抛物线与一元二次方程及不等式的关系(精品课件)
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上册微专题五二次函数与一元二次方程不等式的关系人教版九年级数学全一册ppt课件
上册微专题五二次函数与一元二次方 程不等 式的关 系人教 版九年 级数学 全一册p pt课件
微专题五 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
上册微专题五二次函数与一元二次方 程不等 式的关 系人教 版九年 级数学 全一册p pt课件
(教材 P47 习题 22.2 第 5 题) 画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，利用图象回答： (1)方程 x2－2x－3＝0 的解是什么？ (2)x 取什么值时，函数值大于 0? (3)x 取什么值时，函数值小于 0?
[2019·梧州]已知 m＞0，关于 (x1＜x2)，则下列结论正确的是( A )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
【解析】 如答图，关于 x 的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0 的解为 x1，x2 可 以看作二次函数 y＝(x＋1)(x－2)与直线 y＝m 交点的横坐标，
(1)求原二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 x___≥_－__1_____时，y 的值随 x 的值增大 而增大； (3)若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围． 解：(1)根据甲同学的数据可知 c＝3， 根据乙同学提供的数据，可知乙将 c 错写为－1，选择 x＝－1，y＝－2；x＝1， y＝2 代入， 得－ 2＝2＝ a＋a－ b－b－1，1，解得ab＝ ＝12， ， ∴y＝x2＋2x＋3；
(3)∵方程 ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根， 即方程 x2＋2x＋3－k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4－4(3－k)＞0，解得 k＞2.
微专题五 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
上册微专题五二次函数与一元二次方 程不等 式的关 系人教 版九年 级数学 全一册p pt课件
(教材 P47 习题 22.2 第 5 题) 画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，利用图象回答： (1)方程 x2－2x－3＝0 的解是什么？ (2)x 取什么值时，函数值大于 0? (3)x 取什么值时，函数值小于 0?
[2019·梧州]已知 m＞0，关于 (x1＜x2)，则下列结论正确的是( A )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
【解析】 如答图，关于 x 的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0 的解为 x1，x2 可 以看作二次函数 y＝(x＋1)(x－2)与直线 y＝m 交点的横坐标，
(1)求原二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 x___≥_－__1_____时，y 的值随 x 的值增大 而增大； (3)若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围． 解：(1)根据甲同学的数据可知 c＝3， 根据乙同学提供的数据，可知乙将 c 错写为－1，选择 x＝－1，y＝－2；x＝1， y＝2 代入， 得－ 2＝2＝ a＋a－ b－b－1，1，解得ab＝ ＝12， ， ∴y＝x2＋2x＋3；
(3)∵方程 ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根， 即方程 x2＋2x＋3－k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4－4(3－k)＞0，解得 k＞2.
高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 5二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式课件
【教材梳理】
1.一元二次不等式
名称
定义
一般形式
一元二次不等式
2
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是___的不
等式，称为一元二次不等式
2.二次函数的零点
一般地，对于二次函数 = 2 + + ，我们把使 2 + + = 0的实数叫
做二次函数 = 2 + + 的零点.
对一切 ∈ [2,3]恒成立.令 = − +
1
，可知
5
2
max 成立.当 ∈ [2,3]时，函数 单调递减，所以 ≤ 2 = − .所以
5
2
≥ − .故填[− ,+∞).
（2）已知函数 =
1 3
3
2
+
2
− 6 + 1在[−1,1]上单调递减，则实数的取值范围
1.5 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意
义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.三个“二次”的对应关系
没有实数
根
续表
{| < 1 ,或 > 2 }
___________________
{|1 < < 2 }
_______________
{| ≠ − }
人教版高中数学必修课 二次函数与一元二次方程、不等式 教学PPT课件(1)
(3)
(4) R
课堂小结
1.“三个二次”的关系
二次函数
图象
一元二次方程的根
一元二次不等式的解
2.一元二次不等式解法的步骤：零点（方程的根）、图 像、解集
3.数学思想方法： 数形结合、分类讨论、转化与化归
ax2+bx+c<0 x x1 x x2
(a>0)的解集 x1 x2x
Φ
x1=x2 xLeabharlann Φx典例解析
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
解：原不等式变形为（x+3）(x-5) ≥0
先求方程的根
方程(x+3)(x-5)＝0 的 两根为: x＝－3，或x＝5 ∴ 不等式的解集 为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
的解集是什么？
归纳总结
“三个二次”的关系（要牢记）
数（缺一元形二时次不少等直式的观解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系）
小组活动：
形 数少 形 数 结 b时 合2 难 百4ac入 般微 好y 0
隔y离(=a>a分x02)家+的b图万x+象事c 非xx11O
xx22 x
1、仿照上述过程讨 论填写“三个二次” 之间的关系表格。
类比一次函数与一元一次方程、不等式，x轴 将函数图像分成了哪几个部分
y y x2 12 x 20
由图象可知：
2 10 x
不等式 x2 12x 20 0 的解集为
;
不等式 x2 12x 20 0 的解集为
.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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结合抛物线图像解一元二次不等式-精品文档资料
结合抛物线图像解一元二次不等式一元二次不等式的一般形式为ax2＋bx＋c＞0(＜0)。
通常我们解这类不等式首先求出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,然后再根据不等式的符号把原不等式改写为两个一元一次不等式组去解。
由于在讲这节课时学生们已学过抛物线，下面我们结合抛物线的图形来解一元二次不等式，这种方法简单直观更易掌握。
一、抛物线我们首先复习一下我们原先学过的抛物线。
抛物线方程的一般形式为：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），a分为a＞0，a＜0两种情况，我们只观察a>0的情况。
我们都知道当a>0时抛物线的开口朝上，此时我们可以想象一下，抛物线与x轴的位置关系。
很显然只有三种情况：（1）抛物线与x轴有两个交点：x1和x2，不妨设x1＜x2。
（2）抛物线与x轴只有一个交点：x1＝x2＝－b/2a（此点刚好是抛物线的顶点）。
（3）抛物线与x轴没有交点：此时整个抛物线的图像全在x轴的上方。
二、一元二次方程我们再来复习一下一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）。
我们都知道方程的△＝b2－4ac与方程的解之间的关系：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的根：x1和x2，不妨设x1＜x2。
（2）当△＝0时，方程有两个相等的根：x1＝x2＝－b/2a （3）当△＜0时，方程没有实数根。
很显然这三种情况正好与以上我们复习的抛物线与x轴的位置关系的三种情况完全吻合。
三、一元二次不等式我们以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)当a＞0为例，当a＜0时，我们只需给不等式的两侧同乘以－1即可将其变为a＞0的情况，但一定要记住：不等号要改变方向哟。
（1）ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)我们设ax2＋bx＋c＝y，即y＝ax2＋bx＋c。
它其实就是我们学过的抛物线方程了。
则原不等式就是要求y＞0时x的取值范围，即就是要找抛物线上纵坐标大于零的所有点的横坐标所在的范围，即就是要找抛物线图像上在x轴以上的那些点的横坐标的值的集合。
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自探1
画出 y x2 x 3 函数的图象，根据图 象回答下列问题． 4
（1）图象与x 轴交点的坐标是什么？ （2）当x 取何值时，y＝0？这里x的取值与
方程 x2 x 3 0有什么关系? 4
（3）你能从中得到什么启发
(4)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？ (5)能否用含有x的不等式来描述（3）中的问题？
有两个相等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点。
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点。
启发3：
在关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，当 y＝___0___ 时，得到关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0，这是一个 _一__元___二__次____方程；y=__n____时，得到关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝n，这是 也一个_一___元__二___次___方程．
2、提高观察、分析能力，体会数形 结合的数学思想。
自探1
画出 y x2 x 3 函数的图象，根据图 象回答下列问题． 4
（1）图象与x 轴交点的坐标是什么？ （2）当x 取何值时，y＝0？这里x的取值与
方程 x2 x 3 0有什么关系? 4
（3）你能从中得到什么启发
(4)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？ (5)能否用含有x的不等式来描述（3）中的问题？
启发2：
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方
程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
1、 b2-4ac ＞0 有两个不等的实数根
与x轴有两个交点。
一元二次方ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
2、 b2-4ac =0
一元二次方程ax2+bx+c=0
(4)由图可知，当x＜－ 1 或x＞3 时，
y＞0；
2
2
1
3
而当－ 2 ＜x＜ 2 时，y＜0.
(5)可以用含x的不等式来描述(1)中的问题，
1
3
当 x2－x－3/4 ＞0时，x＜－ 2或x＞ 2 ；
当x2－x－3/4＜0时，－
1＜x＜ 2
3 2
.
[归纳总结] 关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 或 ax2 ＋bx＋c＜0 与关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 存在内在联 系，抛物线在 x 轴上方的点的横坐标的集合即是不等式 ax2 ＋bx＋c＞0 的解集，抛物线在 x 轴下方的点的横坐标的集合 即是不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集．
知识准备
1、设坐标平面内一点p(x,y),则有：
点p在y轴上 x =0， 点p在y轴左侧 x ﹤0， 点p在y轴右侧 x ﹥0。 点p在x轴上 y =，0 点p在x轴上方 y ﹥，0 点p在x轴下方 y ﹤0，
这说明：横坐标x定左右， 纵坐标y定上下。
知识准备
2、一次函数y＝－x＋2的图象如图所示，
(1) 求此抛物线对应的函数解析式；
(2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个 动点，求△ABP面积的最大值.
1、你还有什么疑问后可编辑使用非常方便
2020/8/9
17
练一练
1．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
(1)观察函数 y＝x2－3x＋2 的图象(如图 26－3－29)，回答下
列问题：
①当 x 取何值时，y＞0?
②当 x 取何值时，y＝0?
③当 x 取何值时，y＜0?
图26－3－29
[答案] ①x＜1或x＞2 ②x＝1或x＝2 ③1＜x＜2
则方程－x＋2＝0的解为x＝__2__，不等式
－x＋2<0的解集为___x_＞__2__。
图26－3－28
26.3 实践与探索
2.二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
学习目标
1、了解二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系，会
借助二次函数的图像求一元二次方程 的解及一元二次不等式的解集；
启发1：
方程 ax2+bx+c=0的解就是抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标。因 此，抛物线与一元二次方程是密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x标2，分别则是抛yA物（线xy1，=a0x）2+，bx+Bc与（轴x2的，两0）个交点坐
x1 x2
x
OA B
用图象法求一元二次方程的解(或近似解)
2、 用图象法求方程 2x2－3x－2＝0 的解．
如图所示．
由图象可知 2x2－3x－2＝0 的解是
1 x1＝－ 2，x2＝2.
图26－3－33
3、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交 于A、B两点，与y轴交于C点. 点A、C的 坐标分别是（－1，0）、（0，3/2 ）.