拉普拉斯方程,分离变量法(Laplace's

k k 4R 2 q f f dv r sin dddr 2 ( 0 )r ( 0 ) 0 r
对球内用高斯定理有:
4r 2 D1 f dv
v
k D1 ( 0 )r
对球外用高斯定理有
2
k 1 2 k 4r r sin dddr 0 r2 0 k E1 ( 0 )r
所以，当
r0
A
7. 有一内外半径分别为
r1
和 2 的空心介质球，介质的电容率为
r

,
使介质球内均匀带静止自由电荷
f
,
求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布 解：（1）设场点到球心距离为
r。以球心为中心，以 r
为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同
证明
p(t ) (x' , t )x' dV ' V 利用电荷守恒定律
J 0
dp d (x' , t )x' dV ' [ (x' , t )x' ]dV ' V t dt dt V
(x' , t ) x' dV ' ('J )x' dV ' V V t
A m R） R3 （ /
A
的梯度的负值，即
其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明
3 （ / r ) r / r 1
mr 1 1 A ( 3 ) [m ( )] [( ) m] r r r


2
0

2 0（1）
产生这电荷的电场都分布于V的边界上，它们 的作用通过边界条件反映出来。
拉普拉斯方程 的通解
• （1）式的通解可以用分离变量法求出，具体的方 法是： • ①先根据求解区域边界面或介质分界面的几何形 状，选择适当的坐标系； • ②在所选择的坐标系下解Laplace's equation， 给出线性迭加形式的解； • ③利用问题给出的定解条件（边界条件）确定迭 加系数。最常用的坐标系有球坐标系、柱坐标系 和直角坐标系，Laplace's equation在这三种坐 标系下的一般解在数理方法中已求出，我们重点 放在如何根据具体问题的边值关系、边界条件确 定一般解中的系数。
p
1 1 k 解；（1） p k ( 2 .r 2 r ) 2 r r r k p n ( p2 p1 ) R 0 k (1 ) f f p (2) 由 p 0 ( 0 )r 2
该方程的通解为
(r , , z ) A1 J m (kr) A2 N m (kr) B1 cos(n ) B2 sin(n )
C1 cosh(kz) C2 sinh(kz)
其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类
贝塞尔函数。
k r m2n ) ( 1) ( 2 J m (k r) n 0 n! ( m n 1) cos(m ) J m (k r) J m (k r) N m (k r) sin(m )
n ,m n
r
Dnm m (Cnm r n 1 ) Pn (cos ) cos(m ) r n ,m
这里 Pnm (cos )
函数
为缔合勒让德（Legendre)
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为 极轴） 且
Bn (r , ) ( An r n1 ) Pn (cos ) r n 0
（1）在直角坐标系中
2 2 2 2 2 2 2 0 x y z
设 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y) Z ( z )
在数学物理方法中，该方程的通解的
( x, y, z ) ( A1 cos k x x A2 sin k x x)
4 3 3 4r D3 (r2 r1 ) f 3
2
3 1 2
D3
（2）
(r2 r ) f
3
3r
E3
( r2 r ) f
3
3 0 r
3 1 2
当
r1 r r2 时，
0 p P ( D2 0 E2 ) ( D2 D2 )
又
（
mr 1 ( 3 ) [m ( )] r r
1 1 1 1 m [ ( )] ( ) ( m) (m )( ) [( ) ]m r r r r
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1 (m )( ) r
r 处场强大小相同。
当 当
r 时， r1 r1 r r2 时，
D1 ，0
2
E1 0
4 3 3 4r D2 (r r1 ) f 3 3 3 3 3 (r r1 ) f (r r1 ) f E2 D2 2 3r 3r 2
当
r r2
时，
n
(为伽马函数)
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区 域是 0 2 ，故通解为
(r , ) Ao B0 ln r ( An r n Bn r n ) cos(n )

(Cn r r Dn r n ) sin(n )
n 1

n 1
[( 0 ) / ] f (1 0 / ) f
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l1 和 l 2 ，电容率为
1
和
2
，今在两板接上电动势为E 的电池，
求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度
f1
n
这里 Pn (cos )
B 为勒让德函数，An 、 n 为待定系
数。
对于球对称的问题，m=0 , n=0。且 B (r ) A A, B为待定系数 r
r 1.一个半径为R的电解质球，极化强度为 P k ，电容率 ， r2 • （1）计算束缚电荷的体密度和面密度；
• （2）计算自由电荷的体密度； • （3）计算球外和球内的电势； • （4）求该带电介质产生的静电场总能量。
（2）在（1）中令
A B
得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A
所以
A ( A) 1 ( A A) ( A ) A 2
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
t dp 证明P的变化率为： J (x' , t )dV V dt
( B1 cos k y y B2 sin k y y ) (C1 cos k z z C2 sin k z z )
（A、B、C为待定系数）
（2）在柱坐标系中
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 0 2 r r r r z
设
(r , , z ) R(r )( )Z ( z )
dS (Jx' ) JdV ' V JdV '
V
=0
取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的
J ( x, t ) 0
所以
dS ( J x ' ) 0
6. 若m是常向量，证明除 R 0 点以外，向量
3 的旋度等于标量 m R / R
1 2 A ( A) A ( A ) A 2
解：（1）
( A B) A ( A B) B (B A)
B ( A) (B )A A ( B) (A )B
B ( A) (B )A A ( B) (A )B
k 1 2 k 4R 4r D2 f dv r sin dddr 2 v 0 r 0
kR D2 ( 0 )r 2
k R E2 0 ( 0 )r 2
1

r
k R (ln ) 0 r 0
习题课第二讲
电磁场中的主要的方程 以及解法
一、拉普拉斯方程,分离变量 法
静电学的基本问题是求满足给定边界条件的 Poisson equation的解。
E 0 D


2
Laplace's equation
研究一种最简单的情况：自由电荷只分布在 一些导体的表面上，在空间中没有其它自由 电荷分布，此时满足Laplace‘s equation。若 选择这些导体的表面作为区域V的边界，则在 0 V内部自由电荷密度 ，这 时Poisson equation变为比较简单的 Laplace’s equation，即
r r2
0 r23 r13 (1 ) f 2 3r2
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 的
p
总是等于体自由电荷密度 f
(1 0 / )
倍。
证明：在均匀介质中
P ( / 0 1) 0 E ( 0 ) E
所以
p P ( 0 ) E ( 0 )(1 / ) D
( fg ) ( f ) g ( f ) g
根据并矢的散度公式
(Jx' ) ( J)x'(J )x' ( J)x'J
得
dp '(Jx' )dV ' JdV ' V V dt
0 0 (1 ) D2 (1 ) f
当
r r1
时，
0 0 p n ( P2 P1 ) n ( D2 D2 ) (1 ) D2 r r 0 1
当
r r2
时，
0 p n P2 (1 ) D2
1 1 1 1 ( m) (m ) [ ( )]m [( ) ]m r r r r
1 2 1 (m ) [ ]m r r
其中
(1 / r ) 0
2
（
） r0 ） r0
1 A (m ) r

R E dl E1 dl E2 dl
r R
2
r
E2 dl
kR 0 ( 0 )r
1. 根据 算符的微分性与矢量性，推导下列公式
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B) ( A ) B
这里A，B，C，D为待定系数。
（3）在球坐标系中
1 2 1 2 (r ) 2 (sin ) r r r r sin 1 2 2 2 0 2 r sin
2
设 (r , , ) R(r )Y ( , ) 其通解为 Bnm m n (r , , ) ( Anm r n 1 ) Pn (cos ) cos(m )