2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理 (1)

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2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理

培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()3maxln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >，即πππlog sin 21444a a >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a xg x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意，综上所述：e 1a ≥-．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞【答案】B 【解析】若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =，由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．对点增分集训2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11- B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,7【答案】C【解析】由题意可得：()()()2'344232f x x x x x =--+=-+-，令()'0f x =可得：12x =-，223x =，且：()33f -=-，()28f -=-，240327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()333f =-，据此可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值为33-，结合恒成立的条件可得：21433m m -≤-，求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是[]3,11．本题选择C 选项．3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()21212ax f x ax x x ='+=+，2210ax +>在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，所以2max 12a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2112,28x ⎛⎫⎛⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以18a ≥-，故选D ．4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=L ，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由2e x ax >得2ln x x a >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x a x >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()2ln x f x x =，21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()221ln 'x f x x -=， ∴当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'0f x >，()f x 单调递增，当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()'0f x <，()f x 单调递减． ∴()()max 2e e f x f ==，∴()12e e f a >=，∴e02a <<．故实数a 的取值范围是e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭．故选A ．5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞【答案】D【解析】若()m f x >恒成立，则()max m f x >，()()'22e e 2e x x x f x x x x x =+=+，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增．()11ef -=，()1e f =，所以e m >．故选D ．6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]5,3-- B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--【答案】C【解析】[)2,0x ∈-时，恒成立不等式等价于2343x x a x --≤，23min43x x a x ⎛⎫--∴≤ ⎪⎝⎭，设()2343x x f x x --=，()()()()()3222'644243439189x x x x x x x x x f x x x x -----+-++∴===-， [)2,0x ∈-Q ，()f x ∴在[]2,1--单调递减，在()1,0-单调递增，()()min 12f x f ∴=-=-，当0x =时，可知无论a 为何值，不等式均成立，当(]0,1x ∈时，恒成立不等式等价于2343x x a x --≥，23max43x x a x ⎛⎫--∴≥ ⎪⎝⎭，同理设()2343x x f x x --=，()()()'491x x f x x -+∴=-，()f x ∴在()0,1单调递增， ()()max 16f x f ∴==-，6a ∴≥-，综上所述：[]6,2a ∈--．故选C ．7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则在(]00,2x ∈内()min f x m <即可，()2e 1xf x x =-+，()()()()()222222e 1e 2e 1011x x x x x x f x x x +--=-=-<++⋅'，故()f x 在(]0,2上单调递减()()2min 1 2e 5f x f ==-，21e 5m ∴>-，故选A ．8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()f x 的定义域是()0,+∞，()11axf x a x x'+=+=，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f a =≥，故存在()00,x ∈+∞，使()00f x >；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-，令()0f x '<，解得1x a>-，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1e a >-．综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选D ．9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（）A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞【答案】D【解析】Q 当0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，∴若0x =，a 为任意实数，()e 0x f x ax =+>恒成立，若0x >时，()e 0x f x ax =+>恒成立，即当0x >时，e x a x>-恒成立，设()e x g x x =-，则()()221ee e xx x x x g x x x --=-='，当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -．则要使0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e,-+∞，故选D ．10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞【答案】B【解析】由()220x g x =-<，得1x <，故对1x ≥时，()0g x <不成立，从而对任意1x ≥，()0f x <恒成立，因为()()30a x a x a ⋅-⋅++<，对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必有0131a a a <<-<⎧⎪⎨⎪⎩-，计算得出40a -<<．故选B ．11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】不等式()()12210f x f x x x -<，即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立，构造函数()()2e x g x xf x ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'e 20xg x ax =-≥恒成立，即e 2xa x ≤恒成立，令()()e 02xh x x x=>，则()()2e 1'2x x h x x -=，当01x <<时，()'0h x <，()h x 单调递减；当1x >时，()'0h x >，()h x 单调递增；则()h x 的最小值为()1e e 1212h ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．本题选择D 选项．12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设()()e 31x g x x =-，()h x ax a =-，则()()e 3+2x g x x '=，∴当2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减；当2,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当23x =-时，()g x 取得最小值2323e 3g -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．如下图所示．又()()112e 0g h -=>，故()()11g h >； ()()0010g h a -=-+<，故()()00g h <．故当00x =时，满足()0g 在直线()h x ax a =-的下方．∵直线()h x ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，∴要使得有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，只需()()1114e 20g h a ----=-+>，∴2ea >，又1a <，∴实数a 的取值范围2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ．二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)1,-+∞ 【解析】法一：如图，因为()()f x g x ≥恒成立，则()y f x =的图像在()y g x =的上方（可以有公共点），所以1a -≤即1a ≥-，填[)1,-+∞．法2：由题设有1x a x +≥-．当1x ≤时，a ∈R ；当1x >时，有1x a x +≥-恒成立或1x a x +≤-+恒成立，故1a ≥-或a φ∈即1a ≥-，填[)1,-+∞．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．【答案】](,1 -∞【解析】对任意正数x 都有()0f x ≥，即不等式1ln a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对于()0,x ∈+∞恒成立．设()1ln g x x x =+，则()22111'x g x x x x-=-=．故()g x 在()0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，所以()g x 的最小值是()11g =，所以a 的取值范围是](,1 -∞．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],1-∞-【解析】根据函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()1'20f x ax x =--≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2120ax x x --≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以2120ax x --≥恒成立，即2212111a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围是(],1-∞-．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【答案】153,,282⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】①当01m <<时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外层单调递减，内层二次函数：当112m <，即112m <<时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， ()()min 32log 402m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得1528m <<；当112m=，即12m =时，()1f 无意义；当1122m <<，即1142m ≤<时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需()10f <，()20f <，无解；当122m ≥，即104m <≤时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增， ()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，无解． ②当1m >时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外层单调递增， 1122m <，二次函数单调递增，函数单调递增，所以()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得：32m >．综上所述：1528m <<或32m >．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）01a ≤≤．【解析】（1）()()()2ln 1f x x a x x =++-，定义域为()1,-+∞， ()()()()2211112121111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设()221g x ax ax a =++-，当0a =时，()1g x =，()101f x x '=>+，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点．当0a >时，()228198Δa a a a a =--=-，若809a <≤时0Δ≤，()0g x ≥，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点．若89a >时0Δ>，设()0g x =的两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <，且1212x x +=-，而()110g -=>，则12114x x -<<-<，所以当()11,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增．因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0Δ>，但()110g -=>，11x <-，所以当()21,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数只有一个极值点．综上可知，当0a <时()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点．（2）由（1）可知当809a ≤≤时()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =，则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当819a <≤时，()00g ≥，20x ≤，()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =，则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，()00g <，20x >，所以函数()f x 在()20,x 单调递减，而()00f =，则当()20,x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，当()0,x ∈+∞时()11011x h x x x '=-=>++， ()h x 在()0,+∞单调递增，因此当()0,x ∈+∞时()()00h x h >=，()ln 1x x +<，于是()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时()210ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]1,1m ∈-．【解析】()'e 2mx f x m x m =+-，注意到()'00f =，于是再求导得，()2e 2mx f x m ''=+，由于()0f x ''>，于是()f x '为单调递增函数，(),0x ∴∈-∞时，()'0f x <，()0,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增．（2）若不等式()()12e 1f x f x -≤-恒成立，则()()12max e 1f x f x -≤-，()f x Q 在[]1,1-连续，()f x ∴在[]1,1-有最大最小值，()()()()12max min max f x f x f x f x ∴-=-，由（1）可知()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增，()()min 01f x f ∴==，()()(){}{}max 1,1e 1,e 1m m f x f f m m -=-=+-++，()()()()10e 1e e 110e 1e e 1m m f f m f f m -⎧-≤-⎧-≤-⎪⎪∴⇒⎨⎨--≤-+≤-⎪⎪⎩⎩，设()e e 1x h x x =--+，()'e 1x h x =-，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增()10h =，()112e 0eh -=+-<，故当[]1,1x ∈-时，()0h x ≤，当[]1,1m ∈-时，()0h m ≤，()0h m -≤，则上式e e 1e e 1m m m m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩成立．当1m >时，由()h x 的单调性，()0h m >，即e e 1m m ->-，当1m <-时，()0h m ->，即e e 1m m -+>-，综上，m 的取值范围为[]1,1-．。

2019高考数学江苏(理)精准提分练解答题专项练 1.立体几何

解答题专项练1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上，AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：(1) MN∥平面PAB；(2) AM⊥平面PCD.证明(1)因为在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD，所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点，所以MN是△PDC的中位线，所以MN∥DC.因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB, MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD, CD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.2.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝3，PB＝PC，且M，N分别为BC，PA的中点.(1)求证：DN ∥平面PBC ； (2)求证：MN ⊥BC .证明 (1)取PB 的中点E ，连结NE ，CE ，AC ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ， ∠ABC ＝60°，DC ＝1，AD ＝3，易得AC ＝CB ＝AB ＝2. 又N 为PA 的中点，所以NE ∥CD 且NE ＝CD ，所以四边形CDNE 是平行四边形，所以DN ∥CE .又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC ，所以DN ∥平面PBC . (2)连结AM ，PM . 因为PB ＝PC ，所以PM ⊥BC ，因为AC ＝AB ，所以AM ⊥BC ，又AM ∩PM ＝M ，AM ，PM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM . 因为MN ⊂平面APM ，所以MN ⊥BC .3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB .证明 (1)设AC 与BD 的交点为G ，连结GE ，GH ，如图，以H 为坐标原点，分别以HB →，GH →，HF →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，令BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)，G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1),又∵HF →＝(0,0,1)，∴GE →∥HF →，GE ⊂平面EDB ，HF ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)∵AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)， ∴AC →·GE →＝0， ∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，且GE ⊂平面EDB ，BD ⊂平面EDB ，GE ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . 4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1C 1和AB 的中点. (1)求证：MN ∥平面BCC 1B 1；(2)若平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1B 1＝B 1C 1，求证：平面B 1MN ⊥平面ACC 1A 1.证明 (1)方法一如图，设BC 的中点为H ，连结NH ，HC 1. 在△ABC 中，因为N 为AB 的中点，所以NH ∥AC ，且NH ＝12AC ，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，M 为A 1C 1的中点，所以MC 1∥AC ，且MC 1＝12AC ，所以NH ∥MC 1，且NH ＝MC 1，所以四边形MC 1HN 为平行四边形，所以 MN ∥C 1H ，又MN ⊄平面BCC 1B 1，C 1H ⊂平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1.方法二如图2，在侧面ACC1A1中，连结AM并延长交直线CC1于点Q，连结BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，所以AMMQ＝A1MMC1，因为M为A1C1的中点，所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点，所以MN∥BQ，又MN⊄平面BCC1B1，BQ⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.方法三如图3，取A1B1的中点O，连结OM，ON. 在△A1B1C1中，因为O，M分别为A1B1，A1C1的中点，所以OM∥B1C1. 因为OM⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1＝AB，又因为O，N分别为A1B1，AB的中点，所以OB1∥NB，OB1＝NB，所以四边形OB1BN为平行四边形，所以ON∥B1B，又ON⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1，所以ON∥平面BCC1B1.因为OM∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM⊂平面OMN，ON⊂平面OMN，所以平面OMN∥平面BCC1B1，又MN⊂平面OMN，所以MN∥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝B1C1, M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂平面A1B1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，又B1M⊂平面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC 的中点为D ，求证：AC ∥平面POD ； (2)如果△PAB 的面积是9，求此圆锥的表面积. (1)证明方法一设BC ∩OD ＝E ， ∵D 是弧BC 的中点， ∴E 是BC 的中点. 又∵O 是AB 的中点， ∴AC ∥OE .又∵AC ⊄平面POD ，OE ⊂平面POD ， ∴AC ∥平面POD .方法二 ∵AB 是底面圆的直径， ∴AC ⊥BC .∵弧BC 的中点为D ， ∴OD ⊥BC . 又AC ，OD 共面， ∴AC ∥OD .又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ， ∴AC ∥平面POD .(2)解设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形， ∴h ＝r ，l ＝2r .由S △PAB ＝12×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×2r ＋πr 2＝9(1＋2)π.6.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 为正方形，顶点S 在底面ABCD 上的射影为其中心O ，高为3，设E ，F 分别为AB ，SC 的中点，且SE ＝2，M 为CD 边上的点.(1)求证：EF∥平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.(1)证明取SB的中点P，连结PF，PE.∵F为SC的中点，∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，PE∩PF＝P，SA∩AD＝A，∴平面PFE∥平面SAD.∵EF⊂平面PFE，∴EF∥平面SAD.(2)解连结AC，AC的中点即为点O，连结SO，由题意知SO⊥平面ABCD，取OC的中点H，连结FH，则FH∥SO，∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，连结EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.连结OE，由题意知SO＝3，SE＝2.∴OE＝1，AB＝2，AE＝1，∴MCAE＝HCHA＝13，∴MC ＝13AE ＝16CD ，即点M 在CD 边上靠近C 点距离为16的位置.。

2019届高三好教育精准培优专练数学(理)(学生版)

数学（理）培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三好教育精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y xx +-+=的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值例2：函数y x =________．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（） A ．404 B ．804C ．806D ．402培优点一函数的图象与性质６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题1．若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为（） A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =， ()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1e x f x +=B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e x f x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡⎣D ．(22-+二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭ 3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()1010x x x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（）对点增分集训A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根（2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象；（2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-培优点三含导函数的抽象函数的构造例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x = 例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对点增分集训一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a 或 D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（）A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)e f =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．培优点四恒成立问题2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[],3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11-B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞对点增分集训6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（） A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数()()32333e x=+--的单调区间f x x x x-2．函数的极值例2：求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数()()ln mf x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（） A ．() 0,1B ．() 0,+∞对点增分集训C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（） A ．()f x 有极大值1- B ．()f x 有极小值1- C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则（）A ．1122a -<D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（）A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（）A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．12a -<11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是（）A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若在区间 (),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______． 15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时，()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数； ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R （1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ，其导函数为()'y f x =．（1）当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设0a ≠，点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．培优点六三角函数2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos2f x x x +（）A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（） A ．1 B ．πsin5C ．π2sin5D6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（）对点增分集训A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3D ．2，π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（）A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（） A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（） A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是_________． 14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin2f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b =，60B =o ，则C =_____． 2．恒等式背景培优点七解三角形例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅u u u v u u u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △的面积为（）对点增分集训AB C D 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（） A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2si n c o s 2s i n c o s b C A A C+=-，且a =ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b =，则ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（）培优点八平面向量A ．3B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=uuu v uu u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（） A ．12-B ．12C ．2 D2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b ⋅=a b （） A ．1BCD ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（）A ．1-B ．1C． D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =uuu v b ，则AO =uuu v（）对点增分集训A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅u u u v u u u v 的最大值为（） A ．2- B ．32-C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．4πB ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅u u v u u u v的最大值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=o a b c c ，则c 的最大值等于（）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uuu v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uuu v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到培优点九线性规划例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（）AB ．7C ．9D ．103．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（）A ．73B ．37C ．173-D ．317-一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-对点增分集训2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（） A ．94B ．274C ．9D ．2723．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（）AB ．4C ．9D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（）AB ．1CD7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（）A ．1556B ．1116 C ．58D ．389．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（）A ．7B ．6C ．265D ．410．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A 的坐标为)．则z OM OA =⋅u u u v u u v的最大值为（）A．B．C ．4D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UB ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UC ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________．14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质培优点十等差、等比数列例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（） A ．66a b = B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12对点增分集训6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（） A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（） A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．610．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（） A ．01q <D ．6K 与7K 均为n K 的最大值12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比q 1231a a a ++=，则12S 的值是___________．。

(衡水金卷)2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四理

学习资料专题（衡水金卷）2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 虚数单位，复数533ii ++对应的点在复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合{|}A x x a =≤，21221{|log (4)log }5B x x x =-≥，若AB =∅，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,5)-B ．[0,4]C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-3.设a ，b ，c ，d ，x 为实数，且0b a >>，c d >，下列不等式正确的是（） A ．d a c d -<- B ．b b x a a x+≥+ C ．c db a > D ． ||||a a x b b x +≤+ 4.设随机变量2(,)N ξμσ，则使得(3)(3)1P m P ξξ≤+>=成立的一个必要不充分条件为（）A ．1m =或2m =B ．1m = C.1m =- D ．23m =-或2m = 5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果3S =，则判断框内实数M 应填入的整数值为（）A ．998B ．999 C.1000 D ．10016.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2297a a =，则下列选项中结果为0的是（）A ．9aB ．7a C.15S D ．16S7.设1A ，2A 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点，过左顶点1A 的直线l 交双曲线右支于点P ，连接2A P ，设直线l 与直线2A P 的斜率分别为1k ，2k ，若1k ，2k 互为倒数，则双曲线C 的离心率为（）A ．12B ．8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．816π-B ．8π C.16 D ．8π+9.已知曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是m ，则5()y x m ++的展开式中3x 项的系数为（）A ．480B ．160 C.1280 D ．64010.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,4)A ，(2,0)AB =，(2,0)AB =，(1,1)BC BA -=-，设(,)P x y ，AP mAB nAC =+，若0m ≥，0n ≥，且1m n +≤，则2x y +的最大值为（）A ．7B ．10 C.8 D ．1211.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12||:||F M F M =（）A ．1:1:3 D ．1:12.将给定的一个数列{}n a ：1a ，2a ，3a ，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a ，3a 作为第二组，将4a ，5a ，6a 作为第三组，…，依次类推，第n 组有n 个元素（*n N ∈），即可得到以组为单位的序列：1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第n 个括号称为第n 群，从而数列{}n a 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m 个群众，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群众的第k 个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，23），…，以此类推.设该数列前n 项和12n N a a a =+++，若使得14900N >成立的最小n a 位于第m 个群，则m =（）A ．11B ．10 C.9 D ．8第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数3()log (19)xf x kx =++为偶函数，则k = ．14.已知993sin()cos cos()sin 1471475x x ππππ-+-=，3(,)2x ππ∈，则t a n 2x = ．15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手A 、B 、C 、D 参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，C 对B 说：“你没有获得一等奖”，B 对C 说：“你获得了二等奖”；A 对大家说：“我未获得三等奖”，D 对A 、B 、C 说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计种．（用数字作答）16.已知G 为ABC ∆的重心，点P 、Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG tPQ =.若AP AB λ=AQ AC μ=，则11λμ+= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-. （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积2S =，D 为BC边的中点，2AD =，求b c +. 18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为s ，经统计，当0200s ≤≤时，企业每天亏损约为200万元，当200400s <≤时，企业平均每天收人约为400万元;当400s >时，企业平均每天收人约为700万元。

2019衡水中学高考模拟卷理科数学合集

在 y 轴的左侧），过点 Q 作直线 QM,QN 交抛物线 C 于 M,N 两点，且使 QM上QN.问：是否存在定点 P 使得直线 MN 过点 P ,若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
Ik1卜__ 涧
卜！茫＇，咖＼
＇； v入，＇咖＇，＇，
八，．＇，左 (: :;，';
A. —3
B. —
C. -3或 — —
D. -3或 —
6. 巳知命题 p,3x。 E[O,+co),使 4切 — 2吓 — k = O,命题 q,VxE(O, 十 co) ,k+正 >O,则 p 是 q
的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
uc 。 7 ．已知＿＿＿项式工 y 值为
Za"+l a.,a"_'
'记数列 {I入，｝的前n项和为
T,,求证：兀，，
<L
18.(本小题满分 12 分）如图1, 四边形 ABFE 与 CDEF 均为菱形，且乙 A= 乙 D = 60°,点 P,Q 分别是 EF, DE 的
中点．将图 1 沿 EF 对折成如图 2 所示的三棱柱 ADE— BCF,且使侧面 CDEFl_侧面 ABFE.
多队 — .T) — g(y).
过沺
理数（一）第3页（共4页）
1衡水金卷先享题·调研卷1
理数（一）第4页（共4页）
D
1全国1卷 Al
调研卷IA
理数（一）
理数（一）
一、选择题
叶叶 I.A【解析] M= {.rl-2x'+3x+2玄O} = [

2019年《·高考总复习》数学：专题四函数、不等式中的恒成立问题

相同的实根.
Δ＝4－4a2＝4(1－a2).
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我的缘
①当 0<a<1 时，Δ>0，可得 x1＝1－ a1－a2，x2＝1＋ a1－a2，
且0<x1<x2，因为当x∈(0，x1)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(0，x1)内单调递增；因为当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(x1，x2)内单调递减；因为当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(x2，＋∞)内单调递增；
故 f(x)的极大值即为最大值，f－1a＝－1＋ln －1a＝－1－ ln(－a).
所以 2>－1－ln(－a).解得 a<－e13.
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【互动探究】
1.已知函数 f(x)＝13mx3－2＋m2 x2＋4x＋1，g(x)＝mx＋5.
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例 3：已知函数 f(x)＝ax－1x－2ln x，a∈R. (1)若 a＝1，判断函数 f(x)是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝－ax.若至少存在一个 x0∈[1，e]，使得 f(x0)>g(x0)成立，求实数 a 的取值范围.
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我的缘
f(x)min＝f(2)＝23m＋1，g(x)max＝g(1)＝m＋5，依题意 g(x)max－f(x)min＝(m＋5)－23m＋1≤1，解得 m≤－9.综上所述，存在 m∈(－∞，－9]，对任意的 x1，x2∈[1,2]都有 g(x1)－f(x2)≤1 成立.

(完整版)导数与恒成立、能成立问题及课后练习(含答案),推荐文档

导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化： a >f (x)恒成立⇒a >f (x)2、能成立问题的转化： a >f (x)能成立⇒a >f (x) ； a ≤f (x)恒成立⇒a ≤f (x) ； a ≤f (x)能成立⇒a ≤f (x)minmax3、恰成立问题的转化： a >f (x)在 M 上恰成立⇔a >f (x)的解集为 M ⇔⎨⎪a >f (x)在上M恒成立⎩a ≤f (x)在上C R恒M成立另一转化方法：若x ∈D, f (x) ≥A 在D 上恰成立，等价于f (x) 在D 上的最小值f min (x) =A ，若x ∈D, f (x) ≤B 在 D 上恰成立，则等价于 f (x) 在 D 上的最大值 f max (x) =B .4、设函数f (x)、g(x)，对任意的x1∈[a , b]，存在x2∈[c , d ]，使得f (x1)≥g(x2)，则f min (x)≥g min (x)5、设函数f (x)、g(x)，对任意的x1∈[a , b]，存在x2∈[c , d ]，使得f (x1)≤g(x2)，则f max(x)≤g max(x)6、设函数 f (x)、 g(x)，存在 x1∈[a , b]，存在 x2∈[c , d ]，使得 f (x1)≥g(x2)，则f max(x)≥ g min(x)7、设函数 f (x)、 g(x)，存在 x1∈[a , b]，存在 x2∈[c , d ]，使得 f (x1)≤g(x2)，则f min(x)≤ g max(x)8、若不等式 f (x)>g (x)在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 y = 象上方；9、若不等式 f (x)<g (x)在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 y = 象下方；f (x)和图象在函数y =g (x)图f (x)和图象在函数y =g (x)图max min> 0 4 与题型一、简单型二、经典题型解析例 1、已知函数 f (x ) = x 2 - 2ax + 1， g (x ) = a，其中 a > 0 ， x ≠ 0 ．x1）对任意 x ∈[1,2] ，都有 f (x ) > g (x ) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意 x 1 ∈[1,2], x 2 ∈[2,4]，都有 f (x 1 ) > g (x 2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（转化）x 2 - 2ax + 1 - a > 0 ⇒ a < x 3 + x (x ) = x 3+ x简解：（1）由 x 3 + x x 2x 2 + 1 成立，只需满足 ' 2x 4 + x 2 + 1 2x 2 + 1 的最小值大于 a 即可．对(x ) = 2x 2 + 1 求导， (x ) = (2x 2 + 1)2 ，故(x ) 在 x ∈[1,2] 是增函数， min(x ) = (1) = 23 ，所以 a的取值范围是 0 < a < 2 3 ． a 例 2、设函数 h (x ) x x b ，对任意 a ∈[ 1 ,2] 2 ，都有 h (x ) ≤ 10 在 x ∈[ 1,1] 4 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法 1：化归最值，h (x ) ≤ 10 ⇔ h max (x ) ≤ 10 ；b ≤ 10 - ( a + x )方法 2：变量分离， x 或a ≤ -x 2 + (10 - b )x ；(a ) = 1 ⋅ a + x + b - 10 ≤ 0 a ∈[ 1 ,2]方法 3：变更主元（新函数， x ，2 h '(x ) = 1- a= 简解：方法 1:对h (x ) = a + x + b 求导， x 2x 1 1 x 2 ，（单调函数）由此可知， h (x ) [ ,1] 在 4 h ( 上的最大值为 ) h (1) 中的较大者． ⎧ 1 ⎧ 1 ⎧ 39∴⎪h (4) ≤ 10 ⇒ ⎪4a + 4+ b ≤ 10 ⇒ ⎪b ≤ 4 - 4a 1 7 ⎨ ⎩h (1) ≤ 10 ⎨ ⎩1 + a + b ≤ 10 f (x ) = x 2 ⎨ ⎩b ≤ 9 - a ，对于任意g (x ) =⎛ 1 ⎫ xa ∈[ 2 ,2]b ≤，得b 的取值范围是4 ．2 ⎪ - m x ∈ [0,2] x ∈ [1,2] f (x ) ≥ g (x )例 3、已知两函数，⎝ ⎭ ，对任意 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，(x - a )(x + a )3 m ≥1则实数m 的取值范围为答案：4题型二、更换主元和换元法例 1、已知函数f (x) = ln(e x +a )(a为常数）是实数集R 上的奇函数，函数g (x)= f (x) + sin x 是区间[-1,1]上的减函数，(Ⅰ) a g(x) ≤t 2+t+ 1在x ∈[-1,1]t求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

2019届高三数学备考冲刺140分问题24含参数的不等式的恒成立恰成立能成立问题含解析

问题24 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数．（1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】（1）由已知得．令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．从而．(三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】已知当11a -≤≤时,恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是.【小试牛刀】已知函数,,且对任意的实数 t均有,．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有,求x 的取值范围．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围．综上得：1127a >≥．【小试牛刀】已知函数存在单调递减区间,求a 的取值范围3 不等式恰好成立问题的处理方法【例9】已知当的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值．【解析】是一个恰成立问题,这相当于的解集是[)1,x ∈+∞．当0a ≥时,由于1x ≥时,,,与其值域是[)0,+∞矛盾,当0a <时,是[)1,+∞上的增函数,∴, ()f x 的最小值为, ()1f ,令【例10】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, ⑴若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑵若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有,求实数a 的取值范围；⑷若对任意,恒有,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围；⑺若存在,使得,求实数a 的取值范围； ⑻若存在,使得,求实数a 的取值范围.⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ,使得,即)(x h a >有解,故h max (x)>a ,由⑴知h max （x ）=3ln 4-,于是得a <3ln 4-.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析：对任意]2,0[∈x ,恒有,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立,即min )(x h a >,由⑵可知a <0.点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤； ②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤.⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域,若对任意,恒有,即,即a ->3ln 0,所以3ln >a .点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,21,x x 的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得,即,由⑷可知即a ->3ln 4,所以.点评：设)(x g 的最大值为M ,对任意]2,0[2∈x ,的条件M x f >)(1,于是问题转化为存在]2,0[1∈x ,使得M x f >)(1,因此只需)(x f 的最小值大于M 即.点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内,因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集. ⑺解析：若存在,使得,则,即4>a -,所以4->a .点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.⑻解析：若存在21,x x 使得,则AB ≠∅,∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞五、迁移运用1．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】若关于x 的不等式在上恒成立，则实数a 的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】A2．【山西省太原市2019届高三上学期期末】已知实数x ,y 满足，若不等式ax y 0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．（－∞，）B ．（4，＋∞）C ．（，4）D ．（，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax ﹣y ＞0恒成立即y ＜ax 恒成立，根据二次函数的性质可知，解得，故选B 。

2019届高三数学冲刺140分问题24含参数的不等式的恒成立恰成立能成立问题含解析

问题24 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f()在区间D上存在最小值，则不等式f()>A在区间D上恒成立⇔f()min>A(∈D)；若f()在区间D上存在最大值，则不等式f()<B在区间D上恒成立⇔f()ma<B(∈D)．(2)能成立问题：若f()在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数使不等式f()>A成立⇔f()ma>A(∈D)；若f()在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数使不等式f()<B成立⇔f()min<B(∈D)．(3)恰成立问题：不等式f()>A恰在区间D上成立⇔f()>A的解集为D；不等式f()<B恰在区间D上成立⇔f()<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数．（1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】（1）由已知得．令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．从而．(三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】已知当11a -≤≤时,恒成立,则实数x 的取值范围是____________.【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是.【小试牛刀】已知函数,,且对任意的实数 t均有,．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有,求x 的取值范围．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围．综上得：1127a >≥．【小试牛刀】已知函数存在单调递减区间,求a 的取值范围3 不等式恰好成立问题的处理方法【例9】已知当的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值．【解析】是一个恰成立问题,这相当于的解集是[)1,x ∈+∞．当0a ≥时,由于1x ≥时,,,与其值域是[)0,+∞矛盾,当0a <时,是[)1,+∞上的增函数,∴, ()f x 的最小值为, ()1f ,令【例10】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, ⑴若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑵若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有,求实数a 的取值范围；⑷若对任意,恒有,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围；⑺若存在,使得,求实数a 的取值范围； ⑻若存在,使得,求实数a 的取值范围.⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ,使得,即)(x h a >有解,故h max ()>a ,由⑴知h max （）=3ln 4-,于是得a <3ln 4-.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析：对任意]2,0[∈x ,恒有,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立,即min )(x h a >,由⑵可知a <0.点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤； ②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤.⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域,若对任意,恒有,即,即a ->3ln 0,所以3ln >a .点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,21,x x 的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得,即,由⑷可知即a ->3ln 4,所以.点评：设)(x g 的最大值为M ,对任意]2,0[2∈x ,的条件M x f >)(1,于是问题转化为存在]2,0[1∈x ,使得M x f >)(1,因此只需)(x f 的最小值大于M 即.点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内,因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集.⑺解析：若存在,使得,则,即4>a -,所以4->a .点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别. ⑻解析：若存在21,x x 使得,则AB ≠∅,∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞五、迁移运用1．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】若关于的不等式在上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A2．【山西省太原市2019届高三上学期期末】已知实数,y满足，若不等式a y0恒成立，则实数a的取值范围为( )A．（－∞，）B．（4，＋∞）C．（，4）D．（，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若a﹣y＞0恒成立即y＜a恒成立，根据二次函数的性质可知，解得，故选B。

高考专题--4基本不等式第四季-2019年领军高考数学(理)压轴题---精校解析Word版

高考专题基本不等式第四季1．在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为_______．【答案】6【解析】因为，故，又，所以，，故，所以，故同号，因，故．设边上的高为，则，由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以即面积的最大值为，当且仅当时取最大值，综上，填．2．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为__________．【答案】163．已知，，且，则的最大值为______．【答案】【解析】，，，可得，，，，，故答案为-4.4．在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________. 【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：5．如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______．【答案】【解析】因为，，，所以,因为为圆上，所以，，，，，，，故答案为1．6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，点M是抛物线上的动点，则的最大值为______．【答案】7．若非零实数、满足，则的最大值为______【答案】【解析】要求的最大值可设a，b＞0，由a2+4b2=1≥4ab，当且仅当a=2b=时上式取得等号即由当且仅当a=2b=时取得最大值所以取得最大值8．已知正数a，b，c满足，则的最大值为_____________．【答案】【解析】∵∴，∴，，当且仅当a=c时取等号.9．已知实数且，则的最小值为__________．【答案】【解析】令，，∴，∴，当且仅当，即，即时等号成立.的最小值为，故答案为.10．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】当时，原不等式可得，化简为有解即可，而，所以只需有解，当时，原不等式可得，可化为，因为为减函数，所以，所以只需即可，当时，不等式无解当时，不等式可转化为有解，所以即可，当时，等式可转化为有解，所以即可，综上可知，20．若实数x、y满足，则的最小值是____.【答案】。

精选-高考数学专题四恒成立问题精准培优专练文

培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln a f x x x =-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞，只需要()3max ln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >，即πππlog sin 21444aa >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，只需()min 0g x >即可，()10g =，()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a x g x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）当1a ≤时()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意，综上所述：e 1a ≥-．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞【答案】B【解析】若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =，由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数的取对点增分集训。

恒成立问题 2019高考绝密资料

不等式恒成立问题主标题：不等式恒成立问题副标题：为学生详细的分析不等式恒成立的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：不等式，不等式恒成立，知识总结难度：3 重要程度：5考点剖析：会已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围. 命题方向：“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

规律总结：解决不等式恒成立问题常见的方法：一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m a x a f x≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m i na f x ≤，转化为函数求最值。

二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

知识点总结：1.()a f x ≥恒成立[]max )(x f a ≥⇔ ()a f x ≤恒成立[]min )(x f a ≤⇔2.一元二次不等式02≥++c bx ax 恒成立⎩⎨⎧≤∆>⇔0a一元二次不等式02≤++c bx ax 恒成立⎩⎨⎧≤∆<⇔00a 一元二次不等式02>++c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0a一元二次不等式02<++c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a 3.[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦⇔()f a m ≤且()g a n ≥导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

新高考(2019)高一数学提高练习3.2基本不等式专题辅导(7)恒成立

基本不等式专题辅导（7）（七）、恒成立问题【解析】：.由已知，可得1126=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ，所以()()54456225621262=+⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a b b a b a b a b a ，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6.【解析】：由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b)⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 13＝9b a ＋a b＋6. 又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝a b，即a ＝3b 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.【解析】：∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【练习】1．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．8m ≤ B ．8m >C ．0m <D ．4m ≤ 2、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 .a ≥153、已知不等式对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数m 的最小值是 A ．2B ．4C ．6D ．8 4x y a x y ≤+0x >，0y >恒成立，则实数a 的取值范围是______.)2,⎡+∞⎣ 5、已知实数a ＞0，b ＞0，且a 2+b 2＝8，若a+b ≤m 恒成立．（1）求实数m 的最小值；（2）若2|x ﹣1|+|x|≥a+b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．5.【解析】（1）m ≥4，实数m 的最小值为4；（2）由2|x ﹣1|+|x|≥a+b 恒成立，由（1）可得a+b 的最大值为4，故只需2|x ﹣1|+|x|≥4，即：当x ≥1时，2（x ﹣1）+x ≥4，解得：x ≥2；当0≤x ＜1时，2（1﹣x ）+x ≥4，无解；当x ＜0时，2（1﹣x ）﹣x ≥4，解得；23x ≤- 故得实数x 的取值范围是2|3x x ⎧≤-⎨⎩或}2x ≥．。

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培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()3maxln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >，即πππlog sin 21444a a >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a xg x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意，综上所述：e 1a ≥-．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞【答案】B 【解析】若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =，由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．对点增分集训2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11- B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,7【答案】C【解析】由题意可得：()()()2'344232f x x x x x =--+=-+-，令()'0f x =可得：12x =-，223x =，且：()33f -=-，()28f -=-，240327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()333f =-，据此可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值为33-，结合恒成立的条件可得：21433m m -≤-，求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是[]3,11．本题选择C 选项．3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()21212ax f x ax x x ='+=+，2210ax +>在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，所以2max 12a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2112,28x ⎛⎫⎛⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以18a ≥-，故选D ．4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由2e x ax >得2ln x x a >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x a x >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()2ln x f x x =，21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()221ln 'x f x x -=， ∴当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'0f x >，()f x 单调递增，当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()'0f x <，()f x 单调递减． ∴()()max 2e e f x f ==，∴()12e e f a >=，∴e02a <<．故实数a 的取值范围是e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭．故选A ．5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞【答案】D【解析】若()m f x >恒成立，则()max m f x >，()()'22e e 2e x x x f x x x x x =+=+，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增．()11ef -=，()1e f =，所以e m >．故选D ．6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]5,3-- B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--【答案】C【解析】[)2,0x ∈-时，恒成立不等式等价于2343x x a x --≤，23min43x x a x ⎛⎫--∴≤ ⎪⎝⎭，设()2343x x f x x --=，()()()()()3222'644243439189x x x x x x x x x f x x x x -----+-++∴===-， [)2,0x ∈-，()f x ∴在[]2,1--单调递减，在()1,0-单调递增，()()min 12f x f ∴=-=-，当0x =时，可知无论a 为何值，不等式均成立，当(]0,1x ∈时，恒成立不等式等价于2343x x a x --≥，23max43x x a x ⎛⎫--∴≥ ⎪⎝⎭，同理设()2343x x f x x --=，()()()'491x x f x x -+∴=-，()f x ∴在()0,1单调递增， ()()max 16f x f ∴==-，6a ∴≥-，综上所述：[]6,2a ∈--．故选C ．7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则在(]00,2x ∈内()min f x m <即可，()2e 1xf x x =-+，()()()()()222222e 1e 2e 1011x x x x x x f x x x +--=-=-<++⋅'，故()f x 在(]0,2上单调递减()()2min 1 2e 5f x f ==-，21e 5m ∴>-，故选A ．8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()f x 的定义域是()0,+∞，()11axf x a x x'+=+=，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f a =≥，故存在()00,x ∈+∞，使()00f x >；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-，令()0f x '<，解得1x a>-，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1e a >-．综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选D ．9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（）A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞【答案】D【解析】当0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，∴若0x =，a 为任意实数，()e 0x f x ax =+>恒成立，若0x >时，()e 0x f x ax =+>恒成立，即当0x >时，e x a x>-恒成立，设()e x g x x =-，则()()221ee e xx x x x g x x x --=-='，当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -．则要使0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e,-+∞，故选D ．10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞【答案】B【解析】由()220x g x =-<，得1x <，故对1x ≥时，()0g x <不成立，从而对任意1x ≥，()0f x <恒成立，因为()()30a x a x a ⋅-⋅++<，对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必有0131a a a <<-<⎧⎪⎨⎪⎩-，计算得出40a -<<．故选B ．11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】不等式()()12210f x f x x x -<，即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立，构造函数()()2e x g x xf x ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'e 20xg x ax =-≥恒成立，即e 2xa x ≤恒成立，令()()e 02xh x x x=>，则()()2e 1'2x x h x x -=，当01x <<时，()'0h x <，()h x 单调递减；当1x >时，()'0h x >，()h x 单调递增；则()h x 的最小值为()1e e 1212h ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．本题选择D 选项．12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设()()e 31x g x x =-，()h x ax a =-，则()()e 3+2x g x x '=，∴当2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减；当2,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当23x =-时，()g x 取得最小值2323e 3g -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．如下图所示．又()()112e 0g h -=>，故()()11g h >； ()()0010g h a -=-+<，故()()00g h <．故当00x =时，满足()0g 在直线()h x ax a =-的下方．∵直线()h x ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，∴要使得有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，只需()()1114e 20g h a ----=-+>，∴2ea >，又1a <，∴实数a 的取值范围2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ．二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)1,-+∞ 【解析】法一：如图，因为()()f x g x ≥恒成立，则()y f x =的图像在()y g x =的上方（可以有公共点），所以1a -≤即1a ≥-，填[)1,-+∞．法2：由题设有1x a x +≥-．当1x ≤时，a ∈R ；当1x >时，有1x a x +≥-恒成立或1x a x +≤-+恒成立，故1a ≥-或a φ∈即1a ≥-，填[)1,-+∞．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．【答案】](,1 -∞【解析】对任意正数x 都有()0f x ≥，即不等式1ln a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对于()0,x ∈+∞恒成立．设()1ln g x x x =+，则()22111'x g x x x x-=-=．故()g x 在()0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，所以()g x 的最小值是()11g =，所以a 的取值范围是](,1 -∞．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],1-∞-【解析】根据函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()1'20f x ax x =--≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2120ax x x --≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以2120ax x --≥恒成立，即2212111a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围是(],1-∞-．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【答案】153,,282⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】①当01m <<时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外层单调递减，内层二次函数：当112m <，即112m <<时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， ()()min 32log 402m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得1528m <<；当112m=，即12m =时，()1f 无意义；当1122m <<，即1142m ≤<时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需()10f <，()20f <，无解；当122m ≥，即104m <≤时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增， ()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，无解． ②当1m >时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外层单调递增， 1122m <，二次函数单调递增，函数单调递增，所以()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得：32m >．综上所述：1528m <<或32m >．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）01a ≤≤．【解析】（1）()()()2ln 1f x x a x x =++-，定义域为()1,-+∞， ()()()()2211112121111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设()221g x ax ax a =++-，当0a =时，()1g x =，()101f x x '=>+，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点．当0a >时，()228198Δa a a a a =--=-，若809a <≤时0Δ≤，()0g x ≥，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点．若89a >时0Δ>，设()0g x =的两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <，且1212x x +=-，而()110g -=>，则12114x x -<<-<，所以当()11,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增．因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0Δ>，但()110g -=>，11x <-，所以当()21,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数只有一个极值点．综上可知，当0a <时()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点．（2）由（1）可知当809a ≤≤时()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =，则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当819a <≤时，()00g ≥，20x ≤，()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =，则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，()00g <，20x >，所以函数()f x 在()20,x 单调递减，而()00f =，则当()20,x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，当()0,x ∈+∞时()11011x h x x x '=-=>++， ()h x 在()0,+∞单调递增，因此当()0,x ∈+∞时()()00h x h >=，()ln 1x x +<，于是()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时()210ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]1,1m ∈-．【解析】()'e 2mx f x m x m =+-，注意到()'00f =，于是再求导得，()2e 2mx f x m ''=+，由于()0f x ''>，于是()f x '为单调递增函数，(),0x ∴∈-∞时，()'0f x <，()0,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增．（2）若不等式()()12e 1f x f x -≤-恒成立，则()()12max e 1f x f x -≤-，()f x 在[]1,1-连续，()f x ∴在[]1,1-有最大最小值，()()()()12max min max f x f x f x f x ∴-=-，由（1）可知()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增，()()min 01f x f ∴==，()()(){}{}max 1,1e 1,e 1m m f x f f m m -=-=+-++，()()()()10e 1e e 110e 1e e 1m m f f m f f m -⎧-≤-⎧-≤-⎪⎪∴⇒⎨⎨--≤-+≤-⎪⎪⎩⎩，设()e e 1x h x x =--+，()'e 1x h x =-，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增()10h =，()112e 0eh -=+-<，故当[]1,1x ∈-时，()0h x ≤，当[]1,1m ∈-时，()0h m ≤，()0h m -≤，则上式e e 1e e 1m m m m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩成立．当1m >时，由()h x 的单调性，()0h m >，即e e 1m m ->-，当1m <-时，()0h m ->，即e e 1m m -+>-，综上，m 的取值范围为[]1,1-．。

2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理 (1)