最新04平面向量(教师版)
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04平面向量(教师版)
平面向量（教师版）
一、知识梳理
1．向量的概念与线性运算
特别提醒：
1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|«Skip Record If...»|.
2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
6) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
7) 重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a«Skip Record If...»b=λa（a≠0）
8) 两个向量平行的充要条件：a∥b«Skip Record If...»a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a ∥b是a=λb的必要不充分条件.
9) 向量与有向线段的区别：
①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
2.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.
3．平面向量基本定理：如果«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是同一平面内的两个__不共线__不共线向量，那么对于这一平面内的_任一_向量«Skip Record If...»，有且只有_一对实数λ1，λ2使«Skip Record If...»=λ1«Skip Record If...»+λ2«Skip Record If...»
特别提醒：
(1)我们把不共线向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量«Skip Record If...»在给出基底«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»唯一确定的数量
4．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与«Skip Record If...»轴、
«Skip Record If...»轴方向相同的两个__单位向量_ «Skip Record
If...»、«Skip Record If...»作为基底任作一个向量«Skip Record
If...»，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数«Skip Record
If...»、«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»…………
○1，
我们把«Skip Record If...»叫做向量«Skip Record If...»的（直角）坐标，记作«Skip Record If...»…………○2
其中«Skip Record If...»叫做«Skip Record If...»在«Skip Record If...»轴上的坐标，«Skip Record If...»叫做«Skip Record If...»在«Skip Record If...»轴上的坐标，○2式
叫做向量的坐标表示与．«Skip Record If...»相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．«Skip Record If...»
．．．．．．．．．．．．．．．．．特别地，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
5．平面向量数量积（内积）的定义：
（1）已知两个非零向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，它们的夹角是θ，则数量|«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|cosθ_叫«Skip Record If...»与
«Skip Record If...»的数量积，记作«Skip Record If...»；
（2）已知两个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
特别提醒：
(1)（０≤θ≤π）.并规定«Skip Record If...»与任何向量的数量积为0
(2)两个向量的数量积的性质：设«Skip Record If...»、«Skip Record If...»为两个非零向量，«Skip Record If...»是与«Skip Record If...»同向的单位向量
(3)«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = «Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» =|«Skip Record If...»|cosθ；
(4)当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同向时，«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»= |«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|；当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»反向时，«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = -|«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|特别的«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»= |«Skip Record If...»|2或«Skip Record If...»
(5)cosθ =«Skip Record If...»；
(6)|«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»| ≤ |«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|；重要不等式：«Skip Record If...»
6．“投影”的概念：如图
定义： _____|b|cosθ_______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|
7.向量垂直的判定：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
向量平行的判定：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»≠«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»∥«Skip Record If...»(«Skip Record If...»≠«Skip Record If...»)«Skip Record If...»«Skip Record If...»
8.两向量夹角的余弦（«Skip Record If...»）cosθ = «Skip Record
If...»
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
y
x
x
+
+
+
=
特别提醒：
(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别
问题1：两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。