差分法欧拉格式浅谈
差分法
第三章 有限差分法函数()f x ，x 为定义在区间[]a b ,上的连续变 量。
将区间[]a b ,等分成n 份，令()h b an =-称为 步长，x 在这些离散点处的取值为x a ih i =+ ()i n =01,,,Λ称为节点。
函数()f x 在这些节点处的差值()()()()()()f x h f x f x f x h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎩⎪ (5-1) 分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的微分近似值。
这些差分 与相应x 区间的比值()()[]()()[]()()[]1112h f x h f x h f x f x h h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的导数近似值。
完全类似 地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商()()()[]122hf x h f x f x h i i i +-+- (5-3) 可以作为函数()f x 在x i 处的二阶导数近似值。
§3.1 常微分方程初值问题的差分解法考虑电学中的一个问题：如图5-1。
研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。
图5-1 RC 放电回路这个问题对应的微分方程及其定解条件为：d d Q tQ RC Q Q t =-=⎧⎨⎪⎩⎪=00(5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 Q Q e t RC =-0 (5-5)一、欧拉(Euler )折线法求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题：()[]()'=∈=⎧⎨⎪⎩⎪y f x y x a b y a y ,,0(5-6) 首先，将区间[]a b ,等分n 份，取值a x x xb n =<<<=01Λ，步长h x x i i =-+1。
微分方程欧拉方法
微分方程欧拉方法
微分方程欧拉方法是一种常用的数值求解微分方程的方法。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近的方法来求得方程的数值解。
在微分方程欧拉方法中，首先需要将微分方程化为差分方程。
考虑一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，以及一个初始条件y(x0)=y0。
我们可以将自变量x的区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为h=(x-x0)/n。
然后，利用离散化的方法，我们可以得到差分方程y(x+h)=y(x)+h*f(x,y)。
这个差分方程可以用来逐步逼近微分方程的数值解。
欧拉方法的步骤如下：首先，给定微分方程和初始条件；然后，选择合适的步长h和区间终点x；接下来，利用差分方程依次计算每个小区间内的y值，直到达到区间终点x为止。
通过这种逼近的方式，我们可以得到微分方程的数值解。
需要注意的是，微分方程欧拉方法的精度相对较低。
这是因为欧拉方法只是使用一阶差分公式来逼近微分方程，而没有考虑更高阶的导数信息。
因此，在某些情况下，欧拉方法可能会产生较大的误差。
为了提高精度，我们可以使用更高阶的数值方法，如改进的欧拉方法或龙格-库塔法。
总之，微分方程欧拉方法是一种简单而常用的数值求解微分方程的方法。
通过将微分方程转化为差分方程，并使用逼近的方式来求得数值解，我们可以获得一定程度上准确的结果。
但需要注意的是，欧拉方法的精度相对较低，可能会引入较大的误差。
如果需要更高的精度，则可以考虑其他更高阶的数值方法。
5第五讲 典型模型方程-波动方程的差分格式
得到 高阶精度的Runge-Kutta方法，其步骤相同。如四阶精度的Runge-Kutta方法
若采用二阶空间差分格式，则其 提高时间导数的差分精度。
， Runge-Kutta方法仅
Comments
• 高阶精度的差分格式需要更多的计算资源和推
导计算的复杂性。 • 一般情况下，二阶精度的差分格式能提供足够 的精度。 • 对于一维波动方程，二阶精度的显格式如 Lax-Wendroff格式在计算资源消耗少的情 况下能给出很好的数值解。隐格式在相对较小 的时间步长情况下，计算中可能导致一些不稳 定解，且需要存储中间时间层上的值和求解方 程组，消耗较多的计算资源，不一定是最优的 原则。
为了使其为稳定差分方法，修正如下
：
因此，此差分方程不一定总相容于PDE，当 则相容，为条件相容。
t 0, x 0 x
t 0, x 0
2
t
0
?
时，v保持为常数，
Lax差分方法的耗散性和色散性分析
当v不为1时，耗散性很强。
理解下图？？？
Euler差分方法（如下）不稳定
其辐角误差为：
因此相对相位误差（relative phase shift error）（见图4.3）为：
因此，当
1 e 1 e
leading phase error lagging phase error
solution : u ( x, t ) sin[6 ( x ct )]
（4-2）
泰勒展开：
n n 1 u u 在 j 处展开， j 在 u n j 处展开，
utt j 在 utt nj 处展开，相减后 泰勒展开：
n 1
（4.57）式两式相减，并整理得：
第三章常微分方程的差分方法15
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误 差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯 形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利 用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值 问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1） （2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求 解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn
yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉 格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远 比显式格式困难得多。
使用有限差分法计算二维欧拉方程
基于非结构网格 二维 Euler 方程的 Jameson 求解方法
姓名：王司文 学号：sx1301102
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
有限差分的欧拉法
西北农林科技大学实习报告学院：理学院 专业年级：信计061 姓名：袁金龙 学号：15206012 课程：微分方程数值解 报告日期：2008-11-26实习一、一维问题的有限差分方法-----Euler 法一）实习问题：用欧拉法，龙格库塔法，米尔恩法求解下面的初值问题：'2(0)1tu u e u ⎧+=⎨=⎩二）算法描述：⑴欧拉法：1(,),0,1,2,...,1m m m m u u hf t u m n +=+=-⑵龙格库塔法的中点法：111(,(,)),0,1,2,...,122m m m m m m u u hf t h u hf t u m n +=+++=-⑶米尔恩法：2211(4),0,1,2,...,23m m m m m u u h f f f m n +++=+++=-⑷初始值的确定： 泰勒级数法1'1000()()()...()(1)q q j jh u u t u t jh ut q --=+++- ⑸雅可比迭代法1[1][]0[0]11(,)()()k n n m k k m k m k j m j j m j j m km k m k u h f t u u h f u uhf Euler βαβ-++++++=++-+-⎧=--⎪⎨⎪=⎩∑三）matlab 程序： ⑴问题函数：function [f1]=f(t,u) f1=-2*u+exp(t);*************************************************** ⑵欧拉法：function []=oula(a,b,u0,n) %[a,b]表示t 的取值区间%u0表示初值%n表示将[0，1]区间分成的分数h=(b-a)/n;t0=a;u(1)=u0+h*(f(t0,u0));for i=1:nt(i)=a+i*h;endtfor i=2:nu(i)=u(i-1)+h*f(t(i-1),u(i-1));endu%精确解的求法for i=1:nu1(i)=(2/3)*exp(-2*t(i))+(1/3)*exp(t(i));endu1plot(t,u,t,u1)title('欧拉法中的预测值与真实值的比较');xlabel('采样点');ylabel('幅度');grid;legend('预测值','真实值');*********************************************************** ⑶龙格库塔法的中点法：function []=zhongdian(a,b,u0,n)%[a,b]表示t的取值区间%u0表示初值%n表示将[0，1]区间分成的分数h=(b-a)/n;t0=a;u(1)=u0+h*(f((t0+(1/2)*h),(u0+(1/2)*h*f(t0,u0))));for i=1:nt(i)=a+i*h;endtfor i=2:nu(i)=u(i-1)+h*(f((t(i-1)+(1/2)*h),(u(i-1)+(1/2)*h*f(t(i-1),u(i-1))))); endu%精确解的求法for i=1:nu1(i)=(2/3)*exp(-2*t(i))+(1/3)*exp(t(i));endu1plot(t,u,t,u1)title('中点法中的预测值与真实值的比较');xlabel('采样点');ylabel('幅度');grid;legend('预测值','真实值');**************************************************************⑷米尔恩法：function []=Milne(n,e)%n表示区间[0,1]要分的份数%对于初值精度我们选择q=3阶的%初值的求解%经过计算运用泰勒级数法求解初值%q(i)表示第i次迭代满足精度的最终值t0=0;for i=1:nt(i)=(1/n)*i;endu0=1;h=1/n;u2(1,1)=1-h+2.5*h*h%Jacobi迭代求解隐式法u2(2,1)=u2(1,1)+h*f(t(1),u2(1,1))for i=2:1000000u2(2,i)=h*(1/3)*f(t(2),u2(2,i-1))+u0+h*(1/3)*f(t0,u0)+h*(4/3)*f(t(1),u2(1,1));if abs(u2(2,i)-u2(2,(i-1)))<eu2(3,1)=u2(2,i)+h*f(t(2),u2(2,i));break;endendfor i=3:nfor j=2:1000000u2(i,j)=h*(1/3)*f(t(i),u2(i,j-1))+u2(i-2,1)+h*(1/3)*f(t(i-2),u2(i-2,1))+h*(4/3)*f(t(i-1),u2(i-1,1));if abs(u2(2,j)-u2(2,(j-1)))<eu2(i+1,1)=u2(i,j)+h*f(t(i),u2(i,j));break;endendendq(1)=u2(1,1);for i=2:n-1q(i)=u2(i+1,1);end%精确解的求法for i=1:n-1t1(i)=(1/n)*i;endfor i=1:n-1u1(i)=(2/3)*exp(-2*t(i))+(1/3)*exp(t(i));endu1;plot(t1,q,t1,u1)title('Milne法中的预测值与真实值的比较');xlabel('采样点');ylabel('幅度');grid;legend('预测值','真实值');*********************************************************四）图形显示的计算结果：⑴欧拉法：表1：欧拉法中的预测值与真实值的比较（n=20时）真实值预测值误差（%）0.9500 0.9536 0.38260.9076 0.9142 0.72710.8721 0.8812 1.03170.8430 0.8540 1.29550.8197 0.8324 1.51810.8020 0.8158 1.70050.7893 0.8041 1.84400.7813 0.7968 1.95110.7777 0.7938 2.02490.7784 0.7948 2.06860.7830 0.7997 2.08620.7913 0.8082 2.08150.8033 0.8202 2.05850.8188 0.8356 2.02070.8376 0.8544 1.97160.8597 0.8764 1.91430.8850 0.9017 1.85140.9135 0.9301 1.78530.9451 0.9616 1.71790.9799 0.9963 1.6506表2：欧拉法中的预测值与真实值的比较（n=10时）真实值 预测值 误差（%）0.9000 0.9142 1.5544 0.8305 0.8540 2.7514 0.7866 0.8158 3.5882 0.7642 0.7968 4.0910 0.7606 0.7948 4.3105 0.7733 0.8082 4.31150.8009 0.8356 1.638 0.8421 0.8764 1.6736 0.8962 0.9301 1.6943 0.96290.99631.70540.10.20.30.40.50.60.70.80.910.750.80.850.90.951欧拉法中的预测值与真实值的比较采样点幅度图1：欧拉法中的预测值与真实值的比较（分成20份时）说明：从图1及表1和表2中可以看出：采用欧拉法对初值问题的近似比较准确，且从算法中可以推断，随着n （将[a,b]区间分成的分数）值的增大，误差将会越来越小。
有限差分之欧拉格式
Zhang Liwei May 25, 2014
Contents
1 Abstract 2 Description of Schemes 2.1 Single equation . . . . . 2.1.1 Forward Euler . 2.1.2 Backward Euler . 2.1.3 Central Euler . . 2.2 Matrix equation . . . . . 2.2.1 Forward Euler . 2.2.2 Backward Euler . 2.2.3 Central Euler . . 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 7 7 9 12
For any component ui of u
ui Ri n = ui −h − ui by using Taylor development Ri n = h 2 ui ”(ηi ) for all i n So R for Forward Euler scheme is o(h)(if ui ” is bound in [a,b]) i.e.||Rn || = o(h) Let E n = u(tn ) − un i=0,1,...,N,and suppose f is Lipschitz continuous with respect to u,then L(b−a)−1 R as n − >+ hL)||E n || + h||R|| ≤ e L As a result, ||E n || ≤ o(h)
4
Similarly,backward Euler scheme leads to following: Step1.Count I − hA,its calculated quantities are 2n; −1 Step2.Count (I − hA) ,its calculated quantities are O(n2 ) −1 Step3.Conut ui+1 = (I − hA) ui for i=1,2,...N,its calculated quantities are 2 2n N So its total calculated quantities are O(N n2 ) For central Euler scheme,it lead to: Step1.Count I −
欧拉梁方程有限差分
欧拉梁方程有限差分欧拉梁方程是物理学和工程学中最基本的物理模型之一，可以用来解释许多现象，比如传播、振动、热传导等等。
这一方程也是日常生活中最普遍的物理模型，比如人们会在摆动秋千或滑板时用到它。
欧拉梁方程有限差分法是一种用来求解欧拉梁方程的数值求解方法，它利用近似的微分方程来把欧拉梁方程的复杂的数学模型简化成数值的形式。
有限差分法是一种有效的、简单的和快速的数值求解方法，它可以在不花费太多时间和金钱的情况下解决复杂的算法问题。
欧拉梁方程的有限差分法主要由以下几个步骤组成：首先，将欧拉梁方程写成一个多元微分方程；然后，采用有限差分法将其转化成离散形式；最后，利用特定的算法解决离散形式的多元微分方程。
这样，就可以得到所有欧拉梁方程的解，而不需要计算原始的欧拉梁方程。
有限差分法的优势在于可以快速准确的解决欧拉梁方程，而且也可以用于计算实际问题。
有限差分法可以给出精确度较高的结果，而且它可以在不耗费太多计算时间的情况下解决绝大部分欧拉梁方程问题。
有限差分法也可以用来求解不可解析的方程，这样可以节省大量的计算时间。
有限差分法对于计算欧拉梁方程提供了一种简单高效的方法，可以用来解决复杂的物理模型问题。
它的算法简单，执行效率高，准确度高，可以用来求解任何复杂的欧拉梁方程问题。
有限差分法的应用还可以延伸到物理学和力学的其他领域，例如地质动力学、流体力学等。
总之，欧拉梁方程有限差分法是一种使用近似的微分方程来求解欧拉梁方程的数值求解方法，可以用来解决欧拉梁方程以及其他物理模型的问题，这种方法具有简单高效、计算时间少、准确等特点，也可以用来求解不可解析的方程，因此有限差分法对于计算欧拉梁方程具有重要的应用价值。
差分法
第三章 有限差分法函数()f x ，x 为定义在区间[]a b ,上的连续变 量。
将区间[]a b ,等分成n 份，令()h b a n =-称为 步长，x 在这些离散点处的取值为x a ih i =+ ()i n =01,,,称为节点。
函数()f x 在这些节点处的差值()()()()()()f x h f x f x f x h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎩⎪(5-1)分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的微分近似值。
这些差分 与相应x 区间的比值()()[]()()[]()()[]1112h f x h f x h f x f x h h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的导数近似值。
完全类似地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商()()()[]122hf x h f x f x h i i i +-+- (5-3)可以作为函数()f x 在x i 处的二阶导数近似值。
§3.1 常微分方程初值问题的差分解法考虑电学中的一个问题：如图5-1。
研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。
图5-1 RC 放电回路这个问题对应的微分方程及其定解条件为：d d Q tQ RC QQ t =-=⎧⎨⎪⎩⎪=00(5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 Q Q e t RC =-0 (5-5)一、欧拉(Euler )折线法求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题：()[]()'=∈=⎧⎨⎪⎩⎪y f x y x a b y a y ,,0(5-6) 首先，将区间[]a b ,等分n 份，取值a x x xb n =<<<=01 ，步长h x x i i =-+1。
抛物型方程差分法
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保证 。接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。
0
O
A
O
0
r 1 2r r
r 1 2r
于是，由定理可得 m 1阶矩阵A的特征值为
li12r2r1cosim (1im 1 ) 即 li12r(1cosim )14rsin 22 i m
于是，向前欧拉格式稳定 l i 1 , 即，
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
u u(xi,tk)u(xi,tk1)
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布 第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u tx20, 0x1, 0t1
u (x ,0 )ex, 0x 1 u ( 0 ,t) e t, u ( 1 ,t) e 1 t, 0 t 1 原方程的真解为 u(x,t)ext.
随机微分方程的数值模拟方法
随机微分方程的数值模拟方法随机微分方程（Stochastic Differential Equations，简称SDEs）是描述包含随机项的微分方程。
它们在金融学、物理学和生物学等领域中广泛应用，尤其在随机模型建立和数值模拟方面有着重要的作用。
为了模拟和解决随机微分方程，研究者们开发了各种数值模拟方法。
这些方法的目标是通过离散化时间和空间来近似SDE的解，以获得数值解。
在本文中，我将介绍几种常用的数值模拟方法，包括欧拉方法、米尔斯坦方法和龙格-库塔方法。
我们将从简单的欧拉方法开始，逐渐深入探讨这些方法的优点和局限性。
1. 欧拉方法（Euler Method）欧拉方法是最简单和最直接的数值模拟方法之一。
它将区间分成若干小的子区间，然后使用差分逼近来计算每个子区间内的解。
欧拉方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，从而将微分方程转化为差分方程。
欧拉方法的数值格式如下：然而，欧拉方法的缺点在于其精度较低，特别是当时间步长较大时。
它也不能很好地处理某些随机微分方程的特殊情况。
2. 米尔斯坦方法（Milstein Method）米尔斯坦方法是对欧拉方法的改进，目的是提高精度。
它通过在欧拉方法的基础上添加额外的项来纠正误差，从而提高数值解的准确性。
米尔斯坦方法的数值格式如下：相比于欧拉方法，米尔斯坦方法在同样的时间步长下通常能够提供更准确的数值解。
然而，对于某些特殊的随机微分方程，米尔斯坦方法也可能存在一些问题。
3. 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Method）龙格-库塔方法是一类更为复杂但精度更高的数值模拟方法。
它基于对SDE进行多次逼近来得到数值解，通常可以达到较高的准确性。
龙格-库塔方法的基本思想与常规微分方程的龙格-库塔方法类似，但在计算过程中需要额外考虑随机项的贡献。
相比于欧拉方法和米尔斯坦方法，龙格-库塔方法的数值格式更为复杂，但其准确性和稳定性更高。
总结和回顾：通过本文的介绍，我们对随机微分方程的数值模拟方法有了初步的了解。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：王司文学号：sx摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。
在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。
人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。
边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。
最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。
关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。
常微分方程数值解欧拉方法
yn1
yn
h 2
f (xn , yn ) f ( xn1, yn1)
yn1 yn hf ( xn , yn )
yn1
yn
h 2
f (xn , yn ) f ( xn1, yn1)
也叫预报-校正公式 改进的欧拉公式
例6.1 欧拉公式求解
f(0,0)的处理（也可以 理解为一种近似）
表6-1 图6-1 本身有解析解，可与
想求（近似的）y，但等式的等号左右都有：隐式
还有一种隐式：积分用梯形公式
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
xn1 f (x, y(x))dx h
xn
2
f (xn , y(xn )) f (xn1, y(xn1))
y( xn1)
y(xn )
h
2
f
( xn ,
6 常微分方程数值解法
常微分方程 欧拉方法 龙格-库塔方法
引子
人口模型（看书上） 人口理论
一阶常微分方程的初值问题 数值解：离散点上的近似值
一阶线性常微分方程初值问题
dy
f
(x,
y)
dx
y(x0 ) y0
a xb
数值方法的基本思想 连续 离散 在解的存在区间上取n + 1个节点
xn1 dydx xn1 f (x, y(x))dx
xn dx
xn
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
（1）显式差分格式
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
左矩形公式
xn1 xn
差分法欧拉格式浅谈
差分法欧拉格式浅谈科学计算中常常求解常微分方程的定解这类问题的最简形式是一阶方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y （1） 这里假定右函数),(y x f 适当光滑，譬如关于y 满足Lipschitz 条件，以保证上述初值问题的解y(x)存在且唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。
求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。
差分方法是一类重要的数值解法。
这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点<<<<<n x x x x 210上的近似值 ,,,,,21n o y y y y 。
相邻的两个节点的间距n n x x h -=+1称作步长。
假定步长为定数。
差分方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y(x)的分析问题转化为计算离散值n y 的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。
然而随之带来的困难是，由于数据量{}n y 往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。
初值问题的各种差分方法有个基本特点，它们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。
描述这类算法，只要给出从已知信息 ,,,21--n n n y y y 计算1+n y 的递推公式。
这类计算公式称作差分格式。
差分格式中仅含一个未知参数1+n y ，或者说，它是仅含一个变元1+n y 的代数方程，这就大大地缩短了计算问题的规模。
总之，差分方法的设计思想是，将寻求微分方程的解y(x)的分析问题化归为计算离散值{}n y 的代数问题，而“步进式”则进一步将计算模型化归为仅含一个变元1+n y 的代数方程——差分格式。
Euler 方法方程（1）中含有导数项)(x y '，这是微分方程的本质特征，也正是它难以求解的症结所在。
导数是极限过程的结果，而计算过程则总是有限的。
欧拉梁方程有限差分
欧拉梁方程是描述杆状梁的动态行为的常用方程。
它是一种二阶常微分方程，可以通过使用有限差分方法来求解。
有限差分方法是指，通过在杆状梁上取一些点，并使用这些点的应力应变值来近似求解整个杆状梁的动态行为的方法。
这种方法可以使用计算机软件来解决，并且通常可以得到较高精度的结果。
通常，使用有限差分方法求解欧拉梁方程的步骤如下：
1 将杆状梁划分为若干小段，每段长度为$h$。
2 在每段的中点处取一个点，称其为“网格点”。
3 在每个网格点处计算欧拉梁方程的差分方程。
4 使用这些差分方程迭代求解欧拉梁方程，直到收敛为止。
有限差分方法可以用来解决多种动力学问题，包括杆状梁的动态行为、振动、弯曲和扭转等。
它具有较高的精度，且计算速度较快，因此在工程设计中常常被使用。
常微分方程的差分方法
x, y x
h 2
f
xn, y xn f
xn1, y xn1
再离散化，即可得如下计算公式
yn1
yn
h 2
f
xn ,
yn
f
xn1,
yn1
与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式。
第三章 常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
数值分析简明教程
4.1
安工大2004
引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的
最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
数值分析简明教程
4.9
安工大2004
七桥问题
• 七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥 尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷 格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。问是否可能从这四块陆地中任 一块出发，恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究并解决了 此问题，他把问题归结为如下右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能 的。
，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为 灰烬了．
•
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完
全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着
记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久
数值分析简明教程
4.11
安工大2004
有限差分方法
有限差分方法有限差分方法一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。
描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质：若初始时刻t=t0的解已给定,则t t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。
利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
双曲型方程的差分方法最简单的双曲型方程的初值问题是：式中嫓(x)为已知初值函数。
这初值问题的解是：u(x,t)=嫓(x-at)。
(2)由(2)可见，(1a)(1b)的解(2)当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,惭)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-а惭,0)的值决定。
A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。
向后欧拉差分格式
向后欧拉差分格式
向后欧拉法（Backward Euler Method）是一种数值求解常微分方程（ODEs）的方法之一，它属于一种隐式（implicit）的数值积分方法。
对于ODEs的数值解，可以使用向后欧拉法来进行离散化和迭代求解。
对于一阶ODE的形式为dy/dt=f(t,y)，向后欧拉法的迭代格式可以表示为：
y n+1=y n+ℎ⋅f(t n+1,y n+1)
其中：
y n+1是下一个时间步的近似解。
y n是当前时间步的解。
h是时间步长。
t n+1=t n+ℎ是下一个时间步的时间点。
这个公式中y n+1出现在方程右侧，使得向后欧拉法是一种隐式方法，需要通过迭代求解非线性方程来获得y n+1。
通常，可以使用牛顿迭代或其他迭代方法来求解这个非线性方程。
具体步骤：
1. 选定初始条件y0。
2. 对于每个时间步n，使用以下迭代方程求解y n+1：
y n+1=y n+ℎ⋅f(t n+1,y n+1)
3. 重复步骤2，直到收敛或达到预定的迭代次数。
向后欧拉法的主要优点之一是它对于某些稳定性要求较宽，尤其在处理刚性（stiff）ODEs时比显式方法更为稳定。
然而，由于是隐式方法，每个时间步需要求解一个非线性方程，因此计算成本较高。
概率密度演化方程差分格式的计算精度及初值条件改进
概率密度演化方程差分格式的计算精度及初值条件改进概率密度演化方程是概率论中的重要概念，它描述了随机变量的概率分布随时间演化的规律。
为了对概率密度演化方程进行数值计算，常常使用差分格式来近似求解。
本文将介绍概率密度演化方程差分格式的计算精度以及初值条件的改进，以期提高数值计算的精确性和效率。
首先，我们来介绍概率密度演化方程的差分格式。
差分格式可以将概率密度函数按照一定的网格离散化，从而将连续的问题转化为离散的问题。
常见的有欧拉格式、隐式格式和Crank-Nicolson格式等。
这些格式一般是通过将概率密度函数在时间和空间上的导数用有限差分逼近来进行数值求解。
差分格式的计算精度是评价其数值精确性的一个重要指标。
常见的有截断误差和稳定性等性质。
截断误差是指通过差分格式近似求解得到的解与真实解之间的误差，它可以通过理论分析得到。
稳定性是指差分格式的数值解是否能在迭代过程中收敛到真实解，其可以通过稳定性分析来得到。
为了提高差分格式的计算精度，我们可以采用更高阶的差分格式，如四阶格式。
四阶格式相较于二阶格式可以减小截断误差，从而提高数值精度。
此外，我们还可以使用更精细的网格来进行离散化，从而获得更精确的数值解。
然而，选择更高阶的差分格式和更细的网格也会增加计算量，因此需要在精度和效率之间进行权衡。
除了差分格式，初值条件的选择也对数值计算的精度有很大影响。
初值条件应当与实际问题相符，并尽可能精确地描述问题的物理特性。
如果初值条件与实际问题有较大偏差，将会导致数值解的偏差较大。
因此，我们应该根据实际问题的特点选择适当的初值条件，并通过数值试验验证其效果。
综上所述，概率密度演化方程差分格式的计算精度及初值条件的改进是提高数值计算精确性和效率的重要手段。
通过选择更高阶的差分格式和更细的网格，可以提高数值精度，但也需要考虑计算量的增加。
同时，正确选择与实际问题相符的初值条件也能有效提高数值计算的精确性。
因此，在实际应用中，我们应根据具体问题的特点和需求进行差分格式和初值条件的选择，以获得更精确和有效的数值解。
浅谈欧拉积分【开题报告】
开题报告信息与计算科学浅谈欧拉积分一、综述本课题的研究综述，说明选题的依据和意义微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念.极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限.到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之一, 它是以广义积分定义的特殊函数, 在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到, 本文重点阐述了gamma 函数, beta 函数的性质, 并通过列举实例的方法揭示出二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用, 从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法, 同时这也揭示了数学与不同学科之间的密切联系, 在提高解题能力的同时, 也加深对数学的理解和应用.正如我们熟知微分学的基本概念是导数, 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分. 主要内容包括积分的性质、计算, 以及在理论和实际中的应用. 不定积分的概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的. 如果对每一x I ∈ , 有()()f x F x '=, 则称()F x 为()f x 的一个原函数, f(x)的全体原函数叫做不定积分, 记为, 因此, 如果()F x 是()f x 的一个原函数, 则()f x 积分等于()F x C +, 其中C 为任意常数. 定积分概念的产生来源于计算平面上曲边梯形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题. 解决这些问题的基本思想是用有限代替无限; 基本方法是在对定义域[a, b]进行划分后, 构造一个特殊形式的和式, 它的极限就是所要求的量. 具体地说, 设闭区间[]b a ,内有1-n 个点, 依次为b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ它们把[]b a ,分成n 个小区间[]n i x x i i i ,,2,1,,1Λ==∆-这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割, 记为{}n x x x T ,,,10Λ=或{}n ∆∆∆Λ,,21小区间i ∆的长度为1--=∆i i i x x x , 并记{}i n i x T ∆=≤≤1max . 定积分除了可求平面图形的面积外, 在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”. 求解定积分是学习高等数学的一个重要内容, 也是解决数学问题的一个基本技能. 求解定积分的方法一般来说是先求出原函数, 然后再根据牛顿- - 莱布尼茨公式带入上下限进行计算. 这种方法对于一般的定积分求解问题比较实用. 在实际问题中, 有许多定积分的原函数, 难以计算或者计算过程非常繁杂. 而如果将其进行适量的变量代换, 变为我们熟悉的定积分, 那么这一问题就得到了很好的解决. 欧拉积分恰恰就是我们解决这样问题的一个有效工具.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题：需解决的主要问题:（1）熟悉Euler积分的基本性质.（2）如何利用Euler积分来表达其他的积分.（3）Euler积分的简单应用.三、研究步骤、方法及措施：1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细查看所搜集的文献资料;3．在指导老师的指导下, 确定论文思路; 4．翻译一篇外文资料;5．撰写文献综述; 6．撰写开题报告;7．修改外文翻译、文献综述、开题报告; 8．撰写毕业论文;9．上交论文初稿; 10．反复修改论文定稿．方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 上中文学术期刊网, 万方数据库查找相关文章, 参考相关内容. 在老师指导下, 通过研究各种方法来解决问题.四、参考文献[1] 田兵欧拉积分在求解定积分中的应用[J]. 阴山学刊,2009.[2] 同济大学应用数学系. 矩阵分析[M]. 同济大学出版社. 2005, 9: 153~173[3] 华东师范大学数学系. 数学分析[M] (上册). 北京: 高等教育出版社, 2001.[4] 赵贤淑. 欧拉积分类型与Dirichlet公式的一个证明[J]. 北京印刷学院学报, 1998, [6(1)]: 79~81.[5] 认亲谋. 数学分析习题解析[M] . 西安: 陕西师范大学出版社, 2004.[6] 费定辉, 周学圣等. 吉米多维奇数学分析习题集题解[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2003.[7] 刘玉琏, 刘伟, 刘宁等. 数学分析讲义练习题选解[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[8] 钟玉泉. 复变函数论[M] (第三版) . 北京: 高等教育出版社, 2003.[9] 陈纪修, 於祟华, 金路. 数学分析[M] . (下册) . 北京:高等教育出版社, 2000.[10] Gilbert J. and Gilbert L, Linear Algebra and Matrix Theory [M]. Academic Press, San Diego, 1995. 301～303.[11] Cao Wen sheng. SOLV ABILITY OF A QUATERNION MATRIX EQUA TION. Appl. Math. J. Chinese Univ. Set. B. 2002,17(4): 490~498.。
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差分法欧拉格式浅谈
科学计算中常常求解常微分方程的定解这类问题的最简形式是一阶方程的初值问题
⎩⎨⎧=='00
)(),(y x y y x f y （1） 这里假定右函数),(y x f 适当光滑，譬如关于y 满足Lipschitz 条件，以保证上述初值问题的解y(x)存在且唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。
求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。
差分方法是一类重要的数值解法。
这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点
<<<<<n x x x x 210
上的近似值 ,,,,,21n o y y y y 。
相邻的两个节点的间距n n x x h -=+1称作步长。
假定步长为定数。
差分方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y(x)的分析问题转化为计算离散值n y 的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。
然而随之带来的困难是，由于数据量{}n y 往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。
初值问题的各种差分方法有个基本特点，它们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。
描述这类算法，只要给出从已知信息 ,,,21--n n n y y y 计算1+n y 的递推公式。
这类计算公式称作差分格式。
差分格式中仅含一个未知参数1+n y ，或者说，它是仅含一个变元1+n y 的代数方程，这就大大地缩短了计算问题的规模。
总之，差分方法的设计思想是，将寻求微分方程的解y(x)的分析问题化归为计算离散值{}n y 的代数问题，而“步进式”则进一步将计算模型化归为仅含一个变元1+n y 的代数方程——差分格式。
Euler 方法
方程（1）中含有导数项)(x y '，这是微分方程的本质特征，也正是它难以求
解的症结所在。
导数是极限过程的结果，而计算过程则总是有限的。
因此数值解法的第一步就是消除式（1）中的导数项y '，这项手续称作离散化。
由于差商是是微分的近似计算，实现离散化的一种直截了当的途径是用差商替代导数。
Euler 格式
设在区间[]1,+n n x x 的左端点n x 列出方程（1）即
))(,()(0n n x y x f x y =' 并用差商h
x y x y n n )()(1-+替代其中的导数项)(n x y '，则有近似关系式 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ （2）
若用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，并记所得结果为1+n y ，这样设计出的计算公式
2,1,0),,(1=+=+n y x hf y y n n n n （3）
就是著名的Euler 格式。
若初值0y 已知，则依据格式（3）可逐步算出数值解 21,y y 。
再从图形上看，假设节点),(n n n y x P 位于积分曲线)(x y y =上，则按Euler 格式定出的节点),(111+++n n n y x P 落在积分曲线)(x y y =的切线上，从这个角度也可以看出，Euler 格式是很粗糙的。
隐式Euler 格式
再在区间[]1,+n n x x 的右端点1+n x 列出方程（1），即
))(,()(111+++='n n n x y x f x y
并改用点1+n x 处的向后差商h
x y x y n n )()(1-+替代方程中的导数项)(1+'n x y ，再离散化，即可导出隐式Euler 格式
),(111++++=n n n n y x hf y y （5）
这一格式与Euler 格式（3）有着本质的区别：Euler 格式（3）是关于1+n y 的一个直接的计算公式，称这类格式是显式的；而格式（5）的右端含有未知的1+n y 它实际上是个关于1+n y 的函数方程，这类格式是隐式的。
隐式格式的计算远比显式格式困难。
由于数值微分的向前差商公式与向后差商公式具有同等精度，可以预料，隐式Euler 格式（5）与显式Euler 格式（3）的精度相当，两者精度都不高。
Euler 两步格式 为了改善精度，可以改用中心差商[])()(2111-+-n n x y x y h
替代方程 ))(,()(n n n x y x f x y ='
中的导数项，再离散化，即可导出下列格式：
),(211n n n n y x hf y y +=-+ （6）
无论是显式Euler 格式（3）还是隐式Euler 格式（5），它们都是单步法，其特点是计算1+n y
时只用到前一步的信息n y ；然而格式（6）除了n y 以外，还显含更前一步的信息1-n y ，即调用了前面两步的信息，Euler 两步格式因此而得名。
Euler 两步格式（6）虽然比Euler 格式或隐式Euler 格式具有更高的精度，但它是一种两步法。
两步法不能自行启动，实际使用时除初值0y 外还需要借助于某种一步法再提供一个开始值y 1，这就增加了计算程序的复杂性。
梯形格式
设将方程),(y x f y ='的两端从n x 到1+n x 求积分，即得
⎰++=+1
))(,()()(1n n x x n n dx x y x f x y x y （7）
显然，为要通过这个积分关系式获得)(1+n x y 的近似值，只要近似地算出其中的积分项⎰+1
))(,(n n x x dx x y x f ，而选择不同的计算方法计算这个积分项，就会得到
不同的差分格式。
例如，利用矩形方法计算积分项
⎰+≈1
))(,())(,(n n x x n n x y x hf dx x y x f
代入式（7）有近似关系式
))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+
据此离散化又可导出Euler 格式（3）。
由于数值积分的矩形方法精度很低，Euler 格式当然很粗糙。
为了提高精度，改用梯形方法计算积分项
[]))(,())(,(2
))(,(111+++≈⎰+n n n n x x x y x f x y x f h dx x y x f n n 再代入式（7），有
[]))(,())(,(2
)()(111+++++≈n n n n n n x y x f x y x f h x y x y 设将式中的)(n x y ，)(1+n x y 分别用n y ,1+n y 替代，作为离散化的结果导出下列计算格式：
[]),(),(2
111+++++
=n n n n n n y x f y x f h y y （8） 与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称作梯形格式。
容易看出，梯形格式（8）实际上是显式Euler 格式（3）与隐式Euler 格式
（5）的算术平均。
改进的Euler 格式
Euler 格式（3）是一种显式算法，其计算量小，但计算精度低；梯形格式（8）虽然提高了精度，但它是一种隐式算法，需要借助于迭代过程求解，计算量大。
可以综合使用这两种方法，先用Euler 格式求得一个初步的近似值1+n y ，称作预报值；预报值的精度不高，用它替代式（8）右端的1+n y 再直接计算，得到校正值1+n y ，这样建立的预报校正系统
[]
⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++),(),(2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x f y y （9） 称作改进的Euler 格式。
这是一种显式格式，它可表达为如下嵌套形式：
[])),(,(),(2
11n n n n n n n n y x hf y x f y x f h y y +++=++ 或平均化形式
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=++)(21),(),(11c p n p n n c n n n p y y y y x hf y y y x hf y y （10）
比较几种Euler 格式。
Euler 格式是显式计算，计算量小，结构简单，但精度低；梯形格式改善了精度，但它是隐式的，求解困难。
相比之下改进的Euler 格式无论是计算量还是精度都是可取的。