二次函数复习课公开课.
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二次函数图像与性质复习课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
方程的 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
关系 3.当 b2－4ac＜0 时 抛物线与 x 轴___没__有_____交点，
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点 5 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、 c 之间的关系
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
解 可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－1(a≠0)， ∵抛物线过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得 a＝1， ∴该函数解析式为 y＝(x－1)2－1，即 y＝x2－2x.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
二次函 待定系数法确定二次函数的解析式分三种情况：
数解析 1.已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般形式；
式的 2.已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式；
确定 3.已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标时，选用交点式.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点4 二次函数与一元二次方程
数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次
方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是
(B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
解 析 由于二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图 象与 x 轴的一个交点为(1，0)，即 x＝1 是一元二次方程 x2 －3x＋m＝0 的根，代入得 12－3＋m＝0，m＝2，原方程 为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，故选 B.
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
彭斌上课二次函数复习公开课(定稿)
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
y y y y
O
x O x O
x O x
A B C D
答案: B
前进
快速反应（口答）
(题型四) 求函数解析式
根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式： 1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。 2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个 交点的横坐标是8。 3、已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且经 过点(2,12)。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
二次函数复习-公开课
3
E
-1
2
l
4 12 x , x ，？) Q (x 7 7
过 P作 PQ 与 x轴 垂 直 ， 交 AE于 Q ， 设 P 点 横 坐 标 为 x .P Q 的 长 度 为 l，
求 l关 于 x 的 函 数 关 系 式 ？ 并 写 出
y2
43
7
x
12 7
x的 取 值 范 围 ？ 当 P点 运 动 到 什 么
位 置 时 ， 线 段 PQ的 值 最 大 ， 并 求 此 时 P点 的 坐 标 ；
y1 x 2 x 3
已知y 1
( a 1) x b x c
2
的图像,OA=OB，思考：
（1,4）
y2
(9 在抛物线的对称轴上 （ 8) ） 是 否 存 在 点 M， 使 得 △ ABM 是等腰三角形，若存在， 求 出 点 M的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请说明理由；
2
1
x 1
3
已知
3
y 1 ( a 1) x b x c 的图像,OA=OB，思考：
(1, 4 )
2
(2)若该抛物线是由函数
y mx
2
n x p 图像向左
平移1个单位，再向下平移2个 单位得到的，则m= -1 ,
-1
3
y1 x 2 x 3
2
n=
4
2
,p=
2
;
化为一般式
2
y x 4x 2
配方
y1 x 1 4
2
y1 x 2 4 2
向右
平移
y1 x 1 1 4
中考二次函数总复习-精品公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
x
巩固一下吧！
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(1) y 3 x 4
(3) y 1 2x
(5) y x2 x 1
(2) y x2 (4) y 2x2 1 3
x (6) y (x 1)2 (x 1)2
(7) y (x 2)2 3 (9) y x 2 1
x
(8) y 0.5x2 1 (10)x2 y2 5
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 迈进
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质鉴定函数图象之间 旳位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c旳图象大致为
y
y
y
3、解答题：
已知二次函数旳图象旳顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数旳解析式； （2）设此二次函数旳图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB旳长度之和。
能力训练
1、 二次函数旳图象如图所示，则在下列各不等式 中成立旳个数是____________
2.选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3旳对称轴是___c__________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1旳______B__________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
巩固一下吧！
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(1) y 3 x 4
(3) y 1 2x
(5) y x2 x 1
(2) y x2 (4) y 2x2 1 3
x (6) y (x 1)2 (x 1)2
(7) y (x 2)2 3 (9) y x 2 1
x
(8) y 0.5x2 1 (10)x2 y2 5
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 迈进
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质鉴定函数图象之间 旳位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c旳图象大致为
y
y
y
3、解答题：
已知二次函数旳图象旳顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数旳解析式； （2）设此二次函数旳图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB旳长度之和。
能力训练
1、 二次函数旳图象如图所示，则在下列各不等式 中成立旳个数是____________
2.选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3旳对称轴是___c__________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1旳______B__________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数复习课——公开课.ppt
如图根据图象解答下的图象二次函数xxycbxaxxcbxaxxacbxaxy??????????x11x231x3x2y2x28x6大大221yx?221yx??2321yx??2412yx???2512yx????2621yxx???20yaxhka????20yaxbxca????2723yxx????12??14二学会从解析式寻找函数信息开口顶点hk开口与y轴的交点0c顶点2424bacbaa??0001?10?121220yaxbxca????1求二次函数与y轴的交点2求二次函数与x轴的交点200yaxbxc????令240bacx?????函数与轴有两个交点240bacx?????函数与轴有一个交点240bacx?????函数与轴没有交点00cycyx轴必有交点与令??
(3)写出关于x的方程ax2 bx c 0的两个根：_x_1_=_1_,_x_2_=__3； （4)写出关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为__1__<_x__<_3； (5)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：___x_>_2__.
二、学会从解析式寻找函数信息
(1) y x2 (2) y x2 1 (3) y 2(x 1)2 (4) y (x 1)2 2 (5) y (x 1)2 2
(0, 0) (0, 1) (1, 0)
(1, 2) (1, 2)
y a(x h)2 k(a 0)
开口 顶点（h,k）
y ax2 bx c(a 0)
开口
(6)y x2 2x 1 (1,2) 与y轴的交点(0,c)
顶点 (7) y x2 2x 3 (1, 4)
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
图象上有点A(x1, y1), B(x2 , y2 )，若
(3)写出关于x的方程ax2 bx c 0的两个根：_x_1_=_1_,_x_2_=__3； （4)写出关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为__1__<_x__<_3； (5)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：___x_>_2__.
二、学会从解析式寻找函数信息
(1) y x2 (2) y x2 1 (3) y 2(x 1)2 (4) y (x 1)2 2 (5) y (x 1)2 2
(0, 0) (0, 1) (1, 0)
(1, 2) (1, 2)
y a(x h)2 k(a 0)
开口 顶点（h,k）
y ax2 bx c(a 0)
开口
(6)y x2 2x 1 (1,2) 与y轴的交点(0,c)
顶点 (7) y x2 2x 3 (1, 4)
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
图象上有点A(x1, y1), B(x2 , y2 )，若
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
初中数学《二次函数》复习课名师教学PPT课件
3.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经 试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次 函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45；
(1)求一次函数的解析式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单 价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最 大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单 价x的范围.
二次函数在几何问题中的应用
1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤 足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了 如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区 域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的 面积为ym2.
A.图象关于直线x＝1对称 B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最小值是-4 C.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴 的两个交点的横坐标分别是-1，3 D.当x＜1时，y随x的增大而增大
2.已知函数y＝(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的 取值范围是（B）
A.k＜4 B.k≤4 C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
1 x
2.已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值
范围是（ C）
A.m≠0 B.m≠－1 C.m≠0，且m≠－1 D.m＝－1
3.矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0）， 面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成 （ B）
A.y＝x2 C. y＝12－x2
B.y＝(12－x)x D.y＝2(12－x)
公开课《二次函数复习课》教案
《二次函数复习》教学设计教学目标1、掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题2、通过学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会数形结合思想、化归思想.3、经历探索二次函数相关题目的过程，培养学生的逻辑推理和直观形象和建模等核心素养。
教学重点和难点重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教学过程一、观察图形，梳理基础知识（一）、二次函数的图象及其性质设计意图：通过一个具体二次函数，请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．对应练习1. 抛物线y= 4(x+2)2+5的对称轴是______2. y= x2－4的图象与y轴的交点坐标是（）A（2，0） B（－2，0） C（0，4） D（0，－4）3.已知抛物线 y=0.3(x-4)2-3的部分图象,图象再次与x轴相交时的坐标是（）A（5，0） B（6，0）C（7，0） D（8，0）4. 二次函数图象如图，若点Ａ（-3，y1 ），Ｂ（-4，y2 ）是它的图象上两点，则 y1与 y2的大小关系是 ( ) Ａ． y1 ＜ y2 Ｂ． y1 ＝ y2 Ｃ． y1 ＞ y2 Ｄ．不能确定（二）由函数表达式到函数图象1、如何画出函数y=x2-2x-3的图象？2、如何做到快速、准确？3、五点定位法，怎样求出这五个点的坐标？4、粗略感知图象的位置——二次函数的系数a、b、c及b2-4ac对抛物线位置的影响5、二次函数的系数对它的图象有什么影响？设计意图: 由数到形，见“数”想到“形”，用数表达---------用形释义 对应练习1.已知二次函数 的图象如图，则abc 0.2.二次函数的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 的关系判断正确的是（ ）A ．ab ＜0 B. bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0（三）由函数图象到函数表达式的确定c bx ax y ++=2设计意图：由形到数，见“形”不忘“数”，由浅入深，循序渐进。
(完整版)(公开课一等奖)二次函数复习课教案ppt
二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
分类：二次函数分为整式和分式两种形式。
表达式：二次函数的表达式为y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a为二 次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
图像：二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/2a。
总结解题方法和思路
回顾知识点，梳理知识体系 总结解题方法，强调易错点 针对不同题型，给出解题思路 结合实际案例，加深理解和记忆
强调重点和难点，提醒注意事项
重点：回顾和强 化二次函数的基 本概念和公式
难点：掌握二次函 数的图像和性质， 以及与一元二次方 程的关系
注意事项：注意图像 的开口方向、顶点坐 标和对称轴，以及函 数的最值情况
二次函数的图像和性质
图像：抛物线形 状，开口方向， 顶点，对称轴
性质：最值，单 调性，奇偶性
表达式：一般式， 顶点式，交点式
图像变换：平移， 伸缩，对称
抛物线的对称性及其应用
抛物线的对称性：定义、性质、几何意义
对称性在解题中的应用难点：掌握抛物线的对称性及其应用方法
抛物线顶点坐标的应 用
攻克重难点：掌握抛物 线顶点坐标的计算方法， 理解其几何意义，能够 利用顶点坐标解决相关 问题。
结合实际生活，进行案例分析
案例一：投资理财，以二次函数的最值问题为例，如何选择最佳的投资方案。 案例二：交通运输，以最短路径问题为例，如何设计最佳的运输路线。 案例三：商业促销，以最大利润问题为例，如何制定最优的促销策略。 案例四：城市规划，以最省土地问题为例，如何设计最佳的居民区规划方案。
人教版九年级数学《二次函数》总复习课件(公开课)
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
二次函数
y=ax2+bx+ c
与x（轴有a≠两0个）不
同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个
交点 ( b ,0) 2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
图象
y
O
x y
O
二次函数复习课
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
• 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2
•
③代数式一定是整式
• 练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，
• y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称 轴的右侧, y随着x的增大而减小.
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
初中数学《二次函数复习》公开课优质课PPT课件
当x= y最大值=
b 2a
4a 时4, ac
4a
b2
当 x=h 时, y最小值=k
当x=h时， y最大值=k
o
x
二. 用图
数形结合
1.如果把抛物线y=(x-1)2-4绕顶点旋转180°,
则该抛物线对应的解析式是 y=-(x-1)2-4 ;
若把新抛物线再向右平移2个单位,再向上平移4 个单位,则得到抛物线对应的解析y 式x 为1y=-(x-3)2 .
(3) 函数解析式： y (x 1)(x 3)
即 y x2 2x 3
或 y (x 1)2 4
-1 o
3x
（4）对称轴：直线x = 1
（5）顶点坐标（1，-4）
-4
（6）当x = 1时， y有最小值 4
（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大； （8）当x = -1 或 3 时，y = 0 ；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.
当-1 ＜x ＜3 时，y ＜ 0 ；
当 x ＜ -1或x ＞3 时，y ＞ 0.
等等
知识梳理
名称
一般式
顶点式
交式
二次函数解析式 （a≠0）
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
轴对对称轴
直线x= b
2a
直线 x=h
称 顶点坐标 （ b , 4ac b2 ） (h , k)
性
2a 4a
y=a(x-x1)(x-x2)
直线x= x1 x2
2
y
a＞0 在对称轴左侧,y随x的增大而减小，
增减性
在对称轴右侧,y随x的增大而增大。 o
a＜0 在对称轴左侧,y随x的增大而增大，
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B
）
9.抛物线 y=ax2+bx+c 交 xD．下列结论： ①2a+b=0；②2c＜3b；③当 m≠1 时，a+b＜am2+bm；④当△ABD 是等腰直角三 角形时，则 a= ；⑤当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个． 其中正确的有（
二次函数图像与性质
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活动一：如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像,请尽可能多的说出一些结论。
y
1
0
1
3
x
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活动二：归纳总结
名称
二次函数解析式 （a≠0）
一般式
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活动四：难点突破
(1)活动一的图如果我们去掉点的坐标，试讨 论与a,b,c有关的代数式的取值。
6
活动四：难点突破
（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
⑤⑥⑦⑧ 如右图所示，那么下列判断正确的有________
（填序号）
①abc>0 ②b2-4ac<0
3.如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么 所得到的新抛物线的表达式是（ c ） A．y=﹣x2﹣5 B．y=﹣x2+1 C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2 4.对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论 的个数为（ c ） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2； ③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而 减小． A．4 B．3 C．2 D．1
最大值 4a -海量教学资源欢迎下载！
o
y
x
o
3
x
活动三：考点梳理
1．下列函数中，二次函数是（ B ）
2.抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是 （D ）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0）
C．（0，﹣1） D．（0，0）
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活动三：考点梳理
A）
A．①③④ B．①②④ C．①③⑤ D．③④⑤
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再见
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③4a+b>0 ④a+b+c<0 ⑤a-b+c=0 ⑥4a+2b+c>0 ⑦a+b+2c>0 ⑧3a+c<0
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活动四：难点突破
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
①④⑤⑥⑦ 如右图所示，那么下列判断正确的有________
B）
D． （﹣2，3）
C． （2，11）
2．抛物线 y=2（x+3）2﹣4 的顶点坐标是（
D）
A． （3，4） B． （3，﹣4） C． （﹣3，4） D． （﹣3，﹣4） 3．将抛物线 y=﹣ x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则平 移后所得到的抛物线解析式是（ C A． B． ） C． D．
顶点式 直线 x=h (h , k)
交点式 直线x=
y
y=ax2+bx+c
直线x=
y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
x1 x2 2
轴 对称轴 对 称 顶点坐标 性 增 a ＞0 减 性 a ＜0
最 值 a ＞0 a ＜0
b 2a b 4ac b 2 （ , ） 2a 4a
B．2 个 C．3 个 D．4 个
B
）
7． 若二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） 的图象如图所示， 则下列结论正确的是 （
C）
A．a＜0
B．c＞0 C．b=﹣2a D．b2﹣4ac＜0
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活动五：课堂达标
8． 已知抛物线 y=ax2+bx+c （a＞0） 的对称轴为 x=﹣1， 交 x 轴的一个交点为 （x1， 0） ，且 0＜x1＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c ＞0；⑤9a﹣3b+c＞0，其中正确的命题有几个（ A．2 B．3 C．4 D．5
B
）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
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活动五：课堂达标
6．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0） ，对称轴 为直线 x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当 x＞﹣1 时，y 的值随 x 值的增大 而增大．其中正确的结论有（ A．1 个
在对称轴左侧,y随x的增大而减小，在 对称轴右侧,y随x的增大而增大。 在对称轴左侧,y随x的增大而增大， 在对称轴右侧,y随x的增大而减小。
b 当x= 时, 当 x=h 时, 2 a 4ac b 2 y最小值= y最小值=k 4a b 当x= 2 a 时, 当x=h时， 4ac b 2 y最大值= 新课标教学网（ ） y =k
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活动五：课堂达标
4．如图，若 a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线 y=ax2+bx+c 的大致图象为（
B）
A．
B．
C．
D．
5.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则 abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个 式子中，值为正数的有（
（填序号）
①abc>0 ②b2-4ac<0
③2a+b>0 ④a+b+c<0 ⑤a-b+c>0 ⑥4a+2b+c<0 ⑦a+b+2c<0 ⑧3a+c<0
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活动五：课堂达标
1．二次函数 y=x2+2x+3 的顶点为（ A． （1，6） B． （-1，2）