan(α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4）的值等于( )A.255B ．－3510C ．－255D ．－31010答案 C解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α，由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010.所以原式＝22cos α＝22×(－1010)＝－255.故选C.12．(2018·江西抚州七校联考)若sin(x ＋π6)＝13，则tan(2x ＋π3)＝( )A.79 B ．±79C.427D ．±427答案 D解析由sin(x ＋π6)＝13，得cos(x ＋π6)＝±1－sin 2（x ＋π6）＝±223，tan(x ＋π6)＝±24，tan(2x ＋π3)＝tan2(x ＋π6)＝2tan （x ＋π6）1－tan 2（x ＋π6）＝±427.13．(2018·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－25 B.25 C ．－210D.210答案 D解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos2αsin2α＝－34.∵π4<α<π2，∴π2<2α<π，∴cos2α＝－35，sin2α＝45，∴sin(2α＋π4)＝sin2α×22＋cos2α×22＝210.14．(2018·广西百色一模)已知x∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 A解析 ∵cos(2x －π2)＝sin 2x ，∴sin2x ＝sin 2x ，∴2sinxcosx ＝sin 2x.∵x ∈(0，π)，∴sinx>0，∴2cosx ＝sinx ，∴tanx ＝2.∴tan(x －π4)＝tanx －tanπ41＋tanxtanπ4＝2－11＋2×1＝13.故选A.15．(1)(2018·山东烟台期中)若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79.(2)(2017·保定模拟)计算：3－sin70°2－cos 210°＝________．答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2.16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)，∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案－34解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，cos2α＋1＋cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.18．(2018·湖北百校联考)设α∈(0，π3)，满足6sin α＋2cos α＝ 3.(1)求cos(α＋π6)的值；(2)求cos(2α＋π12)的值．答案 (1)104 (2)30＋28解析 (1)∵6sin α＋2cos α＝3，∴sin(α＋π6)＝64.∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝104.(2)由(1)可得cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(104)2－1＝14.∵α∈(0，π3)，∴2α＋π3∈(π3，π)，∴sin(2α＋π3)＝154.∴cos(2α＋π12)＝cos[(2α＋π3)－π4]＝cos(2α＋π3)cos π4＋sin(2α＋π3)sin π4＝30＋28.若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2B.1－m2C ．± 1＋m2D.1＋m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ，∴cos 27°＝1＋m 2，∴cos7°＝1＋m2.。

2024-2025年北师大版数学必修第二册4.3.1-2二倍角的三角函数公式(带答案)

§3 二倍角的三角函数公式3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练知识点一利用二倍角公式化简、求值 1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( ) A ．－12 B ．12C ．32 D ．－322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ，则sin 2α＝( )A ．－79B ．79C ．±223D ．±793．下列各式：①2sin 67.5°cos 67.5°；②2cos2π12－1； ③1－2sin 215°；④2tan22.5°1－tan 222.5° . 其中值等于32的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3知识点二利用半角公式化简、求值 4．设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2＝( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α25．若sin α＝13 ，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝( )A ．23B ．12C ．13D ．0 6．(1)已知sin α＝－817 ，且π<α<3π2 ，求sin α2 ，cos α2 和tan α2 .(2)若32π<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α .知识点三二倍角公式、半角公式的综合应用7．设a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°，c ＝2tan 15°1－tan 215°，则( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b8．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2 cos α (π<α<2π)．关键能力综合练一、选择题1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158 D ．1582．若cos 2α＝－725 ，0<α<π2 ，则cos α＝( )A ．45B ．－45 C ．35 D ．－353．sin 10°sin 30°·sin 50°sin 70°＝( ) A ．116 B ．－116 C ．316 D ．－3164．(易错题)若3π<x <4π，则1＋cos x2＋ 1－cos x2＝( ) A ．2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 B ．－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 C ．2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 D ．－2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 5．已知sin (α－π5 )＝34 ，则sin (2α＋π10 )＝( )A ．－716B ．716C ．－18D ．18二、填空题6．已知α是第二象限角，tan (π－2α)＝43 ，则tan α＝________．7．设a ＝12 cos 6°－32 sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，将a ，b ，c 用“<”连接起来为________．8．(探究题)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围为________．三、解答题9．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3 cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间．学科素养升级练1.(多选题)关于函数f (x )＝12 sin ωx －cos 2ωx 2 ＋12 (ω>0)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则下列说法正确的有( )A ．函数f (x )的最小正周期有可能为4πB ．函数f (x )在区间(π，2π)内一定不存在对称轴C ．函数f (x )在区间(－π4 ，0)上单调递增D ．ω的最大值是122．(情境命题——生活情境)如图所示，已知扇形POQ 的半径为3 ，圆心角为π3 ，C是弧PQ 上的动点(不与P ，Q 重合)，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，设∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x ).(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 的最大值及相应的x 值．§3 二倍角的三角函数公式 3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练1．答案：B解析：由题意，根据诱导公式得sin110°sin 20°＝cos 20°sin 20°，根据二倍角公式得cos 2155°－sin 2155°＝cos310°＝sin 40°，则原式可转化为cos 20°sin 20°sin 40° ＝2cos 20°sin 20°2sin 40° ＝12 .故选B.2．答案：B解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ， ∴sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19－1 ＝79 .故选B.3．答案：C解析：2sin67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝22； 2cos2π12 －1＝cos π6 ＝32； 1－2sin 215°＝cos30°＝32； 2tan 22.5°1－tan 222.5° ＝tan45°＝1.故选C. 4．答案：D解析：∵α∈(π，2π)，∴α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ， ∴ 1－cos （π＋α）2 ＝1＋cos α2＝cos2α2＝－cos α2.故选D.5．答案：C解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22 ＝－12 sin α＋12 ，sin α＝13 ，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝－12 ×13 ＋12 ＝13 .故选C.6．解析：(1)∵sin α＝－817 ，π<α<3π2 ，∴cos α＝－1517 .又∵π<α<3π2 ，∴π2 <α2 <3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2 ＝ 1＋15172 ＝41717 ， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172 ＝－1717， tan α2＝sin α2cosα2＝－4.(2)∵32 π<α<2π，∴34 π<α2 <π，∴cos α>0，cos α2 <0，∴12＋12 12＋12cos 2α ＝12＋12 12（1＋cos 2α）＝12＋1212×2cos 2α ＝12＋12cos α ＝ 12（1＋cos α）＝cos2α2＝－cos α2.7．答案：C解析：a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°＝（cos 20°－3sin 20°）sin （90°－10°）cos 20°＝－（3sin 20°－cos 20°）cos 10°cos 20°＝－2sin （20°－30°）cos 10°cos 20° ＝2sin 10°cos 10°cos 20°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°＝sin 40°sin (90°＋20°)－sin 20°sin (90°＋40°)＝sin 40°cos 20°－sin 20°cos 40°＝sin (40°－20°)＝sin 20°，c ＝2tan 15°1－tan 215°＝tan30°，因为0<cos 20°<1，则tan 30°>tan 20°＝sin 20°cos 20° >sin 20°，即c >a >b .故选C.8．解析：原式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ，∵π<α<2π，∴π2 <α2 <π.∴cos α2<0.∴原式＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝－cos α2cos α－cos α2 ＝cos α.关键能力综合练1．答案：C解析：因为cos x ＝－14 ，x 为第二象限角，所以sin x ＝154 ，所以sin 2x ＝2sin xcos x ＝2×154 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝－158 .故选C. 2．答案：C解析：因为cos 2α＝2cos 2α－1＝－725 ，所以cos 2α＝925 ，又0<α<π2 ，则cos α＝35.故选C. 3．答案：A解析：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12 cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20° ＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 80°cos 80°16sin 20° ＝sin 160°16sin 20° ＝116.4．答案：C解析：因为3π<x <4π，所以3π2 <x 2 <2π，sin x 2 <0，cos x2>0.于是 1＋cos x2＋1－cos x 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2 ＝cos x 2 －sin x 2 ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x 2－22sin x 2 ＝2 sin (π4 －x2).故选C.5．答案：C解析：令t ＝α－π5 ，所以sin t ＝34 ，α＝t ＋π5 ，所以sin (2α＋π10 )＝sin (2t＋π2 )＝cos 2t ＝1－2sin 2t ＝－18.故选C. 6．答案：－12解析：由tan(π－2α)＝43 ，得tan 2α＝－43 .又tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝－43 ，解得tan α＝－12 或2.又α是第二象限角，所以tan α＝－12.7．答案：a <c <b解析：a ＝12 cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 225° ＝sin25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26° ，0<cos 26°<1，∴tan 26°>sin 26°.又y ＝sin x 在(0，π2 )上为增函数，∴a <c <b .8．答案：(2 ，3 )解析：由于△ABC 为锐角三角形，故A ，B ，C 都为锐角，从而得⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2A <π2，0<C ＝π－3A <π2，解得π6 <A <π4 ，从而sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ∈(2 ，3 ). 9．解析：f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (1)最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π，k ∈Z ，解得π6 ＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π (k ∈Z ).学科素养升级练1．答案：AC解析：由题知：f (x )＝12 sin ωx －1＋cos ωx 2 ＋12 ＝22 sin (ωx －π4)，因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （π）f （2π）≥0，T 2＝πω≥2π－π ⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin （πω－π4）sin （2πω－π4）≥0，0<ω≤1.对于A ，B ，当ω＝12 时，f (x )＝22 sin (12 x －π4 )，满足题意，最小正周期为4π，x ＝3π2是其一条对称轴，故A 正确，B 错误；对于C ，由于0<ω≤1，所以当x ∈(－π4 ，0)时，－π2 <－ωπ4 －π4 <ωx －π4 <－π4 ，函数单调递增，故C 正确；对于D ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω－π4≥0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πω－π4≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58，k ∈Z ⇒14 ≤ω≤58 ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω－π4≤0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πω－π4≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18，k ∈Z ⇒0<ω≤18 ，综上：0<ω≤18 或14 ≤ω≤58，故D 错误．故选AC.2．解析：(1)∵在Rt△COB 中，CB ＝3 sin x ，OB ＝3 cos x ， ∴OA ＝DA tan π6 ＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3 cos x －sin x ，∴f (x )＝AB ·CB ＝(3 cos x －sin x )·3 sin x ＝3sin x ·cos x －3 sin 2x ＝32sin2x －32 (1－cos 2x )＝3 sin (2x ＋π6 )－32 ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 .(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －32 ＋3 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 －32 ＝3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －3 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 －3 . 由0<x <π3 ，0<x ＋π4 <π3 ，得0<x <π12 ，∴5π12 <2x ＋5π12 <7π12， ∴当2x ＋5π12 ＝π2 ，即x ＝π24 时，y max ＝6 －3 .。

两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式

1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为．【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π），又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量．【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用．【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ．（2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+，则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立，则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=，即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-，若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等），则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______．【参考答案】 53【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥，所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值．【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。

二倍角的三角函数-高一数学

二倍角的三角函数【考点梳理】考点：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：二倍角的正弦公式1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，且角α的终边上一点()2,1P ，则sin 2α=（） A ．45-B ．25C 25D ．452．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知3sin24α=，且42ππα<<，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．14-B ．14C ．2D ．33．（2022·广东光明·高一期末）角α的终边经过点()3,4-，则cos cos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．25- B ．25 C ．310- D ．310题型二：二倍角的余弦公式4．（2022·福建龙岩·高一期末）已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79B ．79-C ．29D ．29-5．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）若π2cos 63a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．19- B ．459C ．19 D 4596．（2022·全国·高一）设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为（）A 172B 172C 312D 192题型三：二倍角的正切公式7．（2021·江苏省外国语学校高一期中）ABC 中，3tan 4A =，5cos B =，则()tan 22A B +=（） A ．112-B ．87-C ．44117D ．-118．（2021·北京丰台·高一期中）下列各数sin 25cos 27cos 25sin 27a =+，2sin 27cos 27b =，22cos 221c =-，22tan 22.51tan 22.5d =-中，最大的是（）A ．aB ．bC ．cD ．d9．（2021·山西·应县一中高一期末）若3tan 4x =，则tan tan 2424x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2-B ．2C ．32D ．32-题型四：二倍角公式的综合应用10．（2021·江苏·高一课时练习）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，310cos β=，且tan(2)3αβ+=.（1）求tan2α的值；（2）求αβ+的值.11．（2021·江苏·启东中学高一）计算求值：（1）()sin 5013︒︒（2）sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒12．（2021·江西·横峰中学高一期中（理））已知函数2()sin(2)2333f x x x π=+-（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式(1)()212()2m f x m m f x +++≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【双基达标】一、单选题13．（2022·河南许昌·高一期末）若1cos 23θ=-，则221tan 1tan θθ-=+（） A ．13- B ．13 C ．12- D ．1214．（2022·贵州威宁·高一期末）已知1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．29 B ．78 C ．78- D ．29-15．（2022·山西孝义·高一开学考试）下列各式中，值为12的是（） A ．22cos sin 1212-ππB ．2tan22.51tan 22.5- C ．sin15cos15 D π1cos32+16．（2022·江苏省天一中学高一期末）设sin35sin72sin55sin18a =︒︒-︒︒，cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒，221tan 361tan 36c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>17．（2022·福建泉州·高一期末）将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领51-，该值恰好等于2sin18︒，则cos36︒=（） A 52B 51-C 51+ D 51-18．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x 的值为（）A ．49B ．23C ．59D ．9519．（2021·河南·高一阶段练习）已知函数()()4cos sin 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 可以改写成()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 的图象关于直线3x π=对称【高分突破】一：单选题20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）已知角α的终边与单位圆交于点63(,)33P -，则sin()cos(2)2παπα-+-=（）A ．33-B ．613+ C ．33D ．613- 21．（2021·福建·厦门一中高一阶段练习）黄金三角形是一个顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰长之比是黄金分割比.例如，国旗上的正五角星就是由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示：在黄金三角形ABC 中，512BC AC -=，根据这个信息，可求得cos144︒的值为（）A 15- B ．51-C ．51+D ．35+22．（2021·全国·高一课前预习）计算：24tan123tan312ππ=-（）A 23B ．23C 23D ．2323．（2022·湖南·长郡中学高一期末）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（） A ．65- B ．25- C ．25D ．5624．（2021·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和两个圆弧AC ，弧BC 围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，则tan ∠AOB 的值是（）A ．247-B ．724-C ．43-D ．34-25．（2021·全国·高一课时练习）若53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 21cos 222αα+-=（） A ．cos sin αα- B ．cos sin αα-- C ．cos sin αα+D ．cos sin αα-+26．（2021·全国·高一专题练习）已知441sin cos ,0,32a παα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭.则os 4(c 2)a π+=（）A ．426+B ．426C 42-+D 42--27．（2021·全国·高一专题练习）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭202122sin 04παα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，则tan2α=（） A 37B 7C ．37D ．7二、多选题28．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若()1cos ,0,23ααπ=∈，则下列结论正确的是（） A ．7cos 9α=B ．42sin α=C ．1cos 223απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．22cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭29．（2022·广东光明·高一期末）下列各式的值为1的是（）A ．tan20tan25tan20tan251+-B ．13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ C ．sin72cos18cos108sin18-D ．22cos 2251⋅-30．（2022·安徽巢湖·高一期末）下列计算结果正确的是（） A ．()62cos 15--︒=B ．1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C ．()()()()1cos 35cos 25sin 35sin 252αααα-︒︒++-︒︒+=-D ．2tan 22.51tan 45tan 22.52︒=︒-︒31．（2022·湖南张家界·高一期末）若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（） A ．cos 1sin 1sin cos x xx x+=-B ．cos()sin 2παα+=C ．2(sin 2cos 2)1sin 4ααα-=-D ．21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+32．（2022·山西大同·高一期末）下列计算或化简结果正确的是（） A ．2tan cos 2sin ααα=B ．若1sin cos 2αα⋅=，则cos tan 2sin ααα+= C ．若1tan 2α=，则2sin 1cos sin ααα=- D ．若α21cos 21cos 2αα=+-33．（2021·江苏如东·高一期中）下列各式中，值为12的是（）A ．2tan 22.51tan 22.5-B ．22tan15cos 15C 22331212ππD ．1316sin 5016cos50+三、填空题34．（2022·河北沧州·高一期末）已知π02x <<，且2πcos cos 224x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2x =______. 35．（2022·安徽·六安一中高一期末）已知2sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．36．（2022·北京通州·高一期末）化简22cos(2)2tan (cos 21)θθθ--=+_____．37．（2021·全国·2212sin 20cos 202cos 101cos 1601-=---________．四、解答题38．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知(,)2παπ∈.(1)1sin 3α=，求tan α和cos2α的值； (2)若5cos()3πα-=cos α的值.39．（2022·湖南·高一课时练习）利用二倍角公式求下列各式的值： (1)sin15cos15︒︒；(2)22cos 751︒-；(3)21sin 15-︒；(4)22tan 751tan 75︒-︒．40．（2022·贵州威宁·高一期末）已知π04α<<，2cos 1sin 2()tan()22πc s πo 2f ααααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+⋅+． (1)化简()f α；(2)若1()5f α=-，求tan2α的值．41．（2022·湖南·高一课时练习）已知α为锐角且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2)cos sin 4cos 2παααα+-的值． 42．（2022·湖南·高一课时练习）化简： (1)()2sin cos αα+； (2)22tan151tan 15︒-︒；(3)()cos4013︒︒；(4)44sin cos αα-；(5)111tan 1tan αα-+-；(6)23sin 702cos 10-︒-︒【答案详解】1．D 【详解】由题意，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，且角α的终边上一点()2,1P ，所以sin α==cos α== 所以4sin 22sin cos 25ααα===．故选：D ． 2．C 【解析】【分析】根据α的范围可知cos sin 0αα-<，结合两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简计算cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 【详解】因为42ππα<<，所以sin cos αα>，即cos sin 0αα-<，又3sin24α=，则)cos cos sin 4πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭4===-，故选：C. 3．C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出cos α，利用诱导公式和二倍角的正弦公式将原式化简计算即可. 【详解】由题意可得3cos 5α=-，所以1cos cos cos sin sin 2424242422απαπαπαππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1133cos 22510α⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：C 4．B 【解析】【分析】根据2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 26παπ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和余弦的倍角公式，代值计算即可. 【详解】因为2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2cos 22sin 1666πππαπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2172139⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 5．A 【解析】【分析】根据给定条件利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因π2cos()63a +=，则22π21sin(2)sin[(2)]cos 2()2cos ()12()16236639ππππαααα-=-+=+=+-=⨯-=-. 故选：A 6．A 【解析】【分析】根据α为锐角，4cos()65πα+=，得到sin()6πα+，再利用二倍角公式得到sin(2)3πα+，cos(2)3πα+，然后再由sin(2)sin[(2)]1234πππαα+=+-求解.【详解】解：α为锐角，4cos()65πα+=，3sin()65πα∴+=，24sin(2)2sin()cos()36625πππααα∴+=++=，27cos(2)2cos ()13625ππαα+=+-=．故sin(2)sin[(2)]1234πππαα+=+-， sin(2)cos cos(2)sin 3434ππππαα=+-+，2472525=- 故选：A ． 7．C 【解析】【分析】由已知求得tan B ，再由两角和的正切求()tan A B +，再由二倍角的正切求解．【详解】在ABC 中，∵cos B =，∴sin B ==，则sin sin 2cos B B B==，又3tan 4A =，∴()32tan tan 114tan 31tan tan 2124A B A B A B +++===---⨯， ∴()()()21122tan 442tan 21211tan 11714A B A B A B ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭+===-+-．故选：C 8．D 【解析】【分析】由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．【详解】观察发现tan 451d =︒=，而sin(2527)sin521a =︒+︒=︒<，sin541b =︒<，cos441c =︒<，故选：D ． 9．C 【解析】利用正切函数的两角和与差的恒等变换，结合二倍角公式求得结果. 【详解】因为2tan 1tan 14tan3222tan tan 2tan 242421tan 1tan 1tan 222x x x x x x x x xππ+-⎛⎫⎛⎫++-=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-. 故选：C ．10．（1）43.（2）4π【解析】（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得tan β,根据tan 2tan[(2)]ααββ=+-代入即可求得求得结果. （2）由(1)利用二倍角公式22tan 4tan 21tan 3ααα==-,可求得tan α,进而可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-的值,根据角的范围,即可确定结果. 【详解】（1）∵(0,)βπ∈，且cos β=∴sin β===sin 1tan cos 3βββ== 又∵tan(2)3αβ+=∴13tan(2)tan 43tan 2tan[(2)]11tan(2)tan 3133αββααββαββ-+-=+-===+++⨯ （2）22tan 4tan 21tan 3ααα==-∴22tan 3tan 20αα+-=∴1tan 2α=或tan 2α∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴1tan 2α=又∵1tan 3β=∴11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯ ∵1tan 3β=，且(0,)βπ∈∴0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴(0,)αβπ+∈∴4παβ+=【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题. 11．（1）1；（2）2-【解析】【分析】（1）先通过切化弦进行化简整理，利用两角和的正弦公式的逆应用，再结合二倍角公式和诱导公式化简即得结果；（2）先拆分20155︒=︒+︒，结合两角和的正弦公式和余弦公式化简整理成cos15sin15-︒︒，再拆分154530︒=︒-︒，结合两角差的正弦公式和余弦公式化简即得结果. 【详解】解：（1）()sin 501︒︒sin 501cos 40⎛=︒⋅= ⎝⎭()2sin 3010cos 40cos10︒+︒=︒⨯︒2sin 40cos 40sin80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒；（2）()()sin15cos5sin 155sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20cos15cos5cos 155︒︒-︒+︒︒︒-︒=︒︒-︒︒︒-︒+︒()()cos 4530sin15cos5sin15cos5cos15sin 5cos15sin 5cos15cos5cos15cos5sin15sin 5sin15sin 5sin 4530︒-︒︒︒-︒︒-︒︒-︒︒===-︒︒-︒︒+︒︒︒︒︒-︒cos 45cos30sin 45sin 30sin 45cos30cos 45sin 30︒︒+︒︒=-︒︒-︒︒1==)2122=-=-12．（1）增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，减区间为511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）结合三角恒等变化化简得()sin(2)3f x x π=-，根据三角函数性质求出其单调区间；（2）根据（1）求出当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时11()2f x -≤≤，进而()20f x +>，原不等式等价于()()1210m f x m -+-≥，看成关于()f x 的一次函数，其端点函数值大于等于0，得12102(1)210m m m m -⎧+-≥⎪⎨⎪--+-≥⎩，化简即可.【详解】解：（1）1()(sin 2)1)2f x x x x =++1sin 222x x =sin(2)3x π=-令222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 令3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故函数()f x 的增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，减区间为511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636πππ-≤-≤x ，可得11()2f x -≤≤，由()20f x +>，不等式(1)()212()2m f x m m f x +++≥+可化为()()()24121mf x m m f x m +≥+++，有()()1210m f x m -+-≥. 令()1,1,2t f x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦=，则()1(0)21m t g t m -+-=≥ 若不等式(1)()212()2m f x m m f x +++≥+恒成立，则1()02(1)0g g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩等价于12102(1)210m m m m -⎧+-≥⎪⎨⎪--+-≥⎩，解得：35m ≥故实数m 的取值范围为3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 13．A 【解析】【分析】根据题意将条件变形为2222cos sin cos sin θθθθ-+，然后弦化切即可求得答案.【详解】由题意，222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin 1tan 3θθθθθθθ--===-++. 故选：A. 14．C 【解析】【分析】利用二倍角余弦公式求2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再由22233ππααπ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭结合诱导公式求目标函数的值. 【详解】由2217cos 2cos 212sin 12333168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又22233ππααπ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以227cos 2cos 2cos 23338πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C ． 15．B 【详解】选项A，22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭，A 错误；选项B ，22tan22.512tan22.511tan451tan 22.521tan 22.522=⋅==--，B 正确；选项C，11sin15cos15sin3024==，C 错误；选项D =D 错误. 故选: B 16．C 【解析】【分析】利用三角变换化简,,a b c ，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. 【详解】sin35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒，22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒，因为016171890︒<︒<︒<︒<︒，故sin16sin17sin18︒<︒<︒. 故c a b >>，故选：C. 17．C 【解析】【分析】根据余弦二倍角公式即可计算求值. 【详解】 ∵2sin18︒，∴sin18︒∴22cos3612sin 1812⎛=-=-⨯=⎝⎭. 故选：C. 18．A 【解析】【分析】根据题意求得1tan 3x =，再结合正切的倍角公式，求得tan 2x 的值，即可求解.【详解】由tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得tan 121tan x x +=-，解得1tan 3x =，又由22122tan 33tan 21tan 4113x x x ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1tan 433tan 294x x ==. 故选：A. 19．D 【解析】【分析】由诱导公式、二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由余弦函数的性质判断各选项．【详解】()4cos sin 4cos sin 6363f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24cos cos 4cos cos 4cos 623666x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos 112cos 2263x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．对于选项A ，最小正周期22T ππ==，即选项A 不正确．对于选项B ，易知()f x 0≤，而选项B 中函数值可能大于0，函数不一致；对于选项C ，令()2,23x πππ+∈，则5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56x π=时，函数取得最大值，即选项C 不正确；对于选项D ，由22cos 20333f πππ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故选项D 正确，故选：D ． 20．D 【解析】【分析】先利用诱导公式对要求解的式子进行化简，然后结合已知条件，求解出cos α的值，继而求解出cos2α，带入化简后的式子即可完成求解. 【详解】由已知sin()cos(2)2παπα-+-=cos cos2αα-，因为角α的终边与单位圆交于点63(,)33P -，所以22663cos 363()()33α==+-，21cos 22cos 13=-=αα 所以cos cos2αα-6161333-=-=，故选：D. 21．C 【解析】【分析】由已知求得72ACB ∠=︒，可得cos72︒的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解cos144︒．【详解】由图可知72ACB ∠=︒，且12cos 72BCAC ︒==所以2cos1442cos 721︒=︒-=故选：C. 22．D 【解析】【分析】根据正切的二倍角公式即可化简求解. 【详解】原式22tan22212tan 33631tan 12πππ=-⋅=-=-=-故选：D. 23．C 【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】解：因为tan 2θ=-，所以将式子进行齐次化处理得： ()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ． 24．A 【解析】【分析】根据题意，结合勾股定理，以及正切的二倍角公式，即可求解. 【详解】如图所示，过点O 作⊥OD AB ，交AB 于点D ，设AB a ，圆O 的半径为r ，由题意知OD r =，OA a r =-，2a AD =，因为222OA OD AD =+，得()2222a a r r ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得38a r =，因此42tan 3aAD AOD OA r ∠===，故2422tan 243tan tan 2161tan 719AOD AOB AOD AOD ⨯∠∠=∠===--∠-. 故选：A. 25．D 【解析】【分析】1cos 21cos 222αα+-α的范围确定cos α和sin α的符号即可求解. 【详解】由二倍角公式可知，221cos 2cos αα+=，21cos 22sin αα-=， 1cos 21cos 2|cos ||sin |22αααα+--，又因为53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，sin 0α<， 1cos 21cos 2cos sin 22αααα+--+. 故选：D. 26．D 【解析】【分析】根据441sin cos 3αα-=，利用平方关系和二倍角的余弦公式得到1cos23α=-，然后由()cos 2cos2sin24)a a a π+=-求解. 【详解】因为441sin cos 3αα-=，所以1cos23α=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin20,sin2a α>=所以()cos 2cos2sin24)a a a π+=-，13==⎝⎭-故选：D. 27．A 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，求得1cos sin 2αα+=，由此求得sin 2,cos 2αα，进而求得tan2α. 【详解】202152sin 2sin 44ππαααα⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22cos sin sin )αααα=--1sin )cos sin 02αααα⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos sin 0αα-<，∴1cos sin 02αα+=>，∴3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11sin 24α+=，∴3sin 24α=-，cos 2α=，∴tan 2α=故选：A 28．BD 【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式、诱导公式，结合二倍角公式进行逐一判断即可. 【详解】由()0,0,22απαπ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2α===A ：因为1cos 23α=，所以217cos 2cos 121299αα=-=⨯-=-，本选项结论不正确；B ：因为1cos23α=，sin 2α=，所以1sin 2sin cos 2223ααα==⨯= C ：因为1cos 2cos 223ααπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以本选项结论不正确；D ：因为cos sin 222παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭故选：BD 29．BC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---错误；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B 8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+==对；222cos 22.51cos452-==，D 错误. 故选：BC. 30．BD 【解析】【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个分析计算即可【详解】对于A ，()cos 15cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30-︒=︒=︒-︒=︒︒+︒︒=，所以A 错误，对于B ，111sin15sin 30sin 75sin15sin 30cos15sin15cos15sin 30248︒︒︒=︒︒︒=︒︒=︒=，所以B 正确，对于C ， ()()()()cos 35cos 25sin 35sin 25αααα-︒︒++-︒︒+ ()()cos 3525αα=-︒-︒+⎡⎤⎣⎦()1cos 60cos 602=-︒=︒= 所以C 错误，对于D ，22tan 22.512tan 22.511tan 45tan 45tan 22.521tan 22.522︒︒=⨯=︒=︒-︒-︒，所以D 正确，故选：BD31．ACD【解析】【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断.【详解】2cos cos (1sin )cos (1sin )1sin ==1sin (1sin )(1sin )cos cos x x x x x x x x x x x+++=--+，A 对， cos()sin 2παα+=-，B 错， 222(sin 2cos 2)cos n =si 22si 2cos 21si n 2n 4ααααααα--=-+，C 对， 2221cos 2112sin =tan 1cos 212cos 1θθθθθ--+=++-，D 对，故选：ACD.32．ABD【解析】【分析】直接通过“切化弦”的思想即可判断AB ；通过对分式齐次式化简可判断C ；通过二倍角余弦公式化简可判断D.【详解】对于A ，sin 2cos 2tan cos cos 2sin sin ααααααα⨯==，故A 正确；对于B ，因为1sin cos 2αα⋅=，所以22cos sin cos sin cos tan 2sin cos sin sin cos ααααααααααα++=+==，故B 正确；对于C ，因为1tan 2α=，所以2sin 2tan 121cos sin 1tan 12ααααα===---，故C 错误；对于D ，因为α为第一象限角，所以sin 0,cos 0αα>>，=D 正确；故选：ABD.33．ABC【解析】【分析】利用三角恒等变换求出各选项中代数的值，由此可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⨯==--；对于B 选项，222sin1512tan15cos 15cos 152sin15cos15sin 30cos152=⋅===；对于C 221121262πππ===；对于D 选项，()()2sin 5030133sin 50cos50sin8016sin 5016cos5016sin 50cos508sin1004sin 18080+++===- sin 8014sin 804==. 故选：ABC.34【解析】【分析】化简已知条件，求得1cos sin 2x x -=，通过两边平方的方法求得sin 2x ，进而求得cos 2,tan 2x x . 【详解】πcos 24x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 221(cos sin )cos sin (cos sin )(cos sin )2x x x x x x x x +=-=+-①， π02x <<，sin cos 0x x ∴+≠，化简得①1cos sin 02x x -=>，则π04x <<，π022x <<由21(cos sin )4x x -=，得3sin 24x =，cos 2x ==sin 2tan 2cos 2x x x ∴==35．19- 【解析】【分析】先利用诱导公式求出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用余弦的二倍角公式求解即可【详解】由2sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得2cos 233x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 2cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3c s 26o x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 2cos 236x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22cos 16x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2212139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故答案为：19- 36．-2【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.【详解】()()()22222222222212sin 22cos 224sin 2sin 2sin tan cos 21tan 2cos tan 2cos cos cos θθθθθθθθθθθθθ-----===-=-+⨯⨯⨯. 故答案为：2-.37．1【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及诱导公式化简可得结果.【详解】()()2cos 20sin 202sin 20cos20cos 20sin160cos 20sin 18020101cos 1601--==------cos 20sin 20c 1os 20sin 20-==-. 故答案为：1.38．(1)79(2) 【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，以及二倍角公式，即可求解；（2）根据角的变换33ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合两角和的余弦公式，即可求解. (1)1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos α=sin tan cosααα== 2cos21279sin αα=-=；(2),2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,363πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， cos()3πα-=，sin 3πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，cos coscos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12⎛=⨯= ⎝⎭39．(1)14(2) (4)【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；（4）利用二倍角的正切公式直接求得. (1)()111sin15cos152sin15cos15sin 30224︒︒=︒︒=︒=.(2)22cos 751cos150︒-=︒=(3)()2211111sin 152cos 151cos302222-︒=︒-+=︒+=(4)22tan 75tan150tan 301tan 75︒=︒=-︒=-︒40．(1)()sin cos f ααα=- (2)247【解析】【分析】（1）结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简()f α.（2）利用已知条件求得sin ,cos αα，由此求得tan α，进而求得tan2α.(1)()f α=sin |sin cos |sin |cos |cos αααααα⋅-=-⋅， ∵π04α<<，sin cos 0αα-<，cos 0α>， ∴sin (cos sin )()sin cos sin cos cos f ααααααααα⋅-=-=-⋅． (2)∵π04α<<，∴cos sin 0αα>>，由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，可得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴sin 3tan cos 4ααα==， ∴2322tan 244tan 291tan 7116ααα⨯===--． 41．(1)12【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式展开得到方程，解得即可；（2）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简原式为sin cos αα+，再根据1tan 2α=及同角三角函数的基本关系求出sin α、cos α，即可得解；(1) 解：因为tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tantan 4tan 341tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-，即1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α= (2)解：)cos sin 4cos 2παααα+-sin 2cos cos 2sin cos sin 44cos 2ππααααα=⎫+-⎪⎝⎭ ()sin 2cos 2cos sin cos 2ααααα+-= 22sin cos cos 2cos sin cos 2αααααα+-= ()2sin 2cos 1cos 2cos cos 2ααααα-+=()sin cos cos 2cos 2αααα+=sin cos αα=+因为α为锐角且1tan 2α=，所以cos 2sin αα=.由22sin cos 1αα+=，得21sin 5α=，所以sin α，cos α=，可得sin cos αα+==42．(1)1sin 2α+；(3)1；(4)cos2α；(5)tan2α-；(6)2.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）逆用正切二倍角公式，结合特殊角的正切值进行求解即可；（3）运用切化弦法，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式进行求解即可；（4）运用平方差公式，结合同角的三角函数关系式、余弦的二倍角公式进行求解即可；（5）运用切化弦法，结合正弦和余弦的二倍角公式进行求解即可；（6）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.(1)()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+ (2)22tan15tan(215)tan 301tan 15︒=⨯︒=︒=-︒； (3)()cos 401cos 40(1cos 402sin 40cos 40cos10sin 80cos10cos10cos101;︒︒=︒+=︒=︒⋅︒︒=︒︒=︒= (4)442222sin cos (sin cos )(sin cos )cos 2ααααααα-=+-=-； (5)111tan 1tan 11sin sin 11cos cos cos cos cos sin cos sin cos (cos sin )cos (cos sin )(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2tan 2;ααααααααααααααααααααααααα-+-=-+-=-+---+=+--==- (6)2222223sin 703cos 203(2cos 101)2(2cos 10)22cos 102cos 102cos 102cos 10-︒-︒-︒--︒====-︒-︒-︒-︒.。

三角函数系列二倍角公式测试题含答案

二倍角公式一、选择题，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．13.已知sin θ+cos θ=，则tan2θ值为（）A ．B ．C ．D ．14.设tan α，tan β是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（） A ． ﹣3 B ． ﹣1C ． 1D ． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A ．B ．C ．D ．16.已知sin α+cos α=﹣，则sin2α=（）A ．B ．C ．D ．17.已知，那么cos α=（）A ．B ．C ．D ．18.设α﹑β为钝角，且sin α=，cos β=﹣，则α+β的值为（）A ．B ．C ．D ．或19.若tan （α﹣β）=，tan β=，则tan α等于（）A ． ﹣3B ． ﹣C ． 3D ．20.=（）A ．B ．C ．D ．21.若角A 为三角形ABC 的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形第II卷（非选择题）二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα= ．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。

二倍角公式题目

二倍角公式题目好嘞，以下是为您生成的关于二倍角公式题目的文章：咱今天就来好好唠唠二倍角公式这档子事儿。

记得我当初教学生二倍角公式的时候，有个小家伙，那叫一个迷糊。

上课的时候，眼睛瞪得大大的，好像听懂了，可一做题，就抓耳挠腮，满脸写着“我不会”。

这二倍角公式啊，就像是数学世界里的一道小关卡，卡住了不少同学前进的脚步。

先来说说这二倍角公式到底是啥。

正弦二倍角公式：sin2α =2sinαcosα；余弦二倍角公式：cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 -2sin²α；正切二倍角公式：tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)。

咱先看个简单的例子，比如给你个角α，知道sinα = 3/5 ，α 是锐角，让你求sin2α。

这时候就得用上咱的二倍角公式啦。

因为α 是锐角，所以能算出cosα = 4/5 ，那sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 。

是不是感觉也没那么难？再比如，让你化简 cos²2x - sin²2x 。

这时候直接用余弦二倍角公式cos2α = cos²α - sin²α ，答案一下子就出来了，就是 cos4x 。

还有那种给你个复杂的式子，比如 (1 + cos4x) / 2 ，让你用二倍角公式化简。

这就得想到cos2α = 2cos²α - 1 ，变形一下就是cos²α = (1 + cos2α) / 2 。

那这里的 4x 就相当于2α ，所以化简结果就是 cos²2x 。

做二倍角公式的题目啊，就得胆大心细。

别一看到式子复杂就害怕，静下心来，仔细分析，找到对应的公式，往里一套，说不定答案就出来了。

就像我之前提到的那个迷糊的小家伙，后来我让他多做几道练习题，每道题都给他细细讲解，慢慢的，他也摸到了门道。

第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式习题

1.设f (tan x )＝tan2x ，则f (2)的值等于( )A.45B ．－43C ．－23D ．4解析：选B.由f (tan x )＝tan2x ＝2tan x 1－tan 2x 可知f (x )＝2x 1－x 2， ∴f (2)＝2×21－22＝－43. 2.(2011·高考辽宁卷)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( ) A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析：选A.sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79. 3.函数f (x )＝sin x (1＋tan x tan x 2)的最小正周期为______________________________．解析：f (x )＝sin x ·1＋2tan 2x 21－tan 2x 2＝sin x ·1＋tan 2x 21－tan 2x 2＝sin x ·sin 2x 2＋cos 2x 2cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x cos x＝tan x . ∵目标函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x 2≠k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z . 显然有f (0)＝0，而f (π)无意义，∴T ＝2π.答案：2π4.已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________．解析：由于α为第二象限的角，且sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－34）1－（－34）2＝－321－916＝－247.答案：－247[A 级基础达标]1.已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α＝() A ．－15 B.15C ．－75 D.75解析：选B.∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α>0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝1－2425＝125，∴sin α＋cos α＝15.2.函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( )A ．(－π4，π4)B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)解析：选D.y ＝2cos 2x ＝2·1＋cos2x 2＝1＋cos2x .由2k π－π<2x <2k π，得k π－π2<x <k π，k ∈Z.当k ＝1时，π2<x <π. 3.(2012·沧州质检)1sin10°－3sin80°的值是( ) A ．1B ．2C ．4 D.14解析：选C.cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4. 4.已知tan x ＝2，则tan[2(x －π4)]＝__________．解析：tan[2(x －π4)]＝tan(2x －π2)＝sin （2x －π2）cos （2x －π2）＝－cos2x sin2x ＝－1tan2x ＝－1－tan 2x 2tan x ＝－1－222×2＝34. 答案：345.1＋cos100°－1－cos100°＝__________．解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝－2 sin5°. 答案：－2sin5°6.已知：tan(α＋π4)＝－12(π2＜α＜π)． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2sin （α－π4）的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tan α1－tan α＝－12，解得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2sin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α. 因为π2＜α＜π且tan α＝－3，所以cos α＝－1010，所以原式＝－105. [B 级能力提升]7.设π<α<3π2，sin α＝－45，则sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值为( ) A ．20 B ．－20C ．4D ．－4解析：选A.∵π<α<32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35. ∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α＝（－45）2＋2×（－45）×（－35）（－35）2＋1－2×（－45）2＝20. 8.已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22 C ．2D.2或－22 解析：选B.由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2. 又π<2θ<2π，则π2<θ<π，所以有tan θ＝－22. 9.若cos(x ＋π6)＝－513，则sin(π6－2x )的值是________．解析：sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6) ＝cos[π2＋(2x －π6)]＝cos(2x ＋π3) ＝2cos 2(x ＋π6)－1 ＝2×(－513)2－1＝－119169. 答案：－11916910.求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.证明：原式变形为1＋sin4θ－ cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①而①式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝sin2θcos2θ(2cos 22θ＋2sin2θcos2θ) ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．11.(2012·重庆调研)已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·B.(1)求f (x )的最大值及相应的x 值；(2)若f (θ)＝85，求cos2(π4－2θ)的值．解：(1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时， f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85得 sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625. 因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.。

专题04 二倍角的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)

专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。

2019高考数学一轮复习第4章三角函数第4课时二倍角公式练习理

第4课时二倍角公式1．已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A2.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12答案 D3．计算tan15°＋1tan15°的值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin2α2＝1－23＝13.故选C. 5．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725C ．－725D ．－1625答案 C解析因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725.6．(2018·遵义第一次联考)2002年在北京召开国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为( ) A.13 B.32 C.2324 D.2425答案 D解析设锐角θ所对的直角边长为x ，由题意得x 2＋(x ＋1)2＝25，解得x ＝3，所以sin θ＝35，cos θ＝45，sin2θ＝2425.故选D.7．(2018·河北保定中学期末)已知sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos(π4－α)的值为( )A ．－15B.15 C ．－75D.75答案 D解析 ∵sin2α＝2425，0<α<π2，∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，∴sin α＋cos α＝75.∴2cos(π4－α)＝2(22cos α＋22sin α)＝cos α＋sin α＝75.8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4答案 D解析原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为()A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12，所以α＝π3，故tan α＝ 3.故选D.10．(2017·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16B.13C.12D.23答案 A解析方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos(2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.11．已知tan(α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4）的值等于( )A.255B ．－3510C ．－255D ．－31010答案 C解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α，由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010.所以原式＝22cos α＝22×(－1010)＝－255.故选C.12．(2018·江西抚州七校联考)若sin(x ＋π6)＝13，则tan(2x ＋π3)＝( )A.79 B ．±79C.427D ．±427答案 D解析由sin(x ＋π6)＝13，得cos(x ＋π6)＝±1－sin 2（x ＋π6）＝±223，tan(x ＋π6)＝±24，tan(2x ＋π3)＝tan2(x ＋π6)＝2tan （x ＋π6）1－tan 2（x ＋π6）＝±427.13．(2018·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－25 B.25 C ．－210D.210答案 D解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos2αsin2α＝－34.∵π4<α<π2，∴π2<2α<π，∴cos2α＝－35，sin2α＝45，∴sin(2α＋π4)＝sin2α×22＋cos2α×22＝210.14．(2018·广西百色一模)已知x∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 A解析 ∵cos(2x －π2)＝sin 2x ，∴sin2x ＝sin 2x ，∴2sinxcosx ＝sin 2x.∵x ∈(0，π)，∴sinx>0，∴2cosx ＝sinx ，∴tanx ＝2.∴tan(x －π4)＝tanx －tanπ41＋tanxtanπ4＝2－11＋2×1＝13.故选A.15．(1)(2018·山东烟台期中)若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79.(2)(2017·保定模拟)计算：3－sin70°2－cos 210°＝________．答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2. 16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)，∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案－34解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，cos2α＋1＋cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.18．(2018·湖北百校联考)设α∈(0，π3)，满足6sin α＋2cos α＝ 3.(1)求cos(α＋π6)的值；(2)求cos(2α＋π12)的值．答案 (1)104 (2)30＋28解析 (1)∵6sin α＋2cos α＝3，∴sin(α＋π6)＝64.∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝104. (2)由(1)可得cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(104)2－1＝14.∵α∈(0，π3)，∴2α＋π3∈(π3，π)，∴sin(2α＋π3)＝154.∴cos(2α＋π12)＝cos[(2α＋π3)－π4]＝cos(2α＋π3)cos π4＋sin(2α＋π3)sin π4＝30＋28.若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2B.1－m2C ．±1＋m2D.1＋m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ， ∴cos 27°＝1＋m 2，∴cos7°＝1＋m2.。

4.3.1二倍角公式-2024-2025学年高中数学(必修第二册)(北师大版)同步课件

第(5)题体现了对二倍角的巧用，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n －1αcos 2n －1α⇒cos αcos 2αcos 22α…cos 2n －1α＝s2innsi2nnαα.
题型二给值求值——师生共研例 1 (1)已知 α 是第三象限角，cos α＝－153，则 sin 2α 1123×－153＝112609.
(2)∵sin2π－α＝cos α＝35，α∈0，2π，∴sin α＝45，
∴tan α＝34，∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×14396＝－274.
(3)cos2α＋4π＝1＋cos22α＋π2＝1－s2in 2α＝1－2 23＝61.
A．－1123
12 B.13
C．－112609
120 D.169
(2)若 sinπ2－α＝35，α∈0，π2，则 tan 2α＝(
)
A．－274
3 B.2
C．－32
24 D. 7
(3)已知 sin 2α＝23，则 cos2α＋4π＝________.
解析：(1)∵α 是第三象限角，且 cos α＝－153，∴sin α＝－1123，∴sin 2α
要点二二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意的 α 角，都有 cos 2α＝cos2α－sin2α.( √ ) (2)对任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × ) (3)对于任意的角 α，tan 2α＝1－2tatnanα2α.( × ) (4)对于任意的角 α，sin 4α＝2sin 2αcos 2α.( √ )

二倍角公式练习题--有答案

精品文档二倍角正弦、余弦与正切公式练习题一选择题3*41.已知sin ,cos 则〉终边所在的象限是（） 2 52 5A 第一象限B第二象限 C 第三象限 D第四象限2.已知 sin xtanx ：0则,1 cos2x =( )A 、2COSX Bf?2cosx C■, 2 sin xD2 sin x1 …sin2：£ 亠3.右 tan -Z则二（) 24cos2： -4sin2：A 1o155ABCD-1414224. log 2 sin15 0log 2cos15 的值是()A 1B -1C 2D -2pZ -TT_____________________ _______________________________5.若〔三(—-,)化简1 sin 21 -sin 2二的结果是()4 2A2sin rB2cosr C-2si nrD-2cos )- n36. 已知sin（： -x) ,sin 2x 的值为（)A 714 16 19BCD25252525 -二填空题7. tan22.50 -1 _n —1tan 22.H + 0=tan2 25ta n22.508.已知 sin x =_1贝U sin 2(x —巴)=249. 计算 sin6°sin42°sin66°sin 78° = _____________________ 10. 已知 f(cos ；) =3cosx 2 则三解答题CL CL(1 sin 二"cos ： )(sincos —)11. 化简 --------------2 2〈2 +2cosaf (sin§)二（二：:：：：::2 二）00hoII*3n H «口再x m(0-2)应sin(2— X)J2 x• 、2cos ——S 5x '-M 2孚血7585'(：十)cos2xcos千口再 32=2 0+22=20"严32= 2Q —2sin 20“0皿0-0骥池溢>〉泪肖0选择题DBDDCA填空题题-2; 2、2 解答题 11.解二：:：:-:::2 二, 2 CL<~ 2 参考答案10题4 一3\2 2原式= acos 0 2… … 2 a …… (1 2sin cos 2cos 1)(s in cos — ) 2 2 2 2 2CL CL 2(1 - 2cos 2 £ -1)a … aa aa2cos (sincos —)(s incos —)a a a a a2cos —(s in cos —)(s in cos —)2 2 2 2 2_a -2cos —2a= (cos? sin 列2« .= cos sin2二 COS :aCL CLCOS3 - sin 3)12.解；0：：：x jr < — 4 JI Tt0 x — 4 4 即 cosx sin 12. 2x 二13 cos 2 x -sin 2 x原式 = — 72 (cosx—sinx) 2 =2(cos x sin x)24 13 2ta nx13.解 tan2x — 1 -ta n 2x= -2^2 ■■- 2 tan 2 x - tan x - . 2 = 0解得 tanx-2 或 tanx-t21 -ta nx=1 ta n x 2=32.21 一 ‘2214.证明：由 3s in 2 : =1-2s in 2：得 3s in 2: = cos2 ：……① 由 3sin 2 = 2sin 2 -得 3sin cos ：•二 sin 2 一： ②：都是锐角3兀即 cos （二亠 2F ） =0 又；0 ：： : 2卩2所以：£亠21-'=—2J； — ::: x :::■:2tan x 0tanx =_ cosx -sin xsin x cosxcosx = 0分子分母同时除以 cosx 得①十②得sin ： cos2 : cos _：＞ sin2cos ： cos 2 - - sin ： sin 2 ： = 0精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

二倍角公式与简单的三角恒等变换-2020年领军高考数学(理)一轮必刷题

考点21二倍角公式与简单的三角恒等变换1．设cos50cos127cos 40cos37a =︒︒+︒︒，()sin 56cos562b =︒-︒，221tan 391tan 39c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．a c b>>【答案】D 【解析】由三角恒等变换的公式，可得cos50cos127cos 40cos37cos(50127)cos(77)cos 77sin13a =︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=︒=︒，()222sin 56cos56sin 56cos56sin(5645)sin11222b =︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒22222222sin 3911tan 39cos 39cos 39sin 39cos 78sin12sin 391tan 391cos 39c ︒--︒︒===︒-︒=︒=︒︒+︒+︒，因为函数sin ,[0,]2y x x π=∈为单调递增函数，所以sin13sin12sin11︒>︒>︒，所以a c b >>，故选D.2．已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛⎫-=⎪⎝⎭αA ．17B ．7C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】4cos ,(,0)5a απ=-∈- ∴(,)2παπ∈--33sin ,tan 54αα∴=-=则tan 1tan 41tan πααα-⎛⎫-=⎪+⎝⎭31143714-==-+故选：C ．3．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=（）A．-B ．32C．D．2【答案】A 【解析】由题1331sin cos 3cos sin 2222a a a a 琪-=-+琪桫，则3tan 2α=-故tan 2α=22tan =1tan aa--故选：A ．4．函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为（）A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：D ．5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足，2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是（）A ．2b a =B ．2a b=C ．2A B=D ．2B A=【答案】B 【解析】依题意得()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-,2sin sin 12cos cos C A C A=-,()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B.6．若2sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．19B ．19-C ．59D ．59-【答案】B 【解析】因为241212sin 124499cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2))si c 2n 2cos(os 2(4ππααα-==+-+，所以1sin 29α=-，故选B.7．cos()24πθ+=-，则cos 2θ的值为（）A ．18B ．716C ．18±D ．1316【答案】A 【解析】因为7cos 24πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 4θ=，所以21cos 212sin 8θθ=-=.故选A .8．已知2cos sin αα=，则cos 2=α（）A ．12B ．32C ．12D ．2【答案】D 【解析】解：由2cos sin αα==21sin a -，可得51sin 2a -=，由cos 2=α212sin a -，可得cos 2=α211222⎛⎫--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D.9．若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】因为4tan 3α=，所以22242sin cos 2tan 243cos 2sin 22162sin cos 1tan 2519παααααααα⎛⎫+=-=-=-=-⨯=- ⎪++⎝⎭+，故选：A ．10．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.【答案】23【解析】由题意可得：212cos 1cos cos sin 6232333παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即：212cos 1623πα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.11．已知tan 2α=，则3cos 2sin cos 22ππααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1-【解析】因为2222223cos sin cos sin cos 2sin()cos()22sin cos sin cos ππααααααααααα-++-=-++，所以2222223cos sin sin cos 1tan tan cos 2sin()cos()122sin cos 1tan ππαααααααααααα----++-==-++，应填答案1-。

高一-三角函数的和差公式与二倍角含答案

课程主题：三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值．分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于。

第18讲两角和与差及二倍角公式

第十八讲两角和与差及二倍角公式班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23，所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2， ∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B 4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665 解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________．解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α) ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α) ＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°cos40° ＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α.。

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