第十四章偏导数全微分第五节曲面的切平面与法线

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曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。

在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。

对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。

本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。

在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。

切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。

因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。

由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。

高等数学：9-3空间曲面的切平面与法线

Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n 由于曲线的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量
T
点 M 的切向量为

M T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为在该点的切平面.
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面在点 M 的法向量:
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
n
(1, 2, 3 )
(2 , 4 , 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0 即
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 1 3
(0,0,0)在法线上，可见法线经过原点，即球心。
例2 求曲面z = f ( x, y) = x 2 + y 2 + 1在点（1, 2, 6）处的切平面及法线方程．

偏导数与全微分课件

dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x

. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x

多元微分学应用曲面的切平面与法线

四、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0的切平面方程.
五、试证曲面 x y z a(a 0)上任何点处的
切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .
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练习题答案
x 一、1、
1 2
y
2
z
1 ,2x
8y
16z
1
0；
1 4 8
2、 x
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
4x 2 y z 6 0,
法线方程为 x 2 y 1 z 4 .
曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面. 切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
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x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
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全微分的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为

曲面的切平面与法线

对 t 求导,在 M0 点(设此时对应于 t t0 )有
(Fx )M0 x'(t0 ) (Fy )M0 y'(t0 ) (Fz )M0 z'(t0 ) 0
l 前已知道,向量 (x'(t0 ), y'(t0 ), z'(t0 )) 正是曲线在
在 M0 点的切向量. 上式说明向量 n((Fx )M0 ,(Fy )M0 ,(Fz )M0 )
对于曲面方程为显示表示及参数表示时,同样可
写出它们在 M 0点的法线方向余弦,请读者写出.
例1 求曲面 z x2 y2 1在点 (2,1,4) 的切平面及法线方程.
通常两曲线在交点的夹角,是指交点外两个切向量的夹角;两曲面在交线上一点的夹角,是指两曲面在交点的法线的夹角.如果两曲面在交线的每一点都正交,则称这两曲面为正交曲面.
过 M0 点并与切平面垂直的直线,称为曲面在 M0点的法线,它的方程是
X x0 Y y0 Z z0 (Fx )M0 (Fy )M0 (Fz )M0
设 ,,
分别为曲面在
M
的法线与
0
x,
y,
z
轴正向之间
的夹角,那么在 M0(x0, y0, z0 ) 点的法线方向余弦为
cos
与切向量正交.由于 l 的任意性,可见曲面上过M0 的任
一条曲线在该点的切线都与 n 正交,因此这些切线应
在同一平面上,这个平面就称为曲面在 M0 点的切平面,
而 n 就是切平面的法向量.从而即可写出曲面在 M0点
的切平面方程为
(Fx )M0 (Fy )M0 (Y y0 ) (Fx )M0 (Z z0 ) 0
如果由 x x(u,v), y y(u,v) 决定了两个函数

高等数学-偏导数

(y
0

y0 )
Fx Gx
Fy Gy
(z
0

z0
)
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得

y
dy dx

z
dz dx

x

dy

dz

xz0
解：点M与此曲线既在1 : x2 y2 z2 6 0
又在2 : x y z 0
所以此曲线在M的切线既垂直于曲面1在此点
的法向量，又垂直于曲面

在此点的法向量．
2
n1 2x,2y,2z 1,2,1 2,4,2 n2 1,1,1 1,2,1 1,1,1
特殊地：
1.空间曲线方程为

y z

( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
M
过点M的曲线
x (t)
:

y

(t
),
z (t)

曲线在M处的切向量 T {(t0 ), (t0 ), (t0 )},

第十四章偏导数全微分第一节偏导数和全微分的概念

f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z z0
2009年9月21日星期一武夷学院数学与计算机系 7
§14.1 偏导数和全微分的概念
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。
f 求时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 x 常量，对 x 求导数即可。
一、偏导数的定义
定义设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim 如果 x0 x x0 x 存在，则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
2 3
并求f x 0,1 , f x 1,0 , f y 0,2 , f y 2, 0 .
f y 2 x, 解： x f x 0,1 1, f x 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
例2 求z x 2 sin2 y的偏导数.
解
z 2 x sin 2 y; x z 2 x 2 cos 2 y . y
把 y 看成常量把 x 看成常量
9
2009年9月21日星期一
武夷学院数学与计算机系
§14.1 偏导数和全微分的概念
f f 例3 设f x , y xy x y , 求 , , x y
2009年9月21日星期一
武夷学院数学与计算机系
10

《偏导数和全微分》PPT课件

.
(先求后代)
z x
(1,
2)
ln 5
2. 5
5
例4
设
z
arctan
(x 2) y y2 xy (x 2)2 y3
求
z y
|( 2, 0 )
.
解
z
|x2
z(2,
y)
arctan
y 2
,
z y
|( 2 , 0 )
dz(2, dy
y)
|y0
d
arctan dy
y 2
|y0
1
1
2 y
2
|y0
1. 2
程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.
15
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
开关键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
z x
x0 , y0
,
f
x0,
x
y0 ,
zx 或 x0 , y0
fx x0, y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作

偏导数和全微分的概念

13
全增量的概念如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增量，记为 z ，即
z f (x x, y y) f (x, y).
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
z f (x0 x, y0) f (x0, y0)
如果
lim z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x x0
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
处对 x的偏导数，记为
把 x 看成常量
z x
x1
y2
21 328,
z y
x1
y2
31 227.
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解
z x
2xsin2 y;
z y
2x2cos2 y .
把 y 看成常量把 x 看成常量
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8
例3 设f x, y xy x2 y3,求 f , f ,
x y
27
lim f ( x, y)
( x, y)(0,0)
lim
( x, y)(0,0)
(x2
x2 y2 y2 )3
2
lim sin2 cos2 0 f (0,0),
0
故函数 f ( x, y)在点(0, 0)连续。 (再证偏导数存在)
f x (0,0)
lim
x0
f (x,0) x

一,空间曲线的切线与法平面

基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
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结束
⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】为隐式情形【解】令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,

(完整版)曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0,函数F（x , y，z）在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ.设其方程为，且对应于点；不全为零.由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上,这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面。

点称为切点。

向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y，z)=0上，而F(x，y，z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零,则曲面F(x，y，z)=0在点处的切平面方程为。

法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f （x, y) 在点M0 (x0，y0）处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为。

过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x（u, v) , y = y(u, v） , z = z（u，v）给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 ，v0)对应，而x(u , v） , y(u , v) ，z（u，v）在（u0 ，v0)处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v） , y = y（u , v) , z = z（u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 ，v0)对应,怎样确定∑在点X0处的法向量？注释:设x（u , v） , y(u , v) , z（u , v）在（u0 ，v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线。

Γ1：x = x（u ，v0) ，y = y(u，v0） , z = z（u，v0);Γ2：x = x(u0，v) , y = y（u0，v) ，z = z(u0 , v）.它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为。

曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。

在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。

本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。

切平面是指与曲面在该点处相切的平面。

在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。

因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。

为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。

曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。

梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。

对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。

因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。

法线是指与曲面在该点处垂直的向量。

在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。

因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。

曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。

通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

偏导数与全微分ppt课件

③ 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个；等等。
24
7. 偏导数的经济意义
边际需求: 两种商品，价格分别为 p1 和 p2
偏弹性:
需求函数： Q1( p1, p2 ) Q2 ( p1, p2 )
Q1 , Q1 , Q2 , Q2 称为边际需求 p1 p2 p1 p2
p2 0
2Q1 / Q1 p2 / p2
p2Q1 Q1p2
ln Q1 ln p2
E22
lim 2Q2 / Q2 p10 p2 / p2
p2Q2 Q2p2
ln Q2 ln p2
其中：2Q1 Q1( p1, p2 p2 ) Q1( p1, p2 )
格E1偏1 称弹为性1；商E品12需称求为量1商Q品1 需对求自量身价Q1格对相p1关的价直格接p价2
dz z dx z dy x y
32
证明：
由条件当(x+△x,y+△y)∈∪((x,y))时
△z=A△x +B△y+o()
特别地(x+△x,y)∈∪((x,y)) ，有
△z=A△x + o()=A△x + o( △x )
z f (x x, y) f (x, y) A o( x )
r
y
y x2 y2 z2
r
z
z x2 y2 z2
15
5. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
M0
Ty
Tx
z=f(x0,y)
o
y0
y
x0
P0
x
—— z
x xx0 y y0
切线M0Tx对x轴的斜率

二元函数微积分——偏导数和全微分PPT课件

二元函数微积分
一元函数微分学推广
二元函数微分学注意: 善于类比, 区别异同
1
二元函数的基本概念
一、区域二、二元函数的概念
2
区域
平面点集：平面上满足某个条件的一切点构成的集合。
平面区域：由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
0 1·
闭开区域
x
3
常见区域 y
的有界开区域 D (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 , 0 称
为点 P0 (x0 , y0 ) 的邻域。
y
•
P0 (x0 , y0 )
0 1·
x
5
二元函数的概念
定义：设有三个变量 x, y 和 z ，如果当变量 x, y 在某平面区域 D 内任取一组值时，变量 z 按照一定的规律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 为 x, y 的
4、求二元函数 z x ln(x y) 的各二阶偏导数。
21
注意:
f x(x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
(x0 ,
y0 )
9
同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法
• 求高阶偏导数的方法
先求后代（把其他变量视为常数）

曲面的切平面和法线方程

曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。

由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向量。

记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋如龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。

ch14_5曲面的切平面与法线

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本节重要概念、定理和方法 1. 曲面切平面和法线的求法 2. 曲线、曲面的交角, 曲面正交的概念
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于是曲面在M ( x0 , y0 , z0 )点的切平面方程为
D( y , z ) D( z , x ) D( x , y ) ( X x0 ) (Y y0 ) ( Z z0 ) 0 D( u, v ) M D ( u, v ) M D( u, v ) M
法线方程
X x0 Y y0 Z z0 D( y , z ) D( z , x ) D( x , y ) D( u, v ) M D( u, v ) M D( u, v ) M
2 2 2
z
n

x
M
y
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当光滑曲面的方程为显式方程 z f ( x , y )时, 令
F ( x, y, z ) f ( x, y ) z
则在点 ( x , y , z ) 有 Fx f x , Fy f y , Fz 1 故当函数 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
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z z x z y u x u y u z z x z y v x v y v
解方程组，得
z D( y , z ) D ( u, v ) x D( x , y ) , D ( u, v ) z D( z , x ) D ( u, v ) y D( x , y ) D ( u, v )

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