2020年浙江省金华十校高三模拟考试数学试卷及答案解析
金华十校2020年4月高三模拟考试 数学
金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A B P B P A =++如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()1213V S S h =++ 其中12,S S 表示台体的上、下底面积，h 表示棱台的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)(2)0},{|12}A x x x B x x =+-<=<，则A ∩B = A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x -<≤D ．{|12}x x -≤<2．若复数2()1aia i+∈-R 是纯虚数（ i 是虚数单位），则a 的值为 A ．-2B ．-1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件,4,2,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩则2z x y =+的最大值是A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a >2”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数||cos2y x x =的图象可能是6．已知在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，EF 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n =3时取出黑球的数目，η表示当n =4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是A ．()(),()()E E D D ξηξη<<B ．()(),()()E E D D ξηξη><C ．()(),()()E ED D ξηξη<>D ．()(),()()E E D D ξηξη>>8．已知函数21,0,()ln ,0,ax x f x x x ⎧+=⎨>⎩下列关于函数() ()y f x m =+的零点个数的判断，正确的是A ．当a =0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a >0，m ≤-1时，都有3个C ．当a <0，m <-1时，都有4个D ．当a <0，-1<m <0时，都有4个9．设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记WM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ则A ．,2παββγ<+>B ．,2παββγ<+<C ．,2παββγ>+>D ．,2παββγ>+<10．设a ∈R ，数列{a n }满足()311,2n n n a a a a a +==--，则 A ．当4a =时，10102a >B ．当2a =时，102a >C ．当13a =时，10102a >D ．当165a =时，102a > 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．若双曲线221x y a -=的一渐近线方程是x +2y =0，则a = ▲ ；离心率是▲ 。
2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(4月份)
2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，{|12}B x x =<„，则(A B =I ) A ．{|12}x x << B ．{|12}x x <„C ．{|12}x x -<„D ．{|12}x x -<„2．（4分）若复数2()1aia R i+∈-是纯虚数(i 是虚数单位），则a 的值为( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（4分）若x ，y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，则2z x y =+的最大值是( )A ．8B ．6C ．4D ．24．（4分）设a R ∈，则“2a >”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）在下面四个[x π∈-，]π的函数图象中，函数||cos2y x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面11ABB A 的位置关系分别为( ) A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．（4分）口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当3n =时取出黑球的数目，η表示当4n =时取出黑球的数目．则下列结论成立的是()A ．()()E E ξη<，()()D D ξη<B ．()()E E ξη>，()()D D ξη<C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη>，()()D D ξη>8．（4分）已知函数21,0(),0,ax x f x lnx x ⎧+=⎨>⎩„，下列关于函数(())y f f x m =+的零点个数的判断，正确的是( )A ．当0a =，m R ∈时，有且只有1个B ．当0a >，1m -„时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个9．（4分）设三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ，则( ) A ．,2παββγ<+>B ．,2παββγ<+<C ．,2παββγ>+>D ．,2παββγ>+<10．（4分）设a R ∈，数列{}n a 满足1a a =，31(2)n n n a a a +=--，则( ) A ．当4a =时，10102a > B ．当2a =时，102a > C ．当13a =时，10102a >D ．当165a =时，102a > 二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．（6分）若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是20x y +=，则a = ；离心率是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ，休积是 ．13．（6分）已知a R ∈，若二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n = ，含x 项的系数是 ．14．（6分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，2A π≠，cos cos 2cos c b A a B a A +-=，则ba= 内角B 的取值范围是 ．15．（4分）已知椭圆22:197x yC+=，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且FAB BFO∠=∠，则直线1的斜率为．16．（4分）已知非零平面向量ar，br，cr，满足2a b a=rr rg，32c a b=+rr r，则||||b cb cr rgr rg的最小值是．17．（4分）设a，b R∈，若函数3221()(1)32f x ax bx a x=++-在区间[1-，1]上单调递增，则a b+的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数()sin cos(0)f x x a x a=+>满足22[()][()]42f x f xπ++=．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设02πα<<，且2()()23f fπαα+=g，求sin2α．19．（15分）如图，在四棱锥C ABNM-中，四边形ABNM的边长均为2，ABC∆为正三角形，6MB=，MB NC⊥，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB AC⊥；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．（15分）设等差数列{}na的前n项和为nS，已知：5223a a=+且2a9S14a成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{}nb满足2112n n nb S s++=+，求证：121nb b b n++⋯+<+．21．（15分）如图，已知抛物线22(0)x py p=>的焦点为(0,1)F，过F的两条动直线AB，CD。
2020届浙江省金华十校高三上学期期末数学试题(解析版)
【答案】D
【解析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组；第二步，将2,4排成一排；第三步，将两组奇数插入两个偶数形成的三个空位，再由排列组合公式即可得到结论.
【详解】
解法一：直接求解
三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻，
对于D来说：幂函数中 ，选择 ，而对数函数平移后的图象应该还在直线 右侧（定义域为 ），所以D是可能的.
故选：A.
【点睛】
本题考查幂函数的图象与性质，对数函数的图象与性质以及平移问题，属于基础题.
7．已知随机变量 的分布列如下表：
0
1
记“函数 是偶函数”为事件 ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【点睛】
本题考查利用基底表示向量的线性运算，平面向量共线定理，属于基础题.
15．某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是______ .
【答案】
【解析】将三视图还原成几何体图形，进而分割成一直三棱柱与三棱锥，再利用体积公式即可.
【详解】
如图，该三视图还原的几何体，其体积可分割成一直三棱柱与三棱锥，
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）取 中点为 ，连接 和 ，可得面 面 ，进而可得结论；
（Ⅱ）法一，利用几何法求线面角；法二，建立空间直角坐标系，利用向量运算求线面角.
【详解】
法一：（Ⅰ）证明：取 中点为 ，连接 和 ，
有 ， 面 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查棱锥的结构特征，线面角的求法，两角和的正切公式，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题.
2020年浙江省金华市义乌市高考数学模拟试卷(6月份)(含答案解析)
2020年浙江省金华市义乌市高考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知，集合，，则A. B.C. D.2.双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为A. B. C. D.3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题正确的是A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则4.已知a，，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为A. B.C. D.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 127.袋子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中一次取出三个球，记随机变量是取出球的最大编号与最小编号的差，数学期望为，方差为则下列选项正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知为偶函数，，当时，，若，，则A. B. 3 C. D.9.如图，正方体，点P在上运动不含端点，点E是AC上一点不含端点，设EP与平面所成角为，则的最小值为A. B. C. D.10.已知函数，若对任意，，都有，则b的最大值为A. 1B.C. 2D. 4二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术是我国古代的数学名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，若甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？“钱”是古代的一种重量单位，则丁所得为______钱．12.已知复数z：满足为虚数单位，则复数z的实部为______，______．13.若展开式的各项系数之和为32，则______；展开式中常数项为______．14.在中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，满足，则______，若BC边上的中线，则面积的最大值为______．15.已知点满足，则满足条件的P所形成的平面区域的面积为______，的最大值为______．16.已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，，则直线的斜率为______．17.已知平面向量，满足夹角为，，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知．Ⅰ求的值域：Ⅱ若，求．19.在多面体ABCDEF中，正方形ABCD和矩形BDEF互相垂直，G，H分别是DE和BC的中点，．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ在BC边所在的直线上存在一点P，使得平面AGH，求FP的长；Ⅲ求直线AF与平面AHG所成角的正弦值．20.已知等比数列，满足，，数列满足，对一切正整数n均有．Ⅰ求数列与的通项公式；Ⅱ记，，若存在实数c和正整数k，使得不等式对任意正整数n都成立，求实数c的取值范围．21.如图，点P是抛物线上位于第一象限内一动点，F是焦点圆M：，过点P作圆M的切线交准线于A，B两点．Ⅰ记直线PF，PM的斜率分别为，，若，求点P的坐标；Ⅱ若点P的横坐标，求面积S的最小值．22.已知函数，．Ⅰ求证：当时，；Ⅱ若存在，使，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，集合，，，．故选：A．求出集合A，，由此能求出．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：根据题意，双曲线的渐近线为，又由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，即，则，则双曲线的离心率；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程求出双曲线的渐近线方程，结合题意可得，即，由双曲线的几何性质可得，结合双曲线的离心率公式可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由双曲线标准方程求出渐近线方程．3.答案：B解析：解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，则，所以，故B正确；在C中，若，，，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若，，，则n与相交、平行或，故D错误．故选：B．在A中，与相交或平行；在B中，推导出，所以；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，n与相交、平行或．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.答案：B解析：解：若，则；反之不成立，例如：取，，则，．是的必要不充分条件．故选：B．由，可得反之不成立，可举例说明．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：由图象可知，定义域为；函数为奇函数；设是函数在上的第一个极值点，则函数在上单调递增．对于选项C，，函数为偶函数，即C错误；同理可得，选项D中的函数也是偶函数，故选项D错误；对于选线B，，当时，，，，，，即在上单调递减，故B错误．故选：A．从图象可知，函数为奇函数，且在上的初始小区间里，函数在上单调递增．根据函数奇偶性的概念可排除选项C和D，利用导数判断函数的单调性，可排除选项B，从而得解．本题考查函数的图象与性质，遇到这类试题，一般从函数图象的单调性、奇偶性和特殊点处的函数值上着手考虑，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为有两个三棱柱构成的几何体．如图所示：所以：．故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：从5个球中取3个球，共有种取法，其组合分别为2，，2，，2，，3，，3，，4，，3，，3，，4，，4，，随机变量的可能取值为4，3，2，，，．，．故选：D．从5个球中取3个球，共有种取法，其组合分别为2，，2，，2，，3，，3，，4，，3，，3，，4，，4，，所以随机变量的可能取值为4，3，2，然后逐一求出每个的取值所对应的概率，再根据数学期望和方差的公式进行计算即可得解．本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为偶函数，，所以函数的周期为：4，，，则，当时，，所以．故选：D．利用已知条件求出函数的周期，通过数列的通项公式与函数的关系，求解即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的对称性，函数的周期性，数列与函数的关系的应用，考查计算能力，是中档题．9.答案：A解析：解：如图，由正方体的性质，可得平面，且在平面上的射影O为的外心．设正方体的棱长为1，则的边长为，当为AC的中点时，，，此时．在上不含端点任取一点P，在平面内过P作，则EP与平面所成角，可得．结合选项可知，的最小值为．故选：A．由已知求出AC的中点与的连线与平面所成角的余弦值，在上不含端点任取一点P，在平面内过P作，则EP与平面所成角，可得，结合选项即可得答案．本题考查直线与平面所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10.答案：C解析：解：函数，设，则；问题等价于，对任意的、，都有；即，欲使满足题意的b最大，只需考虑；当时，函数的图象与函数的图象形状相同；则，所以时显然成立；当时，，解得，所以；综上知，b的取值范围是，最大值是2．故选：C．化函数为cos x的二次函数，利用换元法设，问题等价于对任意的、，都有，即；再讨论时，利用二次函数的图象与性质，即可求出b的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，是难题．11.答案：解析：解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，．则，，，，成等差数列，设公差为d．，．整理上面两个算式，得：，解得．．故答案为：．根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决．本题主要考查将实际问题转化数学问题并加以解决的能力，以及等差数列知识点的掌握程度．本题属基础题．12.答案：2解析：解：由，得，复数z的实部为2．．故答案为：2；．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．13.答案：2 31解析：解：因为展开式的各项系数之和为32，所以：；所以：；故其展开式中常数项为：．故答案为：2，31．给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出m；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14.答案：解析：解：在中，因为，所以，因为，故，因为B为三角形的内角，故B，中，由余弦定理可得，，，当且仅当时取等号，，此时，为最大．故答案为：．由已知结合正弦定理可求cos B，进而可求B，然后利用余弦定理及基本不等式可求ac的范围，结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15.答案：解析：解：：已知点满足，设圆的圆心为点Q，则Q的坐标为，因为，所以圆心Q是在以原点为圆心以1为半径的单位圆上，点在一个半径为1的圆上，这个圆的圆心Q又在单位圆运动，如图，点的轨迹是一个圆面，这个圆面是以原点为圆心，以2为半径的圆面包括边界，如图，即：，点所形成的平面区域的面积为，故答案为：．：由知，点满足，由线性规划知，z的最大值为，故答案为：，设圆的圆心为点Q，则Q的坐标为，因为，所以圆心Q是在以原点为圆心以1为半径的圆上运动，所以，P点在一个动圆上，这个动圆的半径为常数1，圆心在单位圆上运动．本题考查图形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．16.答案：解析：解：，，即，，由题可知，点，，，设直线的方程为，，，由点到直线的距离公式有，，，，即，，，解得或舍负．故答案为：．根据椭圆的定义和几何性质，结合，可得，，而点，，，设直线的方程为，由，可知，然后利用点到直线的距离公式分别表示出，代入，化简整理后可得，解得或舍负．本题考查椭圆的定义、基本几何性质，将三角形的面积比转化为点到直线的距离比是解题的关键，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解析：解：由题意可得，则由此可得，则，不妨设，，则，因为，两边平方得，则．故答案为：根据向量三角不等式得此可得则，不妨设，，则，因为，则．本题考查向量的三角不等式，及向量的模，数量积，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ，，，故的值域为Ⅱ，则，，，，可得，，，则，，．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，利用正弦函数的性质可求其值域．Ⅱ由已知可求，利用二倍角的正切函数公式可求，根据同角三角函数基本关系式可求，，的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可求解的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：由正方形ABCD与矩形BDEF互相垂直，且交线为BD，，由平面与平面垂直的性质可得平面ABCD；Ⅱ解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，2，，2，，设2，，则，，．设平面AGH的一个法向量为．则，取，得；要使平面AGH，则，，即，0，；Ⅲ解：，由Ⅱ知平面AGH的一个法向量．设直线AF与平面AHG所成角为．则．解析：Ⅰ由正方形ABCD与矩形BDEF互相垂直，且交线为BD，结合平面与平面垂直的性质可得平面ABCD；Ⅱ以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设2，，求出平面AGH的一个法向量，再求出的坐标，由求得x值，再由向量模的计算公式求；Ⅲ，由Ⅱ知平面AGH的一个法向量，由两向量所成角的余弦值可得直线AF与平面AHG所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，，，，，，，，，，，，累加得：，；Ⅱ，，，得：，，，，若存在实数c和正整数k，使得不等式对任意正整数n都成立，当时，，，当时，，此时无解，综上所述，实数c的取值范围为：．解析：Ⅰ利用等比数列的通项公式即可求出，由得，利用累加法即可求出；Ⅱ利用错位相减法求出的值，利用裂项相消法求出的值，再对c的值分情况讨论即可求出c的取值范围．本题主要考查了等比数列的性质，考查了累加法求数列通项，以及数列求和，是中档题．21.答案：解：Ⅰ设，，抛物线的焦点，准线方程为，圆M：的圆心，半径为1，，解得舍去，即；Ⅱ设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则直线PA的方程为，由直线PA与圆M相切，可得，化为，同理可得，则，为方程的两根，则，，由可得，同理可得，所以，，可令，则，当且仅当，即时，的面积取得最小值10．解析：Ⅰ设，，求得抛物线的焦点和准线方程，圆M的圆心和半径，运用直线的斜率公式，化简计算可得所求值；Ⅱ设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，可得直线PA、PB的方程，运用点到直线的距离公式和直线和圆相切的条件：，结合韦达定理，可得A、B的横坐标，进而得到，求得面积S为关于的关系式，化简整理，可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：Ⅰ证明：的定义域是，即，设，，故F在递增，当时，，得证；Ⅱ，故在递减，在递增，对于，时，，需，故；解：时，先证明若时，有，若，，设，，，故递减，，，；若，设，递增，，，故有，使，在递减，在递增，，，时，，得，由得，当时，，此时由于，时，，故，满足题意，综上，m的范围是．解析：Ⅰ问题转化为证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；Ⅱ通过讨论m的范围，求出的最小值，根据，求出满足条件的m的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
金华十校 2020 年 4 月高三模拟考试数学试题(含答案)
∵ bn
1
(n
2 1)2
1 (n 1)4
1
(n
1 1)2
2
1
1 (n 1)2
1
1 n(n 1)
1
1 n
1 (n 1)
，
故 b1 b2
bn
n
1
1 n 1
n
1 .…………………………………………………
21．解：(Ⅰ)由题意得抛物线方程 x2=4y, …………………………………………………
，
点
D
到
AB
的距离
d2
|
k1x4 y4 1| 1 k12
(k1
x 4
1
y4 k12
1)
.
∴S
1 2
|
AB
|
(d1
d2 )
2(k12
1)
k1 ( x3
x4 ) ( y4 1 k12
y3 )
2 1 k12 (k1 k2 )(x3 x4 ) 4 1 k12 16k22 16 16 (1 k12 )(k12 4k1 5) . …………………………………………………………… 11 分 设 f (x) (1 x2 ) (x2 4x 5), x 0
13d ),
且
S9≥0，
解得
ad1
1, 2
或
a1 d
11 5
2.
,
（舍去）；…………………………………………………
5分
5
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 Sn n2 ，代入 bn2Sn+1= Sn+1+2
从而可得 bn
1 2 .…………………………………………………………… (n 1)2
2020届浙江省金华十校联考高三上学期期末数学试题及答案详解及点睛(25页)
2020届届届届届届届届联考届届届届届届届届届届届1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1},{1,0,2}A B =-=-，则()U C A B ⋂=（ ） A. {2,1,1,2}-- B. {}0C. ∅D. U【答案】A 【解析】 【分析】先写出A B I ，进而可得结论. 【详解】由{2,0,1},{1,0,2}A B =-=- 所以{0}A B =I ， 所以(){2,1,1,2}U C A B =--I . 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集与补集，属于基础题.2.在三角形ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,120,3a B c ==︒=，则b =（ ）A. B. 4C. D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由题意，直接利用余弦定理建立方程求出b 即可.【详解】根据余弦定理22212cos 49223192b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以b = 故选：C.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.3.若实数,x y 满足约束条件240,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.【详解】实数,x y 满足约束条件24022020x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，如图，根据图象，使得z x y =+取到最大值的最优解是直线240x y -+=与220x y --=的交点，即810,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以的最大值为810633z =+=. 故选：C.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键，属于基础题.4.用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 36个 D. 72个【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组；第二步，将2,4排成一排；第三步，将两组奇数插入两个偶数形成的三个空位，再由排列组合公式即可得到结论.【详解】解法一：直接求解三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻，所以排列个数为222323322672A A A ⋅⋅=⨯⨯⨯=个.解法二：反面求解5233352333120123672N A A A A A =-+=--=个.故选：D.【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，需要牢记常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法等，属于基础题.5.已知,a b ∈R ，则1b a <<是1|1|a b ->-的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】因为211111a ba b a b a b a <+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩， 所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立， 当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立， 所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题. 6.在同一直角坐标系中，函数a y x =，||)log (a y x a =-(0)a ≠的图象不可能的是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数在第一象限内的图象与性质，再结合对数函数图象的平移即可得到结论.【详解】对于A 来说：幂函数中01a <<，而对数函数平移后的图象应该还在y 轴右侧（定义域为(),a +∞），所以A 是不可能的；对于B 来说：幂函数中1a >，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以B 是可能的；对于C 来说：幂函数中0a <，选择1a <-，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以C 是可能的；对于D 来说：幂函数中0a <，选择10a -<<，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以D 是可能的. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，对数函数的图象与性质以及平移问题，属于基础题.7.已知随机变量ξ的分布列如下表：记“函数()()3sin2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件A ，则（ ） A. ()223E a ξ=-，()13P A = B. 2()3E ξ=，()13P A =C. ()223E ξ=，()23P A =D. ()2244233E a a ξ=-+，()23P A =【答案】C 【解析】【分析】先由函数为偶函数得1ξ=±，利用分布列与数学期望的公式即可得到结论. 【详解】因为函数()()3sin 2x f x x R ξπ+=∈是偶函数， 所以,22k k Z ξπππ=+∈，于是21,k k Z ξ=+∈，又因为1,0,1ξ=-，所以事件A 表示1ξ=±，12()133P A a b =+=-=， 12()(1)01233E a b b a a ξ=-⨯+⨯+⨯=-=-，随机变量2ξ的取值为0,1，其对应的概率为()2103P ξ==，()2213P ξ==， 所以()212201333E ξ=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，三角函数为偶函数，属于基础题.8.已知点(2,1)A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆1C ：22(1)1x y -+=上的动点，则PB PA -的最大值为（ ）A. B.C. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】分析题意可得11PB PF ≤+，再利用椭圆的定义进而可得结论.【详解】由题意知，椭圆右焦点()11,0F 是圆心，左焦点()21,0F -，则11PB PF ≤+， 又在椭圆中1224PF PF a +==，()2,1A -所以122||||||1||2||1||21||5PB PA PF PA a PF PA a AF -≤+-=-+-≤+-=故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查两点之间的距离公式，三角形中两边之和大于第三边，线段PB PA -的最值转化是解题的关键，属于基础题.9.正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ）A. 数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B. n a 的最小值必定为1C. 当n a 是奇数时，2n n a a +≥D. n a 的最小值可能为2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论.【详解】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A.【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.10.设()cos ,,63af x x x x ππ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（ ） A. 当1a =-时，M < B. 当2a =时，3M < C. 当1a =时，M > D. 当3a =时，12M <【答案】AB 【解析】 【分析】直接对各选项分析即可.【详解】对于选项A ，当1a =-时，cos ()x f x x =在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以cos66M ππ==<A 正确. 对于选项B ，当2a =时，2()cos f x x x =⋅，则()()cos 2tan 0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，即218M π=<，故选项B 正确.对于选项C ，当1a =时，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x <恒成立，所以()cos tan cos sin f x x x x x x =<=≤M <C 错误. 对于选项D ，当3a =时，3()cos f x x x =⋅，则2()cos (3tan )0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，311()232M π=⋅>∴，故选项D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查三角函数与函数导函数，利用导函数研究单调性，进而求最值，属于中档题.11.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.若复数z 满足()347i z i ⋅+=+，则z 对应的点位于第_______象限，||z =________.【答案】 (1). 四 (2).【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简即可.【详解】7134iz i i+==-+，则z 对应的点位于第四象限；||z =..【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.12.在6⎛⎝的展开式中，各项系数的和是________，二项式系数最大的项是_________.【答案】 (1). 1 (2). 160- 【解析】 【分析】根据题意，直接令1x =即可得到结论.【详解】令1x =得各项系数的和是1；二项式系数最大是36C ，是展开式的第四项，所以是160-.故答案为：1，160-.【点睛】本题考查项的系数和，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左右焦点分别是,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________. 【答案】 (1). 0y ±= (2).6π【解析】 【分析】根据题意，由离心率可得ba，进而可得渐近线方程，再利用双曲线的定义可得结论.【详解】由题意，在双曲线中22213b be a a=+=⇒=0y ±=；由双曲线的定义知，12F F =，2||2AF a =，12tan 3AF F ∠=，所以126AF F π∠=0y ±=，6π.【点睛】本题考查双曲线的离心率，渐近线方程，属于基础题.14.在ABC ∆中，,M N 分别在,AB BC 上，且2,3AM MB BN NC ==u u u u ru u u r u u u ru u u r，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+u u u r u u u r u u u r ，则x =___________，y =_____________.【答案】 (1). 18 (2). 34【解析】 【分析】以BA u u u r ，BC uuu r 为该平面的基底，利用向量运算法则得PA BA BP =-u u u r u u u r u u u r，再利用,,A P N 三.点共线，,,M P C 三点共线，即可得到结论. 【详解】法一：平面向量基本定理以BA u u u r，BC uuu r 为该平面的基底，则PA BA BP =-u u u r u u u r u u u r，所以(),(1)BP x BA BP yBC x BP xBA yBC =-+⇒+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，下面用两次“三点共线”，4(1)3(1)x BP xBA yBN x BP xBM yBC⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v ， 因为三点,,P A N 共线，且三点,,P C M 共线，所以141833134x x x y x x y y ⎧=⎧⎪+=+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩法二：特殊化处理如图，设点(2,0),(2,0),(0,3)B C A -，则481(,1),(1,0),(,)393M N P -， 即有：26188(,),(,),(4,0)9393BP PA BC ==-=u u u r u u u r u u ur由BP xPA yBC ==u u u r u u u r u u u r得：26814998183334x y xx y⎧⎧=-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩.故答案为：18，34.【点睛】本题考查利用基底表示向量的线性运算，平面向量共线定理，属于基础题.15.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是______3cm.【答案】16 3【解析】【分析】将三视图还原成几何体图形，进而分割成一直三棱柱与三棱锥，再利用体积公式即可.【详解】如图，该三视图还原的几何体，其体积可分割成一直三棱柱与三棱锥，故111162222223223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：163.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键，属于基础题．16.已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________. 【答案】[3,5] 【解析】 【分析】直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤，所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤ 所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,5【点睛】本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.17.在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=___________.【答案】2【解析】 分析】根据题意可得平面α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，即为MAO ∠，在Rt POA ∆中，()12tan PO AO θθ+=，在Rt MOA ∆中，2tan MOAOθ=，再利用基本不等式，进而化简即可得到结论.【详解】如图，//BC αBC ∴平行于平面α和底面ABC 的交线.又顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ， 则BC AO ⊥，BC PO ⊥，BC ∴⊥平面POA ，BC AM ⊥∴，【因此平面α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，即为MAO ∠. 在Rt POA ∆中，()12tan PO AO θθ+=，在Rt MOA ∆中，2tan MOAOθ=， 又点M 为PO 的中点，所以122tan()2tan θθθ+=，即12212tan tan 2tan 1tan tan θθθθθ+=-⋅，整理得212222tan 1tan 112tan 2tan tan θθθθθ==++， 所以当1θ取到最大时2tan 2θ=.（这个问题就是米勒最大角问题.） 即2OA OM OP =⋅时，角最大，从而正切值最大， 不妨设1OM MP ==，则2tan 2OA θ==.故答案为：2. 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，线面角的求法，两角和的正切公式，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题.18.已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-；（在）求函数()f x 的单调减区间；（在）将函数()f x 分别向左、向右平移()0m m >个单位相应得到()()g x h x 、，且cos m =，求函数()(),0,2y g x h x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈的值域. 【答案】（在）32[,]()63k k k Z πππ++∈（在）42[,]33- 【解析】 【分析】（在）利用二倍角公式化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性即可；（在）由题意得()()4sin(2)cos 26g x h x x m π+=+，利用三角函数的单调性以及cos m =，即可得到结论.【详解】（在）()2cos 22s 6in 2f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤+≤+所以函数()f x 的单调减区间为32[,]()63k k k Z πππ++∈； （在）由题意，()()()()sin(22)2sin(22)66g x h x f x m f x m x m x m ππ+=++-=+++-+4sin(2)cos 26x m π=+.又[0,]2x π∈Q ，则72666x πππ≤+≤，从而有4sin(2)[2,4]6x π+∈-，又cos 3m =，221cos 23cos 1133m m =-=-=-∴. 所以函数()(),[0,]2y g x h x x π=+∈的值域为42[,]33-.【点睛】本题考查二倍角公式，正弦函数的单调性，函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题.19.在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90,A BC ∠=︒=BCED 为直角梯形，90,1,DBC BD DE ∠=︒==，F 为AB 中点.（在）证明：//DF 平面ACE ；（在）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值. 【答案】（在）证明见解析（在）3【解析】 【分析】（在）取BC 中点为G ，连接FG 和DG ，可得面//DGF 面ACE ，在在在在在在； （在）法一，利用几何法求线面角；法二，建立空间直角坐标系，利用向量运算求线面角【详解】法一：（在）证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ， 有//FG AC ，//FG ∴面ACE ， 有//DG EC ，//DG ∴面ACE ，FG DG G =I ∵，∴面//DGF 面ACE .DF ⊂Q 面DGF ，//DF ∴平面ACE ；（在）Q 四边形BCED为梯形，DE BC ==，G 为BC 中点，//DE CG ∴，即四边形GCED 为平行四边形，//CE GD ∴.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接GE ，AG ，由题意可知，AG BC ⊥，EG BC ⊥，BC ∴⊥面AGE ，∴面ABC ⊥面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.//DE BC Q ，DE ∴⊥面AGE ，90AED ∴∠=︒，DE AD ==∵1AE ∴=，又1CE BD ==，AG =∴点E 到AG 的距离为2.在三棱锥D ABG -中，2111323226D ABGE ABG ABG V V S --∆==⋅=⋅⋅=，根据1,2BD AD AB ===，ABD S ∆=∴记点G 到面ABD 的距离为h ，由13D ABG G ABG V V h --===h =.所以CE 与平面ABD 所成角的正弦为3h DG ==法二：以,AB AC 为,x y 轴，过点A 作xAy 平面的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设点(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(,,),3A B C F D a b c CD=由题意可得：222222222222(2)1(2)93 BD a b cCD a b cAD a b c⎧=-++=⎪=+-+=⎨⎪=++=⎩32131(,222ab Dc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⇒-⎨⎪⎪=⎪⎩由11113(,(,22222DE BC E CE=⇒=-u u u r u u u r u u u r设平面ADB法向量为n=r，31(,,(2,0,0)222AD AB=-=u u u r u u u rn ADnn AB⎧⋅=⇒=⎨⋅=⎩u u u vvvu u u vv，即：sin|cos|3n CEα=<⋅>=r u u u r，故CE与平面ADB.【点睛】本题考查了线面平行性质，线面角的求法，利用几何法求线面角的步骤：一作，二证，三求解，属于基础题.20.已知数列{}n a的前n项和为n S，n S是3-和3n a的等差中项；（在）求数列{}n a的通项公式；（在）若12123112nnn nSS Sa a a aλ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅≥+⎪⎪⎝⎭⎝⎭L对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（在）3nna=（在）12λ≤【解析】 【分析】（在）由题意得233n n S a =-+，当2n ≥时，11233n n S a --=-+，两式作差可得13n n a a -=，进而可得结论；（在）由题意得3112n n n S a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而构造数列12111(1)(1)...(1)11nn na a ab a -⋅-⋅⋅-=+，为递增数列，即可得到结论.【详解】（在）由题意得233n n S a =-+，则当2n ≥时，11233n n S a --=-+，∴当2n ≥时，()()111222333333n n n n n n n S S a a a a a ----==-+--+=-，即13n n a a -=，又由11233S a =-+，得13a =，所以数列{}n a 是13a =，公比3q =的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式3n n a =.（在）由题意知233n n S a =-+，得3112n n n S a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得1212123111...()(1)(1)...(1)2n n n nS S S a a a a a a ⋅=-⋅-⋅⋅- 12111(1)(1)...(1)11n n a a a a λ-⋅-⋅⋅-≤+∴，设12111(1)(1)...(1)11nn na a ab a -⋅-⋅⋅-=+， 3n n a =Q ，0n b ∴>，11111(1)(1)331113n n n nn b b +++-⋅+=>+， {}n b ∴是递增数列，最小项是111131213b -==+，所以12λ≤【点睛】本题考查数列n a 与n S 的关系，数列通项公式的求法，不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，点()1,2P 在直线l 的右上方.分别过点,,P A B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为123,,l l l .（在）证明：直线2l 的方程是()112yy x x =+；（在）若121323,l l E l l F l l G ===I I I ,；求EFG ∆面积的最大值； 【答案】（在）证明见解析（在【解析】 【分析】（在）设11(,)A x y ，联立方程得直线2l 的斜率为12k y =，进而利用点斜式写出方程整理即可；（在）由（在）可得111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+，联立这些直线方程解得其交点坐标，利用向量把EFG ∆面积表示出来，再利用函数的导函数可得最值.【详解】（在）法一：点11(,)A x y 满足24y x =，即2114y x =，设直线2l 方程是11()(0)y y k x x k -=-≠由21142()y x yy x x ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2211440ky y y ky -+-= 得21112164(4)0k y k k y ∆=--=⇒=，故直线2l 是1112()-=-y y x x y ， 化简得112()yy x x =+，所以直线2l 是的方程是112()yy x x =+. 法二：21422y y yx x k =⇒'=⇒=11111()2()2y x x y y yy x x ⇒-=-⇒=+ （在）由（在）可得切线分别为：111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+；联立直线得：11222112222(,),(,),(,)424242yy y y y y y y G E F +++ 即：121212(2)2(2)2(,),(,)4242y y y y y y GE GE ----==u u u r u u u r 所以，122112121211|||||42()|216S x y x y y y y y y y =-=--++ 22121244440413y y y x y y b y y b y x b b +=⎧⎧⎧=+-=⇒⇒⎨⎨⎨=-=-+-<<⎩⎩⎩， 代入面积公式得：)S b -=令()()3253913f x x x x x =-++-<<，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，所以()f x 在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以max 13b S S===. 【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于中档题. 22.已知()(32)x f x e a =-其中a R ∈， 2.71828e =…在在在在在在在在； （在）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值；（在）若()6f x e ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；【答案】（在）92a e =（在）239[]22e e -【解析】 【分析】（I ）求出函数的导函数，当1x =时，()10f '=，解得a 的值；（在）将不等式()6f x e ≤恒成立转化为3322x x e a e ≤≤+3()2x g x e =()g x 在[0,2]x ∈上单调递增，进而可得232a e ≥-数1233()322x xh x e e e x -=+=+⋅，再研究单调性，进而可得结论. 【详解】（在）()3x x x xf x e '==1x =Q 为函数()f x 的极值点， (1)0f '=∴，得92a e =， 经检验，当92a e =时， 1x =为函数()f x 的极小值点.（在）|()|6f x e ≤∵，即6(32)6x e e a e -≤-≤，3322x x e a e -≤≤+∴ 令3()2x g x e =()g x 在[0,2]x ∈上单调递增， 2max 3()(2)2g x g e ==∴ 即232a e ≥. 令1233()322x xh x e e e x -=+=+⋅， 由3233()022x h x e e x -'=-⋅=，得1x =，由32x y e =在[0,2]x ∈上单调递增，和3232y e x -=⋅在[0,2]x ∈上单调第减，1x ∴=是3233()022x h x e e x -'=-⋅=的唯一解，∴当[0,1]x ∈时，()0h x '≤；当[1,2]x ∈时，()0h x '≥，则min 39()(1)322h x h e e e ==+=，故92a e ≤. 综上，a 的取值范围是23922e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查用导数求函数的最值与极值问题，利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.。
2020年浙江省金华十校4月高三模拟考试数学试卷
绝密★启用前金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x≤2},则A∩B=A. {x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C. {x|-1<x≤2}D. {x|-1≤x<2}2.若复数21aii+-(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为A. -2B. -1C.1D.23. 若x,y满足约束条件42y xx yy⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…,则z=x+2y的最大值是A.8B.6C.4D.24.设a∈R,则“a>2”是“方程22220x y ax y++-+=的曲线是圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在下面四个[,]xππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x的图象可能是6. 已知在三棱柱111ABC A B C-中,M,N分别为11,AC B C的中点,E,F分别为1,BC B B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为A.平行､平行B.异面､平行C.平行､相交D.异面､相交7. 口袋中有相同的黑色小球n个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)3. 已知函数21,0()ln,0,ax xf xx x⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是A.当a=0, m∈R时,有且只有1个B.当a>0,m≤-1时,都有3个C.当a<0,m<-1时,都有4个D.当a<0,-1<m<0时,都有4个9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则.,2A παββγ<+>.,2B παββγ<+<.,2C παββγ>+>.,2D παββγ>+<10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,(2),n n n a a a a a +-==--A.当a=4时,a 10>210B.当2a =时,a 10>2C.当13a=时,a 10>210D.当165a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡11. 若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.13.已知a ∈R ,若二项式(1)nx 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠2acosA,则ba=_____内角B 的取值范围是_____.15.已知椭圆22:1,97x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||⋅⋅b cb c 的最小值是___.17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______.三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18. (本题满分14 分)已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()] 4.2f x f x π++=(I)求实数a 的值; (II)设0,2a π<<且2()(),23f f παα⋅+=求sin2α.19. (本小题满分15分)6,MB =如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡( I )证明:MB ⊥AC;(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡20. (本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,a S a 14成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L21.(本小题满分15分)如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标 (II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分15分)已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R . (I)若1,2a =证明: f(x)≥0; (II)若11()xxef x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。
浙江省金华十校2020届高三4月模拟考试数学试题(解析版)
浙江省金华十校2020届高三4月模拟考试数学试题一、选择题.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |1＜x ≤2} C ．{x |﹣1＜x ≤2} D ．{x |﹣1≤x ＜2}2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个x ∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |cos2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，E ，F 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为（ ） A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η）D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）8．已知函数f(x)={ax 2+1，x ≤0lnx ，x ＞0，，下列关于函数y ＝f （f （x ））+m 的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个9．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ）A ．α＜β，β+γ＞π2 B ．α＜β，β+γ＜π2 C ．α＞β，β+γ＞π2 D ．α＞β，β+γ＜π2 10．设a ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝a n ﹣（a n ﹣2）3，则（ ） A ．当a ＝4时，a 10＞210 B ．当a =√2时，a 10＞2 C ．当a =13时，a 10＞210D ．当a =165时，a 10＞2 二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ ；离心率是 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，休积是．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝，含x项的系数是．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba=内角B的取值范围是．15．已知椭圆C：x29+y27=1，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线1的斜率为．16．已知非零平面向量a→，b→，c→，满足a→•b→=a→2，3c→=2a→+b→，则b→⋅c→|b→|⋅|c→|的最小值是．17．设a，b∈R，若函数f(x)=23ax3+12bx2+(1−a)x在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．22．已知函数f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．（Ⅰ）若a=12，证明：f（x）≥0；（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜2}【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：A ．2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵2+ai 1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a 2+2+a 2i 是纯虚数，∴{2−a =02+a ≠0，即a ＝2． 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解：作出不等式对应的平面区域： 由z ＝x +2y ，得y =−12x +z 2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点A 时，直线y =−12x +z 2的截距最大，此时z 最大． 由{x +y =4x =y ，得A （2，2）， 此时z 的最大值为z ＝2+4＝6， 故选：B ．4．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断．解：方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆，则有D 2+E 2﹣4F ＝a 2+4﹣8＞0，解之得a ＞2或a ＜﹣2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜﹣2”的充分不必要条件， 故选：A ．5．在下面四个x∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y＝|x|cos2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除AC，由f（π）＞0，可排除B，进而得出正确选项．解：f（﹣x）＝|﹣x|cos（﹣2x）＝|x|cos2x＝f（x），即f（x）为偶函数，可排除AC；又f（π）＝πcos2π＝π＞0，可排除B．故选：D．6．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B 的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为（）A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交【分析】推导出EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，从而平面PMN∥平面ABB1A1，由此得到直线MN与平面ABB1A1平行．解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．故选：B．7．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【分析】当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）＝2，D（ξ）=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E（η）=167，D（η）=2449，从而求出E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）=C31C64=15，P（ξ＝2）=C32C32C64=35，P（ξ＝3）=C31C64=15，∴E（ξ）=15+2×35+3×15=2，D（ξ）=15+15=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）=C41C74=435，P（η＝2）=C42C32C74=1835，P（η＝3）=C43C31C74=1235，P（η＝4）=1C74=135，∴E（η）=435+2×1835+3×1235+4×135=167，D（η）=435（1−167）2+1835（2−167）2+1235（3−167）2+135（4−167）2=2449，∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．故选：A．8．已知函数f(x)={ax2+1，x≤0lnx，x＞0，，下列关于函数y＝f（f（x））+m的零点个数的判断，正确的是（）A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个【分析】分别画出a＝0，a＞0，a＜0时，y＝f（x）的图象，结合t＝f（x），f（t）+m ＝0的解的情况，数形结合可得所求零点个数．解：画出a＝0时，y＝f（x）的图象，可令t＝f（x），则f（t）+m＝0，即y＝f（t）和y＝﹣m的交点个数即为零点的个数．若m＝﹣1，则t≤0或t＝e，即0＜x≤1或x＝e e，即当a＝0，m∈R时，不只1个零点，故A错；当a＞0时，m≤﹣1时，可得t≤0或t＝e﹣m≥e，可得x的个数为1+2＝3个，即B正确；当a＜0，m＜﹣1或﹣1＜m＜0时，y＝f（x）的图象如右图：（y轴左边红色的和y轴右边的图象）．由﹣m＞0，且﹣m≠1，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．故选：B．9．设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）A．α＜β，β+γ＞π2B．α＜β，β+γ＜π2C．α＞β，β+γ＞π2D．α＞β，β+γ＜π2【分析】由最小角定理得α＞β，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，推导出γ＞∠BVA，由VA⊥平面ABC，得β＝∠VMA，推导出γ＞∠MVA，从而β+γ＞π2．解：设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，由最小角定理得α＞β，排除A和B，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，∴tanγ=tan∠BNA=AB AN，而tan∠BVA=ABAV，AN＜AV，∴tan∠BNA＞tan∠BVA，∴γ＞∠BVA，∵VA⊥平面ABC，∴β＝∠VMA，∴β+∠MVA=π2，∵tan∠MVA=AMAV，AB＞AM，∴tan∠MVA，∴γ＞∠MVA，∴β+γ＞π2．故选：C．10．设a∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n﹣（a n﹣2）3，则（）A．当a＝4时，a10＞210B．当a=√2时，a10＞2C．当a=13时，a10＞210D．当a=165时，a10＞2【分析】令b n＝a n﹣2，则b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，分别取a=√2和a=165，利用函数的单调性推导出B，D错误；令g（x）＝x3﹣x，则g′（x）＝3x2﹣1，g（x）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a＝4时，利用函数的单调性推导出A错；当a=13时，利用函数的单调性推导出C正确．解：令b n＝a n﹣2，即b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，由f′（x）＞0，得−√33＜x＜√33，由f′（x）＜0，得x＜−√33或x＞√33，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，当a =√2时，b 1=√2−2＜−√33，0＞b 2＝18﹣13√2＞−√33，由数学归纳法得到−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，当a =165时，b 1=65，0＞b 2=−66125＞−√33， 由数学归纳法知−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，故B ，D 错误；令g （x ）＝x 3﹣x ，则g ′（x ）＝3x 2﹣1，由g ′（x ）＞0，得x ＜−√33或x ＞√33，由g ′（x ）＜0，得−√33＜x ＜√33，∴g （x ）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a ＝4时，|b 1|＝2，|b 2|＝6，由题意得|b n |≥2，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞2×39＞210，∵b 2与b 10同号，则A 错； 当a =13时，|b 1|=53，|b 2|=8027， 由题意知|b n |≥53，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 2与b 10同号，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞8027⋅38＞210，故C 正确． 故选：C ．二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ 4 ；离心率是√52． 【分析】由题意双曲线的方程和渐近线的方程求出a ，进而求出双曲线的离心率．解：由双曲线x 2a−y 2=1的方程可得渐近线的方程为：y =√a ，而由题意可得√a=12，所以a ＝4， 离心率e =√4+1√4=√52，故答案分别为：4，√52． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 16+6√2 ，休积是 6 ．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为三棱柱， 如图所示：所以该几何体的表面积为：S =2×3+2×3+2√2×3+2×12×2×2=16+6√2．该几何体的体积为：V=12×2×2×3=6．故答案为：16+6√2；6．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝4，含x项的系数是24或96．【分析】二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，可得2n＝16，解得n．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a．利用通项公式即可得出．解：二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，∴2n＝16，解得n＝4．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a＝2，或﹣4．a＝2时，T3=∁42(2√x)2=24x，a＝﹣4时，T3=∁42(−4√x)2=96x，含x项的系数是24或96．故答案为：4，24或96．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba =√22内角B的取值范围是（0，π4）．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin B cos A=√2sin A cos A，结合A≠π2，可得2sin B=√2sin A，由正弦定理可得ba=√22，kd sin B=√2sinA2，且b＜a，B为锐角，即可求解范围B．解：∵c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，∴由正弦定理可得：sin C+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，∵sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin A cos B+cos A sin B+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，可得2sin B cos A=√2sin A cos A，∵A ≠π2，∴可得2sin B =√2sin A ，由正弦定理可得2b =√2a ，可得b a=√22，∵sin B =√2sinA 2∈（0，√22），且b ＜a ，B 为锐角，∴B ∈（0，π4）．故答案为：√22，（0，π4）．15．已知椭圆C ：x 29+y 27=1，F 为其左焦点，过原点O 的直线1交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线1的斜率为 −√73．【分析】先设点A 的坐标，再把需要的线的斜率表示出，利用到角公式解出点的坐标，从而求出斜率．解：设A （x 0，y 0 ），则B （﹣x 0，﹣y 0），x 0＜0，y 0＞0且x 029+y 027=1．∵F 为其左焦点，∴F （−√2，0），tan ∠BFO =0−x 0+2，直线AB 的斜率k 1=yx 0．经分析直线AF 的斜率必存在，设为k 2=y 0x0+√2．又由到角公式可得：tan ∠FAB =k 1−k 21+k 1k 2=√2y 0x 02+2x 0+y 02．又∠FAB ＝∠BFO ，∴√2y 0x 2+√2x +y 2=0−x +√2． ∴x 02+2√2x 0+y 02=2，又x 029+y 027=1，x 0∈（﹣3，0），可解得：x 0=−3√22，y 0=√142，∴直线l 的斜率为y 0x 0=−√73．故答案为：−√73．16．已知非零平面向量a →，b →，c →，满足a →•b →=a →2，3c →=2a →+b →，则b →⋅c→|b →|⋅|c →|的最小值是 √32．【分析】根据已知条件可以得出向量a →，b →，c →之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将向量b →，c →的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题．解：由a →•b →=a →2得|a →||b →|cosθ=|a →|2（θ是a →，b →的夹角）．∴|b →|cosθ=|a →|，所以不妨设a →=(1，0)，b →=(1，tanθ)(θ是零角或锐角)，（∵求得是比值，所以为了简化计算，在不影响结果前提下设a →=(1，0)．）∴c →=23a →+13b →=(1，13tanθ)．再令t ＝tan θ∈[0，+∞）．则b →⋅c→|b →|⋅|c →|=1+13t 2√1+t 2√1+9t 2=√(1+t )(1+19t )(1+13t 2)2 对于分母，再令m ＝t 2≥0，则分母可化为：y =√1+49m1+23m+19m2=√1+4923+19m+1m．∵23+19m +1m≥23+2√19m ×1m=43，（当且仅当m ＝3时取等号）∴上式≤√1+4943=3．∴b →⋅c→|b →|⋅|c →|≥12√3=√32． 故答案为：√32．17．设a ，b ∈R ，若函数f(x)=23ax 3+12bx 2+(1−a)x 在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b的最大值为 2 ．【分析】求导得f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，依题意，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，先根据系数比例，令2x 2﹣1＝x ，可得a +b ≤2，即a +b 的最大值为2，再证明充分性，即当a +b ＝2时，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，综合即可得出结论．解：f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，∵函数f （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增，∴f ′（x ）≥0在[﹣1，1]上恒成立，亦即（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立， 令2x 2﹣1＝x ，解得x ＝1或x =−12，将x =−12代入可得−12a −12b +1≥0，即a +b ≤2，则a +b 的最大值为2，下面证明a +b ＝2可以取到，令g （x ）＝f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，则g ′（x ）＝4ax +b ，且g(x)≥0，g(−12)=0，则g′(−12)=−2a +b =0，解得a =23，b =43，当a =23，b =43时，g(x)=f′(x)=43x 2+43x +13=13(2x +1)2≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，故a +b ＝2可以取到， 综上，a +b 的最大值为2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．【分析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得a的值．（Ⅱ）由题意利用三角恒等变换求得cos（2α+π6）的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sin（2α+π6）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]的值．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0），∴f（x+π2）＝sin（x+π2）+a cos（x+π2）＝cos x﹣a sin x，∵满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4，即（sin x+a cos x）2+（cos x﹣a sin x）2＝4，即1+a2＝4，故a=√3．（Ⅱ）设0＜a＜π2，且f(α)⋅f(α+π2)=23=（sinα+√3cosα）•（cosα−√3sinα）＝sinαcosα−√3sin2α+√3cos2α﹣3sinαcosα＝﹣2sinαcosα+√3cos2α=√3cos2α﹣sin2α＝2cos（2α+π6）∴cos（2α+π6）=13．∵0＜α＜π2，∴2α+π6∈（π6，7π6），∴sin（2α+π6）=√1−cos2(2α+π6)=2√23．故sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]＝sin（2α+π6）cosπ6−cos（2α+π6）sinπ6=2√23×√32−13⋅12=2√6−16．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AN，由题意可得MB⊥AN，结合MB⊥NC，利用线面存在着的判定可得MB⊥平面NAC，则MB⊥AC；（Ⅱ）取BC的中点G，连接FG，NG，MG，证明MG与EF相交，记交点为O，则O 为MG与EF的中点．则直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF．记F到平面MBC的距离为h，利用等体积法求得h，则sinθ=ℎOF=√155．【解答】（Ⅰ）证明：连接AN，∵四边形ABNM的边长均为2，∴MB⊥AN，∵MB⊥NC，且AN∩NC＝N，∴MB⊥平面NAC，∵AC⊂平面NAC，∴MB⊥AC；（Ⅱ）解：取BC的中点G，连接FG，NG，MG，显然FG∥MN，且FG=12MN，即FG∥ME，FG＝ME，∴MG与EF相交，记交点为O，则O为MG与EF的中点．∴直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由（Ⅰ）知，MB⊥AC，又△ABC为正三角形，∴BF⊥AC，且BF=√3．∵MB∩BF＝B，∴AC⊥平面MBF，则MF⊥AC，得MF=√3．∵MB=√6，∴MF⊥BF，得OF=12EF=12√3+1=1．记F到平面MBC的距离为h，∵MF⊥BF，MF⊥AC，且AC∩BF＝F，∴MF⊥平面ABC，V M−BCF=13S△BCF⋅MF=13⋅12⋅1⋅√3⋅√3=12．在△MBC中，∵MC＝BC＝2，MB=√6，∴S△MBC=√152．∴V F−MBC=13S△MBC⋅h=13⋅√152⋅h=12，得h=√155．故sinθ=ℎOF=√155．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意9a 1+36d ≥0，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得S n ＝n 2，求得b n ，并推得b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝2a 2+3可得a 1+4d ＝2（a 1+d ）+3， 又a 2，√S 9，a 14成等比数列，可得S 9＝a 2a 14， 即9a 1+36d ＝（a 1+d ）（a 1+13d ），且9a 1+36d ≥0， 解得a 1＝1，d ＝2，或a 1=−115，d =25（舍去）， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S n =12（1+2n ﹣1）n ＝n 2，由b n 2S n +1＝S n +1+2，可得b n =√1+2(n+1)2，由b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√n 2(n+1)2+(n+1)2+n 2n 2(n+1)2 =√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，故b 1+b 2+…+b n ＜n +（1−12+12−13+⋯+1n −1n+1） ＝n +1−1n+1＜n +1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）抛物线方程为x2＝4y，设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，直线y＝kx+t代入抛物线方程，当t＝1时，得x1x2，x3x4，当t＝3时，得x2x4，进而可得x1x3值为−43，写出直线AC方程，令x＝0得y=−x1x34=13，进而得出结论．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，设直线l的方程是y＝kx+1，联立抛物线方程，由韦达定理可得，|AB|＝|y1+1+y2+1|＝4（k12+1），再求出点C到AB的距离d1点D到AB的距离d2，S=12|AB|（d1+d2），化简得S＝16√(1+k12)(k12−4k1+5)，设f（x）＝（1+x2）（x2﹣4x+5），x＞0，求导，分析单调性，进而得出S min．解：（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为x2＝4y，设直线y＝kx+t代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，当t＝1时，得x1x2＝﹣4，x3x4＝﹣4，当t＝3时，x2x4＝﹣12，所以x 1x 3=−4x 2•−4x 4=−43，直线AC 方程是y ﹣y 1=x 1+x 34(x −x 1)， 令x ＝0得y =−x 1x 34=13， 故直线AC 与y 轴交点坐标是（0，13）．（Ⅱ）F （0，1）设直线l 的方程是y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），x 3＞x 4， 则{x 1+x 2=4k 1x 1x 2=−4，{x 3+x 4=4k 2x 3x 4=−4， |AB |＝|y 1+1+y 2+1|＝|k 1x 1+k 1x 2+4|＝4（k 12+1）， 点C 到AB 的距离d 1=133√1+k 1=133√1+k 1，点D 到AB 的距离d 2=144√1+k 1=144√1+k 1，S =12|AB |（d 1+d 2）＝2（k 12+1）•13443√1+k 12=2√1+k 12•（k 1﹣k 2）（x 3﹣x 4）＝4√1+k 12√16k 22+16=16√(1+k 12)(k 12−4k 1+5)， 设f （x ）＝（1+x 2）（x 2﹣4x +5），x ＞0 则f ′（x ）＝4（x 3﹣3x 2+3x ﹣1）＝4（x ﹣1）3，所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以在（0，+∞）内f （x ）最小值f （1）＝4． 故当k 1＝1，k 2＝﹣1时，S min ＝32．22．已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax ﹣xlnx ．其中a ∈一、选择题． （Ⅰ）若a =12，证明：f （x ）≥0；（Ⅱ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求f （x ）的范围，可证；（II ）由已知代入整理可得，ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，构造函数m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x =1x −1e x−1，x ＞1，然后结合导数分别分析函数的特征性质，可求．【解答】证：（I ）函数f （x ）的定义域（0，+∞），f （x ）=12x 3−12x ﹣xlnx ＝x（12x 2−12−lnx ）， 令g （x ）=12x 2−12−lnx ，则g′(x)=x −1x =x 2−1x，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故g （x ）≥g （1）＝0， 又x ＞0，所以f （x ）≥0；解：（II ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）＝1﹣（ax 3﹣ax ﹣xlnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，则e 1﹣x ≥1x−（ax 2﹣a ﹣lnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立， 即ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，令m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x=1x −1ex−1，x ＞1， 由e x ﹣1＞x （x ＞1）可得n （x ）＞0，∵m′(x)=2ax −1x =2ax 2−1x，（i ）当a ≤0时，m ′（x ）＜0，m （x ）在∈（1，+∞）上单调递减，故m （x ）＜m （1）＝0，此时m （x ）≥n （x ）不成立，（ii ）当a ＞0时，由m ′（x ）＝0可得x =√12a，x =−√12a（舍），当√12a ＞1即0＜a ＜12时，m （x ）在（1，√12a ）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，∴m （√12a）＜m （1）＝0，则在（1，√12a）m （x ）≥n （x ）不成立，当√12a≤1即a ≥12时，m （x ）在（1，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，令F （x ）＝m （x ）﹣n （x ）＝a （x 2﹣1）﹣lnx −1x+1e x−1，则F （x ）≥12(x 2−1)−lnx −1x +1e x−1，令G （x ）=12(x 2−1)−lnx −1x+1e x−1，即F （x ）≥G （x ），∵G′(x)=x −1x +1x 2−1e x−1≥x −1x +1x 2−1=(x+1)(x−1)2x 2＞0，故G （x ）在（1，+∞）上单调递增，G （x ）＞G （1）＝0，则F （x ）≥G （x ）＞0，综上，a 的范围[12，+∞）．。
2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−4<−x ≤3}，B ={x|(x −2)(x +5)<0}，则A ∩B =( )A. (−5,4)B. (−3,2)C. (2,4)D. [−3,2)2. 设a ∈R ，若复数z =a−i 3+i (i 是虚数单位)的实部为12，则a 的值为( )A. 43B. 53 C. −2 D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 设x ∈R ，则“1<x <5”是“−2<x <8”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)=(x +1x )cos2x 在[−2,0)∪(0,2]上的大致图象为( ) A. B.C. D.6. 若线段AB ，BC ，CD 不共面，M ，N ，P 分别为其中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系是()A. 平行B. 直线在平面内C. 相交D. 以上均有可能7. 设ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P 16 16 13 13又设η=2ξ+5，则E(η)等于()A. 76B. 176C. 173D. 3238.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 39.斜三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面ABB1A1是矩形，且2AA1=√3AB，M是AB的中点，记直线A1M与直线BC所成的角为α，直线A1M与平面ABC所成的角为β，二面角A1−AC−B的平面角为γ，则()A. β<γ，α<γB. β<α，β<γC. β<α，γ<αD. α<β，γ<β10.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=(√a n−1+1)2+1，则a12=()A. 101B. 122C. 145D. 170二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.双曲线y24−x2=1的渐近线方程是______，离心率为______．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是______ ．13.二项式(√x+2x2)n的展开式中第5项或第6项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为__________14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ba=cosC−sinC，a=√2，c=1，则角C=______．15.已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率是√22，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1⋅k2的值为______．16.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．17.若函数f(x)=ax3−x2+x−5在区间(1,2)上单调递增，则a的范围为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知tan(α+π4)=−3，α∈(0,π2).(1)求tanα的值；(2)求sin(2α−π3)的值．19.如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，若EA：AB：DC=2：2：1，F是BE的中点．(1)证明：FD⊥平面ABE；(2)求CE与平面EAB所成角的正弦值．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，b n=1S n ，且a3b3=12，S3+S5=21．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求b1+b2+⋯+b n．21. 已知抛物线y 2=23x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．22. 已知a ∈R ，函数f(x)=a x +lnx −1.求当0<a <e 时．f(x)在区间(0,e]上的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A={x|−3≤x<4}，B={x|−5<x<2}；∴A∩B={x|−3≤x<2}=[−3,2)．故选：D．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2.答案：D解析：解：a∈R，复数z=a−i3+i =(a−i)(3−i)(3+i)(3−i)=3a−110+−3−a10i的实部为12，∴3a−110=12，解得a=2．故选：D．利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．4.答案：A解析：解：根据充分必要条件的定义可得出：“1<x<5”是“−2<x<8”的充分不必要条件．故选：A．直接根据定义即可判断．本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．5.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用特殊位置的函数值符号判断选项即可．解：由题意得f(x)的定义域{x|x≠0}，因为，所以函数f(x)为奇函数，则排除A．又，则排除B，D，故选C．6.答案：A解析：本题考查的是立体几何中直线与平面的位置关系，属于基础题．在空间中B,C,D围成一个三角形，其中N,P分别为BC,CD的中点，∴BD//NP又∵NP⊂平面MNP，BD⊄平面MNP，∴BD//平面MNP．7.答案：D解析：本题考查离散型随机变量数学期望，属于基础题．直接代入公式得E(ξ)=176，即可得E(η)=2×176+5=323．解：E(ξ)=1×16+2×16+3×13+4×13=176，E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×176+5=323．8.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1−1，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．9.答案：B解析：本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题．由最小角定理可得β<α，找出β及γ，通过中间量侧棱与底面所成的角θ比较大小即可得出答案．解：由最小角定理可得β<α，设AB=2，则AA1=√3，侧面ABB1A1是矩形，M是AB的中点，∴A1M=2，设侧棱与底面所成的角为θ，斜三棱柱的高为ℎ=AA1⋅sinθ=√3sinθ，∴sinβ=√3sinθ，2取A1B1的中点N，并连接MN，C1N，可得平面C1CMN⊥底面ABC，过点C1作C1O⊥CM于点O，OG⊥AG于点G，连接C1G，cosθ，则γ=∠C1GO，可得OG=√32∴C 1G =√OG 2+C 1O 2=√34cos 2θ+3sin 2θ =√34+94sin 2θ<√3， ∴sinγ=C 1OC 1G >C 1O 2=√3sinθ2=sinβ，又β，γ均为锐角，所以γ>β．故选：B ．10.答案：C解析：解：∵a n+1=(√a n −1+1)2+1>0，则(√a n+1−1)2=(√a n −1+1)2，∴√a n+1−1−√a n −1=1，∴数列{√a n −1}是等差数列，公差为1．∴√a n −1=1+(n −1)=n ，可得a n =n 2+1，∴a 12=122+1=145．故选C ．a n+1=(√a n −1+1)2+1>0，可得(√a n+1−1)2=(√a n −1+1)2，√a n+1−1−√a n −1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：y =±2x √52解析：解：由y 24−x 2=0得其渐近线方程为y =±2x ，a =2，c =√5，∴e =√52． 故答案为：y =±2x ；√52． 由y 24−x 2=0，能求出其渐近线方程，再由a =2，c =√5，能求出其离心率．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．12.答案：2+2√5解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；所以，S△ABC=12×2×2=2，S△PAC=S△PBC=12×√22+12×1=√52，S△PAB=12×2×√22+12=√5；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×√52+√5=2+2√5．故答案为：2+2√5．根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题13.答案：18解析：因为二项式(√x+2x2)n的展开式中第5项或第6项的二项式系数最大，所以展开式共有10项，即n=9；则展开式的通项为T r+1=C9r(√x)9−r(2x2)r=2r C9r x9−5r2，令9−5r2=2⇒r=1；所以展开式中含x2项为为21C91=18. 14.答案：π6解析：解：由cosC=a2+b2−c22ab，∴ba =a2+b2−c22ab−sinC，可得b2+c2−a22ab=−sinC，∴ccosA=−asinC，由正弦定理：sinCcosA=−sinAsinC，∵sinC≠0可得：cosA=−sinA．∵0<A<π．∴A=3π4，由asinA =csinC，可得sinC=12，∴C=π6，故答案为：π6．利用正余弦定理化简可得答案．本题考查三角形的正弦弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．15.答案：−12解析：解：∵椭圆x2a2+y2b2=1的离心率是√22，∴ca=√22，∴a=√b2+c2=√2b，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M(m,n)，直线AB的方程为：y=kx，可设：A(x0,kx0)，B(−x0,−kx0).则m2+2n2=2b2，x02+2k2x02=2b2，∴m2−x02=2kx02−2n2．∴k1⋅k2=kx0−nx0−m ⋅−kx0−n−x0−m=n2−k2x02m2−x02=n2−k2x022k2x02−2n2=−12．故答案为：−12．椭圆x2a2+y2b2=1的离心率是√22，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2.设M(m,n)，直线AB的方程为：y=kx，可设：A(x0,kx0)，B(−x0,−kx0).代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．16.答案：124解析：解：由|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ =(2a⃗ +3b⃗)224−(2a⃗ −3b⃗)224=124−(2a⃗ −3b⃗)224≤124，当且仅当2a⃗=3b⃗ ，即|a⃗|=14时，上式等号成立．∴a⃗⋅b⃗ 最大值为124．故答案为：124．17.答案：[13,+∞)解析：本题考查利用导数研究函数单调性问题，属于基础题．解：函数f(x)=ax3−x2+x−5在x∈(1,2)上单调递增，f′(x)=3ax2−2x+1≥0，即a≥2x−13x2=1 3(−1x2+2x)max，令g(x)=13(−1x2+2x)，x∈(1,2)，则g(x)=−13(1x−1)2+13，1x∈(12,1)，g(x)<13，所以a≥13．故答案为[13,+∞)．18.答案：解：(1)∵tan(α+π4)=−3，α∈(0,π2)，∴tanα>0，且，求得tanα=2．，，∴sin(2α−π3)=sin2α⋅12−cos2α⋅√32=25+3√310=4+3√310．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．(1)由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．(2)由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin(2α−π3)的值．19.答案：证明：(1)取AB中点M，连结MC，∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，∴FM//EA，FM=12EA=1=DC，又EA//DC，∴FM//DC，且FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，又AE//CD，∴AE⊥CM，∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB=A，∴FD⊥平面ABE．解：(2)连结EM，∵MC⊥平面ABE，∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，EA：AB：DC=2：2：1，∴CM=√4−1=√3，CM=√22+22=2√2，sin∠CEM=CMCE =√32√2=√64．∴CE与平面EAB所成角的正弦值为√64．解析：(1)取AB中点M，连结MC，推导出FM//EA，从而FM//DC，且FM=DC，进而四边形FMCD 是平行四边形，FD//MC，由CD⊥平面ABC，得CD⊥CM，从而AE⊥CM，求出DF⊥AE，DF⊥AB，由此能证明FD⊥平面ABE．(2)连结EM，由MC⊥平面ABE，得∠CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)设{a n}的公差为d ，则a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)d2，∵b n=1S n，∴b n =1na 1+n (n−1)d 2=22na 1+n (n−1)d ，∵a 3·b 3=12， ∴(a 1+2d )·26a 1+6d =a 1+2d 3a 1+3d =12， ∴a 1=d ，∴b n =2n (n+1)d ，S n =na 1+n (n −1)d 2=n (n+1)d 2， ∵S 3+S 5=21，∴3×4d 2+5×6d 2=21，∴d =1，∴b n =2n (n+1)，(2)∵b n =2n (n+1)=2(1n −1n+1)，b 1+b 2+⋯⋯⋯+b n =2(1−12+12−13⋯⋯1n −1n+1)=2(1−1n+1)，∴b 1+b 2⋯⋯b n =2−2n+1=2n n+1．解析：本题考查等差数列的通项公式、前n 项和、裂项相消、以及方程的思想，属于一般题．(1)用通项公式和前n 项和的公式，把所有量用a 1和d 表示，列出方程即可得解；(2)对于数列的通项公式是b n =2n (n+1)=2(1n −1n+1)这种数列一般用裂项相消求和． 21.答案：解：(1)依题意可设直线AB ：x =my +16，将直线AB 与抛物线联立{x =my +16y 2=23x ⇒9y 2−6my −1=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理得y 1+y 2=23m, y 1y 2=−19，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒y 1=−3y 2，⇒m 2=13，∴斜率为√3或−√3．(2)S OACB=2S△AOB=2⋅12|OF||y1−y2|=16×|y1−y2|=16√(y1+y2)2−4y1y2=16√49m2+49≥16×23=19当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为19．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长公式以及二次函数的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)设直线AB：x=my+16，将直线AB与抛物线联立，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理业绩向量关系，求解直线的斜率即可;(2)利用三角形的面积公式以及弦长公式，结合二次函数的性质求解函数的最小值即可．22.答案：解：因为f(x)=ax+lnx−1，所以f′(x)=−ax2+1x=x−ax2，x∈(0,e].令f′(x)=0，得x=a．由0<a<e，则当x∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0,a)上是减少的；当x∈(a,e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a,e]上是增加的，所以当x=a时，函数f(x)取得最小值ln a；解析：求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查计算能力．。
2020届浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试数学试题(解析版)
2020届浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){}|120A x x x =++<，{}|12B x x =<≤，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜2}【答案】A【解析】先求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}12B x x =<≤， ∴{}{}{}121212A B x x x x x x ⋂=-<<⋂<≤=<<. 故选：A ． 【点睛】本题考查了集合的运算与一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．若复数21aii+-(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．1D ．－1【答案】B【解析】试题分析：()()()()()()2122222111222ai i a a i a ai a i i i i ++-++++-===+--+为纯虚数，故有202a -=，()202a +≠即2a =. 【考点】复数的运算，分类.3．若x ，y 满足约束条件42y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．6【答案】D【解析】先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4y xx y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122zy x =-+，由图象可知当直线经过点A ，直线的截距最大，此时z 最大，此时6z =， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.4．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆，则有2224480D E F a +-=+->，解之得2a >或2a <-，再利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆，则有2224480D E F a +-=+->， 解之得2a >或2a <-，则“2a >”是“2a >或2a <-”的充分不必要条件，所以“2a >”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的充分不必要条件.故选：A ． 【点睛】本题考查了圆的一般方程的应用及充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 5．在下面四个x ∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |cos2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数，可排除A 、C ；由()0f π>，可排除B ；进而得出正确选项． 【详解】()cos(2)cos2()f x x x x x f x -=--==，即()f x 为偶函数，可排除A 、C ；又()(2)2cos220f k k k k k Z ππππ==≥∈，可排除B ． 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的应用和三角函数的性质，属于基础题. 6．已知在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，E ，F 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为（ ） A ．平行、平行 B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交【答案】B【解析】推导出EF ⊂平面11BCC B ，MN I 平面11BCC B N =，N EF ∉，由异面直线判定定理得直线MN 与直线EF 是异面直线；取11A C 中点P ，连结PM ，PN ，则11//PN B A ，1//PM A A ，从而平面//PMN 平面11ABB A ，由此得到直线MN 与平面11ABB A 平行． 【详解】∵在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，∴EF ⊂平面11BCC B ，MN I 平面11BCC B N =，N EF ∉， ∴由异面直线判定定理得直线MN 与直线EF 是异面直线； 取11A C 中点P ，连结PM ，PN ，则11//PN B A ，1//PM A A ，∵1111AA A B A =I ，PM PN P ⋂=， ∴平面//PMN 平面11ABB A ，∵MN ⊂平面PMN ，∴直线MN 与平面11ABB A 平行． 故选：B ．【点睛】本题考查了棱柱的几何特征及异面直线、线面平行的判定，属于中档题.7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η） D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）【答案】A【解析】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=， ()25D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167E η=， ()2449D η=，即可得解．【详解】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，()134336115C C P C ξ⋅===，()342236325C C P C ξ⋅===，()343136135C C P C ξ⋅===， ∴()131232555E ξ=+⨯+⨯=，()112555D ξ=+=；当4n =时，η可取1，2，3，4，()1434374135C C P C η⋅===，()22437418235C P C C η==⋅=， ()31437412335C P C C η==⋅=，()4404375143C C P C η⋅===， ∴()41812116234353535357E η=+⨯+⨯+⨯=， ()22224161816121611612343573573575494372D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<． 故选：A ． 【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.8．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B【解析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数．【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.9．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ） A ．2παββγ+＜，＞B ．2παββγ+＜，＜C ．2παββγ+＞，＞D ．2παββγ+＞，＜【答案】C【解析】由最小角定理得αβ>，由已知条件得AB ⊥平面VAC ，过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，推导出BVA γ>∠，由VA ⊥平面ABC ，得VMA β=∠，推导出MVA γ>∠，从而2πβγ+>，即可得解.【详解】由三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形， VA ⊥平面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外）， 记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ， 由最小角定理得αβ>，排除A 和B ； 由已知条件得AB ⊥平面VAC ，过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，∴tan tan ABBNA ANγ=∠=， 而tan ABBVA AV∠=，AN AV <，∴tan tan BNA BVA ∠>∠， ∴BVA γ>∠，∵VA ⊥平面ABC ，∴VMA β=∠， ∴2MVA πβ+∠=，∵tan AMMVA AV∠=，AB AM >，∴tan tan BVA MVA ∠>∠，∴MVA γ>∠，∴2πβγ+>．故选：C ．【点睛】本题查了线线角、线面角、二面角的关系与求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 10．设a ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝a n ﹣（a n ﹣2）3，则（ ） A ．当a ＝4时，a 10＞210 B ．当2a =a 10＞2C ．当13a =时，a 10＞210 D ．当165a =时，a 10＞2 【答案】C【解析】令2n n b a =-，则31n n n b b b +=-，令3()=-f x x x ，则2()13'=-f x x ，则()f x 在3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在33⎛ ⎝⎭，上单调递增，分别取2a =和165a =，利用函数的单调性推导出1303n b +-<<，从而可得B ，D 错误；当4a =时，利用函数的单调性推导出2n b ≥，从而可得A 错，C 正确；即可得解. 【详解】令2n n b a =-，则31n n n b b b +=-，令3()=-f x x x ，则2()13'=-f x x ，由()0f x '>，得33x -<<，由()0f x '<，得3x <-或3x >， 则()f x在,⎛-∞ ⎝⎭和⎫∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，且(f =>，(0)0f =，故当x ⎛∈ ⎝⎭时，有()f x ⎛∈⎝⎭.当a =,123b =<-，2018b >=->，依次类推有()21103n n n b b b +-<=-<， 当165a =时，165b =，2660125b >=-＞同理有()2110n n n b b b +<=-<，此时均有1122n n a b ++=+<，故B ，D 错误； 当4a =时，12b =，262b =-<-，由()f x 的单调性可知332262b >-+=>，342262b <-=-<-，依次类推可得2n b ≥，2113n n nb b b +=-≥. 又()()2211111110n n nn n n n n b b b b b b b b ++---=⋅=-->，故11,n n b b +-同号. 而()()()222910181091111232b b b b b =-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅-≥⨯≥⋅，∵2b 与10b 同号，故10102b ≤-，所以1010220a ≤-+<，则A 错误； 当13a =时，153b =-，280227b =>， 同理可得当2n ≥时，2n b >，2113n n nb b b +=->. 且()()22111110n nn n n n b b b b b b +--⋅=-->，2b 与10b 同号， ∴()()()2228651002921880111323227b b b b b =-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅≥⨯⋅-⨯>>，所以101010222a >+>，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了导数和数列的综合应用，考查了运算能力和推理能力，属于难题.二、双空题11．若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝_____；离心率是_____．【答案】45【解析】由双曲线的方程表示出渐近线的方程即可求出a ，进而求出双曲线的离心率． 【详解】由双曲线221x y a-=的方程可得渐近线的方程为：ya =±， 而由题意可得12a =，所以4a =， 所以双曲线离心率4154e +==. 故答案为：4，5． 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，属于基础题.12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_____，体积是_____．【答案】2 6【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 【详解】由三视图可知该几何体为三棱柱，该三棱柱的底面为直角边长为2，2的直角三角形，高为3，所以该几何体的表面积为：123233222162S =⨯+⨯++⨯⨯⨯=+． 该几何体的体积为：122362V =⨯⨯⨯=．故答案为：16+6． 【点睛】本题考查了三视图的识别及三棱柱的体积和表面积的求解，属于基础题.13．已知a ∈R ，若二项式(1)n 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n ＝_____，含x 项的系数是_____． 【答案】4 24或96【解析】由题意可得216n =，解得n 后，令1x =即可得a ，利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】∵二项式(1)n 的展开式中二项式系数和是16， ∴216n =，解得4n =；令1x =，可得()4181a +=，解得2a =或4-， 二项式展开式的通项公式为2442144(r r rr rr TC C ax---+==，令2r =，则x 项的系数是22246C a a =，当2a =时，2624a =， 当4a =-时，2696a =， 所以含x 项的系数是24或96． 故答案为：4，24或96． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于中档题. 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，2A π≠，c +b cos A ﹣a cos B =cos A ，则ba=_____，内角B 的取值范围是_____．（0，4π）【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得2sin cos cos B A A A =，结合2A π≠，可得sin sin 2B A =，由正弦定理可得2b a =；由sin B A =，且b a <，B 为锐角，即可求解B 的范围．【详解】∵cos cos cos c b A a B A +-=，∴由正弦定理可得：sin sin cos sin cos cos C B A A B A A +-=，∵()()sin sin sin sin cos sin cos C A B A B A B B A π⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，∴sin cos sin cos sin cos sin cos cos A B B A B A A B A A ++-=，即2sin cos cos B A A A =，∵2A π≠，∴可得sin B A =，由正弦定理可得b a =，∵sin 0,22B A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且b a <，B 为锐角， ∴0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：2,0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换与正弦定理的综合应用，属于中档题.三、填空题15．已知椭圆22197x y C +=：，F 为其左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线l 的斜率为_____．【答案】【解析】先设点A 的坐标，再把需要的直线的斜率表示出，利用角相等解出点的坐标，从而求出斜率．【详解】设()00,A x y ，则()00,B x y --，00x <，00y >且2200197x y +=，∵F 为其左焦点，∴()F，tan BFO ∠=AB 的斜率010y k x =．经分析直线AF的斜率必存在，设为2k =则1212tan 1k k FAB k k -∠==+，又FAB BFO ∠=∠，=，∴220002x y ++=，又2200197x y +=，0(3,0)x ∈-，可解得：0x =，0y =， ∴直线l的斜率为003y x =-．故答案为：3-． 【点睛】本题考查了直线方程与椭圆的综合应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.16．已知非零平面向量a r ，b r ，c r ，满足2a b a ⋅=r r r ，32c a b =+r r r ，则b c b c⋅⋅r rr r 的最小值是_____．【解析】根据已知条件可以得出向量a r ，b r ，c r之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将b r，c r向量的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题． 【详解】由2a b a ⋅=r r r 得2a b cos a θ⋅=r r r （θ是a r ，b r 的夹角）．∴cos b a θ=r r ，∴不妨设()10a =r ，，()1b tan θ=r ，0,2πθ⎛⎫⎡⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， ∴2111333c a b tan θ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭r r r ，，再令tan [0,)t θ=∈+∞，则211t b c b c+⋅==⋅r r r r ．对于分母，再令20m t =≥，当0m =时，1b cb c=⋅⋅r r r r .当0m ≠时，则分母可化为：y ==∵211243933m m ++≥+=，当且仅当3m=时取等号，∴y ≤=∴12b c b c⋅≥=⋅r rr r 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积的坐标表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.17．设a ，b ∈R ，若函数()()3221132f x ax bx a x =++-在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b 的最大值为_____． 【答案】2【解析】求导得2()21f x ax bx a '=++-，依题意2210ax bx a ++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立，先根据系数比例，令221x x -=，可得2a b +≤，即a +b 的最大值为2，再证明充分性，即当2a b +=时，2210ax bx a ++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立，综合即可得出结论． 【详解】求导得2()21f x ax bx a '=++-， ∵函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增， ∴2210ax bx a ++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立， 令221x x -=解得1x =或12x =-，将12x =-代入可得111022a b --+≥，即2a b +≤，则+a b 的最大值为2，下面证明2a b +=可以取到， 令()2()21g x f x ax bx a '==++-，则()4g x ax b '=+，且()0g x ≥，102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则1202g a b ⎛⎫'-=-+= ⎪⎝⎭，解得23a =，43b =， 当23a =，43b =时，()()224411(21)03333g x f x x x x '==++=+≥在[]1,1x ∈-上恒成立，故2a b +=可以取到， 综上，+a b 的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了推理能力和转化化归思想，属于中档题.四、解答题18．已知函数()sin cos (0)f x x a x a =+>满足()2242f x fx π⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设02πα<<，且2()23f f παα⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，求sin2α．【答案】（Ⅰ（Ⅱ． 【解析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系即可求得a 的值； （Ⅱ）由题意利用三角恒等变换求得1cos 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的平方关系求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】（Ⅰ）∵函数()sin acos (0)f x x x a =+>， ∴sin acos cos sin 222f x x x x a x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵()2242f x f x π⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，∴()()22sin acos cos sin 4x x x a x ++-=， ∴214a +=，又0a >故a =（Ⅱ）由题意()()()sin cos 2f f παααααα⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭222sin cos sin 22αααααα=--+=-22cos 263πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴1cos 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵02πα<<，∴72,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 263πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 故sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2231126132326-=⨯-⨯=. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的综合应用，考查了运算能力，属于中档题. 19．如图，在四棱锥C ﹣ABNM 中，四边形ABNM 的边长均为2，△ABC 为正三角形，MB 6=，MB ⊥NC ，E ，F 分别为MN ，AC 中点．（Ⅰ）证明：MB ⊥AC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ15【解析】（Ⅰ）连接AN ，由题意可得MB AN ⊥，结合MB NC ⊥，利用线面垂直的判定可得MB ⊥平面NAC ，利用线面垂直的性质即可得证；（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ，证明MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．则直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF ，记F 到平面MBC 的距离为h ，利用等体积法求得h ，则15sin 5h OF θ==，即可得解. 【详解】（Ⅰ）证明：连接AN ，∵四边形ABNM 的边长均为2，∴MB AN ⊥， ∵MB NC ⊥，且AN NC N =I ，∴MB ⊥平面NAC ， ∵AC ⊂平面NAC ，∴MB AC ⊥； （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ， 显然//FG MN ，且12FG MN =，即//FG ME ，FG ME =， ∴MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．∴直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ, 由（Ⅰ）知MB AC ⊥，又ABC V 为正三角形，∴BF AC ⊥，且3BF =． ∵MB BF B =I ，∴AC ⊥平面MBF ，而BF ⊂平面MBF ， 则MF AC ⊥，得3MF =，2MC =， ∵6MB =，3BF =，∴MF BF ⊥，AC BF F =I ，∴MF ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面ABC ，MF FG ⊥， ∴MF ME ⊥，可得1131122OF EF ==+=． ∴11111333322M BCFBCF V S MF -=⋅=⋅⋅⋅⋅=V ， 记F 到平面MBC 的距离为h ，在MBC △中，∵2MC BC ==，6MB =，∴15MBC S =△， ∴11151332F MBC MBC V S h h -=⋅=⋅⋅=△，得15h =． 故15sin 5h OF θ==. 所以直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值为155. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面角的求解和空间思维能力，属于中档题. 20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知：a 5＝2a 2+3且a 29S a 14成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n }满足b n 2S n +1＝S n +1+2，求证：b 1+b 2+…+b n ＜n +1．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ﹣1；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意19360a d +≥，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得2n S n =，求得n b ，并推得()1111111n b n n n n <==+=+-++，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由5223a a =+可得()11423a d a d +=++，又2a 14a 成等比数列，可得2914a S a =⋅， 即()()11193613a d a d a d +=++，且19360a d +≥， 解得11a =，2d =，则()1121n a a n d n =+-=-； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()211212n S n n n =+-=，由2112n n n b S S ++=+，可得n b =由n b <==()1111111n n n n =+=+-++，故1211111111122311n b b b n n n n n n ⎛⎫++⋯++-+-++-=+-<+ ⎪++⎝⎭<L . 得证. 【点睛】本题考查了数列通项公式的确定以及分组求和法、裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.21．如图，已知抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F （0，1），过F 的两条动直线AB ，CD 与抛物线交出A 、B 、C 、D 四点，直线AB ，CD 的斜率存在且分别是k 1（k 1＞0），k 2．（Ⅰ）若直线BD 过点（0，3），求直线AC 与y 轴的交点坐标 （Ⅱ）若k 1﹣k 2＝2，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）（0，13）；（Ⅱ）32． 【解析】（Ⅰ）抛物线方程为24x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >，直线y kx t =+代入抛物线方程，当1t =时，得12x x ，34x x ，当3t =时，得24x x ，进而可得31x x 值为43-，写出直线AC 方程，令0x =得13143x x y =-=，进而得出结论；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >，直线l 的方程是1y kx =+，联立抛物线方程，由韦达定理可得，()21211141AB y y k =+++=+，再求出点C 到AB 的距离d 1，点D 到AB 的距离d 2，()1212S AB d d =⋅+，化简得()()2211116145S k kk =+-+设()()()()221450f x xxx x =+-+>，求导，分析单调性，进而得出min S ． 【详解】（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为24x y =，设直线y kx t =+代入抛物线方程得2440x kx t --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >， 当1t =时，得124x x =-，344x x =-， 当3t =时，2412x x =-， 所以12434443x x x x --=⋅=-，直线AC 方程是()()()3113131122111313444x y y x x y y x x x x x x x x x x x --+-=-=-=---， 令0x =得()1311311443x x y x y x x ++=⋅-=-=， 故直线AC 与y 轴交点坐标是10,3⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅱ）设直线l 的方程是1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >，则1211244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，3423444x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()2121112111441AB y y k x k x k =+++=++=+，点C 到AB的距离1d ==，点D 到AB的距离21k x y d --+==则()()()()212112341212k x x y y S AB d d k k k x x -+-=⋅+=+=--===，设()()()()221450f x xxx x =+-+>，则()()()332433141f x x x x x '=+=---，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以在()0,∞+内()f x 最小值()14f =， 故当11k =，21k =-时，min 1632S ==． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合应用，考查了导数的应用，属于中档题. 22．已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax ﹣x ln x ．其中a ∈R ．（Ⅰ）若12a =，证明：f （x ）≥0； （Ⅱ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）[12+∞，）．【解析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围，即可得证；（Ⅱ）由已知代入整理可得211ln x ax a x e x---≥-+在(1,)x ∈+∞上恒成立，构造函数()()2ln 1m x ax a x x =-->，()()111111x x n x e x x x e --=-+=->，按照0a ≤、0a >讨论，结合导数分别分析函数的特征性质，即可得解．【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域(0,)+∞， 当12a =时，321111()ln ln 2222f x x x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 令()211ln 22g x x x =--，则()211x g x x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；故()()10g x g ≥=，又0x >，所以()0f x ≥；（Ⅱ）若()131()1ln x xef x ax ax x x -≥-=---在(1,)x ∈+∞上恒成立， 则()211ln x e ax a x x-≥---在(1,)x ∈+∞上恒成立， 即211ln x ax a x e x---≥-+在(1,)x ∈+∞上恒成立， 令()()2ln 1m x ax a x x =-->，()()111111x x n x e x x x e --=-+=->， 令()()11x x e x x ϕ-->=，则()110x x e ϕ--'>=，则()()10x ϕϕ>=，所以10x e x -->，可得()0n x >，∵()21212ax m x ax x x-'=-=，（i ）当0a ≤时，()0m x '<，()m x 在(1,)x ∈+∞上单调递减，故()()10m x m <=， 此时()()m x n x ≥不成立；（ii ）当0a >时，由()0m x '=可得1x =，20x =<，1>即102a <<时，()m x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，∴()10m m <=，则在⎛ ⎝上，()()m x n x ≥不成立；1≤即12a ≥时，()m x 在(1,)x ∈+∞上单调递增， 令()2111()()()1ln x F x m x n x a x x x e-=-=---+， 则()()211111ln 2x F x x x x e-≥---+， 令()()211111ln 2x G x x x x e -=---+， ∵()()221221(1)1111110x x x G x x x x x e x x x-+-'=-+-≥-+-=>， 故()G x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0>=G x G ，则()()0F x G x ≥>，符合题意；综上，a 的范围12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020届浙江省金华十校高三上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省金华十校2020届高三上学期期末考试数学试题1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1},{1,0,2}A B =-=-，则()U C A B ⋂=（ ） A. {2,1,1,2}-- B. {}0C. ∅D. U【答案】A【解析】由{2,0,1},{1,0,2}A B =-=- 所以{0}AB =，所以(){2,1,1,2}U C A B =--.故选：A.2.在三角形ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,120,3a B c ==︒=，则b =（ ）A.B. 4C.D. 5【答案】C【解析】根据余弦定理22212cos 49223192b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以b = 故选：C.3.若实数,x y 满足约束条件240,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 6D. 7【答案】C【解析】实数,x y 满足约束条件24022020x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，如图，根据图象，使得z x y =+取到最大值的最优解是直线240x y -+=与220x y --=的交点，即810,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以的最大值为810633z =+=. 故选：C.4.用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 36个 D. 72个【答案】D【解析】解法一：直接求解三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻， 所以排列个数为222323322672A A A ⋅⋅=⨯⨯⨯=个. 解法二：反面求解5233352333120123672N A A A A A =-+=--=个.故选：D.5.已知,a b ∈R ，则1b a <<是1|1|a b ->-的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为211111a ba b a b a b a<+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩，所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立， 当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立， 所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件. 故选：B.6.在同一直角坐标系中，函数a y x =，||)log (a y x a =-(0)a ≠的图象不可能的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A 来说：幂函数中01a <<，而对数函数平移后的图象应该还在y 轴右侧（定义域为(),a +∞），所以A 是不可能的；对于B 来说：幂函数中1a >，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以B 是可能的；对于C 来说：幂函数中0a <，选择1a <-，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以C 是可能的；对于D 来说：幂函数中0a <，选择10a -<<，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以D 是可能的.故选：A.7.已知随机变量ξ的分布列如下表：记“函数()()3sin 2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件A ，则（ ） A. ()223E a ξ=-，()13P A =B. 2()3E ξ=，()13P A =C. ()223E ξ=，()23P A =D. ()2244233E a a ξ=-+，()23P A =【答案】C【解析】因为函数()()3sin2x f x x R ξπ+=∈是偶函数， 所以,22k k Z ξπππ=+∈，于是21,k k Z ξ=+∈，又因为1,0,1ξ=-， 所以事件A 表示1ξ=±，12()133P A a b =+=-=， 12()(1)01233E a b b a a ξ=-⨯+⨯+⨯=-=-，随机变量2ξ的取值为0,1，其对应的概率为()2103P ξ==，()2213P ξ==， 所以()212201333E ξ=⨯+⨯=. 故选：C.8.已知点(2,1)A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆1C ：22(1)1x y -+=上的动点，则PB PA -的最大值为（ ）A.B.C. 3D. 5【答案】D【解析】由题意知，椭圆右焦点()11,0F 是圆心，左焦点()21,0F-，则11PB PF ≤+， 又在椭圆中1224PF PF a +==，()2,1A -所以122||||||1||2||1||21||5PB PA PF PA a PF PA a AF -≤+-=-+-≤+-= 故选：D.9.正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ）A. 数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B. n a 的最小值必定为1C. 当n a 是奇数时，2n n a a +≥D. n a 的最小值可能为2【答案】A【解析】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A.10.设()cos ,,63af x x x x ππ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（ ）A. 当1a =-时，M <B. 当2a =时，M <C. 当1a =时，2M > D. 当3a =时，12M <【答案】AB【解析】对于选项A ，当1a =-时，cos ()x f x x =在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以cos66M ππ==<A 正确.对于选项B ，当2a =时，2()cos f x x x =⋅，则()()cos 2tan 0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，即2183M π=<，故选项B 正确. 对于选项C ，当1a =时，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x <恒成立，所以()cos tan cos sin f x x x x x x =<=≤M <，故选项C 错误. 对于选项D ，当3a =时，3()cos f x x x =⋅，则2()cos (3tan )0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，311()232M π=⋅>∴，故选项D 错误.故选：AB.11.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.若复数z 满足()347i z i ⋅+=+，则z 对应的点位于第_______象限，||z =________.【答案】 (1). 四(2).【解析】7134iz i i+==-+，则z对应的点位于第四象限；||z =..12.在6⎛⎝的展开式中，各项系数的和是________，二项式系数最大的项是_________.【答案】 (1). 1 (2). 160-【解析】令1x =得各项系数的和是1；二项式系数最大是36C ，是展开式的第四项，所以是160-.故答案为：1，160-.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________. 【答案】 (1).0y ±= (2).6π【解析】由题意，在双曲线中22213b be a a=+=⇒=0y ±=；由双曲线的定义知，12F F =，2||2AF a =，12tan 3AF F ∠=， 所以126AF F π∠=0y ±=，6π.14.在ABC ∆中，,M N 分别在,AB BC 上，且2,3AM MB BN NC ==，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+，则x =___________，y =_____________.【答案】 (1).18 (2). 34【解析】法一：平面向量基本定理 以BA ，BC 为该平面的基底， 则PA BA BP =-，所以(),(1)BP x BA BP yBC x BP xBA yBC =-+⇒+=+， 下面用两次“三点共线”，4(1)3(1)x BP xBA yBN x BP xBM yBC⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩， 因为三点,,P A N 共线，且三点,,P C M 共线，.所以141833134x x x y x x y y ⎧=⎧⎪+=+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩法二：特殊化处理如图，设点(2,0),(2,0),(0,3)B C A -，则481(,1),(1,0),(,)393M N P -，即有：26188(,),(,),(4,0)9393BP PA BC ==-= 由BP xPA yBC ==得：268149981830334x y x x y ⎧⎧=-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩. 故答案为：18，34. 15.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是______3cm .【答案】163【解析】如图，该三视图还原的几何体，其体积可分割成一直三棱柱与三棱锥，故111162222223223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：163.16.已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________. 【答案】[3,5]【解析】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤， 所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,517.在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=___________.【答案】2【解析】如图，//BC αBC ∴平行于平面α和底面ABC 的交线.又顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ， 则BC AO ⊥，BC PO ⊥，BC ∴⊥平面POA ， BC AM ⊥∴，因此平面α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，即为MAO ∠. 在Rt POA ∆中，()12tan PO AO θθ+=，在Rt MOA ∆中，2tan MOAOθ=， 又点M 为PO 的中点，所以122tan()2tan θθθ+=，即12212tan tan 2tan 1tan tan θθθθθ+=-⋅， 整理得212222tan 1tan 112tan 2tan tan θθθθθ==++，所以当1θ取到最大时2tan θ=.（这个问题就是米勒最大角问题.） 即2OA OM OP =⋅时，角最大，从而正切值最大，不妨设1OM MP ==，则2tan OA θ==.故答案为：2. 18.已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-； （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）将函数()f x 分别向左、向右平移()0m m >个单位相应得到()()g x h x 、，且cos m =，求函数()(),0,2y g x h x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈的值域.解：（Ⅰ）()2cos 22s 6in 2f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+所以函数()f x 的单调减区间为32[,]()63k k k Z πππ++∈； （Ⅱ）由题意，()()()()sin(22)2sin(22)66g x h x f x m f x m x m x m ππ+=++-=+++-+4sin(2)cos 26x m π=+.又[0,]2x π∈，则72666x πππ≤+≤，从而有4sin(2)[2,4]6x π+∈-，又cos m =， 221cos 23cos 1133m m =-=-=-∴.所以函数()(),[0,]2y g x h x x π=+∈的值域为42[,]33-.19.在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90,A BC ∠=︒=BCED 为直角梯形，90,1,DBC BD DE ∠=︒==，F 为AB 中点.（Ⅰ）证明：//DF 平面ACE ；（Ⅱ）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.解：法一：（Ⅰ）证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ， 有//FG AC ，//FG ∴面ACE ， 有//DG EC ，//DG ∴面ACE ，FG DG G =∵，∴面//DGF 面ACE .DF ⊂面DGF ，//DF ∴平面ACE ；（Ⅱ）四边形BCED 为梯形，DE BC ==，G 为BC 中点，//DE CG ∴，即四边形GCED 为平行四边形，//CE GD ∴.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接GE ，AG ，由题意可知，AG BC ⊥，EG BC ⊥，BC ∴⊥面AGE ， ∴面ABC ⊥面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.//DE BC ，DE ∴⊥面AGE ，90AED ∴∠=︒，DE AD ==∵1AE ∴=，又1CE BD ==，AG = ∴点E 到AG的距离为2.在三棱锥D ABG -中，2111323226D ABG E ABG ABG V V S --∆==⋅=⋅⋅=，根据1,2BD AD AB ===，ABD S ∆=∴ 记点G 到面ABD 的距离为h ，由1326D ABG G ABG V V h --==⋅=，得3h =. 所以CE 与平面ABD所成角的正弦为hDG == 法二：以,AB AC 为,x y 轴，过点A 作xAy 平面的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设点(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(,,),3A B C F D a b c CD =由题意可得：222222222222(2)1(2)93BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪=+-+=⎨⎪=++=⎩32131(,222ab Dc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⇒-⎨⎪⎪=⎪⎩由111213(,,),(,,2222222DE BC E CE=⇒=-设平面ADB法向量为(0,2,1)n =，312(,,),(2,0,0)222AD AB=-=(0,2,1)n ADnn AB⎧⋅=⇒=⎨⋅=⎩，即：2sin|cos|3n CEα=<⋅>=，故CE与平面ADB所成角的正弦值为3.20.已知数列{}n a的前n项和为n S，n S是3-和3n a的等差中项；（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）若12123112nnn nSS Sa a a aλ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅≥+⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得233n nS a=-+，则当2n≥时，11233n nS a--=-+，∴当2n≥时，()()111222333333n n n n n n nS S a a a a a----==-+--+=-，即13n na a-=，又由11233S a=-+，得13a=，所以数列{}n a是13a=，公比3q=的等比数列，所以数列{}n a的通项公式3nna=.（Ⅱ）由题意知233n n S a =-+，得3112n n n S a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得1212123111...()(1)(1)...(1)2n n n nS S S a a a a a a ⋅=-⋅-⋅⋅- 12111(1)(1)...(1)11n n a a a a λ-⋅-⋅⋅-≤+∴，设12111(1)(1)...(1)11nn na a ab a -⋅-⋅⋅-=+，3n n a =，0n b ∴>，11111(1)(1)331113n n n nn b b +++-⋅+=>+， {}n b ∴是递增数列，最小项是111131213b -==+， 所以12λ≤21.已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，点()1,2P 在直线l 的右上方.分别过点,,P A B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为123,,l l l .（Ⅰ）证明：直线2l 的方程是()112yy x x =+； （Ⅱ）若121323,l l E l l F l l G ===,；求EFG ∆面积的最大值；（Ⅰ）证明：法一：点11(,)A x y 满足24y x =，即2114y x =，设直线2l 方程是11()(0)y y k x x k -=-≠由21142()y x yy x x ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2211440ky y y ky -+-= 得21112164(4)0k y k k y ∆=--=⇒=， 故直线2l 是1112()-=-y y x x y ， 化简得112()yy x x =+，所以直线2l 是的方程是112()yy x x =+. 法二：21422y y yx x k =⇒'=⇒=11111()2()2y x x y y yy x x ⇒-=-⇒=+ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得切线分别为：111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+；联立直线得：11222112222(,),(,),(,)424242yy y y y y y y G E F +++ 即：121212(2)2(2)2(,),(,)4242y y y y y y GE GE ----== 所以，122112121211|||||42()|216S x y x y y y y y y y =-=--++ 22121244440413y y y x y y b y y b y x b b +=⎧⎧⎧=+-=⇒⇒⎨⎨⎨=-=-+-<<⎩⎩⎩， 代入面积公式得：)S b -=令()()3253913f x x x x x =-++-<<，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，所以()f x 在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以max 139b S S===. 22.已知()(32)x f x e a =-其中a R ∈， 2.71828e =…为自然对数的底数； （Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若()6f x e ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；解：（Ⅰ）()3x x x xf x e '==1x =为函数()f x 的极值点，(1)0f '=∴，得92a e =， 经检验，当92a e =时， 1x =为函数()f x 的极小值点.（Ⅱ）|()|6f x e ≤∵，即6(32)6x e e a e -≤-≤，3322x x e a e -≤≤∴令3()2x g x e =-()g x 在[0,2]x ∈上单调递增，2max 3()(2)2g x g e ==∴即232a e ≥.令1233()322x xh x e e e x -=+=+⋅，由3233()022x h x e e x -'=-⋅=，得1x =，由32xy e =在[0,2]x ∈上单调递增， 和3232y e x -=⋅在[0,2]x ∈上单调第减，1x ∴=是3233()022x h x e e x -'=-⋅=的唯一解，∴当[0,1]x ∈时，()0h x '≤；当[1,2]x ∈时，()0h x '≥，则min 39()(1)322h x h e e e ==+=，故92a e ≤. 综上，a 的取值范围是23922e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
浙江省十校联盟2020届高三10月联考数学试题卷(解析版)
浙江省十校联盟2020届高三10月联考数学试题卷一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（ ）A.∅B.{0,1}C.{0,1,2}D.{2,0,1,2}-【答案】B【解析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2．已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的两条渐近线互相垂直，则e =（ ）A.1D.2【答案】B【解析】根据题意，利用双曲线的两条渐近线垂直推出-1b ba a=-，可得a b =，再通过离心率的计算公式即可得出。
【详解】由题意得，-1b b a a =-，可得a b =，则2222222,c a b e e a a+==== 【点睛】本题主要考查双曲线的性质中离心率的求解。
3．定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3【答案】D【解析】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
【详解】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推得2x =-也为()f x 的零点，所以()f x 的零点共有三个，故答案选D 。
【点睛】本题主要考查奇函数图像关于零点对称的性质和函数零点个数的求解。
4．若实数,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A.[7,2]-B.[1,2]-C.[1,)-+∞D.[2,)+∞【答案】C【解析】根据题意，画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解函数的最值，即可推出结果。