立体几何线面与面面垂直的证明

理科数学复习专题 立体几何

线面垂直与面面垂直专题复习

【知识点】

一．线面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：

如果直线l 和平面α的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________．

重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为：

②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为：

(3)直线与平面垂直的性质：

①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为：

二、面面垂直

(1)平面与平面垂直的定义：

两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为：

(3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为：

【题型总结】

题型一 小题：判断正误

1．“直线l 垂直于平面α的无数条直线”是“l ⊥α”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

2．已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )．

A.CD ∥平面PAF

B.DF ⊥平面PAF

C.CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD

2. 设m ，n, l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，判断命题正误：

α

αααααββααβαβα//n ,,m //,,n ,//,,//,//,,则⑤则④则③则②则①n m n m n m n m m m m m m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥

γ

αβγβαγαγββααα⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则，⑩则⑨则，⑧则⑦则⑥,//m ,//,m //,//m ,,m n ,//,n m l l n n l l n n m

题型二 证明线面垂直 1．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，

∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ．

（1）证明：BD ⊥面PAD (2)证明：P A ⊥BD ；

归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_____________________________________ ②找垂线(线线垂直)的方法一：_________________________________

2.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4的菱形，

04,60PD PB BAD ==∠=，E 为PA 中点.

求证：BD ⊥平面PAC ；

归纳：找垂线(线线垂直)的方法二：_________________________________

找垂线(线线垂直)的方法三：_________________________________

3、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上不同于A ,B 的一点，

PA ⊥平面ABC ，E 是PC 的中点，3AB ，1PA AC ==．求

证：AE PB ⊥

归纳：找垂线(线线垂直)的方法四：_________________________________

C

A

B

D

E

F

4.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ， AP=AC, 点D ，E 分别为棱PB 、PC 的中点，且BC//平面ADE 求证：D E ⊥平面PAC ；

归纳：_________________________________________________________________

题型三 面面垂直的证明（关键：找线面垂直）

1、如图所示，四边形ABCD 是菱形，O 是AC 与BD 的交点，SA ABCD ⊥平面.

求证：SAC SBD ⊥平面平面；

2.（2016理数）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中, 面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=o

， 证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；

题型四 面面垂直的性质（注意：交线）

1、如图所示，平面EAD ⊥平面ABCD ，ADE ∆是等边三角形，ABCD 是矩形，F 是AB 的中点，G 是AD 的中点， 求证：EG ⊥平面ABCD ；

2、如图，平行四边形ABCD 中，

01,60,CD BCD BD CD =∠=⊥，正方形ADEF ，

且面ADEF ⊥面ABCD ．求证：BD ⊥平面ECD ；

综合运用

如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：面B MN ⊥平面PCD .

【练习】

1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：

①

M b M a b a ⊥⇒⎭

⎬

⎫

⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④ 2. 给出以下四个命题：

○

1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

○

2如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ○

3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。 ○

4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，

2PD DC BC ===，2AB DC =，AB ∥DC ，90BCD ∠=︒.

(1)求证：PC BC ⊥；(2)求多面体A PBC -的体积.

4.如图所示，ABCD 是正方形，PA ABCD ⊥平面，

E F 、是AC PC 、的中点

（1）求证：AC DF ⊥；

（2）若2,1PA AB ==，求三棱锥C PED -的体积．

D E F

C

B

E

F

P

A B

C

D