离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
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离散数学习题答案
习题二及答案:(P38)
5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧ 解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧
()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式,
所以成真赋值为011,111。
6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值:
|
(2)()()p q p r ∧∨⌝∨
解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式,
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧
()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧
13567m m m m m ⇔∨∨∨∨,此即主析取范式。
;
主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式: (1)()()p q p r ∨∨⌝∧ 解:公式的真值表如下:
,
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式,故主析取范式
1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨
习题三及答案:(P52-54)
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→
结论:s 证明:
① p 前提引入 ②
p q ⌝∨ 前提引入
—
③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入
⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入
⑦ s ⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理: (2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论:p u →
证明:用附加前提证明法。
'
① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加
③
()()p q r s ∨→∧ 前提引入
④ r s ∧ ②③假言推理
⑤ s ④化简
⑥ s t ∨ ⑤附加
⑦
()s t u ∨→ 前提引入
⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。
16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理:
\
(1)前提:p q →⌝,r q ⌝∨,r s ∧⌝
结论:p ⌝
证明:用归谬法
① p 结论的否定引入 ② p q →⌝ 前提引入
③ q ⌝ ①②假言推理 ④ r q ⌝∨ 前提引入
⑤ r ⌝ ③④析取三段论
⑥ r s ∧⌝ 前提引入
⑦ r ⑥化简
-
⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取
由于0r r ∧⌝⇒,所以推理正确。
17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:
只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开,看门人会看见他。看门人没有看见他。所以,A 是谋杀嫌犯。
解:设p :A 到过受害者房间,q :A 在11点以前离开,r :A 是谋杀嫌犯,s :看门人看见过A 。 则前提:()p q r ∧⌝→,p ,q s →,s ⌝
结论:r 证明: ① q s → 前提引入
②
s ⌝ 前提引入
!
③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入
⑤ p q ∧⌝ ③④合取引入
⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理
习题五及答案:(P80-81)
15、在自然推理系统N ξ中,构造下面推理的证明:
'
(3)前提:(()())x F x G x ∀∨,()xG x ⌝∃ 结论:()xF x ∃ 证明: ① ()xG x ⌝∃ 前提引入 ② ()x G x ∀⌝ ①置换 ③ ()G c ⌝ ②UI 规则 ④ (()())x F x G x ∀∨ 前提引入 ⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论 ⑦
()xF x ∃ ⑥EG 规则
】
22、在自然推理系统N ξ中,构造下面推理的证明:
(2)凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 解:设F(x):x 为大学生,G(x):想是勤奋的,c :王晓山 则前提:(()())x F x G x ∀→,()G c ⌝ 结论:()F c ⌝ 证明: ① (()())x F x G x ∀→ 前提引入 ② ()()F c G c → ①UI 规则 ③ ()G c ⌝ 前提引入 ④
()F c ⌝ ②③拒取式
!
25、在自然推理系统N ξ中,构造下面推理的证明:
每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者,并且是聪明的。所以,王大海在他的事业中将获得成功。(个体域为人类集合)
解:设F(x):x 是科学工作者,G(x):x 是刻苦钻研的,H(x):x 是聪明的,I(x):x 在他的事业中获得成功,c :王大海