拉普拉斯方程,分离变量法(Laplace's
第9次课(2.2唯一性定理2.3拉普拉斯方程,分离变量法)
绝缘介质静电问题的唯一性定理 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ，V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那么， 当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条 件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。
(在每个小区Vi) i i i j (在两种绝缘介质的分界面上) i j 由 指向 ) j 分界面法向单位矢量 n j i i n n (在整个区域V 的边界面S上给定,按 S 或 约定,边界面法线 n 指向V 外) n S
r E0 r cos E0 rP (cos ) 1
r a0 a1rP (cos ) an r n Pn (cos ) 1
n 1
a1 E0
an 0. (n 1)
1 r
n 1
E0 rP (cos ) bn 1
1 1 1 ( ) R1 R2 R3
1 1 1 b( ) r R1
d b Q 4 0
b Q
2
d r
Q
4 0 R3
1 1 1 ( ) R1 R2 R3
2
数学表述如下:
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称 为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是 区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊 松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个 区域V 的边界面上满足给定的边界条件 S 或
c0
2
d r
d 4 b 4 d b
Q 4 0 R3
Q
0
Q 4 0
1 r R 2 r R
2.3 拉普拉斯方程
r r = E0 (cos e R − sin θ eθ )
ε − ε0 3 r r r 1 R0 E0 3 3cosθ e R − ( cosθ e R − sin θ eθ ) + 2ε 0 + ε R
结束
第二章∶ 第二章∶静电场
r r r r r ε − ε 0 3 3 E0 ⋅ R R E0 R0 = E0 + − 3 R5 R 2ε 0 + ε r r r r r r 1 3( p ⋅ R ) R p r = E0 + − 3 = E0 + E ′ 5 4πε 0 R R
分析：这是全介质的第一类边值问题。 分析：这是全介质的第一类边值问题。球内外电 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分： 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分：介质 球内2，球外部真空1。两区域内部都没有自由电荷， 球内 ，球外部真空 。两区域内部都没有自由电荷， 因此电势均满足拉普拉斯方程。 因此电势均满足拉普拉斯方程。 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性， 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性，即 轴对称性 ϕ i 与 φ 无关，故: 无关， 代表球外区域的电势， 代表球内的电势。 以 ϕ 1代表球外区域的电势，ϕ 2代表球内的电势。
势，满足Laplace's equation。这种方法从数学上看， 满足 。这种方法从数学上看， 实质是当区域V中有电荷分布时，电势满足Poisson's 实质是当区域 中有电荷分布时，电势满足 equation，而Poisson's equation——非齐次微分方程的 ， 非齐次微分方程的 等于其特解（ 加上拉普拉斯方程—— 通解（φ），等于其特解（ϕ0）加上拉普拉斯方程 齐次方程的通解（ ） 齐次方程的通解（ϕ′）。 但注意，边值关系还要用 ϕ S 而不能用 ϕ ′ S 但注意，
拉普拉斯(Laplace)方程
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
(1.13)
实例三：膜平衡方程 在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移 函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
u|∂Ω = g.
(1.16)
边界条件(1.16)称为:第::一:::类:::边::界:::条:::件::，也称为:D::ir:i:c:h::le:t:边:::界:::条::件:: 。 第二边值问题(也称为Neumann问题) 设有一光滑的闭曲面Γ并在其上给一连续函
数g，求解这样的一个函数u = u(x1, · · · , xn)使得它在Γ 所围成的区域Ω的内部满足方
6.2 拉普拉斯方程的分离变量法
)
QN =
U1 (1 − e
2 Nπa b
)
Nπ a b
将前式改写为
PN e
Nπ a b
+QN e
− Nπ a b
Nπ a b
= U 1e
减后式，得
(e
Nπ a b
−e
) PN = U1 e
Nπ a bBiblioteka PN = U1 (ee
Nπ a b
Nπ a b
−e
−
Nπa b
)
PN =
U1 (1 − e
− 2N π a b
YZ
∂2X ∂2 Y ∂2 Z + ZX + XY =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
（6-2-4）
方程的两侧同除以 XYZ ，得
1 ∂2 X 1 ∂ 2 Y 1 ∂ 2Z + + =0 X ∂x 2 Y ∂y 2 Z ∂y 2
每一项只能是常数。即
（6-2-5）
观察方程（6-2-5） ：第一项只跟 x 有关，第二项只跟 y 有关，第三项只跟 z 有关。因此
例题：计算均匀介质区域中电位分布。基本方程：∇ 2 u = 0 ，边界条件：u
y = 0, y = b
=0，
u
x =0
= U1 sin
Nπ y ， u b
x =a
= U 2 sin
Mπ y b
y = 0, y = b
解：根据方程，解 u ( x, y ) 可以包括（6-2-21）中的所有项。根据边界条件 u 可以确定解中不含 ( A sin kx + B cos kx )(Ce ky + De − ky ) 和 ( S + Tx)(U + Vy ) 。
第二章第三节拉普拉斯方程 分离变量法
3 cos 5 cos
2
1
2
3 cos
例题 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。 解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内 的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称 性，电势 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外 和壳内的电势分别为
1 a
2 c
b R d R ， ( R R3 ) ， ( R2 R R1 )
边界条件为： （1）内导体接地 2
（2）整个导体球壳为等势体 2
R R1
1
R
0 1
Q
R R3
R R2
（3）球壳带总电荷Q，因而
R R3
1 R
bn r
n 1
Pn cos
n0
外
r R0
内
r R0
E 0 R 0 P1 cos
bn R
n 1 0
Pn cos
n0
c n R 0 Pn cos
n
n0
内
c n r Pn cos
n
n0
外 E 0 rP1 cos
n 1
cn R0
n 1 b n
R0
n2
0
nc n R 0
n 1
其解为： b n c n 0
n
1
P
内
第二章 静电场 分离变量法
选择导体表面作为区域V的边 界，V内部自由电荷密度ρ＝0 ，泊松方程化为比较简单的拉 普拉斯方程。
0
2
它的通解可以用分离变量法求出。 剩下的问题归结为：怎样利用边界 条件及边值关系确定常数，得到满 足边界条件的特解。
一、拉普拉斯方程的适用条件
1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0
Ca 1 r a
r a
C 0 a
C
a
0
(r )
a
0
ln
r a
在导体面上
E (a) er
r
d E e dr
r
a e
0
0
r
[例3]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球
1 n
S
1
S
2
S
1
2
2 n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四．应用举例
1、两无限大平行导体板，相距为
差为V ，一板接地，求两板间的电势 和 。
E
l
，两板间电势
解：（1）边界为平面，故应 选直角坐标系 下板 S 0 ，设为参考点
1
Z
拉普拉斯方程.分离变量法PPT文档28页
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
谢谢！
28
Hale Waihona Puke 26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学4§4拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。
只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。
例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。
因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程20ϕ∇= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。
因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。
（4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。
最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。
这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。
球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。
拉氏方程在球坐标系中的通解为1.(,,)()(cos )cos n mnm nm n n n mb R a R P m R ϕθφθφ+=+∑ 1,()(cos )sin n mnm nm n n n md c R P m Rθφ+++∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。
P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 1()(cos ),n nn n n nb a R P Rϕθ+=+∑ （4.4---3） P n （cos θ）为勒让德函数，a n 和b n 由边界条件确定。
拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。
只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。
例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。
因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程20ϕ∇= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。
因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。
（4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。
最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。
这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。
球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。
拉氏方程在球坐标系中的通解为1.(,,)()(c o s )c o sn mnm nm n n n mb R a R P m R ϕθφθφ+=+∑ 1,()(c o s )s i nn mnm nm n n n md c R P m R θφ+++∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。
P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 1()(c o s ),n nn n n nb a R P Rϕθ+=+∑ （4.4---3） P n （cos θ）为勒让德函数，a n 和b n 由边界条件确定。
满足拉普拉斯方程
满足拉普拉斯方程
（原创版）
目录
1.拉普拉斯方程的概述
2.拉普拉斯方程的求解方法
3.拉普拉斯方程在物理学中的应用
4.拉普拉斯方程的局限性
正文
1.拉普拉斯方程的概述
拉普拉斯方程是物理学中的一个重要方程，主要用于描述静电场、静磁场以及流体运动等领域。
它是以法国数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的名字命名的。
拉普拉斯方程在物理学和工程学的许多领域具有广泛的应用，例如电磁学、流体力学等。
2.拉普拉斯方程的求解方法
拉普拉斯方程是一个偏微分方程，可以通过多种方法求解，如分离变量法、格林函数法等。
分离变量法是将方程中的变量分离，然后分别求解得到解的方法。
格林函数法是利用格林函数来求解偏微分方程的一种方法，它能够求解许多复杂的偏微分方程。
3.拉普拉斯方程在物理学中的应用
拉普拉斯方程在物理学中有许多重要的应用，如求解静电场和静磁场。
在静电场中，拉普拉斯方程描述了电荷分布对电场的影响，可以求解出静电场的分布。
在静磁场中，拉普拉斯方程描述了电流对磁场的影响，可以求解出静磁场的分布。
此外，拉普拉斯方程还可以用于求解流体运动，如层流和湍流等。
4.拉普拉斯方程的局限性
虽然拉普拉斯方程在许多领域具有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，拉普拉斯方程是一个理想化的模型，它假设介质是无摩擦的、流体是完美的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，拉普拉斯方程只能描述线性问题，对于非线性问题，需要采用其他方法求解。
电动力学第24讲44分离变量法
1
4 0
PgR R3
P
4 0 R 2
cos
山东大学物理学院 宗福建
25
§2.4 分离变量法
n=2时，
n
(an Rn
bn R n 1
)
Pn
(cos
)
(a2R 2
b2 R3
)P2 (cos
)=
1 2
(a2R 2
b2 R3
)(3cos2 (x)
1)
电四极子的势（参考教材第66-69页）
山东大学物理学院 宗福建
19
§2.4 分离变量法
拉氏方程在球坐标系中的通解为
( R,
,)
n.m
(anm R n
bnm Rn1
)Pnm
(cos
)
cos
m
n,m
(cnm Rn
dnm Rn1
)Pnm
(cos
) sin
m
式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在 具体问题中由边界条件定出。Pnm（cosθ） 为缔和
山东大学物理学院 宗福建
7
上一讲习题解答
解：无限空间时
1 Q Q 4 r2 E j E I 4 r2 j 4 r
I 4 r2 j 4 r2 E Q 1 I
4 r
I (
1
4 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
(2)
1
12 0
D33
1 R3
拉普拉斯方程
在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
在数理方程中
拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：
其中Δ称为拉普拉斯算子.
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
那么相应的解析函数为
在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2(DOC)
分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的拉普拉斯方程的边值问题33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼分离变量法又称fourier 级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。
从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。
● 分离变量法的主要步骤：（1） 根据区域边界的形状，适当选择坐标系。
选取的原则是使坐标面与边界面一致，这样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式最为简单。
（2） 将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定解问题。
（3） 确定特征指和特征函数。
当边界条件是齐次时，求特征值和对应的特征函数就是求一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。
（4） 定出特征值和特征函数后，再求其他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘，得到变量分离的特解。
（5） 为了得到原定解问题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中任意常数有其他条件确定。
（6） 为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相容性要求，以保证微分运算得以进行，并使微分后的级数任然是收敛的。
● 用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律： 1.设)(),...,('),(x f x f x f n 在区间【0，L 】上连续，)0(1+m f在【0，L 】上分段连续，,22....2,0,0)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡===m n L f f n n其中【x 】表示不超过x 的最大整数。
那么，如果函数f （x ）在区间【0，L 】上可以张开傅里叶正弦级数)1(],,0[,sin~)(1L x Lxn b x f n n ∈∑∞=π 则级数∑∞=1||n n mb n是收敛的。
类似的，如果)(x f 在],0[L 上可以展开成傅里叶余弦级数)2(],,0[,cos 2~)(10L x Lx n a a x f n n ∈+∑∞=π则级数||1n n m a n ∑∞=是收敛的。
2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微 分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时， 则
当 k 0 时， 则 当
2 x
k 0, kx ix (x 0)
电动力学-第二章-2-3拉普拉斯方程
r→0, φ有限
B B0 0
θ=2π-α,φ=V,任何r成立 D0 0, sin 2 0
n
n
2
n 1,2,
V Anrn sin n n1
条件不全,无 法确定An
尖劈附近,r→0
V A1r1 sin1
Er
r
1A1r11 sin1
E
1 r
1A1r11 cos1
0En
0E 0 E
0
2
01 A1r11
α很小,ν1≈1/2,E和σ∝1/r1/2
n
n
2
n 1,2,
r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin 2
2 2
0
其通解为 (r, ,) R(r)Y ( ,)
Bn(1)
a
n
cos n
E0a cos
Dn(2) a n
n1
cos n
n1 nBn(1) a n1 cos n
0 E0 cos
0
(n)Dn(2) a (n1)
n 1
cos n
两边 为任意值， cos 前系数应相等（ n 1,2, ）
n 1
BB1(11)(1a)
E0
a
D(2) 1
a
1
0 E0 0 D1(2)a2
k2Z
0
Rr An Jn kr An Nn kr k 0 Rr Anr n Anr n k 0 Rr Aln r A k n 0
Bn cos n Bn sin n n 0
B B n 0
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉普拉斯方程分离变量 法
n
Bnm r n1
) Pnm
(cos
)
cos( m )
n,m
(Cnmr n
Dnm r n1
)Pnm (cos
) sin(
m )
这里Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴）
且
(r,
)
n0
( Anr n
Bn r n1
)Pn
(cos
)
势的解：
1
2
B r
C
Q
4 0 r
D r
Q1
4 0 r
Q1
4 0 R1
Q1
4 0 r
(r R3) (R1 r R2 )
导体球上的感应电荷为
0 r R1
2
r
r 2d
0
r R1
r
Q1
4 0
(1 r
1 R1
)
r
2
d
0
r R1
Q1
4 0
1 r2
r 2d
Q1
[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于 均匀外场 中E0，球外为真空。求电势分布。
由（5）式得
B 4
D 4
Q
0
即
BD Q
(13)
4 0
将（13）式代入（12）式，即得
D Q ( 1 1 1 )
4 0 R3
R1 R2 R3
令
Q
Q1
R3
(
1 R1
1 R2
1 R3
)
因此得到：
A 0,
B Q Q1
40 40
无界域内拉普拉斯方程的分离变量法
无界域内拉普拉斯方程的分离变量法苏新卫;郭春晓【摘要】分离变量法是求解有界域内数学物理方程定解问题的常用方法.首先用分离变量法求解上半平面内拉普拉斯方程的Dirichlet问题,在此基础上应用延拓技巧,求平面第一象限内拉普拉斯方程Dirichlet问题的解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)003【总页数】4页(P95-98)【关键词】拉普拉斯方程;无界区域;分离变量法;延拓【作者】苏新卫;郭春晓【作者单位】中国矿业大学(北京)理学院数学系,北京100083;中国矿业大学(北京)理学院数学系,北京100083【正文语种】中文【中图分类】O175.241 引言本文首先用分离变量法求解上半平面内拉普拉斯方程的第一边值问题(1)然后进一步结合延拓技巧，求解如下四分之一平面内问题的解(2)在迄今为止出版的大多数《数学物理方程(方法)》的教材中，主要是讨论三大类数学物理方程-波动方程、热传导方程和泊松方程的几种重要求解方法，即分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法[1-6].在内容的安排上，有的是按方程的类型分章节讨论[1]，有的是按不同求解方法分章节讨论[2，3].对于问题(1)，在文献[1-3]中，分别以例题或习题的形式，用格林函数法得到其解为(3)除此之外，该问题还可以用傅里叶积分变换法求出其解(3).分离变量法主要用于求解有界域内的数学物理方程定解问题，其基本思想方法是假设原问题的解是每个自变量的一元函数的乘积形式，将原问题转化为各一元函数的常微分方程，依据方程解的叠加原理得到无穷级数形式解.其中特征值问题的确定，叠加以后的级数解中有关常系数的确定，都要依赖于原问题中的定解条件.而对于无界区域内数学物理方程定解问题，由于其边界条件特殊性，用上述经典的分离变量法求解往往比较困难.就笔者所知，关于无界区域数学物理方程定解问题的分离变量解法，到目前为止结果较少，文献[7]讨论了一维和二维波动方程的分离变量解法.因此，用分离变量法求解问题(1)是对数学物理方程分离变量解法的有益补充. 另一方面，笔者多年从事理工科院校本科生和研究生的数学物理方程教学，了解到即使是研究生，由于其中大部分在本科阶段，不同专业方向对数学物理方程的先修课程—高等数学、常微分方程、复变函数和积分变换等有关知识的掌握程度有所不同和欠缺，所以对数学物理方程知识的掌握比较困难.主要表现在，由于解题方法多样性，不知如何选用有效便捷的方法.因此，本文对于问题(1)(2)解法的讨论，可以为学生灵活掌握解题方法提供一些帮助，也为本门课程的教学提供一些参考.2 问题(1)的分离变量解法假设(1)的解u(x，y)=X(x)Y(y)，代入(1)中方程得到X″(x)Y(y)+X(x)Y″(y)=0，即令则有X″(x)+λX(x)=0，(4)Y″(x)-λY(x)=0.(5)情形一当λ<0时，上述方程(4)和方程(5)的解分别为以及所以(1)中方程依赖于λ的解由于(1)中边界条件存在且有限，所以有c3=c4=0，因而问题(1)没有非零解.情形二当λ=0时，方程(4)和方程(5)的解为X(x)=c1x+c2及Y(y)=c3y+c4.所以uλ(x，y)=(c1x+c2)(c3y+c4).由(1)中边界条件得c3=0，uλ(x，y)=ax+b=φ(x).所以当φ(x)非x的至多一次线性函数时问题(1)无非零解.情形三当λ>0时，上述方程(4)和方程(5)的解分别为和所以(6)又由(1)中的边界条件存在且有限，所以有c3=0.为计算方便，令故可将(6)式重写为uμ(x，y)=(acosμx+bsinμx)e-μy，μ>0.(7)将(7)中的uμ(x，y)叠加得到原问题的解为u(x，y)=(acosμx+bsinμx)e-μydμ.(8)为确定(8)中的a，b，需将边界条件u(x，0)=φ(x)代入(8)得φ(x)=(acosμx+bsinμx)dμ.(9)注意到(9)式恰是函数φ(x)的傅里叶积分[2]，所以有(10)将(10)代入到(8)中，利用三角函数积化和差公式并交换积分顺序有(11)利用分部积分计算代入(11)中可得原问题(1)解的表达式(3).3 问题(2)的解本部分利用(1)式的解及延拓方法，求解定解问题(2).为了方便延拓，需将(2)分解成如下两个带有齐次边界条件的问题的叠加(12)(13)注意到(12)和(13)的求解方法应类似，只具体求解(12)即可.由于(12)是具有第一类齐次边界条件的，所以可将(12)进行奇延拓[8]，设延拓后问题如下：(12a)其中由本文第2部分可得(12a)的解是所以(12)的解同理，(13)的解为所以(2)的解是u(x，y) =u1(x，y)+u2(x，y)(14)注1 问题(2)也可以用格林函数法求解.平面第一象限内拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数为其中M0(x0，y0)， M1(-x0，y0)， M2(-x0，-y0)， M3(x0，-y0).代入解的公式其中Γ是区域的边界即x轴和y轴的正半轴，即可得到解的表示式(14).4 结语本文分别用分离变量法和延拓技巧求解了上半平面及四分之一平面上的拉普拉斯方程的定解问题.仅此两例，将求解数学物理方程的分离变量法、积分变换法和格林函数法联系起来.在授课时，对同一数学物理方程尽量采用不同的方法多次求解，一方面便于学生对不同求解方法的灵活选用，另一方面，可将学生认为繁杂的基础知识有机地结合起来，便于学生理清数学物理方程的知识脉络.从而使学生不再觉得学习数学枯燥乏味，而是乐在其中.[参考文献]【相关文献】[1] 谷超豪，等.数学物理方程[M].3版.北京: 高等教育出版社，2012.[2] 梁昆淼.数学物理方法[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.[3] 王元明.数学物理方程与特殊函数[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.[4] Harold J，Bertha SJ. Methods of Mathematical Physics[M].England: Cambridge University Press， 1999.[5] Pikulin V，Pohozaev S. Equations in Mathematical Physics[M].New York: Springer，2001.[6] Kirkwood J. Mathematical Physics with Partial Differential Equations[M].Amsterdam: Elsevier，2013.[7] 王成.波动方程柯西问题的新解法[J].高等数学研究，2008，11(1): 33-35.[8] 苏新卫.浅析数学物理方程求解中的延拓思想-以波动方程为例[J].大学数学，2016，32(5): 92-95.[9] 李明奇，覃思义.平面中Poisson方程的Dirichlet问题[J].大学数学， 2009， 25(4): 146-150.。
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（
mr 1 ( 3 ) [m ( )] r r
1 1 1 1 m [ ( )] ( ) ( m) (m )( ) [( ) ]m r r r r
1 (m )( ) r
0 0 (1 ) D2 (1 ) f
当
r r1
时，
0 0 p n ( P2 P1 ) n ( D2 D2 ) (1 ) D2 r r 0 1
当
r r2
时，
0 p n P2 (1 ) D2
A m R） R3 （ /
A
的梯度的负值，即
其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明
3 （ / r ) r / r 1
mr 1 1 A ( 3 ) [m ( )] [( ) m] r r r
所以，当
r0
A
7. 有一内外半径分别为
r1
和 2 的空心介质球，介质的电容率为
r
,
使介质球内均匀带静止自由电荷
f
,
求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布 解：（1）设场点到球心距离为
r。以球心为中心，以 r
为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同
n ,m n
r
Dnm m (Cnm r n 1 ) Pn (cos ) cos(m ) r n ,m
这里 Pnm (cos )
函数
为缔合勒让德（Legendre)
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为 极轴） 且
Bn (r , ) ( An r n1 ) Pn (cos ) r n 0
证明
p(t ) (x' , t )x' dV ' V 利用电荷守恒定律
J 0
dp d (x' , t )x' dV ' [ (x' , t )x' ]dV ' V t dt dt V
(x' , t ) x' dV ' ('J )x' dV ' V V t
习题课第二讲
电磁场中的主要的方程 以及解法
一、拉普拉斯方程,分离变量 法
静电学的基本问题是求满足给定边界条件的 Poisson equation的解。
E 0 D
2
Laplace's equation
研究一种最简单的情况：自由电荷只分布在 一些导体的表面上，在空间中没有其它自由 电荷分布，此时满足Laplace‘s equation。若 选择这些导体的表面作为区域V的边界，则在 0 V内部自由电荷密度 ，这 时Poisson equation变为比较简单的 Laplace’s equation，即
n
(为伽马函数)
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区 域是 0 2 ，故通解为
(r , ) Ao B0 ln r ( An r n Bn r n ) cos(n )
(Cn r r Dn r n ) sin(n )
n 1
n 1
( fg ) ( f ) g ( f ) g
根据并矢的散度公式
(Jx' ) ( J)x'(J )x' ( J)x'J
得
dp '(Jx' )dV ' JdV ' V V dt
n
这里 Pn (cos )
B 为勒让德函数，An 、 n 为待定系
数。
对于球对称的问题，m=0 , n=0。且 B (r ) A A, B为待定系数 r
r 1.一个半径为R的电解质球，极化强度为 P k ，电容率 ， r2 • （1）计算束缚电荷的体密度和面密度；
• （2）计算自由电荷的体密度； • （3）计算球外和球内的电势； • （4）求该带电介质产生的静电场总能量。
（1）在直角坐标系中
2 2 2 2 2 2 2 0 x y z
设 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y) Z ( z )
在数学物理方法中，该方程的通解的
( x, y, z ) ( A1 cos k x x A2 sin k x x)
r r2
0 r23 r13 (1 ) f 2 3r2
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 的
p
总是等于体自由电荷密度 f
(1 0 / )
倍。
证明：在均匀介质中
P ( / 0 1) 0 E ( 0 ) E
所以
p P ( 0 ) E ( 0 )(1 / ) D
该方程的通解为
(r , , z ) A1 J m (kr) A2 N m (kr) B1 cos(n ) B2 sin(n )
C1 cosh(kz) C2 sinh(kz)
其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类
贝塞尔函数。
k r m2n ) ( 1) ( 2 J m (k r) n 0 n! ( m n 1) cos(m ) J m (k r) J m (k r) N m (k r) sin(m )
R E dl E1 dl E2 dl
r R
2
r
E2 dl
kR 0 ( 0 )r
1. 根据 算符的微分性与矢量性，推导下列公式
A A ( B) ( A ) B
p
1 1 k 解；（1） p k ( 2 .r 2 r ) 2 r r r k p n ( p2 p1 ) R 0 k (1 ) f f p (2) 由 p 0 ( 0 )r 2
这里A，B，C，D为待定系数。
（3）在球坐标系中
1 2 1 2 (r ) 2 (sin ) r r r r sin 1 2 2 2 0 2 r sin
2
设 (r , , ) R(r )Y ( , ) 其通解为 Bnm m n (r , , ) ( Anm r n 1 ) Pn (cos ) cos(m )
k k 4R 2 q f f dv r sin dddr 2 ( 0 )r ( 0 ) 0 r
对球内用高斯定理有:
4r 2 D1 f dv
v
k D1 ( 0 )r
对球外用高斯定理有
2
k 1 2 k 4r r sin dddr 0 r2 0 k E1 ( 0 )r
4 3 3 4r D3 (r2 r1 ) f 3
2
3 1 2
D3
（2）
(r2 r ) f
3
3r
E3
( r2 r ) f
3
3 0 r
3 1 2
当
r1 r r2 时，
0 p P ( D2 0 E2 ) ( D2 D2 )
（2）在（1）中令
A B
得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A
所以
A ( A) 1 ( A A) ( A ) A 2
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
t dp 证明P的变化率为： J (x' , t )dV V dt
1 1 1 1 ( m) (m ) [ ( )]m [( ) ]m r r r r
1 2 1 (m ) [ ]m r r
其中
(1 / r ) 0
2
（
） r0 ） r0
1 A (m ) r
( B1 cos k y y B2 sin k y y ) (C1 cos k z z C2 sin k z z )
（A、B、C为待定系数）
（2）在柱坐标系中
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 0 2 r r r r z
设
(r , , z ) R(r )( )Z ( z )
r 处场强大小相同。
当 当
r 时， r1 r1 r r2 时，
D1 ，0
2
E1 0
4 3 3 4r D2 (r r1 ) f 3 3 3 3 3 (r r1 ) f (r r1 ) f E2 D2 2 3r 3r 2
当
r r2
时，
[( 0 ) / ] f (1 0 / ) f
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l1 和 l 2 ，电容率为
1
和
2
，今在两板接上电动势为E 的电池，
求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度
f1
k 1 2 k 4R 4r D2 f dv r sin dddr 2 v 0 r 0
kR D2 ( 0 )r 2
k R E2 0 ( 0 )r 2
1
r
k R (ln ) 0 r 0
dS (Jx' ) JdV ' V JdV '