角平分线的性质定理和判定经典习题

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垂直平分线与角平分线典型题

垂直平分线与角平分线典型题Prepared on 24 November 2020线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π，故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =，即此时t 的值为254．（2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。

2018秋八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理13.5.3角平分线习题课件新版华东师大版

在这个角的平分线上．
推理格式：如图②，∵PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，PD＝PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上．
图①
图②
2. 三角形的三条角平分线相交于一点到
三边的距离
一点
，并且这
相等．
知识点
角平分线的性质
1. 下列关于三角形的角平分线的说法错误的是 ( D ) A．两条角平分线的交点在三角形内 B．两条角平分线的交点在第三个角的平分线上 C．两条角平分线的交点到三边的距离相等 D．两条角平分线的交点到三顶点的距离相等
3. 如图，若点 P 到 BE、BD、AC 的距离恰好相等，则点 P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、 ∠ECA 三条角平分线的交点．上述结论中，正确的有 ( D ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D ．4 个
第 3 题图
第 5 题图
6. 如图所示，DE⊥AB 于点 D，CE⊥BC 于点 C，且 DE＝CE，则下列结论不一定正确的是( A．BE 平分∠ABC B．EB 平分∠CED C．AE＋DE＝AC D．∠A＝∠ABE
D )
第 6 题图
1. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一动点，若 PA＝2，则 PQ 的最小值为 ( B ) A．1 C ．3 B．2 D．4
BD＝CD，中，∵ DE＝DF，
∴Rt△ BED≌Rt△ CFD(H. L. )，∴BE＝CF.
9. 如图，在 Rt△ ABC 中，AD 为斜边 BC 上的高， BE 平分∠ABC 交 AD 于点 F，交 AC 于点 E，EG⊥BC 于点 G. 求证：AF＝AE＝EG.

垂直平分线和角平分线典型题

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

角平分线的性质定理及判定定理

流河路公北M 区CB A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用数学符号可表示：∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上用数学符号可表示：∵∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）基础闯关1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为㎝。

3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为。

4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6.到一个角的两边距离相等的点在．7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在，理由是．8．三角形中，到三边距离相等的点是（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 ODPEBA 第3题图D ABC21D APOE B第4题图FEDCBAF E DCBA（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（A ）DE ＝DF ．（B ）ME ＝MF ．（C ）AE ＝AF ．（D ）BD ＝DC ．二．解答题：1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ，求证：BE ＝CF 。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

角平分线的性质与判定(hao)

H
如图，设△ABC的角平分 D 线 BM ， CN 相交于点 P ，我们利用尺规作图的方法发现三角形的三条 N F 你能证明点P在∠BAC的 P 角平分线相交于一点，你能证明这个结论吗？ M 平分线上吗？
B
E C
A
证明:过点P作PE⊥BC ,PD ⊥AB,PF ⊥AC,垂足分别是E， D, F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理，PE=PF ∴PD=PF 又∵ PD ⊥AB,PF ⊥AC ∴点P在∠BAC 的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上） ∴△ABC三条角平分线相交于点P
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
O
C● A
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过F作FG⊥AE于G. FH⊥AD于H FP⊥CB于P ∵CF平分∠ECB G ∴FG=FP(角平分线上的点到角两边距离相等) P 同理可证:FH=FP ∴FG=FH 又∵ FG⊥AE FH⊥AD ∴点F在∠EOD的平分线上 (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
已知，如图， ∠B=∠C= DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。证明：过M作ME⊥AD
0 90 ∵ ∠B=∠C=
90 ，M是BC的中点，
E
0
D
C M
B ∴ MC⊥DC， MB⊥AB A 又∵ DM平分∠ADC ∴ME=MC （角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵ M是BC的中点 ∴ MB=MC ∴ME=MB 又∵ ME⊥AD， MB⊥AB ∴AM平分∠DAB （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）

第2讲角平分线的性质与判定

第2讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2在△OBD 与△OAD 中，12OB OA OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CEAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆ 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝12CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°， ∴∠1＝∠3在△ABD 和△ACF 中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△ACF∴BD ＝CF ∴CE ＝12BD第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图【变式题组】01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．403．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（）第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD⊥EF .培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）l2第1题图第3题图第4题图第5题图A．一处B．二处C．三处D．四处02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（）A．18B．16C．14D．1203．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝12(∠ACB－∠B)07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP。

经典：角平分线的性质定理及其逆定理课件

用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图.
A
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:
O B
15
1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB于点E、D
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C
3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线. A
E
C
O
DB
16
1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角平分线上。
3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
M D
A P
E
B
C FN
10
2、已知：如图，∠B= ∠C=90°，M是 BC的中点，DM平分∠ ADC
求证：AM平分∠DAB。
E
11
小结拓展
回味无穷
一.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
二.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
8
填空：
A
基本应用 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)

角平分线的性质定理及其逆定理习题精选

角平分线的性质定理及其逆定理习题精选（二）1．三角形一内角的平分线与其相邻的外角的平分线所夹的角为__________度。

2．如图24-77，P是∠AOB内一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D、E，且PD＝PE，若连结OP，则∠AOP 和∠BOP的关系是__________,你是如何知道的？3．下列说法中，错误的是（）。

A．三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部B．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等C．三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上D．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等4．如图24-78，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，EF交AD于点G。

求证：（1）AD⊥EF；（2）EG＝FG。

5．如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，D、E是垂足。

求证：MD＝ME。

6．如图24-80，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线。

求证：P在∠BAC的平分线上。

7．如图24-81，已知△ABC的周长为15，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB、OD⊥BC于点D，且OD＝4，求△ABC的面积。

8．如图24-82，∠B＝∠C＝90°，P是BC的中点，DP平分∠ADC，求证：AP平分∠DAB。

9．在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉点B700m。

如果你是红方的指挥员，请你在图24-83所示作战图中标出蓝方指挥部的位置。

（用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹。

比例尺：1参考答案1．902．相等3．D4．（1）先证明R t△AED≌R t△AFD，由AE＝AF，ED＝FD，得A、D都在EF的垂直平分线上，∴直线AD垂直平分EF、AD⊥EF（2）运用等腰三角形的性质：“三线合一”得FG＝EG5．连结AM，证明∠BAM＝∠CAM6．过P 作PF ⊥AB ，PG ⊥BC ，PH ⊥AE ，F 、G 、H 为垂足7．S ABC ∆＝30 8．过P 作PE ⊥AD 于点E ，∵DP 平分∠ADC ，PE ⊥AD ，PC ⊥CD ∴PE ＝PC ，∵PB ＝PC ，∴PE ＝PB ，∵PB ⊥AB ，∴点P 在∠DAB 的平分线上，即AP 平分∠DAB9．先求出图中距离：3．5cm ，然后作出角平分线，在线上找出距B 3．5 cm 的位置第1题. 2007广东茂名课改，4分）Rt 90ABC C BAC ∠∠ 在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B第2题. （2007浙江义乌课改，4分）如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE =3，则点P 到AB 的距离是（）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：A第3题. (2007广东课改，3分)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点答案：D1.已知：如图1，BE ，C F 是△ABC 的角平分线，B E ，CF 相交于D ，若∠A=50°，则∠BDC=（）A. 70°B.120°C.115°D.130°2.已知：如图2，△ABC 中，AB = AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P 点在∠AOB 的平分线上，∠AOB =60°，OP = 10 cm ，那么P 点到边OA 、OB 的距离分别是（）A. 5cm 、 cmB. 4cm 、5cmC. 5cm 、5cmD. 5cm 、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB =10cm ，BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于（）cmA. 2、2、2B.3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是______________，它是_________命题。

角平分线性质练习题

４分层练习, 评价自我活动四做一做练习一：判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （）（2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （）（3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （）练习二判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。

( )2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。

( )3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（）练习三如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

(1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等。

(2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？５课堂反思，强化思想活动五想一想（1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？（2）你感悟到了什么？６布置作业，指导学习1、必做题：教材：第2题。

2、选做题：教材：第3题。

板书设计角平分线的性质角平分线的判定∵ PA=PB ∵ OP 平分∠AOB ，又∵ PA ⊥OA ，PB ⊥OB 又∵ PA ⊥OA, PB⊥OB ∴ OP 平分∠AOB ∴ PA=PB到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等11.3角平分线性质（1）一、选择题 1．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是 ( ) A ．PC = PD B ．OC = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC 2．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ， AD 是∠BAC 的平分线，D E ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 二、填空题3．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________． 4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ． ⑵已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2．三、解答题5．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ．求证：CE = CF6．已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ， BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADABC DPEDCB21ABCDEFF A B EC DD A11.3角平分线性质（2）一、选择题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点2．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处二、填空题3．角的内部_____________________________的点，在这个角的平分线上． 4．如图，点 P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度．5．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）6．已知，如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．角的平分线性质的正确应用“角平分线上的点到角两边的距离相等”的应用例1 如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F. 求证:∠CBA+∠ADC=180°. 小结:涉及到角平分线有关的问题,要想到角平分线性质的应用,应用注意步骤的完整性.不要漏点关键的步骤:如CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足分别是E ，F 不能漏掉.例 2 如图,在△ABC,∠C=90°,AD 是∠ABC 的角平分线,DE ⊥AB.垂足为 E.DE=EB.求证:AC+CD=AB.小结:本题主要通过利用角平分线的性质以及直角三角形全等的有关知识进行证明的.解决问题时应灵活应用角平分线的性质. 二、“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”的应用例3 如图，△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线相交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F.求证：BP 为∠ABC 的平分线.小结:本题角平分线性质和判定的综合应用,应注意辅助线的添加的方法.角的平分线性质及应用山东李其明（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点．（A ）三条中线（B ）三条高（C ）三条角平分线（D ）以上均不对．例2．如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，试问：P 到AB 、BC 、CA 的距离相等吗？C例3．如图2，△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，BD=4，BC=7，则D 到AB 的距离是．例4．如图3，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于O ，下面结论中正确的是（）．（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线，若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8，求△BED 的周长．．例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，求∠B 的度数．角平分线典型案例精析安徽李庆社题1 已知：如图CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，且CD 、BE 相交于O 点. 求证：（1）当 ∠1= ∠2时，OB=OC ；（2）当OB=OC 时，∠ 1= ∠2.C BCABCDE1A BCD E2 图５【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.题2 已知：如图∠ 1= ∠2，BC ⊥AC 于C ，BD ⊥AD 于D ，连结CD 交AB 于E 求证： AB 垂直平分CD.【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程. 题3 已知：如图AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，EF 交AD 于M,求证：MF=ME.【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造全等三角形.角平分线（同步测控）一、选择题1. 2007广东茂名课改）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42. （2007浙江义乌课改）如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE =3，则点P 到AB 的距离是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63. (2007广东课改)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分ABCDA BCDEF线的交点4. （2006 贵港课改）已知：如图，AD 是ABC △的角平分线，且:AB AC ABD △与ACD △的面积之比为（）Ａ．3:2Ｃ．2:35. （2005 盐城）如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是（）Ａ．PC PD >Ｂ．PC PD =Ｃ．PC PD < Ｄ．不能确定6．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（） A ．SAS B 。

八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大

【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示．方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB，且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝＝EADD，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.

角平分线的性质与判定的习题

B E
M
D
A
FN
C
18.如图，已知△ABC的周长为10，OB、OC 分别平分∠ABC.∠ACB、OD⊥BC于点D，且OD＝2，求△ABC的面积。
A
O
B
D
C
19.如图Rt△ABC中，∠C=90。AC=BC,AD是 ∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E,
求证: △DBE的周长等于ABB长
E
D
C
A
4.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B.C，现计划修一个油库，要求到三条公
路的距离相等，可供选择的地址有（ D ）
A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
5.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射
线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为
（B）
A. 1
B. 2
C. 3
用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上.
练习题 :
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证: 点F在∠DAE的平分线上．
证明:过点F作FG⊥AE于G, FH⊥AD于H, FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上, FG⊥AE, FM⊥BC ∴FG＝FM
D. 4
6.如图所示, 在△ABC中, ∠C＝90°, AD平分
∠BAC, AE＝AC, 下列结论中错误的是（ D ）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
7.如图所示, △ABC中, ∠C＝90°, AC＝BC, AD
平分∠CAB交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm,

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题练习1：已知三角形ABC，角A的角平分线AD与边BC相交于点D。

证明：AD是角A的角平分线。

证明：首先，连接AD。

在△BDA和△CDA中，我们有：∠BDA = ∠CDA (角平分线的性质)∠ABD = ∠ACD (已知角平分线)BD = CD (角平分线与两边相交，且到两条边距离相等)根据三角形的SAS（边角边）相等定理，△BDA ≌△CDA。

由于△BDA ≌△CDA，我们可以得出以下结论：∠BAD = ∠CAD (对应角相等定理)∠BAC = ∠BAD + ∠CAD (角的加法）∠BAC = ∠CAD + ∠CAD (代入∠BAD = ∠CAD)∠BAC = 2∠CAD (合并项)AD是角A的角平分线。

练习2：已知三角形ABC，角B的角平分线BE与边AC相交于点E，角C 的角平分线CF与边AB相交于点F。

证明：EF平行于BC。

证明：首先，连接EF。

在△BEC和△CBF中，我们有：∠BEC = ∠CBF (角平分线的性质)∠BCE = ∠BCF (已知角平分线)根据三角形的AA（角角）相似定理，△BEC ∼△CBF。

由于△BEC ∼△CBF，我们可以得出以下结论：∠EBC = ∠FCB (对应角相等定理)考虑△BEF，我们有：∠BEF = ∠BEC + ∠CBF (角的加法）∠BEF = ∠FCB + ∠CBF (代入∠BEC = ∠CBF)∠BEF = ∠FCB + ∠EBC (代入∠FCB = ∠EBC)∠BEF = ∠EBC + ∠EBC (合并项)∠BEF = 2∠EBC同样地，考虑△BFC：∠BFC = ∠BCF + ∠BCE (角的加法）∠BFC = ∠BCF + ∠EBC (代入∠BCE = ∠EBC)∠BFC = ∠EBC + ∠EBC (代入∠BCF = ∠EBC)∠BFC = 2∠EBC由于∠BEF = 2∠EBC，且∠BFC = 2∠EBC，我们可以得出以下结论：∠BEF = ∠BFC (两个角相等）考虑△BEF和△BFC，在两个三角形中，我们有：∠BEF = ∠BFC (已证明的结论)EF平行于BC (对应角相等定理)因此，EF平行于BC。

《角平分线的判定》课件

应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假设点不在角平分线上，通过构造反例来证明假设不成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用这个推论来寻找角平分线上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的部分，且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。

八年级数学角平分线的性质

角的平分线性质
兰州铁一中
李清芳
提问：
角的平分线是怎样一些点的集合？
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
包含两层含义
图例
定理1：在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等
性质定理
定理2：到角的两边的距离相
等的点，在这个角的平分线上判Biblioteka 定理AFO
P E B
C
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题设
定理1：在角的平分线上的点,
F M
B
E
C
练习：课本54页第1题小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
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我本人的小学老师——钱老师，谁叫一次给女人们们拿书，所骑公共汽车与一台货车追尾，从未后不要在那所高三教书了。庆幸的是，钱老师眼下已无大碍。平常，对于咱们一帮小鬼不了解顽皮来了为何地步，给钱老师起的外号是“飞飞”。到眼下，我还是仍然仿佛格外清澈，难的是对于咱们事实上上未去总结那么多事了，讲起“飞飞”，有特别多说不出的跟高三的美妙回忆事情的能力。在公主三四年级的就目前，又来了三个老师，他姓吕，因而对于咱们给吕老师的外号为“老吕“。大有名声村，谁叫刚下过这么容易的雨，路不是好走。尽管如此，也阻止不了我本人的都去。中途，经经过了好多块麦地，麦子平常开端泛黄，收割的时候行将临近。对我来讲，那条路再熟习不经过了。上高三的就目前，惋惜长时间来回走。走在那条熟习的公司，多门往事的点滴涌上了我本人的心头，我本人的思绪开端感觉有些散乱。但我很分明，眼下不是想那么多事的就目前，由此我又一不小心就很轻易苏醒了来。我了解，我也信赖，在经典之作的某一天，我还要有空去思索和回想天天都能更新那么多的原创内容给我们多的平常与往事，我还要让我本人有足够的精力和时间去回味和体会。