半连续函数的性质与应用

摘要函数的种类极为复杂. 在函数论中, 连续函数的性质和应用占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数相近的性质, 即连续函数的一个推广——半连续函数. 从而得到了比连续函数更广泛的一类函数的性质.通过对半连续函数的研究, 对半连续函数在数学分析中的应用奠定了理论基础. 首先简述连续函数的性质与应用, 之后重点讨论半连续函数的性质, 详细介绍运算性, 保号性, 以及拓扑空间上半连续函数性质定理. 推广到紧致空间中半连续函数的应用. 最后辨析连续函数与半连续函数性质、应用, 最终应用连续函数性质解决半连续函数的问题.实际上半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 比如在最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题都有着举足轻重的作用.关键词：半连续；连续；函数AbstractCategory of function is very complicated. Characterization and application of continuous functions are very important in the function theory. Although a kind of function is also continuous, its characterization is similar with the continuous functions, which is called extension of the continuous functions semi-continuous functions, thus a kind of function with more winder characterization is obtained.Through the study, half of the continuous function in the mathematical analysis continuous function which lay a theoretical foundation for the application. First, this paper expounds the nature of the continuous function and application, and then discusses the nature of the semi-continuous functions, detailed mathematical and application, introduced the number of topological space, and the first half of the continuous function theorem of generalized to nature. Tight space in the application of semi-continuous functions. Finally differentiate continuous function and semi-continuous functions properties, application, and finally application continuous function semi-continuous functions nature solution of the problem. Half a continuous function in the classical theory analysis and modern analysis has a wide range of applications. For example, in the most problems, variational inequalities, phase problems and countermeasures for the theory of and so on all has a pivotal role.Key words:semi－continuous;continuous;functions;目录摘要 (I)Abstract ...................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章连续函数2 1.1 连续函数的性质21.1.1连续函数的局部性质及应用21.1.2闭区间上连续函数的基本性质31.1.3 一致连续性及其应用4第2章半连续函数72.1上下半连续函数的性质72.1.1运算性质及应用72.1.2保号性及应用82.1.3无介值性82.1.4函数的界82.1.5 内闭区间上有界92.1.6 保半连续性10 2.2 拓扑空间上半连续函数的性质122.2.1 运算性质及其应用132.2.2 确界性质及其应用142.2.3紧致空间上的半连续函数152.2.4 长度的半连续性15第3章半连续函数的异同17 3.1 半连续函数与连续函数的比较17 3.2 半连续函数与连续函数区别18第4章运用连续函数解决半连续函数问题 (20)结论 (22)参考文献 (23)致谢 (24)绪论函数的种类极为繁多. 在函数论中, 连续函数和它的的性质占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数类似的性质. 这就是所谓半连续函数. 半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 上(下)半连续概念自提出以来已得到广泛应用, 例如最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题等等. 并且通过对半连续函数性质的研究, 可以证得闭区间上半连续界的存在性. 半连续函数存在广泛的应用价值, 可将自变量的取值空间从一维延拓到一般的拓扑空间. 并对性质进行深入的研讨.很多学者都在研究这类课题. 在国内, 张风、魏建刚于1999年6月《下半连续函数的逼近性质》中讨论了下半连续的广义实值函数, 通过Lipschitz函数逼近的基本性质, 并由此导出了实值函数的广义连续性定理. 刘丽波, 许洁, 崔晓梅, 蒋慧杰在2008年2月发表的《下半连续函数的充要条件》中主要针对下半连续函数在闭区间上充要性进行论证, 并且构造出半连续的阶梯函数. 在国外, Magassy OUSMANE,WU Cong-xin于2002年2月在《模糊实函数》中讨论了模糊半连续函数、半连续函数的逼近性.函数的半连续性在广义函数论、积分论以及凸分析等很多学科中均有广泛应用. 关于半连续函数的定义, 在不同的集合上有不同的表述: 如文献[1]在距离空间中定义了半连续函数, 文献[2]在Banach空间中定义了半连续函数, 文献[3]给出了拓扑空间中半连续的定义, 其他方式的定义可参见文献[4-14], 但其本质都是相同的. 本文的第一部分简单论述连续函数的性质,第二部分再详细讲述半连续函数定义的基础上, 证明闭区间上的上半连续函数是有上界、下半连续函数是有下界的. 给出判定函数在闭区间上是上半连续的充要条件, 至于下半连续函数的情形也同样可仿照进行. 在拓扑空间上半连续函数的性质中介绍运算性质及确界性质. 给出这两种性质的应用. 并且对紧致空间中相应的理论进行介绍. 之后的第三章主要辨析连续函数与半连续函数性质、应用上的异同. 运用对比分析的方法来解决半连续问题中的难点. 最终把理论与实际相结合, 把半连续函数理论问题结合到人类日常生活实践中去, 更好的运用书本上的知识解决了日常中实际问题.第1章 连续函数函数的种类繁多, 而连续函数是高等数学中重点讨论的一类函数. 在人类生活的自然界中存在许多现象, 它们和连续函数有很大的关联. 例如温度的变化, 农作物的生长等都是连续地变化的, 这类现象在函数关系上的反映, 就是函数的连续性．定义1.1[15](函数的连续性)1．(δε-定义) ∀0>ε, ∃0>δ, 使得, 当δ<-0x x 时, 恒有ε<-)()(0x h x h则称函数在点0x 处连续．2．若)()(lim 00x h x h x x =→, 则称h 在点0x 连续． 例1.1 易知函数2)(+=x x h 在点0=x 处是连续的, 因为)0(2)2(lim )(lim 00h x x h x x ==+=→→1.1 连续函数的性质1.1.1 连续函数的局部性质及应用如果函数f 在点0x 连续, 那么f 在点0x 处有极限, 而且其极限值与函数值)(0x f 相等, 根据函数极限的性质能推断出函数f 在)(0x U 的性态．定理1.1(局部有界性) 如果函数h 在点0x 处连续, 那么函数h 在某)(0x U 内有界． 证 设)(lim 0x h x x →=A , 取1=ε, 则∃0>δ, 使得对一切);(0δx U x ∈有 1)(1)(+<⇒<-A x h A x h这就证明了函数h 在);(0δx U 内有界．定理 1.2(局部保号性) 函数f 在0x 连续, 且有)(0x f 0> (或)(0x f 0<), 则对任何正数)(0x f r <(或)(0x f r -<), 存在某)(0x U , 使得对一切∈x )(0x U 有r x f >)( (或r x f -<)()在具体应用局部保号性的时候, 可取)(210x f r =, 则当)(0x f 0>时, 在某)(0x U , 有)(21)(0x f x f >成立． 定理 1.3(四则运算性) 若函数g 和h 在点0x 连续, 则h g ±, h g ⋅, h g ÷(这里0)(0≠x h )也都在点0x 连续．以上两个性质的证明, 都可以由函数极限有关定理推得.定理 1.4(复合函数的连续性) 连续函数的复合函数是连续的. 即函数f 在点0x 处连续, h 在点0u 处连续, )(00x f u =则复合函数f h 在点0x 处是连续的.证 由于h 在0u 连续知, ∀0>ε, ∃01>δ, 当10δ<-u u 时有ε<-)()(0u h u h (1-1)又因为)(00x f u =, 以及)(x f u =在点0x 连续, 所以对∀01>δ, 0>δ, 使得当δ<-0x x , 有100)()(δ<-=-x f x f u u , 由(1-1)得: ∀0>ε, ∃0>δ, 当δ<-0x x 时有ε<-))(())((0x f h x f h因而, 得出f h 在点0x 连续．例1.2 求)1cos(lim 21x x -→． 解 )1cos(2x -可以看作是函数u u g cos )(=与21)(x x f -=的复合．得10cos ))1(lim cos()1cos(lim 2121==-=-→→x x x x 1.1.2 闭区间上连续函数的基本性质定理1.5(函数在闭区间上最大、最小值) 如果函数h 在闭区间],[b a 上连续, 那么存在h 在],[b a 上有最大值与最小值．证 因为函数h 在],[b a 上有界, 由确界原理可以得到, h 的值域]),([b a h 有上确界, 记作M ．下证∃],[b a ∈ξ使M h =)(ξ, 倘若对于一切],[b a x ∈有M x h <)(成立, 令)(1)(x h M x g -=, ],[b a x ∈. 又知道函数g 在],[b a 上连续, 因而g 在],[b a 上有上界. 假设:G 是g 的一个上界, 则存在 G x h M x g ≤-=<)(1)(0, ],[b a x ∈ 推出GM x h 1)(-≤, ],[b a x ∈, 这与M 为]),([b a h 的上确界 (最小上界) 相矛盾, 所以∃],[b a ∈ξ使得M h =)(ξ. 即h 在],[b a 上有最大值．同理可以得到h 在],[b a 上有最小值．推论 1.2(有界性定理) 若函数f 在闭区间],[b a 上连续, 则有f 在],[b a 上有最大值与最小值．定理 1.6(介值性定理) 如果函数f 在闭区间],[b a 上连续. 而且还有)()(b f a f ≠, 假设u 为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数()()(b f u a f <<或)()(b f u a f >>)，那么至少存在点),(0b a x ∈使得u x f =)(0.例题 1.3 证明:如果有0>r , n 为正整数, 那么存在唯一正数0x , 使得r x n =0(0x 称为r 的n 次正根)即算数根, 记作n r x =0．证 存在性, 当+∞→x 时有+∞→n x , 因而存在正数a 使得r a n >, 因为n x x f =)(在],0[a 上连续, 而且有)()0(a f r f <<, 故由介值性定理至少存在一点),0(0a x ∈, 使得r x x f n ==00)(. 唯一性 设正数x , 使r x n =1有0))((1120101010=+++-=----n n n n n x x x x x x x因0)(1112010>+++---n n n x x x x ，故010=-x x ，即01x x =. 1.1.3 一致连续性及其应用定义1.4 若函数h 定义在区间I 上, 对∀0>ε, ∃0)(>=εδδ, 使得∀'x , ''x I ∈, 只要δ<-'''x x , 有ε<-)()('''x h x h则称函数h 在区间I 上一致连续．定理 1.7(一致连续性定理) 如果函数h 在闭区间],[b a 上连续, 那么有函数h 在],[b a 上一致连续．例1.4 假设区间1I 的右端点为c , 1I c ∈, 区间2I 的左端点也为c , 2I c ∈ (21,I I 可分别为有限或无限区间) 按一致连续性的定义. 证明:如果函数h 分别在1I 和2I 上一致连续, 那么函数h 在21I I I ⋃=上也一致连续．证 ∀0>ε, 由于函数h 在1I 和2I 上的一致连续性, ∃01>δ, 02>δ使得∀'x , ''x 1I ∈, 只要1'''δ<-x x , 就有ε<-)()('''x h x h∀'x , ''x 1I ∈, 只要2'''δ<-x x , 就有ε<-)()('''x h x h点c x =作1I 的右端点, 函数h 在点c 为左连续, 作2I 的左端点, 函数h 在点c 为右连续, 所以函数h 在点c 连续, 因而对0>ε, ∃03>δ当3δ<-c x 时有2)()(ε<-c h x h令),,m in(321δδδδ=, ∀'x , ''x I ∈, δ<-'''x x , 对1．'x , ''x 同时属于1I 或同时属于2I , 则ε<-)()('''x h x h 成立2．'x , ''x 分别属于1I 与2I , 设'x 1I ∈, ''x 2I ∈则3'''''δδ≤<-<-=-x x x c c x因而由2)()(ε<-c h x h 得2)()('ε<-c h x h , 同理得到2)()(''ε<-c h x h 从而ε<-)()('''x h x h 成立, 得出函数h 在I 上一致连续.例题1.5 证明:在区间),(b a 上有穷个一致连续函数的和与它们的乘积在此区间内仍是一致连续的．证 由有穷个函数相加成或相乘可逐次分解成两个函数相加或相乘, 因而, 假设)(x h 与)(x g 都在区间),(b a 上一致连续, ∀0>ε, 由)(x h 在),(b a 上一致连续, ∃01>δ使),(b a 中∀'x 与''x , 当1'''δ<-x x 时, 有2)()('''ε<-x h x h又因为)(x g 在),(b a 上一致连续, ∃02>δ, 使得),(b a 中, ∀'x 与''x 当2'''δ<-x x 时, 有2)()('''ε<-x g x g令},m in{21δδ当δ<-'''x x （'x 与''x 为),(b a 中任何两点)时, 有εεε=+<-+-≤+-+22)()()()()]()([)]()([''''''''''''x g x g x h x h x g x h x g x h因而得到)(x g +)(x h 在),(b a 上是一致连续的．性质 1.5 如果函数)(x F 在有限区间),(b a 上是一致连续的, 那么函数)(x F 在),(b a 上必有界．证 ∀0>ε, ∃0>δ, 使得),(b a 中∀'x , ''x , 当δ<-'''x x 时, 有ε<-)()('''x F x F当δ+<<a x a ', δ+<<a x a ''时, 有ε<-)()('''x F x F ；当b x b <<-'δ, ''x b <-δ时, 有ε<-)()('''x F x F , 因此, 根据柯西收敛准则, 得知)(lim )0(0x F a F a x +→=+与)(lim )0(0x F b F b x -→=-存在． 例题1.6 在闭区间],[b a 上定义函数)(x F *:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+<<=*b x b F a x a F b x a x F x F )0()0()()(因而)(x F *在闭区间],[b a 上连续, 从而有界, 因此)(x F 在区间),(b a 上有界． 性质1.6 如果函数)(x h 与)(x g 在区间),(b a 上一致连续，那么)()(x g x h 在),(b a 上也是一致连续的.证 ∃0>L , 0>M , 使得L x h ≤)(, M x g ≤)( )(b x a <<∀0>ε, 根据)(x h 与)(x g 在区间),(b a 上的一致连续性, 取0>δ, 对区间),(b a 中的∀'x 与''x , 当δ<-'''x x 时, 有M x h x h 2)()('''ε<-, L x g x g 2)()('''ε<-得)]()()[()()]()([)()()()('''''''''''''''x g x g x h x g x h x h x g x h x g x h -+-=- εεε=⋅+⋅<L L M M 22因而得到)(x h )(x g 在区间),(b a 上是一致连续的．第2章 半连续函数半连续函数是连续函数的拓展, 它弱于连续函数, 实际应用较为广泛, 本章研究半连续函数的概念与性质. 在此基础上, 对连续函数的性质与半连续函数的性质进行比较分析.首先用“δε-”语言来叙述半连续函数的定义．定义 2.1 ∀0>ε, ∃0>δ, 当δ<-0x x 时, 有ε+<)()(0x h x h , 则称函数)(x h 在点0x 处上半连续．∀0>ε, ∃0>δ, 当δ<-0x x 时, 有ε->)()(0x h x h , 则称函数)(x h 在点0x 处下半连续．由定义知道, 函数)(x h 在点0x 处连续的充要条件, 是函数)(x h 在点0x 处同时上、下半连续．例2.1 假设函数y f 是从R 到R 的, 0)0(=y f , 而对于0≠x , n y x x f -=)(对于所有的偶整数y , y f 在点0是下半连续的, 对于所有的奇整数y , y f 在点0既不是下半连续的也不是上半连续的．2.1 上下半连续函数的性质2.1.1 运算性质及应用性质 2.1 如果在闭区间],[b a 上, 函数)(x g , )(x h 上（下)半连续, 那么它们的和)(x g +)(x h 也在闭区间],[b a 上上（下)半连续．性质 2.2 如果在闭区间],[b a 上, 函数)(x h 和)(x g 0>上半连续(或)(x h 和)(x g 0<, 且下半连续), 它们的积)()(x h x g 在闭区间],[b a 上为上半连续的, 如果)(x h 0>上（下）半连续, )(x g 0<为下（上半连续）, 那么)()(x h x g 下（上)半连续．性质 2.3 如果在闭区间],[b a 上, 函数)(x g 0>上（下）半连续, 那么)(1x g 在闭区间],[b a 上下（上)半连续．性质 2.4 如果函数)(x g 在0x 处上半连续, 而且有0)(0<x g , ∃0>δ, 使得),(00δδ+-∈x x x 时有)(x g 0<． 如果函数)(x g 在点0x 处下半连续, 而且还有0)(0>x g , 那么∃0>δ, 使得),(00δδ+-∈x x x 时, )(x g 0>．性质2.5 如果函数)(x h 在闭区间],[b a 上, 上 (下) 半连续, 那么有1．函数)(x h 在闭区间],[b a 上有上 (下) 界, 即∃0>M 使得∀∈x ],[b a 时, 有)(x h M ≤．2．函数)(x h 在闭区间],[b a 上能达到其上 (下) 确界．即∃0x ∈],[b a , 使得]},[:)(sup{)(0b a x x h x h ∈=证 1．应用用半连续的定义证明性质 2.1, 因为函数)(x h , )(x g 都是上半连续的, ∀0x ∈],[b a , ∀0>ε, ∃0>δ当δ<-0x x , ∈x ],[b a 时有2)()(0ε+<x h x h , 2)()(0ε+<x g x g所以)(x h +)(x g ε++<)()(00x g x h , 因而得出)(x h +)(x g 在闭区间],[b a 上上半连续．2．应用上半连续的等价描述性质 2.1, 因为函数)(x g , )(x h 在闭区间],[b a 上上半连续, 故∀0x ∈],[b a 时)()(lim 00x h x h x x ≤→, )()(lim 00x g x g x x ≤→ 又因为)(lim )(lim ))()((lim 000x g x h x g x h x x x x x x →→→+≤+ )()(00x g x h +≤所以得出函数)(x h +)(x g 在闭区间],[b a 上上半连续．2.1.2 保号性及应用定理 2.2(上半连续函数的局部保负性) 即是如果函数)(x g 在点0x 处上半连续, 0)(0<x g , 那么∃0>δ, 使得),(00δδ+-∈x x x 时有0)(<x g . 同理可得下半连续具有局部保正性．2.1.3 无介值性半连续函数, 介值性定理不成立．例2.2 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=121,0210,1)(x x x g 当当在闭区间]1,0[上, 函数)(x g 是上半连续的, 但是∀))0(),1(()1,0(g g a =∈没有)1,0(∈x 使得a x g =)(．2.1.4 函数的界定理2.3 有界闭区间上的上半连续函数必有上界, 并且能达到上确界. 也就是说:如果函数)(x g 在闭区间],[b a 上上半连续, 那么1．函数)(x g 在闭区间],[b a 有上界, 即∃0>M , 对∀∈x ],[b a 存在, )(x g M ≤．2. 函数)(x g 可以在闭区间],[b a 上达到上确界, 即∃],[0b a x ∈, 使得],[0))(sup()(b a x x g x g ∈=存在．证 1. 应用反证法, 假设函数)(x g 在闭区间],[b a 上无界, ∃∈n x ],[b a , 使n x g n >)()2,1( =n 由致密性原理, 在}{n x 中存在收敛的子序列}{k n x , 使得0x x k n → (当+∞→k )．又因为],[b a 为闭区间, 因而有∈0x ],[b a , 但是k n n x g k >)(, 当+∞→k 时, )(k n x g →∞+, 所以得到=→)(lim 0x g x x ∞+． 但是函数)(x g 在闭区间],[b a 上上半连续, 有≤→)(lim 0x g x x )(0x g , 推得)(0x g =∞+与题意相互矛盾． 因为函数)(x g 有上界, +∞<=∈M x g Ex )(sup , 如果函数)(x g 在闭区间],[b a 上达不到上确界, 那么∀∈x ],[b a , )(x g M <, 0)(>-x g M , 所以得到)(1x g M -在闭区间],[b a 上上半连续, 从而有上界, ∃0'>M , 使得∀∈x ],[b a 有)(1x g M -'M <因而得出)(x g '1MM -<, 这与)(sup x g M E x ∈=相互矛盾． 2．假设)(sup ],[x g b a x ∈M x g ≤⇒)(0．由)(sup ],[x g b a x ∈得到, ∃∈0x ],[b a , 使得M 为函数)(x g 在点0x 处的子极限, 因为函数g 上半连续, 得)(0x g M x g x x ≥≥→)(lim 0．推出)(0x g M =．利用有限覆盖定理可以证明结论．∀r x ∈],[b a , ∃=r x O U ),(r r r r x x δδ+-, 使得1)()(+<r x g x g (∀r O x ∈)． 从闭区间],[b a 的开覆盖]},[|{b a x O r x r ∈中可以造出有限个子覆盖n i x i O 1}{=于是得到},,2,1|1)(m ax {n i x g M i =+=为函数)(x f 在闭区间],[b a 上的界．2.1.5 内闭区间上有界性质 2.3 如果函数)(x g 在区间),(b a 内上(或下)半连续, 那么必然存在内闭区间⊂],[βα],[b a ．使得函数)(x g 在],[βα区间上保持有界．证 设函数)(x g 在区间),(b a 内下半连续, 设∀ ],[βα⊆],[b a 函数)(x g 在闭区间],[βα上无界, 得到1．∃1x ∈),(b a 有1)(1>x g , 因为函数)(x g 下半连续, ∃11>δ使得⊂+-≡∆],[21111δδx x ),(b a并且∀1∆∈x 有)(x g 1>．2．因为函数)(x g 在任何闭区间上无上界, 所以对1∆, ∃∆∈2x 使得2)(2>x g , 又因为函数)(x g 的下半连续性, ∃02>δ, 使得∆⊂+-≡∆∈],[22222δδx x x时, 有)(x g 2>．3．以此类推得到 ⊃∆⊃⊃∆⊃∆n 21区间长度为0222→<=∆n n δ (当∞→n 时) 而且在每个区间n ∆上, 恒有n x g >)(．4．根据区间套定理得知, ∃n ∆∈ξ),2,1( =n , 因而n f >)(ξ),2,1( =n ,因此+∞=)(ξf 与题意相互矛盾. 推理可知, 连续函数单调序列的极限不一定是连续的． 例2.4 n y x x f =)(在区间]1,0[上连续, 当y 增加时单调递减有极限⎩⎨⎧<≤==时时10,01,1)(x x x f 但函数)(x f 在区间]1,0[上不连续．2.1.6 保半连续性性质 2.4 假设函数)(x f y 在E 上是有定义的, 并且是上半连续函数, 那么就有)()(x f x f y ↓),2,1( =y , ∀E x ∈, 有≥≥≥≥≥+)()()()(121x f x f x f x f y y)()(lim 0x f x f y x =→, 则)(x f 在E 上上半连续．(↑表示从下方趋近, ↓表示从上方趋近). 证 1．∀E x ∈0, 应为有)(0x f )(lim 0x f y n ∞→=, 所以∀0>ε, ∃0>δ, 当N n >时, 有ε+<)()(00x f x f y2．设y 是固定的, 因为函数)(x f y 在E 上上半连续, ∃0>δ, 当E x ∈时有δ<-0x x 时有ε+<)()(0x f x f y3．)()(x f x f y ↓, )()(x f x f y ≤, 因而有ε+<)()(0x f x f 得出函数)(x f 在E 上上半连续．注记2.5 如果函数序列)}({x f y 在区间],[b a 上有定义, 那么每个y f 都连续, 则在闭区间],[b a 上有1．当)()(x f x f y ↓时, 函数)(x f 上半连续；2．当)()(x f x f y ↑时, 函数)(x f 下半连续．定理 2.6 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上有定义,那么上半连续, 则存在一个递减的连续函数序列≥≥≥≥)()()(21x f x f x f y得)()(lim x f x f y y =∞→． 注记2.6 上半连续函数, 总可以用连续函数从上方逼近．证 (构造函数)(x f y ) 对于固定的点x 与y , 函数x x y --'是'x 的连续函数, 所以上半连续, 已知函数)('x f 是上半连续的,)('x f x x y --'是'x 的上半连续函数, 从而得到在闭区间],[b a 上有上界, 并且达到上确界．即∃*x ],[b a ∈使得)(*x f x x y --*})({max ''],['x x y x f b a x --= 令)(x f y })({max ''],['x x y x f b a x --=∈．（证明函数)(x f y 连续)由上式得到∀ 'x ∈],[b a , )(x f y x x y x f x x y x f --≥--=**'')()(得到x x x y x x f x f n n y --≥**)())(()(''x x y x x x y x x f n n ----≥**'''')())((x x y x f y --='')( 得到x x y x f x f y y -≤-'')()(. 此时对于∀'x , ∈x ],[b a 都成立, 'x 与x 互换也同时成立, 因而得出x x y x f x f y y -≤-'')()(表明函数)(x f y 在闭区间],[b a 上连续．如果要证得函数)(x f y ↓, 假设n m >则有x x x y x x f x f m m y --≥**)())(()()()())((x f x x x m x x f m m m =--≥**因而得到)(x f y ↓．序列)}({x f y 有下界的证明, ∀固定的x 在)(x f y =)(*x f x x y --*)('x f ≥x x y --'中令'x x =, 得到)(x f y ≥)(x f , 故而∀∈x ],[b a , )}({x f y 有下界．因而得到)(lim )(x f x g y y ∞→≡存在, 并且有)(x f y ≥)(x f ．如果要证得)()(x f x g ≥, 因为函数)(x f 上半连续, ∀0>ε, ∃0>δ, 当'x ],[b a ∈, δ<-x x '时有)('x f ε+<)(x f 又因为函数)(x f 上半连续, 因而在闭区间],[b a 上上有界, 因此对于固定的x , 当∞→x 时, 有x x x n→*)(因为 x x x y x x f x f y y y --=*)()]([)(如果有x x y −→−≠*, 则∃x 的邻域),(11δδ+-x x 使得)(x x k y *在此邻域之外, 但是函数)(x f 在闭区间],[b a 上有上界, 即得∃0>M , 使得)(x f M <, 因此有x x x y x x f x f k k k y k y y --=**)()]([)(-∞→-≤--≤*1)(δk y y y M x x x n M k与)()(x g x f y →, (∞→n 时) 相互矛盾．得到∃0>N , 当N n >时, 有δ<-*)(x x x y, 于是由)('x f <)(x f ε+得到ε+<*)())((x f x x f y , 但是))(()())(()(x x f x x x y x x f x f y y y y ***≤--=有ε+<)()(x f x f y , 令∞→n 取极限, 得)(x g ε+≤)(x f , 由∀0>ε, 知道)(x g ≤)(x f , 得出)(x g =)(x f ．2.2 拓扑空间上半连续函数的性质关于半连续函数的定义, 在不同的集合上有不同的表述, 但是其中的本质是相同的, 我们用X 表示拓扑空间, R 表示实直线, N 表示自然数集, )(0x u 表示点0x 的开邻域, U 表示0X 的开邻域, }{n x N n ∈或}{n x 表示X 中的序列, φ表示空集, A 表示集合A 的内部．定义2.7 设X 是一个拓扑空间, 函数R X g →:, X x ∈0．1．如果函数)(x g 在点0x 处是上半连续的, 那么∀0>ε, ∃0u U ∈使得∀U x ∈, 恒有)(x g <ε+)(0x g ；2．如果函数)(x g 在点0x 处是下半连续的, 那么∀0>ε, ∃0u U ∈使得∀U x ∈, 恒有)(x g >ε-)(0x g ；3．如果函数)(x g 在点0x 处是连续的, 那么∀0>ε, ∃0u U ∈使得∀U x ∈, 恒有ε<-)()(0x g x g ；4．如果函数)(x g 是上（下）半连续的, 那么在X 上每一点是上（下）半连续．从而函数)(x g 在点0x 处连续, 当且仅当函数)(x g 在点0x 处既是上半连续的又是下半连续的．性质 2.7 拓扑空间中的一个集合成为G 集, 则它是这个空间中的可数个开集的交．推论 2.7 假设X 是一个拓扑空间, 函数R X f →:, 0x X ∈则有①函数f 是上半连续的；②∀R a ∈, ),(1a f-∞-开于X （),(1+∞-a f 开于X ）；③∀R a ∈, ),[1+∞-a f 闭于X (],(1a f -∞-闭于X )．2.2.1 运算性质及其应用运算性质的基本性质是, 实直线上半连续函数的形式在图谱空间中的推广． 定理2.8 设X 为拓扑空间, R X g →:,R X h →:1．如果函数)(x g , )(x h 均是上、下半连续的, 那么它们的和)(x g +)(x h 上 (下) 半连续；2．如果函数)(x g 上 (下) 半连续, 那么有函数)(x g 0>, 则)(1x g 为下 (上) 半连续；3．如果函数)(x g 上 (下) 半连续, 那么函数)(x g -为下 (上) 半连续．证明：对2上半连续进行证明, 下半连续的情况同理可以证明．1与2应用实直线上半连续函数的证明可以得到, 这里就不予以证明．证 ∀0x X ∈, ∃))(1,0(0x f ∈ε, 又因为函数)(x g 在点0x 处是上半连续的, 则∃0u U ∈使得∀U x ∈, 恒有)(x g <ε+)(0x g , (其中0)(1)(0021>-=x g x g εεε) 因为有)(x g 0>, ∀U x ∈, 有εεεε-=-+=+>)(1)(1)()(1)(1)(1000201x g x g x g x g x g x g 由于0x X ∈, 得到)(1x g 在X 上是下半连续的． 例 2.8[16] 设X 为拓扑空间, R X g →:, R X h →:1．如果函数)(x g , )(x h , 均是上(下)半连续, 而且有)(x g )(x h 0> (∀∈x X ), 则存在)(x g )(x h 在X 上是上半连续的；2．如果函数)(x g 上半连续, 有)(x g 0>, 但是)(x h 是下半连续, 有)(x h 0<, 那么存在)(x g )(x h 在X 上是下半连续的；3．如果函数)(x g 是下半连续的, )(x g 0>, )(x h 是上半连续的, )(x h 0<, 使得)(x g )(x h 在X 上为上半连续．证1． 因为函数)()(x h x g 0>, 假设函数)(x g 0>, 并且有函数)(x h 0>；∀X x ∈0, ∀0>ε因为函数)(x g , )(x h 在X 上均是上半连续的, ∃)(x u U ∈, 使得∀U x ∈有00)()(0ε+<<x g x g , 00)()(0ε+<<x h x h其中024))()(()]()([200000>++++-=εεx h x g x h x g因而得到 εεε+=++<)()())()()(()()(000000x h x g x h x g x h x g)(x g )(x h 在X 上均是上半连续．2．∀X x ∈0, ∀0>ε, ∃U )(0x u ∈, ∀U x ∈有00)()(0ε+<<x g x g , 0)()(00<<-x h x h ε024))()(()()(200000>+-+-=εεx g x h x g x h则有 εεε-=-+>)()())()()(()()(000000x h x g x h x g x h x g从而得到)(x g )(x h 在X 上是下半连续的．3．∀X x ∈0, 因为有0)(0>x g , )(x h 0<, 则存在)(0x g 0)(0>-x h , ∀ε ())()((21000x h x g -<<ε) 由于函数g 的下半连续性与函数h 的上半连续性, ∃U ∈)(0x u 使得∀U x ∈有00)()(ε->x g x g , 00)()(ε+<x h x h024))()(()()(200000>----=εεx g x h x g x h2.2.2 确界性质及其应用定理2.9[17] 设S 是一族从X 到R 的实值函数1．如果每一个S h ∈在X 上是上半连续的, 那么)(x f }|)(inf{S h x h ∈=在X 上是上半连续的；2．如果每一个S h ∈在X 上是下半连续的, 那么函数}|)(sup{)(S h x h x g ∈=在X 上是下半连续的．证 1．因为})(:{)),([1a x f X x a f ≥∈=+∞-；})(:{)),([1a x h X x a h ≥∈=∞-则有},)(:{)),([1S h a x h X x a h S h ∈∀≥∈=+∞⋂-∈又因为∀)),([10+∞⋂∈-∈a h x Sh , ∀S h ∈恒有a x h >)(0, 则有 a S h x h x f ≥∈=}|)(inf{)(00因此得到)),([10+∞∈-a f x ．∀)),([10+∞∈-a f x , 有a x f ≥)(0, 则有a S h x h x f ≥∈=}|)(inf{)(00所以∀S h ∈有a x h >)(0, 即是)),([10+∞⋂∈-∈a h x Sh , 从而得出 =+∞-]),([1a g )),([1+∞⋂-∈a h Sh 所以证得函数f 是上半连续的．因为∀S h ∈都是上半连续的, ∀R a ∈, 有)),([1+∞-a h 闭于X , 故而得到)),([)),([11+∞=+∞⋂--∈a f a h S h 闭于X , 进而得到函数f 是上半连续的．2.2.3 紧致空间上的半连续函数定理 2.10 对于所有从一个紧致空间E 到-R 内的下半连续的映射f , 至少存在E 的一个点a , 使得)(inf )(x f a f E x ∈=. 事实上, 令)(inf x f m E x ∈=．对于所有的m >λ, 使得λ≤)(x f 的x 的集合λE 是闭集, 并且是非空的．另外, λE 的族对于包含关系是全序的, 这是由于λE 是λ的递增函数, 因为λE 的交集不是空集．在这个交集任意取一个点a , 对于所有的m >λ, 有λ≤)(a f , 因而λ≤)(a f ．另外, 由于m 的定义, 有f m ≥, 故m a f =)(．推论 2.10 总有从一个紧致空间E 到],(+∞-∞内的下半连续的映射在E 上是有下界的．事实上, 我们有-∞>=)(a f m ．对于上半连续的函数有类似的结论．如果我们应用这些结果到连续函数, 就重新得到原先的断言：紧致空间上的连续函数取到下确界和上确界的结论．下一节就研究这些结论对于变分法的一个重要应用．2.2.4 长度的半连续性一条曲线的长度是这条曲线的函数；当曲线在我们就要明确的意义下连续变动时, 人们可能期待它的长度也连续地变化. 其实根本不是这样. 像下面的初等例子所表明的那样：设n C 是方程为nx n y sin 1-=),0(*∈≤≤N n x π的平面曲线. 立即得到所有这些曲线有同样的长度, 这是一个数π>l . 而当+∞→n 时, 这些曲线一致收敛到线段],0[π.因而这个一致收敛不蕴含长度的收敛．可以修改这个例子, 而用任何大于等于π的数代替l . 但是值得注意的是不能用一个小于π的数代替l .换句话说, 收敛到线段],0[π的曲线长度的下极限等于π. 这正是下半连续性, 我们精确的表述这个事实．参数化曲线空间:设T 是R 的一个紧致区间, E 是一个距离空间. 根据前面的定义, 所有从T 到E 内的连续映射定义一条参数化曲线, 于是可以考虑从T 到E 内的连续映射的集合),(E T ϑ作为T 上的E 的参数化曲线的集合. 取与由))(),((sup ),(t g t f d g f d Tt ∈=定义的一致收敛的与这个距离关联的拓扑作为),(E T ϑ上的拓扑．对于∈f ),(E T ϑ, 用)(f L 表示由f 定义的曲线的长度. 我们有了一个定义在拓扑空间),(E T ϑ上的数值函数．定理2.11 长度)(f L 是),(E T ϑ的f 的下半连续函数．证 对于T 的所有有限子集},,,{21n t t t =σ, 其中n t t t <<< 21, 对于所有∈f ),(E T ϑ．令∑+=ii i t f t f d f V ))(),(()(1σ对于所有∈a T , 从),(E T ϑ到E 内的映射f )(a f →是连续的, 于是对于所有σ, 映射f )(f V σ→是连续的．推论2.11 从),(E T ϑ到-R 内的映射f → (f 的全变差) 是下半连续的．对于变分法的应用：单变量变分法的问题直译是在给定的曲线集合里求一条曲线, 其长度是最小的．第3章 半连续函数的异同3.1 半连续函数与连续函数的比较半连续函数与连续函数联系非常的紧密. 正如上面所提到的, 实际上半连续函数就是连续函数的拓展所形成的, 它们具体有多少联系我们举例来说明．例 3.1 如果函数)(x g 在闭区间],[b a 上(下)半连续, 那么函数)(x g 在],[b a 上有上(下)界．证 假设函数)(x g 在闭区间],[b a 上半连续但没有上界, 由假设得到, 存在一数列⊂}{n x ],[b a 得n x g n >)(),2,1( =n , 因为}{n x 为有界数列, 必有收敛的子数列}{k n x ．设A x k n k =∞→lim 因为b x a k n ≤≤)2,1( =k 有∈A ],[b a , 从而函数)(x g 在A 点上半连续．由定义, ∀1=ε, ∃00>δ, 当0δ<-A x (∈x ],[b a ) 有)(x g 1)(+<A g 又因为A x k n k =∞→lim 对于00>δ, ∃K k >时有0δ<-A x k n , 从而当K k >时有 1)()(+<<A g x g n k n k (K k >)即1)(+<A g n k (K k >), 它与题意矛盾, 因而上半连续函数在闭区间],[b a 上有上界．同理证得函数)(x g 在闭区间],[b a 上(下)半连续有下界. 进而得出上 (下) 半连续函数不仅有界, 而且还能达到上 (下) 确界．例 3.2 如果函数)(x g 在闭区间],[b a 上上半连续, 那么在∈0x ],[b a 使得)(sup )(],[0x g x g b a x ∈=．证 假设函数)(x g 在闭区间],[b a 上取不到上确界A , 即对∀∈x ],[b a , ∃0)(>-x g A , 令)(1)(x g A x G -=, ∈x ],[b a . 因为函数)(x g 在闭区间],[b a 上上半连续, ∀0>ε, ∃0>δ, 使得当δ<-0x x 时, 有)(x g <ε+)(0x g (∈0x ],[b a ) ，即ε+-<-)(1)(10x G a x G A , ε+>)(1)(10x G x G 得到)(1x G 为下半连续函数, 因而函数)(x G 上半连续, 所以函数)(x G 在闭区间],[b a 上有界, 设B 为函数)(x G 的一个上界, 有B x g A x G <-=<)(1)(0, 得到 BA x g 1)(-< (∈x ],[b a )与)(sup ],[x g A b a x ∈=相互矛盾, 因而结论成立. 同理得到：下半连续函数在闭区间],[b a 上必能取到下确界．3.2 半连续函数与连续函数区别两个连续函数的和仍然是连续函数, 但是两个半连续函数的和不一定是半连续函数．反例3.3 假设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010301)(x x x x f , ⎪⎩⎪⎨⎧<-=->=010301)(x x x x g得到函数)(x f 处处上半连续, 而)(x g 处处下半连续, 但是)(x f +)(x g 在点0=x 处是不连续的．反例3.4 假设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--==为无理数为偶数为奇数x q q p x q q q p x q x f 2323)(, ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=--=为无理数为偶数为奇数x q q p x q q q p x q x g 24141)( ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=为无理数为偶数为奇数x q q p x qq q p x q x h 33331)( (为既约分数q p ) )(x f 、)(x g 、)(x h 都是处处半连续的, 但是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=--=++为无理数为偶数为奇数x q q p x q q q p x q x h x g x f 04242)()()( 是无处半连续的．设)}({x f y 为闭区间],[b a 上对y 来说的单调不增的上半连续函数列且有下界, 则)()(lim x f x f y y =∞→存在且函数)(x f 在闭区间],[b a 上上半连续． 证 因为)}({x f y 是对y 来说的单调不增且有下界的函数列, 从而)()(lim x f x f y y =+∞→存在．证明 函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.证 假设函数)(x f 不是上半连续的, 则∃∈0x ],[b a 及收敛于点0x 的数列}{n x 使得)(lim )()(lim 00x f x f x f y y n n ∞→∞→=> 当y 充分大时有)()(lim 0x f x f y n n >∞→又由于)()(n n y x f x f ≥得到 )()(lim )(lim 0x f x f x f y n n n y n >≥+∞→+∞→ )()(lim 0x f x f y n y n >+∞→这与)(x f y 上半连续相互矛盾. 因而函数)(x f 在闭区间],[b a 上上半连续．同理得到, 如果函数)(x f y 是闭区间],[b a 上对y 来说的单调非减的下半连续函数列而且有上界, 那么)()(lim x f x f y y =+∞→存在, 并且函数)(x f 在闭区间],[b a 上下半连续．半连续的这一个性质是连续函数所没有的, 就是说单调有界连续的函数列的极限函数未必是连续的．假设)(x f y x =, ∈x ]1,0[因为函数)(x f y 在区间]1,0[上连续, 单调有界, )(x f y 的极限函数为⎩⎨⎧<≤===+∞→10011)(lim )(x x x f x f y y y 所以函数)(x f 在区间]1,0[上不是连续函数．假设函数⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x x g 22)(在所有有理点为上半连续, 在所有的无理点为下半连续, 但是函数)(x g 处处不连续 (只要把2与-2改写成一相同数值, 函数)(x g 变为在有理数与无理数上处处连续)．。