高中数学必修一 第一课时
【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
人教版高中数学必修一对数与对数运算对数及对数的性质课件PPT
讲授新课
1.对数的定义： 一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 )
那么数x叫做以a为底N的对数，记作: 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
填写学案，题1
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
① 52 = 25
（2）log
1 a
=
0
即：1的．对数是0
（3）log
a a
=
1
即：底数的对数是1
（4）对数恒等式：aloga N = N
（5）对数恒等式：loga an = n
巩固练习
1、指数式b2 = a(b 0,且b 1)相应的对数式是（D）
A log2a = b B log2 b = a
C logab=2
解：(1)64
-
2 3
=
(43
)
-
2 3
= 4-2 =
1
(4) ln e2 = -x
16
1
1
1
e-x = e2
(2)x6 = 8所以x = 86 = (23 )6 = 22 = 2 - x = 2
(3)10 x = 100所以x = 2
x = -2
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值：
。
简记作
。如 loge 9 简记为 ln 9.
填写学案，题4
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 = 625
(2)
e-6
=
1
b
(3) 10 a = 27 (4) ( 1 )m = 5.73
高中数学(新人教A版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
新教材苏教版高中数学选择性必修一第一课时 函数的奇偶性
3.1.3函数的奇偶性第一课时函数的奇偶性课标要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图像特征解决一些简单问题.素养要求通过函数奇偶性的学习，让学生结合实例，利用图像抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.1.思考(1)已知函数f(x)＝1x2，试求函数的定义域，并分别令x取±1，±2，±3，±12，…算出函数值f(x)，你能发现什么规律？(2)若函数f(x)＝x5，x∈R，又能得到什么规律？提示(1)y＝1x2的定义域为{x|x≠0}，一系列互为相反数的x值代入函数式可得：若x的取值互为相反数，则其函数值相等.即对于x∈{x|x≠0}，总有f(－x)＝f(x)成立，我们把这类函数称为偶函数.(2)若f(x)＝x5，一系列互为相反数的x值代入解析式，总有f(－x)＝－f(x)成立，我们把这类函数称为奇函数.2.填空(1)偶函数的定义及图像特征①偶函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数.②偶函数的图像特征：偶函数的图像关于y轴对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的定义及图像特征①奇函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数.②奇函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是奇函数.温馨提醒(1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性.(2)既是奇函数，又是偶函数的函数如：f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3.做一做判断正误(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(×) 提示反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)提示函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.(3)奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.(√)(4)判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.(√)题型一函数奇偶性的判定角度1一般函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f (x )＝x x －1. 解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(2)函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数. (3)函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}， 不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.角度2 分段函数奇偶性的判定例2 判断函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0的奇偶性.解 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x ).综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数. 角度3 抽象函数奇偶性的判断例3 (1)已知函数f (x )，x ∈R ，若对于任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数；(2)若函数f (x )的定义域为(－l ，l )(l >0)，证明：f (x )＋f (－x )是偶函数，f (x )－f (－x )是奇函数.证明 (1)令a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0.令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x),∴f(－x)＝－f(x)，又x∈R，关于原点对称，∴f(x)是奇函数.(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，可见f(－x)的定义域也是(－l，l).若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的.又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数. 思维升华判断函数奇偶性的四种方法：(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系.(2)图像法：观察函数的图像是否关于原点或y轴对称.(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.训练1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数. (2)f (x )的定义域是R . ∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1| ＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.题型二 奇、偶函数的图像特征例4 (1)如图给出了奇函数y ＝f (x )的局部图像，则f (－2)的值为( )A.32 B.－32 C.12D.－12(2)设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图像如图所示，则使f (x )＜0的解集为________.答案 (1)B (2)(－2，0)∪(2，5)解析 (1)奇函数的图像关于原点对称，所以f (－2)＝－f (2)＝－32.(2)因为原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0，5]上的图像，知它在[－5，0]上的图像，如图所示，由图像知，使f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5).思维升华 (1)先判断函数的奇偶性；(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称. 训练2 已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (1)已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图像如图，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0). (1)解 ∵f (x )＝1x 2＋1， ∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1（－x ）2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，其图像如图所示. (2)证明 ∵g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 21＋x2(x ≠0)，∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0).题型三 利用函数奇偶性求参数(值)例5 (1)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.答案 (1)4 (2)0解析 (1)∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )，即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)， 整理得2a ＝8，∴a ＝4.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝－f （－2），f （1）＝－f （－1），则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0. 思维升华 利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x 的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x 的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x ∈R ，等式恒成立的特征求参数.训练3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5，2b －3]上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.(2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________. 答案 (1)98 (2)7解析 (1)由题意可知2b －5＋2b －3＝0， 即b ＝2.又f (x )是奇函数，故f (－x )＋f (x )＝0， ∴2ax 2＋2c ＝0对任意x 都成立， 则a ＝c ＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋2×12＝18＋1＝98. (2)令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ， 则g (x )是奇函数，∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2， 又f (－3)＝－3， ∴g (3)＝5.又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7. [课堂小结]1.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0).2.(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数. (2)f (x )为奇函数⇔f (x )的图像关于原点对称，f (x )为偶函数⇔f (x )的图像关于y 轴对称.3.函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则函数y ＝f (x )＋f (－x )是偶函数，函数y＝f(x)－f(－x)是奇函数，函数y＝f(x)·f(－x)是偶函数，函数y＝f(|x|)是偶函数.一、基础达标1.下列说法中错误的个数为()①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图像关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图像一定过坐标原点；④偶函数的图像一定与y轴相交.A.4B.3C.2D.1答案 C解析由奇函数、偶函数的性质，知①②正确；对于③，如f(x)＝1 x ，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③错误；对于④，如f(x)＝1x2，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y 轴相交，所以④错误.2.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A.f(x)f(－x)>0B.f(x)f(－x)<0C.f(x)<f(－x)D.f(x)>f(－x)答案 B解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.3.(多选)下列函数为偶函数的是()A.y＝－|x|B.y＝2－xC.y＝1x3 D.y＝－x2＋8答案AD解析 A 、D 中，函数均为偶函数，B 中函数为非奇非偶函数，而C 中函数为奇函数.故选AD. 4.若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D.1答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－x（－2x ＋1）（－x －a ）＝－x（2x ＋1）（x －a ），化简得2x 2(2a －1)＝0，解得a ＝12.5.如果f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )不恒为0，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A.y ＝x ＋f (x ) B.y ＝xf (x ) C.y ＝x 2＋f (x ) D.y ＝x 2f (x )答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). 令y ＝g (x ).对于A ，g (－x )＝－x ＋f (－x ) ＝－x －f (x )＝－g (x )， 又y ＝g (x )的定义域为R ， ∴y ＝x ＋f (x )是奇函数.对于B ，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )， 又y ＝g (x )的定义域为R ， ∴y ＝xf (x )是偶函数.对于C ，g (－x )＝(－x )2＋f (－x )＝x 2－f (x )，由于g (－x )≠g (x )，g (－x )≠－g (x )，∴y ＝x 2＋f (x )既不是奇函数也不是偶函数.对于D ，g (－x )＝(－x )2f (－x )＝－x 2f (x )＝－g (x )，又y ＝g (x )的定义域为R ，∴y ＝x 2f (x )是奇函数.6.下列函数为偶函数的是________(只填序号).①y ＝x 2(x ≥0)；②y ＝(x －1)x ＋11－x； ③y ＝2；④y ＝|x |(x ≤0).答案 ③解析 对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；②中，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋11－x ≥0，1－x ≠0，得定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；对于③，其定义域为R ，且对∀x ∈R 都满足f (－x )＝f (x )＝2，故③是偶函数.7.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________. 答案 －5解析 ∵f (x )为奇函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋1，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4＋1)＝－5.又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5＋0＝－5.8.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.答案 1解析 在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，又f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)，∴f (1)＋g (1)＝1.9.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 4－3x 2；(2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2. 解 (1)f (x )＝x 4－3x 2的定义域是R ，关于原点对称.又f (－x )＝(－x )4－3(－x )2＝x 4－3x 2＝f (x )，∴f (x )＝x 4－3x 2是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|≠2，得－1≤x ＜0或0＜x ≤1， ∴f (x )的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，∴f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x 2x .又f (－x )＝1－x 2－x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数.10.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，求证：g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)为奇函数.证明 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即a (－x )2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx ，其定义域为R ，又g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x ).∴g (x )为奇函数.二、能力提升11.(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A.f (－1)＝0B.f (x )的最大值为14C.f (x )在(－1，0)上是增函数D.f (x )>0的解集为(－1，1)答案 AB解析 f (－1)＝f (1)＝0，A 正确；x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， ∴f (x )的最大值为14，B 正确；f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，C 错误； f (x )>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，D 错误.12.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数； 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.13.已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2)上的最小值.解 (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x(k 1，k 2≠0)， 则1＝f (1)＝k 1，2＝g (1)＝k 2，∴f (x )＝x ，g (x )＝2x .(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋2x ，则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又h (－x )＝－x ＋2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－h (x )， ∴f (x )＋g (x )为奇函数.(3)∵当x ∈(0，2)时，f (x )＋g (x )＝x ＋2x ≥2x ·2x ＝22， 当且仅当x ＝2x >0，即x ＝2∈(0，2)时不等式等号成立，故f (x )＋g (x )在(0，2)上的最小值为2 2.三、创新拓展14.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝________，单调递减区间是________.答案 13 (－∞，0]解析 根据题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则有(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，又f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为二次函数，其对称轴为x＝－b2a，若f(x)为偶函数，则必有x＝－b2a ＝0，则b＝0；所以f(x)＝x23＋1，其递减区间为(－23，0].。
对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
）
（1）A已．知cab0.3a0.4 ，A．b cB．lobga34ab，cc lBo．g0.a3 4C，b．则b（c a c ）C． b Da．bc c a D．b c a
A． c b a B． a b c
C．b a c
D．b c a
例题讲练
（2）设 a log3 ， b log2 3 ， c log3 2 ，则（
x lxogaloyg（a ya （ 0a且 a0 且 1a），1x），也是x 也以是y以为自y 为变自量变的量函的数函（数其（中其y 中 0y， 0x ， Rx ），R ）， 根据根我据们我的们认的知认习知惯习，惯我，们我把们x 把 lxogaloyg中a 字y 中母字x 母， xy，对调y 对，调， 写成写y成 lyogaloxg（a 其x （中其x 中 0x， 0y， Ry ）．R ）．
例题讲练
【练习习 55】】
（（11））已已知知ff((xx))的的定定义义域域为为[0[,10],1，] ，则函则数函数f [lof g[l1o(g31(3x)] 的x)定] 的义定域义为域___为____________．_____．
22
例题讲练
（2）已知函数 y f [lg(x 1)] 的定义域为 (0,99] ，则函数 y f [log2 (x 2)] 的定义域为__________．
§4.4 对数函数及其性质 (第一课时)
人教版高中数学必修一
课堂引入：
通过前面的学习我们知道，某细胞经过 x 次分裂后，变成的细胞个数 y 2x ,
得由到一由y 个y2指x 数2x函x数x．lo由gglo22gyyy2y2对x 于对任于x意任的意lo细的g2胞细y个胞，数个对数y于，任y 我，意们我的都们细可都胞以可个通以数过通y对过，数对我运数们算运都算可 得到以得唯通到一唯过的一对的数x 与运x 之与算对之得应对到，应唯所，一以所的细以x胞细与分胞之裂分对次裂应数次,所数x以也x细可也胞以可分看以裂出看次以出数细以x胞细也个胞可数个以数y看为y成自为以变自细变胞个 量的数量函的y数函为．数自．变量的函数． 同样同地样，地根，据根指据数指与数对与数对的数关的系关，系由，y由 ayx（aax （ 0a且 a0 且 1a）可1）以可得以到得：到：
高中数学必修一第一节教案高中数学必修一第一课(5篇)
高中数学必修一第一节教案高中数学必修一第一课(5篇)高中数学必修一第一节教案高中数学必修一第一课篇一1、学问目标：使学生理解指数函数的定义，初步把握指数函数的图像和性质。
2、力量目标：通过定义的引入，图像特征的观看、发觉过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类争论的数学思想，培育学生的探究发觉力量和分析问题、解决问题的力量。
3、情感目标：通过学生的参加过程，培育他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探究、锲而不舍的治学精神。
教学重点、难点：1、重点：指数函数的图像和性质2、难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过颜色的区分，加深其感性熟悉。
教学方法：引导——发觉教学法、比拟法、争论法教学过程：一、事例引入t：上节课我们学习了指数的运算性质，今日我们来学习与指数有关的函数。
什么是函数?s： --------t：主要是表达两个变量的关系。
我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应当并不生疏，它与其它的传染病一样，有肯定的埋伏期，这段时间里病原体在机体内不断地生殖，病原体的生殖方式有许多种，分裂就是其中的一种。
我们来看一种球菌的分裂过程：c：动画演示(某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。
一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是： y = 2 x )s，t：(争论) 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式(指数形式)，从函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，我们称这种函数为指数函数——点题。
二、指数函数的定义c：定义：函数 y = a x (a0且a≠1)叫做指数函数， x∈r.。
问题 1：为何要规定 a 0 且 a ≠1?s：(争论)c： (1)当 a 0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x= 就没有意义;(2)当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时，(3)当 a = 1 时，函数值 y 恒等于1，没有讨论的必要。
人教版高中数学必修1教案
人教版高中数学必修1教案课程名称：高中数学必修1课时：第一课时教学内容：集合与逻辑教学目标：1. 掌握集合与元素的概念，能正确描述给定集合的特征；2. 理解集合的相等与包含关系，并能运用相关概念进行简单的集合运算；3. 熟练掌握逻辑联结词的含义，能正确运用逻辑联结词构建简单的命题；4. 能够根据已知信息推出结论，培养逻辑思维能力。
教学重点与难点：1. 集合的概念与运算规则；2. 逻辑联结词的含义与运用。
教学准备：1. 教材《高中数学必修1》；2. 课件；3. 讲义。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引入集合与逻辑的概念，通过一个实际生活中的例子来引发学生对集合与逻辑的思考。
二、学习内容讲解（15分钟）1. 集合的概念与表示方法；2. 集合的分类与相等关系；3. 集合的运算规则；4. 逻辑联结词的含义与运用。
三、案例分析与讨论（15分钟）教师给出一些集合与逻辑的案例题目，让学生分组讨论并解答，引导学生通过实例加深对集合与逻辑知识的理解。
四、练习与巩固（10分钟）教师布置相关练习题，让学生独立完成并交流答案，巩固所学知识。
五、课堂总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调要复习巩固所学知识，培养逻辑思维能力。
六、作业布置（5分钟）布置相关作业，要求学生认真复习本节课所学内容，做好相关题目。
教师反思：通过这节课的教学，我发现学生对于集合与逻辑的概念不够清晰，需要加强实例引导与案例分析，以提高学生的学习效果。
下节课我将更加注重实例的应用和练习题的设计，帮助学生更好地掌握相关知识。
高中数学必修(第一课时)函数的概念
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
t的变化范围是什么？S的变化范围是什么？
A1中的任意一个时间t 和B1的路程S有什么关系？
这个关系是怎样建立起来的？
问题2：某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是函数关系
W=350d
d的变化范围是什么？W的变化范围是什么？
A2中的任意一个d和B2的工资W之间有什么关系？
这个关系是怎样建立起来的？
问题3.图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数(AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？
R
R
R
R
R
常见函数的定义域、值域
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；②值域由定义域、对应法则惟一确定；
例2、下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ ）
例3、下列说法中，不正确的是……( ). A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应. B.函数的定义域和值域一定是无限集合. C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就随之确定. D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.
3.1.1函数的概念
1、回顾初中学习的函数概念
设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
人教版高中数学必修1《二次函数与一元二次方程、不等式》第1课时课件
题型三 “三个二次”之间对应关系的应用 【学透用活】
“三个二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一 元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系， 通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式．
()
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0. ( )
(3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点．
()
(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
人教A版高中数学必修1 课件 ：第一章 1.1 1.1.3 第一课时
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元 素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时， 不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2．掌握两种技巧 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的 “交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助 数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
「自测检评」
1．(2018·天津卷)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝
{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{－1,1}
B．{0,1}
C．{－1,0,1}
D．{2,3,4}
解析：选C ∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
(4)性质：①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A；③A∪∅＝A；④A⊆ B⇔A∪B＝B.
[思考辨析]|判断正误| 1．A∪B的元素个数等于集合A中元素的个数与集合B中元素 个数的和．( × ) 2．并集定义中的“或”能改为“和”．( × ) 3．若A∪B＝A∪C，则B＝C.( × )
知识点二|交集
阅读教材P9的内容，完成下列问题． (1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有 3 __元__素______组成的集合，叫做A与B的交集． (2)符号表示：A与B的交集记作 4 __A__∩_B_____，即A∩B＝{x|x ∈A，且x∈B}．
题型三 交集、并集性质的应用 【例3】 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜1或x>5}． (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得A∪B＝R，若存在，求出实数a的 值，不存在，说明理由．
高中数学必修一第1课时并集和交集课件
3 ． (2015· 全国高考江苏卷， 1 题 ) 已知集合 A ＝ {1,2,3} ， B
＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________． [答案] 5
[解析] A∪B＝{1,2,3,4,5}，故填5.
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2 ，m,4}，A∩B＝{2,3} ，则 m＝________. [答案] 3 [解析] 因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B.所以m＝3.
4x＋y＝6 的交集即为方程组 3x＋2y＝7
的解集．
[ 解析]
(1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}故选B.
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－ 2≤x<－1}，故选D.
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7} 4x＋y＝6 ＝x，y 3x＋2y＝7 ＝{(1,2)}．
高效课堂
●互动探究
并集的概念及其运算
(1)(2015· 西宁高一检测 ) 已知集合 A ＝ {x| － 1≤x
＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝( A．{x|2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜5} ) B．{x|－1≤x≤5} D．{x|－1＜x≤5}
(2)(2015· 重庆高一检测 ) 设集合 M ＝ {1,2} ，则满足条件
(3)∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4， 解得a＝4. [答案] (1)B (2)D (3)D
[规律总结] 求两个集合并集的两个方法
(1)若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集．
(2)若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并 集，但应注意端点是否能取得．
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
必修1.1集合的含义及表示(第一课时)
1.重视课本，多看课本。课本是预习、做题、复习 最重要的资料。课本中的例题、练习题，是我们复习的 向导。因此，无论是预习、复习，都要以课本为本，多 看课本。
2.多做题。数学的题目多，变化广，但基本的题型 就那些。所以，一定要多做题，熟悉各种题型，这样 才能在作业、考试中以不变应万变。同时，不能背题。
3.对于不懂，一定要及时弄懂，不能不懂装懂。
对于不懂的问题，一定得及时问明白，否则会越积越 多，到时候就什么也听不懂的。
4. 课前做好预习，课堂上做好笔记，课后及时复习、 总结。
做好三种型笔记（典型题、难题、错题）
5、用好三本 ：练习本（作业本、课堂练习本）、 笔记本、章 集合与函数概念
1.我先自我介绍，而后请部分同学自我介 绍。
2.在介绍的过程中，同学们都不约而同地提及 “家庭”、“学校”、“班级”、等词语，
那么像“家庭”“学校”、“班级”等， 有什么共同特征？
同一类对象的汇集
鸟群 鱼群
羊群
同一类对象汇集在一起
集合
“集合”是日常生活中的一个常用词， 现代汉语解释为:同一类对象汇集在一 起，也就是把同一类的人或物等聚在 一起.
必修3
第一章 算法初步 第二章 统计
第三章 概率
必修4
第一章 三角函数 第二章 平面向量 第三章 三角恒等变换
必修5
第一章 解三角形 第二章 数列
第三章 不等式
高中数学内容简介
2.高中数学选修模块（1）：
选修1-1 选修1-2 选修2-1 第一章 常用逻辑用语 第二章 圆锥曲线与方程 选修 2-2 第一章 导数及其应用 第二章 推理与证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 选修2-3 第一章 计数原理 第二章 随机变量及其分布 第三章 统计案例
高中数学必修一教案-第一课时 对数
2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时对数1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法．[基础·初探]教材整理1 对数及相关概念阅读教材P62前四个自然段，完成下列问题．1．对数的定义一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数与自然对数(1)常用对数：我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N简记为lg_N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e≈2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN简记为l n_N.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对数的运算实质是求幂指数．( )【解析】(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√.由对数的定义可知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 指数与对数的关系以及对数的基本性质阅读教材P62最后三行至P63“例1”以上部分，完成下列问题．1．对数与指数的关系由此可得到对数恒等式：alog a N＝N(a>0且a≠1，N>0)．2．对数的基本性质性质1 零和负数没有对数性质2 1的对数为零，即log a1＝0(a>0且a≠1)性质3 底的对数等于1，即log a a＝1(a>0且a≠1)(1)若log3x＝3，则x＝( )A．1 B．3C．9 D．27【解析】∵log3x＝3，∴x＝33＝27.【答案】 D(2)ln 1＝________，lg 10＝________.【解析】∵log a1＝0，∴ln 1＝0，又log a a＝1，∴lg 10＝1.【答案】0 1[小组合作型]对数的概念(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________；(2)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是________．【精彩点拨】 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． 【自主解答】 (1)由题意可知对数式lg (2x －1)中的真数大于0，即2x －1>0，解得x >12，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)由题意可得⎩⎨⎧x ＋2>0x －2>0x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)(2,3)∪(3，＋∞)根据对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式组，可求得对数式中字母的取值范围.[再练一题]1．对数式log (2x －3)(x －1)中实数x 的取值范围是______.【导学号：97030093】 【解析】 由题意可得⎩⎨⎧x －1>02x －3>02x －3≠1，解得x >32，且x ≠2，所以实数x的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)指数式与对数式的互化(1)将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：①43＝64；②ln a ＝b ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝n ；④lg 1 000＝3；⑤log 128＝－3.(2)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n .【精彩点拨】 (1)根据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)求解； (2)由于a ，b 是指数，所以可考虑用对数式表示出a ，b ，再把它们代入式子中．【自主解答】 (1)①因为43＝64，所以log 464＝3. ②因为ln a ＝b ，所以e b ＝a .③因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝n ，所以log 12n ＝m .④因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.⑤因为log 128＝－3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8.(2)∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4. ∵log a 3＝n ，∴a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．[再练一题]2．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( ) A.107 B.710 C.1049 D.4910【解析】 由a ＝log 310，b ＝log 37，得3a ＝10,3b ＝7.故3a －b＝3a 3b ＝107.【答案】 A [探究共研型]对数的基本性质探究1 你能推出对数恒等式alog a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 【提示】 因为a x ＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x ＝N 可得alog a N ＝N . 探究2 如何解方程log 4(log 3x )＝0?【提示】 借助对数的性质求解，由log 4(log 3x )＝log 41，得log 3x ＝1，∴x ＝3.(1)设5log 5(2x －1)＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．13 C ．100D ．±100(2)若log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1，求x 的值． 【精彩点拨】 (1)利用对数恒等式alog a N ＝N 求解； (2)利用“底数”的对数为1，求解．【自主解答】 (1)由5log 5(2x －1)＝25，得2x －1＝25，所以x ＝13. 【答案】 B(2)由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1， 得⎩⎨⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－13x 2＋2x －1>02x 2－1>0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，要注意其结构特点：它们是同底的；指数中含有对数的形式；其值为对数的真数.[再练一题]3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值. 【导学号：97030094】【解】 ∵log 2(log 3(log 4x ))＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3， ∴x ＝43＝64. 同理求得y ＝16. ∴x ＋y ＝80.1．下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．【答案】 C2．已知log x 8＝3，则x 的值为( ) A.12B ．2C ．3D ．4 【解析】 由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 【答案】 B3．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是( ) 【导学号：97030095】 A.54≤x ＜2 B.52＜x ＜2 C.54＜x ＜2或x ＞2 D ．2≤x ≤3 【解析】 x 应满足⎩⎨⎧4x －5>0x －1>0x －1≠1，∴x >54，且x ≠2.【答案】 C4．已知log x 116＝－4，则x ＝( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4【解析】 ∵log x 116＝－4，∴x －4＝116，即1x 4＝116.又∵x >0，且x ≠1，∴x ＝2.【答案】 C5．求下列各式中的x ：(1)log 2x ＝－23；(2)log5(log2x)＝0.【解】(1)x＝2－23＝⎝⎛⎭⎪⎫1223.(2)log2x＝1，x＝2.。
【课件】等式性质与不等式性质+第一课时不等关系与不等式高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
限时小练
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒12厘米，人跑开的速度是 每秒 4 米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到 100 米以外的安全区，导 火索的长度 x(厘米)应该满足的不等式为( )
巩固与练习(3)
例 3. 已知 a>0，求证：a＋a1≥2.
证明 法一利用 a2＋b2≥2ab.
∵a>0， ∴a＋a1＝(
a)2＋
1 2 a
≥2 a·1a＝2. 当且仅当 a＝1 时，等号成立．
法二
∵a＋a1－2＝(
a)2＋
1a2－2
＝
a－ 1a2≥0，
∴a＋a1≥2.
深化与思考
1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比 较法，其关键是作差变形，判断差的符号．
全票，其余人可享受 7.5 折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折
优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队
的收费哪家更优惠．
限时小练
限时小练
限时小练
简解答：
课堂作业
1、练习1,2,3 2、预习 本节剩余部分。
本节内容结束 THANKS
代数复习 等式
数式 不等式
复习引入 方程(组)
一元一次不等式(组)
函数
解不等式（组）的理论依据是什么？ 方程（组）、不等式与函数之间有什么联系？
复习引入
常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言 表述吗？
文字语言 大于 小于
大于或等于（不小于） 小于或等于（不大于）
符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤
新教材苏教版高中数学选择性必修一第一课时 充分条件、必要条件
1.2.3充分条件、必要条件第一课时充分条件、必要条件课标要求 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.素养要求通过对充分、必要条件的学习和理解，体会充分、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理与数学抽象素养.1.思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若x2－4x＋3＝0，则x＝1；(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.提示在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题.2.填空充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件温馨提醒对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；④推出为充分，被推出为必要；⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q；显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.3.做一做(1)“a>3且b>3”是“a＋b>6，ab>9”的________条件(填“充分”或“必要”).(2)“a＝b”是“ac＝bc”的________条件(填“充分”或“必要”).答案(1)充分(2)充分题型一充分条件的判断例1 下列命题中，p是q的充分条件是________.①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；④p：a>2，且b>2，q：a＋b>4，ab>4.答案③④解析①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件.③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件.④由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，∴p是q的充分条件.思维升华充分条件的判断方法第一步：确定谁是条件，谁是结论；第二步：尝试由条件推结论；第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件.训练1 判断下列各题中p是否是q的充分条件：(1)p：x2＝y2，q：x＝y；(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0；(3)p：整数a能被4整除；q：整数a的个位数字为偶数；(4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此p⇒/ q，∴p不是q的充分条件.(2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，∴p⇒q，∴p是q的充分条件.(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，∴a的个位数字为偶数，∴p⇒q，∴p是q的充分条件.(4)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴x＝1且y＝2，∴(x－1)(y－2)＝0，∴p⇒q，∴p是q 的充分条件.题型二必要条件的判断例2 判断下列各题中q是否是p的必要条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：x＝1，q：x－1＝x－1；(3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；(4)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.解(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此p q，∴q不是p的必要条件.(2)当x＝1时，x－1＝x－1＝0，∴p⇒q，∴q是p的必要条件.(3)设A＝[－2，5]，B＝[－1，5]，则B A，∴p⇒/ q，∴q不是p的必要条件.(4)等边三角形一定是等腰三角形，∴p⇒q，∴q是p的必要条件.思维升华必要条件的判断方法第一步：确定谁是条件，谁是结论；第二步：尝试由条件推结论：第三步：若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件.训练2 判断下列各题中q是否是p的必要条件：(1)p：a是1的平方根，q：a＝1；(2)p：4x2－mx＋9是完全平方式，q：m＝12；(3)p：a是无理数，q：a是无限小数；(4)p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等.解(1)1的平方根是±1，∴p q，∴q不是p的必要条件.(2)∵4x 2－mx ＋9＝(2x ±3)2，∴m ＝±12，∴p q ，∴q 不是p 的必要条件.(3)∵无理数是无限不循环小数，∴p ⇒q ，∴q 是p 的必要条件.(4)若a 与b 互为相反数，则a 与b 的绝对值相等，∴p ⇒q ，∴q 是p 的必要条件.题型三 充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a ，a <0}.q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}.因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 迁移 将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”，其他条件不变，求实数a 的取值范围.解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a ，a <0}.q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}.因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0. 所以a 的取值范围是[－1，0).思维升华 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.训练3 (1)设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________.答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.(2)若A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1，或x >3}，且“a <x <a ＋2”是“x <－1或x >3”的充分条件，则实数a 的取值范围为________.答案 {a |a ≤－3，或a ≥3}解析 因为“a <x <a ＋2”是“x <－1或x >3”的充分条件，所以A ⊆B ，又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1，或x >3}.因此a ＋2≤－1或a ≥3，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－3，或a ≥3}.[课堂小结]1.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.3.(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.一、基础达标1.设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A.既充分也必要条件B.充分条件但不是必要条件C.必要条件但不是充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析因为{x|－1<x<3}{x|x<3}，所以p是q成立的必要条件，但不是充分条件.2.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既充分也必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由x，y均为奇数，可以推出x＋y为偶数；但x＋y为偶数，如x＝2，y＝4，推不出x，y均为奇数，故选A.3.设x∈R，则“x＞12”是“2x2＋x－1＞0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既充分也必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当x ＞12时，2x 2＋x －1＞2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12－1＞0；而当2x 2＋x －1＞0时， 如x ＝－3时，不满足x ＞12.故选A.4.(多选)下列式子，能使1a <1b 成立的充分条件有( )A.a <0<bB.b <a <0C.b <0<aD.0<b <a答案 ABD解析 A 中，当a <0<b 时，1a <0<1b ；B 中，当b <a <0时，1a <1b <0；C 中，当b <0<a 时，1b <0<1a ；D 中，当0<b <a 时，0<1a <1b ，故能使1a <1b 成立的充分条件有ABD.5.已知集合A ＝(－1，3)，B ＝(－1，m ＋1)，若x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A.[2，＋∞)B.(－∞，2]C.(2，＋∞)D.(－2，2) 答案 A解析 因为x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，所以A ⊆B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2.6.设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的________条件(填“充分”或“必要”).答案 充分解析 若“四边形ABCD 为菱形”，则“对角线AC ⊥BD ”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.7.已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“a>b”的________条件(填“充分”或“必要”).答案必要解析a>b可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出a>b.8.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________.答案②③④解析由于x2<1即－1<x<1，故①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意.9.下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1.解(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，a2＋b2＝0⇒a＋b＝0.∴p是q的必要条件，但不是充分条件.(2)∵四边形是正方形⇒四边形的四条边相等，四边形的四条边相等四边形是正方形，∴p是q的充分条件，但不是必要条件.(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充分条件也是必要条件.10.试说明0<m<14是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件.解 若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－12m >0，3m >0，∴0<m <13.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0<m <14⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0<m <13， 因此0<m <14是方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等实根的充分条件，但不是必要条件.二、能力提升11.(多选)使不等式2x －4≥0成立的一个充分条件可以是( )A.x >2B.x ≤0或x ≥2C.x ∈{2，3，5}D.x ≥2 答案 ACD解析 2x －4≥0，得x ≥2，故选ACD.12.设x ，y 是两个实数，使“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的一个充分条件是( )A.x ＋y ＝2B.x ＋y >2C.x 2＋y 2>2D.xy >1 答案 B解析 对于A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但“x ，y 中至少有一个数大于1”不成立；对于C ，D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但“x ，y 中至少有一个数大于1”不成立，也不符合题意.13.已知M ＝{x |a －1<x <a ＋1}，N ＝{x |－3<x <8}，若M 是N 的充分不必要条件，求a 的取值范围.解 ∵M 是N 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1<8或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2，7].三、创新拓展14.“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的________条件，“x 2－x －2＝0”是 “x ＝－1”的________条件(用“充分”“必要”填空).答案 充分 必要解析 由x ＝－1⇒x 2－x －2＝0，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分条件，但x 2－x －2＝0时，x ＝－1或x ＝2，不一定得到x ＝－1，故“x 2－x －2＝0”是“x ＝1”的必要条件.。
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1．下列各组对象中不能构成集合的是()
A．水浒书业的全体员工
B．《优化方案》的所有书刊
C．2010年考入清华大学的全体学生
D．美国NBA的篮球明星
解析：选D.A、B、C中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．
2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是()
①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.
A．1B．2
C．3 D．4
解析：选B.①②正确，③④错误．
3．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素()
A．2个B．3个
C．4个D．无数个
解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．
4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析：由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
答案：3
1．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()
A．梯形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
答案：A
2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()
A．0∈A B．a∉A
C．a∈A D．a＝A
答案：C
3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()
①教2011届高一的年轻教师；
②你所在班中身高超过1.70米的同学；
③2010年广州亚运会的比赛项目；
④1,3,5.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．
4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c .
5．下列各组集合，表示相等集合的是( )
①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}；
②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}；
③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}．
A ．①
B ．②
C ．③
D ．以上都不对
解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.
6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52
，y ＝3＋2π，则有( )
A ．x ∈M ，y ∈M
B ．x ∈M ，y ∉M
C ．x ∉M ，y ∈M
D ．x ∉M ，y ∉M
解析：选B.∅x ＝13－52
＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .
7．已知①5∈R ；②13
∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．
解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确．
答案：3
8．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ；
当a ＝4时，6－a ＝2∈A ；
当a ＝6时，6－a ＝0∉A ，
所以a ＝2或a ＝4.
答案：2或4
9．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b
的可能取值组成的集合中元素的个数为________． 解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b
＝2； 当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b
＝0； 当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b
＝－2. 所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.
答案：3
10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．
解：∵－3∈A ，
∴－3＝a －3或－3＝2a －1.
若－3＝a －3，则a ＝0，
此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a －1，则a ＝－1，
此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.
11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3
是不是集合A 中的元素？
解：∵12－3
＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ，即12－3
∈A . 12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．
解：根据集合中元素的互异性，有
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝
b 2
b ＝2a ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0
b ＝0或
⎩⎨⎧
a ＝14
b ＝1
2.
再根据集合中元素的互异性，
得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0
b ＝1或
⎩⎨⎧ a ＝14
b ＝1
2.。