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数值分析试题与答案解析
范文 范例 指导 学习数值分析试题一、 填空题( 2 0 ×2′)1.3 22A1, X2 3设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值,则 x 有2位有效数字。
2. 若 f ( x)= x 7 - x 3 + 1 , 则 f [2 0,2 1,2 2,2 3,2 4 ,2 5,2 6,2 7]= 1,123456780 。
f [2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ]=3. 设,‖ A ‖∞=___5 ____ ,‖ X ‖∞=__ 3_____ ,‖AX ‖∞≤_15_ __ 。
4. 非线性方程 f ( x)=0 的迭代函数 x= ( x) 在有解区间满足| ’( x)| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
a b 上的三次样条插值函数S x 在 a b 上具有直到 2 阶的连续导数。
5.区间[,]( ) [ , ]6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
n7. 拉格朗日插值公式中 f ( x i ) 的系数 a i ( x) 的特点是:a i ( x )1;所i 0以当系数 a i ( x) 满足 a i ( x)>1,计算时不会放大 f ( x i )的误差。
8. 要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%,至少要取 4位有效数字。
9. 对任意初始向量 X (0) 及任意向量 g ,线性方程组的迭代公式x ( k+1) Bx ( k) g k=0,1,⋯ )= + (收敛于方程组的精确解 x* 的充分必要条件是(B)<1。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。
范文范例指导学习x00.51 1.52 2.5 y=f ( x)-2-1.75-10.252 4.25 11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。
数值分析习题和答案解析(最新整理)
(1)
要使
应满足().
(2) 已知方程组
,则解此方程组的
Jacobi 迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度 R(B)=
公式(6.13)直接计算即可。
对
,取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。
按式(6.11)求出
,按式(6.13)求得
,
积分
2. 用 Simpson 公式求积分 ,并估计误差 解:直接用 Simpson 公式(6.7)得
由(6.8)式估计误差,因
,故
3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量 高,并指明求积公式所具有的代数精确度.
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11. 填空题
(1) 满 足 条 件
的插值多项式
p(x)=( ).
(2)
,则 f[1,2,3,4]=( ),f[1,2,3,4,5]
=( ).
(3) 设
为互异节点, 为对应的四次插值基函
数,则
=( ),
=( ).
(4) 设
是区间[0,1]上权函数为 ρ(x)=x 的最
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误差估计由公式(5.19)得
这里 仍为 0.565 8. 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x),使 它 满 足
解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处
可先造 使它满足
,显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
,再令
由 p(2)=1 求出 A= ,于是
5.计算
取 ,利用 :
式计算误差最小。
四个选项: 第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
(2)用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 , f x
x
,
xk
1
2k k
1, 2,3,
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3,所以,有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x,则0 (x) 1 ,1(x) x ,这样,有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以,法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程,得到
a1
4
,
a0
11 6
故,所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex , x [0,1] ,试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 , span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解:
1
4
x1
1 5
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称: 数值分析 专业年级: 2009级(研究生) 考生学号: 考生姓名: 试卷类型: A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A = ,1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件:。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
(10分)四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组: ,12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦(10分)七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式,并判断其是否收敛(10分)八.就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
数值分析练习题附答案
1
2-3 对矩阵 A 进行 LDLT 分解和 GGT 分解,求解方程组 Ax=b,其中
16 4 8
1
A=( 4 5 −4) , b=(2)
8 −4 22
3
解:(注:课本 P26 P27 根平方法)
设 L=(l i j ),D=diag(di),对 k=1,2,…,n,
其中������������=������������������-∑������������=−11 ���������2��������� ������������
������31=(������31 − ∑0������=1 ������3������������1������ ������������)/ ������1=186=12
������32=(������32
−
∑1������=1
������3������������2������
������������ )/
6.6667
,得 ������3 = 1.78570
−1 209
������4
0
������4
0.47847
(
56
−1
780 (������5) 209)
(200)
(������5) ( 53.718 )
1 −1
4
1 −4
15
������1
25
������2
6.6667再由1源自− 15561
− 56
209
x (k1) 1
1 5
(12
2 x2( k )
x (k) 3
)
2 5
x (k) 2
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个算法用于求解线性方程组?A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案:B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型?A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案:C3. 多项式插值中,拉格朗日插值法的特点是:A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案:B4. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解非线性方程?A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案:B5. 以下哪个是数值稳定性的指标?A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案:C二、简答题(每题10分,共20分)1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案:高斯消元法是一种直接解法,通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式,然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作:行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性,并举例说明。
答案:数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如,某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差,导致结果不可靠,这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题(每题15分,共30分)1. 给定线性方程组:\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组,并给出解。
答案:首先将增广矩阵转换为上三角形式,然后回代求解,得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \),使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值,并求出插值多项式。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点:有效数字,相对误差、绝对误差定义及关系;误差分类;误差控制的基本原则;。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字.A .4和3B .3和2C .3和4D .4和4 答案:A2. 设 2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得的近似值x=___________ .答案:2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点:二分法N 步后根所在的区间,及给定精度下二分的次数计算;非线性方程一般迭代格式的构造,(局部)收敛性的判断,迭代次数计算; 牛顿迭代格式构造;求收敛阶;1.用二分法求方程012=--x x 的正根,要求误差小于0.05。
(二分法)解:1)(2--=x x x f ,01)0(<-=f ,01)2(>=f ,)(x f 在[0,2]连续,故[0,2]为函数的有根区间。
"(1)计算01)1(<-=f ,故有根区间为[1,2]。
(2)计算041123)23()23(2<-=--=f ,故有根区间为]2,23[。
(3)计算0165147)47()47(2>=--=f ,故有根区间为]47,23[。
(4)计算06411813)813()813(2>=--=f ,故有根区间为]813,23[。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷(A 卷)2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题(每小题2分,共10分)1. 用计算机求1000100011n n=∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。
( )2. 为了减少误差,进行计算。
( )3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关。
( )二、填空题(每空2分,共36分)1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____,2x =______,Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积,即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =,其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则L =_______________,U =______________;若使用克劳特消元法解AX B =,则11u =____;若使用平方根方法解AX B =,则11l 与11u 的大小关系为_____(选填:>,<,=,不一定)。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题一、 填空题(2 0×2′)1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值,则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ,f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=ni i x a 0)( 1 ;所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。
(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意:1、本试卷共3页;2、考试时间:120 分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方;一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则1A 6= (1分),∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .(2分)4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根,迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.(2分)6.为尽量避免有效数字的严重损失,当1>>x 时,应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.(2分)7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、(10分)用最小二乘法解下列超定线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解:23222121,e e e x x ++=)(ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ(8分)得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x , 7112=x所以最小二乘解为: 7231=x 7112=x . (10分)三、(10分)已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式,小区间数4=n ,步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=(5分) 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= (10分)四、(12分)初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(, 试证明: 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为:),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得:)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得:bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y (10分)因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.(8分)())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x(10分)六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx (5分) 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k (10分)线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、(10分)试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式,并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (10分)八、(12分)已知43,21,41210===x x x 1)推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式;2)指明求积公式所具有的代数精度.解:1)过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ,其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为:⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2)上述求积公式是由二次插值函数积分而来的,故至少具有2次代数精度,再将43,)(x x x f =代入上述求积公式,有:⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、(10分)学完《数值分析》这门课程后,请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案**注意:以下是一份数值分析试卷及答案,试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版,以确保整洁美观,语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题(每题2分,共20分)1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域?A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中,稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的?A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题(每题3分,共30分)1. 下面关于插值多项式的说法中,不正确的是:一般情况下,插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中,如果系数矩阵A是奇异的,则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题(共50分)1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式,并选择合适的初始值进行计算。
解:割线法的迭代公式为:x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1,x1 = 2 进行计算:迭代1次得到:x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到:x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组,高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式,然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下:步骤1:将方程组表示为增广矩阵形式,即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2:从第一行开始,选取第一个非零元素作为主元,然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
数值分析试题(卷)和答案解析
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称: 数值分析 专业年级: 2009级(研究生) 考生学号: 考生: 试卷类型: A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A = ,1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?2. 什么是不动点迭代法?()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点?3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件:i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
(10分)四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组:12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦(10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式,并判断其是否收敛?(10分)八.就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列关于数值分析的说法,错误的是()。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案:B2. 在数值分析中,插值法主要用于()。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案:D3. 线性方程组的解法中,高斯消元法属于()。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案:A4. 牛顿法(Newton's method)是一种()。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案:C5. 在数值分析中,下列哪种方法用于求解非线性方程的根?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案:B6. 下列关于误差的说法,正确的是()。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案:C7. 在数值分析中,下列哪个概念与数值稳定性无关?A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案:D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x,下列哪一项是正确的?A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案:A9. 插值多项式的次数最多为()。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:B10. 下列关于数值积分的说法,错误的是()。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 在数值分析中,条件数是衡量问题的______。
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模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)y f (X y)5.解初始值问题的改进的Euler 方法是 ________ 阶方法;y(X o ) y o5x-| 3X 2 0.1x 3 36 .求解线性代数方程组2x , 6X 2 0.7X 3 2的高斯一塞德尔迭代公式为X 1 2X 2 3.5x 3 1若取 X (0) (1. 1.1).则 X ⑴ ______________7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 _______________ .&丨o (x). h(x).L . l n (X)是以整数点X o . X 1.L . X n .为节点的Lagrange 插值基函数,则nxj j (X k )= ----------------- .k 09.解方程组Ax b 的简单迭代格式X (k 1} Bx (k) g 收敛的充要条件是 ___________________ .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ___________________ ,其误差估计式为 _________________________ .二、综合题(每题10分,共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足:p(1) 15,p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57 , p(2) 72.112.构造代数精度最高的形式为 °xf(x)dx A )f (3)Af(1)的求积公式,并求出1 5 232.设A2 1 0 , x 41422,贝V A =——.,X 广 ----------- 3.已知y=f(x)的均差14flX 0.X 1.X 2]— , flX 1.X 2.X 3]3^5 , flX 2.X 3.X 4]39115,8Hx o .X 2.X 3]- 3,那么均差 f [X 4,X 2, X 3]=4.已知n=4时Newton — Cotes 求积公式的系数分别是:C 04)-,C i (4)9016C (4) .C 2 451有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)其代数精度.x k x k 13.用Newt on 法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求 --------------- ----- 10X k25.用矩阵的直接三角分解法解方程组1 02 0X15 0 1 0 1 X 2 3 1 2 4 3 X 317 . 0 1 03 X 476试用数值积分法建立求解初值问题y f (: x ,y)的如下数值求解公式y(0) y o1 32 1 ⑷10. -x x -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题y n 1y n 1hi (fn1 4fnf n 1),其中f i f (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分) 设对任意的x ,函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0 —的任意,迭代格式X k 1 X k f (xj 均收敛于f (x) 0的根x *.M参考答案一、填空题91, 16 1. 5 ; 2. 8, 9 ; 3.; 4.1545才1)(3 3x 2k) 0.1x 3k))/5 6. x 2k1)(2 2x (k1) 0.7x 3k))/6 , x 3k1)(1 才1) 2x 2k ")*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. x k 1X kX k f(X k ) . 8 1 f (X k )'X j . 9.(B) 1.p(x) 1520( x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x 2 2x 3 x 4其他方法: 设 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72,求出 a 和 b.2•取f(x) 1,x ,令公式准确成立,得:5•解设1 02 0 11 020 1 0 1 l 21 1u22u 23 u 24 1 2 4 3l31 l321u33u340 1 0 3l 41l42 l 43 1u 44由矩阵乘法可求出U jj 和l ij1 1A 。
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模 拟 试 卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)1.有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2.设,,则=.,= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3.已知y =f (x )的均差(差商),,,01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4.已知n =4时Newton -Cotes 求积公式的系数分别是:则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C = .)4(3C 5.解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法;0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6.求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为,123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7.求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8.是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数,则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9.解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10.设,则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ,其误差估计式为 .二、综合题(每题10分,共60分)1.求一次数不超过4次的多项式满足:,,()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=,.(2)57p =(2)72p '=2.构造代数精度最高的形式为的求积公式,并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3.用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4.用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩,1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题(10分)设对任意的,函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意,迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1.5; 2. 8, 9 ; 3.; 4. ; 5. 二; 911516456. , (0.02,0.22,0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1.差商表:11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法:设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令,,求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2.取,令公式准确成立,得:()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时,公式左右;时,公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3.此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。
设) ,2(∞s 2ln )(--=x x x f 则, ,Newton 法迭代公式为xx f 11)('-=2''1)(xx f =, 1)ln 1(/112ln 1-+=----=+k k k k k k k k x x x x x x x x ,2,1,0=k 取,得。
30=x 146193221.34=≈x s 4. ,,.2{1,}span x Φ=2222111119253038T⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 19.032.349.073.3T ⎡⎤=⎣⎦y 解方程组,其中 ,TT =A AC A y 3330433303416082T⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A 解得:1.416650.0504305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C 所以, .0.9255577a =0.0501025b =5.解 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡443433242322434241323121020111113010342110100201u u u u u ul l l l l l 由矩阵乘法可求出和ij u ijl ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10101211011111434241323121l l l l l l⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21210102010201443433242322u u u u u u解下三角方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173510101211014321y y y y 有,,,.51=y 32=y 63=y 44=y 再解上三角方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡463521************x x x x 得原方程组的解为,,,.11=x 12=x 23=x 24=x 6 解 初值问题等价于如下形式,11()()(,())n xn x y x y x f x y x dx --=+⎰取,有,1n x x +=1111()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx +-+-=+⎰利用辛卜森求积公式可得.1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-≈+++三、证明题证明 将写成,()0f x =()()x x f x x λϕ=-@由于,所以()[()]1()x x f x f x ϕλλ'''=-=-|()||1()|1x f x ϕλ''=-<所以迭代格式均收敛于的根.1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x模 拟 试 卷(二)一、填空题(每小题3分,共30分)1.分别用2.718281和2.718282作数的近似值,则其有效位数分别有 位和位e ;2. 设,,则= ________,= .102110382-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 131-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x 1A 2x 3.对于方程组, Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=________.⎩⎨⎧=-=-341015 22121x x x x J G 4.设,则差商=__________,=_______.1)(3-+=x x x f []3 ,2 ,1 ,0f []0, 1, 2, 3,4f 5.已知, 则条件数_________.1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ()Cond ∞A 6.为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度,则其求积1011()()()f x dx f x f x -=+⎰基点应为=__________, =__________0x 1x 7.解初始值问题近似解的梯形公式是0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩1k y +≈8.求方程根的弦截法迭代公式是 ()0f x =9. 计算积分,取4位有效数字,用梯形公式计算求得的近似值是, 用辛卜1⎰生公式计算的结果是10.任一非奇异矩阵的条件数= ,其一定大于等于A ()Cond A ()Cond A 二、综合题(每题10分,共60分)1证明方程在区间有且只有一个根,若利用二分法求其误差不超过1sin x x -=[0,1]近似解,问要迭代多少次?41102-⨯2 已知常微分方程的初值问题:,1 1.2,(1)2dy xx dx yy ⎧=<<⎪⎨⎪=⎩试用改进的Euler 方法计算的近似值,取步长.(1.2)y 0.2h =3用矩阵的分解法解方程组 .TLDL 1233351035916591730x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦4 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合.1y a bx=+x 1.0 1.41.82.2 2.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 设方程组,试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代0.40.410.40.820.40.83x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩法的收敛性。
6按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值,取初始向量411132123-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ,迭代两步求得近似值即可.(0)(1,0,0)T =x (2)λ三、证明题(10分)已知求)0(>a a 的迭代公式为:2,1,00(2101=>+=+k x xa x x kk k 证明:对一切 , 且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛.1,2,,k = k x ≥k x 参考答案一、填空题1.6, 7; 2.; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9; 6.; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.207. ;11[(,)(,)]2k k k k k hy f x y f x y ++++8. ; 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 1111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---1-A A 二、综合题1解令,则,,且()1sin f x x x =--(0)10f =>(1)sin10f =-<()1cos 0f x x '=--< 故在区间内仅有一个根.1sin x x -=[0,1]*x 利用二分法求它的误差不超过的近似解,则 41102-⨯*41111||1022k k x x -++-≤≤⨯解此不等式可得 4ln1013.2877ln 2k ≥=所以迭代14次即可.2、解:1002101(,)0.5,(,)0.571429,k f x y k f x y hk ===+=1012()20.1(0.50.571429) 2.10714292hy y k k =++=+⨯+=3 解 设 3112132221331323351135911591711l d l l d l d l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用矩阵乘法可求得,,,, ,13d =22d =323d =211l =3153l =322l =解方程组 得,1231101116530321y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦123410,6,3y y y ===再解方程组 得.111122133531110126413d x d x d x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1231,1,2x x x ==-=4解 令,则容易得出正规方程组1Y y=Y a bx =+,解得 .5916.971917.835.3902a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2.0535,3.0265a b =-=故所求经验公式为 .12.05353.0265y x=-+ 5 解(1)由于30.40.4()0.40.80.960.2560.40.8J f λλλλλλ==-+,(1)10.980.2560J f -=-++>(2)8 1.960.2560J f -=-++<所以在内有根且,故利用雅可比迭代法不收敛.()0J f λ=(2,1)--i λ||1i λ>(2)由于20.40.4()0.40.8(0.8320.128)0.40.8G f λλλλλλλλλλ==-+所以,故利用高斯-赛德尔迭代法收敛.()0.832G ρ<6 解 因为,故,(0)[1,0,0]T =x (0)1∞=@@x 且,.[](1)(0)4,1,1T==-yAx (1)(1)max()4y λ==从而得,,.(1)(1)(1)11/[1,,44T ∞==-@@x y y (2)(1)999[,,]244T ==-y Ax (2)(2)9max()2y λ==三、证明题 证明: 由于11(0,1,2,2k k kax x k x +=+≥= 故对一切,,又k k x ≥1211(1)(11)122k k k x a x x +=+≤+=所以 ,即序列是单调递减有下界,从而迭代过程收敛.1k k x x +≤{}k x模 拟 试 卷(三)一、填空题(每小题3分,共30分)1.设是真值的近似值,则有位有效位数,相对误差限为2.40315a = 2.40194x =a ;2. 若用二分法求方程在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对()0f x =分次。