线性空间练习题

、单项选择题

R 3中下列子集(

)不是R 3的子空间.

C. w 3 {(X 1,X 2,X 3) R 3 | X 1

X 2

X 3)

D

二、判断题

P nn

则W {A A P nn

,A 0)是V 的子空间.

2、已知V {(a bi,c di) a,b,c,d R)为R 上的线性空间，则维(V) =2.

3、 设线性空间 V 的子空间 W 中每个向量可由

W 中的线性无关的向量组

i , 2,|||, s 线性表出，则维

(W)= S

4、 设W 是线性空间V 的子空间，如果

， V, W 且 W,则必有

W.

三、I .已知W { a b |a,b R) , W 2 ( a i 0 |a i ,^ R),是R 2 2的两个子空间，求

0 0

G 0

W i W 2,W i W 2的一个基和维数.

关于基{ i , 2, 3)的坐标为(i, 0, 2),由基{ i , 2, 3)到基{ i , 2, 3) 的过渡矩阵为i 0 0 ,求 关于基{ i , 2, 3)的坐标.

2 i 0

四、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，A p n n 且A 2 A,

记 W i {AX X P n ), W 2 (X X P n , AX 0),

1. 证明：W i ,W 2都是P n 的子空间;

2.

证明：P n W i W 2.

线性变换练习题

、填空题

线性空间练习题

A. w i ((X i ，X 2, X 3) R 3|x 2

1)

3 .

w {(X i ,X 2,X 3) R |X 3 0)

W 4 {( X i ,X 2,X 3) R 3 | X i X 2 X 3)

i.设V 2.已知

1

设1, 2, 3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换在这组基下的矩阵是.

A(a j)3 3, x1 1 x2 2 x3 3 V，贝U 在基3,2,1下的矩阵B = ________ , 而可逆矩阵T = _满足B T 1AT, 在基1, 2, 3下的坐标为

____________________________________________________ .

2. 设A为数域P上秩为r 的n阶矩阵，定义n维列向量空间P n的线性变换：()A , P n,

则1(0) = ， dim 1(0) = ， dim (P n) =.

3. 复矩阵A (a j)nn的全体特征值的和等于，而全体特征值的积等于 .

4. 设是n维线性空间V的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为变换.

5. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间，它与

同构.

6. 设n阶矩阵A的全体特征值为1, 2,川，n , f (x)为任一多项式，则f (A)的全体特征值为 .

二、判断题

1. 设是线性空间V的一个线性变换，1, 2,|||, s V线性无关，则向量组(1), ( 2),|||, ( s)也线性无关. ( )

2. 设为n维线性空间V的一个线性变换，则由的秩+ 的零度=n ,有V (V) 1(0).

( )

3. 在线性空间R2中定义变换:(x, y) (1 x, y)，则是R2的一个线性变换. ( )

4. 若为n维线性空间V的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0) = {0}. ( )

5. 设为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空间. ( )

三、计算与证明

0 0 1

1.设A 11a,问a为何值时，矩阵A可对角化？

1 0 0

并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX=..

2.在线性空间P n中定义变换(X i,X2,, X n) (0, X2,, X n)

（1）证明：是P n的线性变换.

（2）求（P n）与1（0）.

（3）（P n）1（0） P n.

3.若A是一个n阶矩阵，且A2A,贝U A的特征值只能是0和1.

欧氏空间练习题

一、填空题

1. 设V是一个欧氏空间，V ,若对任意V都有（，）0,贝u =.

2. 在欧氏空间R3中，向量（1,0, 1） , （0,1,0），那么（，）=, =.

3. 在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基1, 2,|||, n下的坐标是（X1,X2，川，X n）,那么（，i）=

, =.

4. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 .

5. 已知A是一个正交矩阵，那么A1 =, A2 =.

二、判断题

1.在实线性空间R2中，对于向量（为，乂2）, （以心），定义（,）（X^y1 X2Y2 1）,那么R2构成

欧氏空间。（）

2.在n维实线性空间R n中，对于向量（a1,a2,|||,a n）, （加，0,川，

b n）,定义（，）角加，则R n构成

欧氏空间。（）

3.1, 2,|||, n是n维欧氏空间V的一组基，（X1,X2，川，X n）,（y1,y2,川，y n）与分别是V中的向量，在这组基下的坐标，则（，）X1 y1 X2y2 III X n y n。（）

4.对于欧氏空间V中任意向量，j1是V中一个单位向量。（）

5.1, 2,|||, n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A a ij nn,其中a ij （i, j），则A是正定矩阵。（）