初中数学(最短路径问题)典型题型和解题技巧讲课稿
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。
步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。
步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。
则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。
步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。
③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。
《最短路径问题》PPT课件教学
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
初中数学人教版八年级上册第一课时《最短路径问题》教育教学课件
如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
A∙
l
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得 AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短.
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则
AC和BC的大小关系是什么？ l
C
A
B
容易得出，AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
1、利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实 际问题转化为数学问题的思想.
∙B
A∙
你能证明这个结论吗？
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是 最小的，故点C的位置符合要求.
思考：相传古希腊亚历 大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一 天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的a地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到b地.到河边什么地方 饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这 个问题后来被称为“将军饮马问题”.
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
最短路径问题说课稿
C
山Q
河岸
P
A
大桥
B
五、教学设计
课堂小结
将生活实例转化成 数学模型 通过轴对称解决最 短路径问题
课堂小结，布置作业
布置作业
教科书复习 题13第15题
六、教学评价
初中生在初学最值问题时是有一定难 度的，通过以教师为主导，以学生为主体 的教学模式，让师生合作探究，学生小组 讨论及时分析结果，加强了学生推理能力 的培养，创建科学课堂、高效课堂。
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
最短路径问题
一、教材分析 二、学情分析 三、教学目标 四、教法分析 五、教学设计 六、教学评价
一、教材分析 （一）教材的地位作用
在学习了轴对称之后，进一步理解并 掌握“两点之间，线段最短”。通过实际 的生活问题让学生经历实际问题抽象成数 学的线段最短问题，为以后学习更多的最 值问题打下基础。
追问1：你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
五、教学设计
合作探究，探索新知
追问1 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B
A·
l
五、教学设计
合作探究，探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
A
·
C′ C
B
·
B′
五、教学设计
逻辑证明，检验发现
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
![（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧](https://img.taocdn.com/s3/m/078676f277a20029bd64783e0912a21614797f76.png)
（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：最短路径--说课稿
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：最短路径–说课稿一. 教材分析《最短路径》是人教版初中数学八年级上册的一章内容，主要介绍了最短路径问题的相关知识。
本章内容是学生在学习了图论的基础上，进一步探究图的应用。
通过本章的学习，学生能够理解最短路径的概念，掌握最短路径的求解方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于复杂的最短路径问题，学生还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，我将会以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力和思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解最短路径的概念，掌握最短路径的求解方法。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径的概念，最短路径的求解方法。
2.教学难点：对于复杂的最短路径问题，如何引导学生找到解决方法。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究最短路径问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，以动画、图片等形式，直观地展示最短路径问题的解决过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对最短路径的兴趣。
2.探究：引导学生分组讨论，自主探究最短路径的求解方法。
3.展示：各小组展示自己的探究成果，其他小组进行评价。
4.讲解：对学生的探究成果进行总结，讲解最短路径问题的解决方法。
5.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强调最短路径在实际生活中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下：最短路径问题1.定义：从图中一个顶点到另一个顶点的最短路径。
2.求解方法：a.迪杰斯特拉算法b.贝尔曼-福特算法c.动态规划法八. 说教学评价本节课的评价方式主要有两种：一是课堂表现，包括学生的参与度、思考问题的深度等；二是课后作业，包括练习题的完成情况、对知识的掌握程度等。
最短路径问题(第一课时) 课件 初中数学人教版八年级上册(2021-2022学年)
P
PC最短
AB C D
垂线段最短
l
初中数学
初中数学
引例 如图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短．
作法：
连接AB，交直线l于点C
C’
点C即为所求.
依据： 两点之间，线段最短.
初中数学
例 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮 马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马， 可使所走的路径最短？ 如图，在直线 l 上求作一 点C，使CA+CB最短． 文字语言 B 符号语言
思考：如何证明这条路径最短？
B
需证明：CA+CB＜C′A+C′B
A C′ C
证明：∵ B和B’关于直线l对称
l
∴ BC=B′C，BC′=B′C′.
由两点之间，线段最短：
B'
在直线上另外任取一点C′， 连接AC′，BC′，B ′ C′
AB′ <AC′ + C′ B′ ，
∴ AC +B′C < AC′ + B′C′，
初中数学
例 如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.
思考：如何证明这条路径最短？
B
需证明：CA+CB＜C′A+C′B
A C′ C
证明：∵ B和B’关于直线l对称
l
∴ BC=B′C，BC′=B′C′.
由两点之间，线段最短：
B'
在直线上另外任取一点C′， 连接AC′，BC′，B ′ C′
AB′ <AC′ + C′ B′ ，
B A
l
C
初中数学
例 如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.
最短路径问题 说课稿
13.4课题学习最短路径问题说课稿各位评委老师大家好！我今天说课的课题是人民教育出版社八年级上册第13章第4节：课题学习最短路径问题。
一.教材分析最短路径问题是我们现实生活中常常遇到的问题，本节课通过一个实际问题的引入，让学生把实际问题抽象成数学问题，并建立数学模型，学会用数学的眼光观察现实世界，初步了解利用图形变换的方法，体会用数学思维思考现实世界。
从本章节的内容来看，本节课是在学习了轴对称之后，进一步的对“两点之间，线段最短”以及“三边关系”的应用。
它是13章轴对称知识的运用和拓展。
从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一。
本章节的教学内容是实现中考最短路径综合问题解决的基础，因此有着非常重要的作用。
所以本节课的重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。
学情分析作为八年级的学生，已经学习了轴对称相关的简单知识，掌握了两点之间线段最短的相关理论，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，思维活跃，敢于尝试IS此之外，他们很少涉及到最值问题，在解决这方面的经验不足。
尤其是将在“同侧”转化到“异侧”的过程中。
为什么需要这样转化？一些学生存在理解和操作上的困难。
因此，本节课的难点是：思考用什么样的方法将最短路径问题转换为“两点之间，线段最短”的问题。
以及如何证明此路径最短。
Ξ.教学目标基于以上分析，我确定我的教学目标是：1.通过轴对称变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，渗透转化思想。
2.通过实际问题的提出，学生能抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所学过的知识完成严谨的推理过程，然后再以此为据解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
四，教法学法分析教学活动中，教师应把学生看做一个能动的个体，让他们自己感受获得知识的过程，丰富数学活动经验，因此我选择用三种方法来展开教学1∙启发式教学。
通过搭建台阶，让学生先探究“异侧”容易解决的问题，然后适时的点拨学生通过图形的变化把“同侧”难解决的问题转换为“异侧”容易解决的问题。
初中数学最短路径问题(经典版)分析
最短路径问题（经典版）
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】。
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初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE,所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE,则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC,即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D,2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E,3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ， 则CM+MN+CN 最短例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C 关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G.H ，则CG+GH+DH 最短 四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优· · C D A B E a A O B E NC M A· B M N E A O BD ·CH F G ED设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？（5或4）四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B．C．D．5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将圆柱体展开，连接A、C，∵==•π•=4，BC=3，根据两点之间线段最短，AC==5．故选D．五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；所以最短路径长为cm．例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B．C．5 D．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解：有两种展开方法：①将长方体展开成如图所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==；②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB==5＜；所以最短距离 5例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．分析：根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，在Rt△ABC中，AC===4．例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为：=2.60米．例：如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。
分折：作D关于OC的对称点D’，于是有PA+PD’≥AD’,（当且仅当P运动到P处，等号成立，易求AD’=3。
o六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则，则2×π×2=， 解得：n=90°，由勾股定理求得它的弦长AA一、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 上一定点，且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。
分析：作E 关于BD 对称点E ’，E ’在AB 上，有PE+PC=PE ’+PC ≥E ’C 易求E ’C=26。
二、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求 m n。
分折:因AB 长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短,作B 关于y 轴对称点B ’,A 关于x 轴对称点A ’,DA+DC+BC=DA ’+DC+B ’C ≥B ’A ’(当D,C 运动到AB 和x 轴y 轴的交点时等号成立),易求直线A ’B ’解折式y=23x +73,C0(0,73),D0(-72,0),此时m n =- 23三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.例：如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P 分别为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值n ×π×8 180分折:作E关于AC所直线的对称点E’,于是有,PE+PF=PF+PE’≥E’F,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短,易求E0F=3。
R，求△PQR周长的最小值。
分折：作P关于OA，OB对称点P1，P2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，由对称性易知△P1OP2为等腰RT△,OP=OP1=OP2=10,P1P2=102总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。