三角形各心性质

三角形各心性质

重心的性质：（三条中线的交点）

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X

1+X

2

+X

3

)/3，

（Y

1+Y

2

+Y

3

)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点）

1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d

1，d

2

，d

3

分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点

向量的点乘。C

1=d

2

d

3

，c

2

=d

1

d

3

，c

3

=d

1

d

2

；c=c

1

+c

2

+c

3

。外心坐标：( (c

2

+c

3

)/2c，(c

1

+c

3

)/2c，(c

1

+c

2

)/2c )。

4、外心到三顶点的距离相等

垂心的性质：（三条高的交点）

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线）

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

内心的性质：（三个内角的角平分线的交点）

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c).

3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有

AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

4、(欧拉定理) ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．

5、（内角平分线分三边长度关系）

△ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

6、内心到三角形三边距离相等。

旁心的性质：（外角的角平分线的交点）

1、每个三角形都有三个旁心。

2、旁心到三边的距离相等。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．

3、r=S/p．

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

5、∠BIC=90°+A/2．

6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．

9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则

OI^2=R^2-2Rr．10、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C 的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

三角形外心的性质

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.

3、GA=GB=GC=R.

3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).

4、R=abc/4S⊿ABC.

5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.

6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

9、外心到三顶点的距离相等。

三角形重心的性质

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。