线性空间练习题
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第6章 线性空间练习题一、填空题（3515''⨯=）1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ．2. 从R 2的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为 ．3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基是 ．4. 设2R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为 ．5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是 ．二、单项选择题（3515''⨯=）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}(,,)0a b c a ≥(C) {}222(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在nR 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．(A) 11212()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-三、计算题（41040''⨯=）1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T Tααα===到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫=++=∈⎪⎝⎭的一组基和维数．4.在4P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．四、证明题()6530''⨯=1．设线性空间V 中12,,,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是1221V V V V ⊂⊂或．3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3R 的子空间；（2）W 与2R 同构．参考答案一、填空题（3515''⨯=)1. (-1，0，2)；2. 2312⎛⎫⎪--⎝⎭；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T Tηη=-=-（不唯一）； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．二、选择题(3515''⨯=)1. D ；2. A ；3. D4. D ；5. B三、计算题（41040''⨯=）1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（2） (2, 5, -1)T2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。
高中数学《空间向量及其线性运算》练习题
空间向量及其线性运算（同步训练）一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.任意两个空间向量都可以比较大小B.方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C.空间向量的大小与方向有关D.空间向量的模可以比较大小2.已知空间四边形ABCD 中， AB→＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于A.a ＋b －cB.－a －b ＋cC.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c3.若向量a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( )A.m ，n ，p 共线B.m 与p 共线C.n 与p 共线D.m ，n ，p 共面4.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B.3MG →C.3GM →D.2MG →5.以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行； ③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是( )A.①③B.②④C.③④D.②③6.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列关于AC 1→的表达式： ①AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→；②AD →＋CC 1→＋D 1C →； ③AB →＋DD 1→＋D 1C 1→；④12(AB 1→＋CD 1→)＋A 1C 1→．正确的个数是( )A.1B.3C.2D.47.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y(AB →＋AD →)，则x ，y 的值分别是( )A.1，14 B ．14，1 C.2，14 D ．14，28.(多选)在下列条件中，使点M 与A ，B ，C 不一定共面的是( )A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →二、填空题9.下列命题是真命题的是______(填序号)．①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量一定不相等；②若|a ＋b|＝|a －b|，则|a|＝|b|；③若向量AB→，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB→＞CD →.10.如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG→－AB →＋AD →等于________11.已知三棱锥O －ABC ，D 是BC 中点，P 是AD 中点，设OP→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________，x ＝________12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．其中为真命题的是________三、解答题13.如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量．14.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1中点，化简下列各式：(1)AB →＋BA 1→；(2)AB →＋B 1C 1→＋C 1C →；(3)12AA 1→＋AB →－AM →．15.已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值： (1)OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →；(2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．参考答案：一、选择题1.D2.C3.D4.B5.B6.C7.A8.ABD二、填空题9.答案：① 10.答案：3MG → 11.答案：1，1212.答案：③三、解答题13.解：(1)模为1的向量有A 1A →，AA 1→，B 1B →，BB 1→，C 1C →，CC 1→，D 1D →，DD 1→，共8个单位向量．(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为5，因此模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.14.解：(1)AB →＋BA 1→＝AA 1→．(2)AB →＋B 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋B 1C 1→＋C 1C →＝A 1C →．(3)12AA 1→＋AB →－AM →＝BM →＋AB →＋MA →＝AB →＋BM →＋MA →＝0．15.解：如图，(1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12．(2)因为PA →＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →．又因为PC →＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →．从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →．所以x ＝2，y ＝－2．。
线性代数与空间解析几何综合练习100题
综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A AB E ，则+=A BA E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=ABC E ，则'''=B A C E . 8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B13n --.9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 111666110331002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C=0AB (1)mn ab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100.15．已知11000101100100110100*********a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0AX 的通解为(1,1,,1),k k '为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0AX 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-.19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0.20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--.21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=A A 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为. 26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X AX A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X AX A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭.28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0AX 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0AX 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =； （B ）A 的行向量组线性无关； （C ）A 的列向量组线性相关； （D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0AX 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0AX 只有零解，则=AX β有唯一解； （B ）若=0AX 有非零解，则=AX β有无穷多解； （C ）若=AX β有无穷多解，则=0AX 有非零解； （D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解； （B ）方程组无解； （C ）若方程组有解，则有无穷多解； （D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解； （B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解； （C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解； （D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3； （B ）4； （C ）0； （D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）.（A ）*||=AA A ； （B ）若||0≠A ，则*||0≠A ； （C ）**1||=A A A ； （D ）秩()=A 秩*()A . 7．设,AB 是n 阶方阵，A 非零，且=AB 0，则必有（D ）.（A ）=0B ； （B ）=0BA ； （C ）222()+=+A B A B ； （D ）||0=B . 8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果 秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ） （A ）1π与2π平行； （B ）1π与2π垂直； （C ）1π与2π重合； （D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-； （B ）||λA ； （C ）λ； （D ）1||λ-A .10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件； （B ）充分而非必要条件； （C ）必要而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值； （B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量； （D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）. （A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0αα，则向量组12,,,mααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '=X 都有''X AX =X BX ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ； （B ）若'=A A ，则'=B B ；（C ）若'=B B ，则=A B ； （D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）AB 正定； （B ）2+A B 正定； （C ）-A B 正定； （D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵； （C ）若,A B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵； （D ）若,A B 都是实对称矩阵，则AB 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ； （B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0AX 与=0BX 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价.18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B 12010100100010001101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）.（A ）12=AP P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B .19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B .20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆； （B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0； （D ）≠A E 时，+A E 不可逆.21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，4000000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）.（A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （C ）不合同但相似； （D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0； （B ）存在正交阵P 使'=A P P ； （C ）存在可逆阵T 使'=A T T ； （D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0BX 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ； （C ）A 的特征值大于等于0； （D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A 等于（C ）. （A ）a ； （B ）1a； （C ）2n a -； （D ）na . 25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）. （A ）11||||||--+=+A BA B ； （B ）111||---+=+A B B A ;（C ）222()=AB A B ； （D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0AX 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ； （B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη； （D ）1121212()()k k +-++ξηηηη.27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）. （A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.28．若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +； （B ）()m n -+； （C ）m n -； （D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）. （A ）**1()||n -=A A A ； （B ）**1()||n +=A A A ； （C ）**2()||n -=A A A ； （D ）**2()||n +=A A A .30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---（A ）.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A . 解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ，令 12341111010010(),0101000114D⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=AT TD 得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪- ⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TDTT T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪=⋅ ⎪⎪⎪---- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪==⋅ ⎪⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A TD T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====A A A A A .2．设0100102a c b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，（1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3;（2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bc a c b b b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===.（3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即00101001000010110010022a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,2a b c ===. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一； （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； （3）β不能由123,,ααα线性表示.解法1： 设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭B由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪ ⎪=+−−→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B 22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一.（3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ. 所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ111232221232(,2,3)2123211231nn n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n n n n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭.5．设122212221-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.·129·（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭T E A T ，故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值.解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα.即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-.7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求：（1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P AP 为对角阵.解：（1）211111111101101120112a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B 111011000(1)(2)2a a a a a a ⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-.·130· （2）此时112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--=⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得13⎛⎫ ⎪=⎝⎭η； 对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得2202⎛⎫⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫ ⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得363η⎛⎫ ⎪ =- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭;·131·令3260⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎪⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P AP 为对角阵033⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）1111221331442112222332440a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b bb b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=AB .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=BA ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β10242011530042452a b a a -⎛⎫⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β·132· 其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数.10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：322122||11423123k k k λλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+.解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k k k k k·133·因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =.因此 322010423-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A ， 对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ，得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .11．设101020101⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E由于001010100⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，得 201030102⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ，12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=CA B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AB C .13．设有线性方程组·134· 123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0） （1）,a b 为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0a b bba b b b a=即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.（3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X PY 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP .·135·由,A B 相似知||||λλ-=-E A E B ，即322223(2)()a b a b λλλ-+--+-3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==.由1000010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP B ，知A 的特征值是0,1,2.解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ - ⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛ ⎪== ⎪ - ⎝⎭P P P P . 15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩·136· 1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2)t t λλ--A B ，则应有(21,,2)AB t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---=AB t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3AB =-，故公垂线方程为 44133122y z z ++-==-. 16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)0λλλ++-+--= 解得14λ=. 从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4b b b b λλλλλλ-=--=-+++-E BππL 0L·137·比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B .18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01 ⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X PY 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ，可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：·138·12310221,0,00122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P .令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ， 则在正交变换=X PY 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面.解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,,'''===P P P ， 取正交变换阵0⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则在正交线性变换=X PY 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+，求1000a .解法1：·139·由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A，并且1211,2211⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+的特征向量.记1211(,)2211⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是111-⎛ ⎪=⎪-⎪⎝⎭T则100-⎫⎪ = ⎝A T T99999911020-⎛⎫+ ⎪= ⎝A T T1000100010001000999999999999]]-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以10001000100011(()())522a +-=-. 解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ·140· 将n D 按第一行展开可得1n n n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1nn n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111n D --=-补充定义100,1D D -==，则12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+==，由（3）知 00000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++100010000000αβαβ-=-10001000⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦.·141·四、证明题1．证明69169169(1)316916n n D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅2 假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916k k k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m=0A ，则=20A .证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使 1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，·142· 取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A UV .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =，或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证 （1）A 的特征值只能是1或0， （2）()()n R R n +-=A A E ， （3）A 可相似对角化； （4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=AX X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0. （2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r -ξξξ为=0AX 的基础解系212,,,n r -ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r -ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r -ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r --ξξηη. 从而A可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E T AT 于是1()tr()tr()R r -===A TAT A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：AB 的特征值全大于0.·143·证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P AB P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P PP 正定，它的特征值全大于0， 因AB 与1212()()''''P P P P 相似，从而AB 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k≠0A α，则1,,,,kk -A A A αααα线性无关；（2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解； （3）1()()n nR R +=A A .证：（1）反证法若1,,,,kk +A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01k k l l l +++=0αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠， 则 11i i k i i k l l l +++++=0A A A ααα，两边乘以矩阵k i -A ，得121k k k i i i k l l l +-++++=0A A A ααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m =0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k ≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n =0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn -A A A αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n -A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0AX 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0A X 的解，所以方程1n +=0A X 与n =0A X 同解，所以1()()n n +=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ααα线性无关，试证：向量组1112,m k =+=βααβ22111,,,m m m m m m m k k ---+=+=ααβααβα线性无关.证：假设有一组数121,,,,m m l l l l -使得112211m m m m l l l l --++++=0ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0ααααααα，即有·144· 112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以 1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++=，所以1210m m l l l l -=====.故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+=βααβααβ11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0ααα 又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+=，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式1101111(1)20010001m D +==+-=≠， 1121000m m m k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1） 故（1）只有零解，所以120m k k k ====，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为122311,,,,,()n n n R n -++++=ααααααααA ，问齐次线性方程组=0BX 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0BX ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0BX 有非零解.·145·由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0BX 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n n n -+-++++-+=0αααααααα，122311,,,,n n n -++++αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0BX 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++αξξξ. 试证：1,,,n -A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ，对应的特征向量依次为12,,,n ξξξ，则1111(),,n n n n λλ=++=++=++A A A A αξξξξξξ11111n n n n n λλ---=++A αξξ.设有一组数011,,,n k k k -，使得1011n n k k k --+++=0αααA A 即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n n n k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n nn n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n n k k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ又由于1111221111()01n n i j j i nn nn --≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.所以0110n k k k -====， 即21,,,,n -A A A αααα线性无关.·146· 10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E T AT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ. 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP Q BQ 于是11--=P AP Q BQ .即111()()---=PQ A PQ B故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A 是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A AX ， （1）=0AX （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·147·另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R X 如果'=0A AX ，则()0''=X A AX ， 即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '=AX ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ====，即=0AX ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立. 13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵. 证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n =，于是 1()E e e e =jn由已知,1,2,,j j j n λ==Ae e得11()(),,A e e e e e e AE E A E λλλ===j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·148· 121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ==，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα. 因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0AX 的解都是=0BX 的解，且()()R R =A B ，试证：=0AX 与·149·=0BX 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0AX 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为12,,,n r -ξξξ. 有,(,,)A ==-01i i n r ξ.又=0AX 的解必为=0BX 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01B从而12,,,n r -ξξξ也是=0BX 的基础解系.于是=0BX 的通解为11.n r n r k k --+ξξ则=0AX 与=0BX 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '=β是n 维列向量，0⎛⎫= ⎪'⎝⎭A B ββ，若()()R R =A B ，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤=A B A β，又由于()()R R ≤A A β，所以()()R R =A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==<α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '=β 是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量，试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++βααα， （1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r ==βα于是11(,)(,)0r r k k =++=βββαα， 从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关. 19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵，设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n =P P P P ，则·150· 112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP P BP 并且,0,(1,,)i i k i n λ>=，所以 1122111n n k k k λλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P ABP P AP P BP 1122n n k k k λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 且0,(1,,)i i k i n λ>=. 再由1-'=P P 得()'=AB AB ，因此AB 正定.20．设12,,,t ααα是齐次线性方程组=0AX 的基础解系，向量β不是=0AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关. 证：设有一组数01,,,t k k k 使得011()()t t k k k +++++=0ββαβα即0121122()t t t k k k k k k k ++++++++=0βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组=0AX 的基础解系，向量β不是=0AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以0120t k k k k ++++=，因此（1）式变为1122t t k k k +++=0ααα，由于1,,t αα线性无关，所以120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.。
(完整版)第六章线性空间练习题参考答案
第六章 线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX ＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3） 四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212n na a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。
线性代数练习题
一.填空1.若()r A r =，则A 中必有一个（ ）阶子式不为零.２．A 为n 阶反对称矩阵，当且仅当对于任意n 维列向量X 均有T X AX =( ). ３．同一个向量在不同基下的坐标（ ）是不同的. ４．设((,))L V P n σ∈，则{0}Im Ker σσ=⇔=（ ）. ５．n 阶矩阵,A B 均正定，则A B ( ）正定. 6. 设三阶数字方阵A 的特征值为1,2,-2,则||A =().7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ,则A 的初等因子为( ).8.若当块0()k J λ的初等因子组为 .9．正交矩阵的行列式为 .10．n 阶数字矩阵A 的所有不变因子的次数之和为 .11．已知n 阶实对称矩阵A 的特征值中共有t 个正实数,则A 的正惯性指数为 . 11. 设线性空间V 的任一向量都可由V 的线性无关向量组r ααα,,,21 线性表示,则V dim =( ).12. 设非零方阵A 的行列式为0,则()一定是A 的特征值.13. n 阶数字矩阵A 的所有初等因子的次数之和为（ ). 14. 设三阶矩阵A 的元素均为1,则A 的最小多项式为().15. 若x 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量，则()是AP P B 1-=的属于特征值λ的特征向量.参考答案:r,0,一般,V,不一定,3)1(-λ, 0()k λλ- , 1± ,n , t , r, 0,n,)3(-λλ,x P 1- 二.选择题1.设W 为V 的子空间，则W 中的零元必定是V 的零元. （ ）２．在复数域C 作成自身上的线性空间中，令σαα=，则σ是C 的线性变换. （ ）３．设A 为n 阶可逆矩阵，则A 的特征矩阵E A λ-一定可逆. （ ）４．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则σ是正交变换的充要条件是σ把标准正交基变成标准正交基. （ ） ５．在3F 中定义变换σ（a a a 123,,）=（a a a 321,,）,则σ是3F 的一个线性变换. （ ）6. 若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的一组基，则)(,),(),(21n ασασασ 也为V 的一组基.()7. n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似当且仅当它的不变因子全是一次的.( ) 8.任一线性空间一定含有无限多个向量. ( ） 9. n 阶复矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值.10.正定矩阵特征值都大于零. ( ） 11．同阶方阵,A B 相似的充要条件是有相同的最小多项式.( ）12.线性空间的两个子空间的并集也是子空间. ( ） 13. n 阶复矩阵A 的零化多项式无重根，则A 可对角化. ( ）14．若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的线性无关的向量组，则)(,),(),(21n ασασασ 也线性无关.15.有限维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵皆为正交矩阵.()✓,✗, ✗ , ✓,✓, ✗,✗,✗,对, ✓ , ✗, ✗ , ✓ , ✗,错.三.选择题1.设矩阵A 的每行元素之和均为1,则( )一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 32．下列命题（ ）不是矩阵A 正定的判定条件.A ．A 与单位矩阵等价. B.A 特征值都大于零.C.A 与单位矩阵合同.D. A 的顺序主子式都大于零.3．设复数域C 是定义在复数域C 上的线性空间，则此线性空间维数为（ ）.A ．无限维 B. 3 C. 2 D. 14．设σ是数域F 上线性空间V 上的线性变换，若2I σ=，I 是恒等变换，则σ可能的特征值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 35．已知二次型),,(321x x x f 通过非退化线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）.A.正定B. 半正定C. 负定D. 不定 6.设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 37.设A 为2阶矩阵，21,λλ是A 的特征值,则正确的是（ ）.A.2121||,)(λλλλ=+=A A trB. 2121||,)(λλλλ=--=A A trC. 2121||,)(λλλλ+==A A trD. 以上都不对8.已知二次型),,(321x x x f 通过正交线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）. A.正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定9.下列命题（ ）不是n 阶实对称方阵A 正定的充要条件.A ．A 合同于1(,,),0,1,,n i diag d d d i n >= B. A 的正惯性指数为n C. 存在可逆矩阵n n C R ⨯∈，使得T A C C = D.A 与单位矩阵等价.10.设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，线性方程组0)(=-x A E λ的两个不同解向量分别是,αβ，则( )必是A 对应于特征值λ的特征向量. A.αB. βC. αβ+D. αβ-B, A , D ,B ,D,B,A,D,D,D 四.计算1.设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q T 为对角形矩阵. 1’ 已知实二次型323121232221321444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.(1)写出二次型),,(321x x x f 的矩阵;(2)用正交替换化),,(321x x x f 为标准形,并写出所用的正交替换及二次型的标准形.2. 若数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-与23(1,44,1,1,32)diag λλλλ-+--等价.(1)试写E A λ-的标准形. (2)试写A 的初等因子.(3)试写A 的Jordan 标准形.3.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A 在实数域上的全部特征值与特征向量. 4.设A =3452⎛⎝⎫⎭⎪.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)A 是否可以对角化？若能对角化写出相应的过渡矩阵P ，使P AP -1为对角矩阵.1.解:A 的特征多项式)5()1(||)(2-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-1,-1,5.取-1的线性无关的特征向量)1,1,0(),1,0,1(21-=-=αα将其正交单位化得)61,62,61(),21,0,21(21--=-=γγ取特征值5的特征向量)1,1,1(3=α 将其单位化得)31,31,31(3=γ令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=31612131620316121Q 则)5,1,1(--=diag AQ Q T .2. 解:由条件知A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(1) E A λ-的标准形为22(1,1,1,2,(2)(1))diag λλλ--+. (2) A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(3) A 的Jordan 标准形2212111J ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3. 解:A 的特征多项式为2)2)(7(||)(-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-7,2,2.属于特征值2的特征向量为)1,0,2(),0,1,2(,,,21212211=-=∈+αααλR k k k k 属于特征值-7的线性无关的特征向量为)2,2,1(,,33-=∈ααR l l 4.解:(1)A 的特征多项式为34||(7)(2)52E A λλλλλ---==-+--故A 的特征值为7,2-.解其次线性方程组(7)0E A X -=,得其基础解系为1(1,1)ξ=,从而A 的属于特征值7的特征向量为1().k k ξ为任意数解其次线性方程组(2)0E A X --=,得其基础解系为2(4,5)ξ=-,从而A 的属于特征值2-的特征向量为2()k k ξ为任意数.(2)由(1)知A 有两个不同的特征值,故A 可以对角化.令 1415P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则172PA P -⎛⎫=⎪-⎝⎭. 证明:1.设n n F ⨯是数域F 上的所有n 阶矩阵的集合,令}|{A APA S Tnn =∈=⨯,}|{A APA T Tnn -=∈=⨯.(1)证明:T S ,是n n F ⨯的子空间; (2)证明:TS F nn ⊕=⨯.证明: (1)由于S E ∈,故φ≠S .F l k S B A ∈∀∈∀,,,则lBkA lB kA T+=+)(故S lB kA ∈+,从而S 为n n F ⨯的子空间.同理可证T 是n n F ⨯的子空间.(法1)先证明TS F nn +=⨯.显然,nn FT S ⨯⊆+. nn FA ⨯∈∀,有22TTA A A A A -++=,而,22TTT A A A A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22TTT A A A A --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ,故TA A S A A TT∈-∈+2,2,从而TSA +∈,故T S F nn +⊆⨯.故T S F n n +=⨯.再证T S F n n ⊕=⨯,T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 故结论成立.(法2) T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 从而nn Fnn n n n T S T S T S ⨯==--++=-+=+dim 022)dim(dim dim )dim(222又nn FTS ⨯⊆+,故T S F n n ⊕=⨯.2.设σ为数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换.证明:n Ker =+σσdim Im dim . 证明: 设r =σker dim ,取σKer 基r ααα,,,21 扩充为V 的基r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +.则))(,),(())(,),(),(,),(),((Im 1121n r n r r L L ασασασασασασασσ ++==下证)(,),(1n r ασασ +线性无关,设)()(11=++++n n r r k k ασασ由σ为线性变换,故0)(11=++++n n r r k k αασ从而σααKer k k n n r r ∈++++ 11,设rr n n r r k k k k k ααααα----=++++ 221111即0112211=++++++++n n r r r r k k k k k ααααα由r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +线性无关得01===+n r k k ,故)(,),(1n r ασασ +线性无关,且是σIm 的基,故r n -=σIm dim ,而r Ker =σdim ,从而结论成立. 3.证明:欧氏空间V 上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的.证明:设σ为V 的对称变换,μλ,为σ的两个不同特征值,V ∈βα,是σ的分别属于μλ,的特征向量,即μββσλαασ==)(,)(由))(,()),((βσαβασ=可得 ),(),(ββμβαλ=,而μλ≠,故0),=(βα,从而结论成立.4. 证明:方阵A 的行列式为0的充要条件为0是A 的特征值. 证明:必要性.由于|0|||0A E A -==,故0是A 的特征值.充分性.由于0是A 的特征值,故||)1(|||0|0A A A E n-=-=-=,即0||=A .5. 设A 为n 阶可逆实矩阵,在n R 中,定义nT TRY X AY A XY X ∈∀=,,),(证明:),(Y X 是n R 的内积.证明:nRZ Y X ∈∀,,,R k ∈∀由于(1)),()(),(X Y AX A Y AY A XAY A XY X TT TT TTT====;(2)),()(),(Y X k AY A kXAY A kX Y kX TTTT ===;(3)),(),()(),(Z Y Z X AZ A Y AZ A XAZ A Y X Z Y XTTTTTT+=+=+=+;(4)由A A T 正定知,0),(≥=AX A XX X T T.若0=X,则0),(=X X .若AXA XX X TT==),(0,由A A T正定知0=X .6.数域F 上一个n 阶矩阵A (E A A n ≠≠>,0,1)，满足A A =2.证明： (1)A 的特征值只能是0或1； (2) ()()Tr A r A =；(3) 对任意的自然数m k ,有()n A E r A r m k =-+)()(. 证明: (1)设λ为A 的任一特征值,α为对应的特征向量,即0,≠=αλααA由A A =2,有αλαλαααλα22)(=====A A A A A ,而0≠α,故λλ=2,于是0=λ或1.从而结论成立.(2) 由A A =2知λλλ-=2)(g 为A 的零化多项式,而)(λg 无重根,从而A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵P使得P E PA r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01其中r A r =)(,而)(A tr 为对角阵对角元之和0011)(+++++= A tr ,故()()Tr A r A =.(3)由(2)有P E P A E P E PA rn m r k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---0)(,011从而结论成立.7. 设σ是数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换,且I =2σ.(1)证明:σ的特征值只能为1或1-;(2)用11,-V V 分别表示σ的属于特征值1和1-的特征子空间,证明:11-⊕=V V V.证明: (1) 设λ为σ的任意一个特征值,α为属于λ的一个特征向量,即λαασ=)(.由I =2σ,有αλλασασα22)()(===故12=λ,即σ的特征值为1或1-. (2)下证11-⊕=V V V .V ∈∀α,则))((21))((21ασαασαα++-=,且)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ--=-=-=-)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ+=+=+=+即11-+=V V V .11-∈∀V V α,则αασα-==)(,于是0=α.从而11-⊕=V V V8.证明反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数.证明:设A 为n 阶反对称实矩阵,C λ∈为A 的任一特征值,n C α∈为对应的特征向量,即,0A αλαα=≠ 上式两边取共轭和转置得TTA A αλααλα=-=于是 TT TA λααααλαα-==而0Tαα>,故λλ-=.即λ为零或纯虚数.。
线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题§1 线性空间1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，和T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；（3）求向量3212b b b z -+=在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（4）求向量321424a a a y -+=在基1b ，2b ，3b 下的坐标。
7．已知3R 中的两组基为T )1,0,1(1=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,0,3(1=b ，T )0,0,2(2=b ，T )2,2,0(3-=b 。
线性代数 第4章 向量空间 - 习题详解
第4章 向量空间4.1 向量及其线性组合练习4.11. 设1231031,1,4010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求12αα-及12332ααα+-.解 12101011111001011αα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12332ααα+-10330303121432410100202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2. 设 1233()2()5()αααααα-++=+,求α. 其中1232104511,,1513101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解 由1233()2()5()αααααα-++=+得12362020611525122111(325)31051836669205244αααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-== ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭3. 将线性方程组12312312310232x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩写成向量形式及矩阵形式.解 向量形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵形式：123111*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4. 设123,,,αααβ是已知列向量，若122ααβ+=，记矩阵123[,,]A ααα=，求线性方程组Ax β=的一个解.解 由12320αααβ++=得方程组Ax β=的一个解为T [1,2,0]x =5. 问β是否可由向量组4321,,,αααα线性表示？其中（1）12341111121111,,,,1111111111βαααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）12342111201022,,,,0124231132βαααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解 （1）令[]123411111111,,,11111111A αααα⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦由[]111111005/41111201001/41111100101/41111100011/4r A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得Ax β=有唯一解[]T15,1,1,14x =--，从而β可由向量组4321,,,αααα唯一线性表示： 23451114444βαααα=+--（2）令[]123411121022,,,12421132A αααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由[]111221220102200110012420000011132300000r A β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得Ax β=无解，从而β不能由向量组4321,,,αααα线性表示.6. 已知12341111101121,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）,a b 取何值时，β不能由4321,,,αααα的线性表示？（2）,a b 取何值时，β可由4321,,,αααα唯一线性表示式？并写出表示式. 解 令[]1234,,,A αααα=，考察方程组Ax β=是否有解.[]11111011212224335185A a b a β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦1111101121012102252r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦1111101121001000010r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦（1）当0,1≠-=b a 时，方程组Ax β=无解，故β不能由4321,,,αααα的线性表示. （2）当1-≠a 时， 继续进行初等行变换[]A β2100011111101121101001001010010101000010rr b a a b a b b a a -⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦得方程组Ax β=有唯一解：T21,,,0111b a b b x a a a ++⎡⎤=-⎢⎥+++⎣⎦故β可由4321,,,αααα的唯一线性表示. 表示式为：1234210111b a b ba a a ++=-++++++βαααα 7. 用标准坐标向量证明：如果对任意向量x 有0Ax =，则A 是零矩阵. 证 设12[,,,]n A ααα= 是m n ⨯矩阵. 特别地取(1,2,,)n i x e R i n =∈= ，则0(1,2,,)i i Ae i n α===即A O =.8. 设向量组12,ββ可由向量组123,,ααα线性表示如下：112321232,βαααβααα=+-=-+写出形如（4.5）的矩阵形式.解[][]1212321,,,1111ββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦9. 设123123032204103124,,,,,210111321213αααβββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示，但向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示. 证 令[]123,,A ααα=，[]123,,B βββ=由[]400111040222004135000000rA B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}123,,ααα线性表示. 由[]204032022012000210000000rBA ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦知12,αα都不能由向量组{}123,,βββ线性表示，故向量组{}123,,ααα不能由向量组{}123,,βββ线性表示.10. 设12123011131,1,0,2,210111ααβββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明向量组{}12,αα与向量组{}123,,βββ等价.方法1 令[][]12123,,,,A B ααβββ==. 由[]101110111300000rA B -⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}123,,βββ可由向量组{}12,αα线性表示.[]1020.50.50110.50.500000rBA --⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组{}12,αα可由向量组{}123,,βββ线性表示.所以{}{}12123,,,ααβββ≅.方法2 令T1TT 12T T 23,A B βαβαβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则101011rA -⎡⎤−−→⎢⎥⎣⎦，101011000rB -⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦记T T12[1,0,1],[0,1,1]γγ=-=，根据行等价矩阵的行向量组等价，由上知{}{}{}{}121212312,,,,,,ααγγβββγγ≅≅所以{}{}12123,,,ααβββ≅.4.2 向量组的线性相关性练习4.21. 证明：含有零向量的向量组必线性相关. 证 不妨设向量组为{}123,,ααα，其中10α=，则1231000ααα++=根据定义{}123,,ααα线性相关.2. 证明：含两个向量的向量组线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例. 问含三个向量的向量组线性相关的充要条件是不是它们对应的分量成比例？证 设112212[,,,],[,,,]T T n n a a a b b b αα== 且{}12,αα线性相关. 于是存在不全为零的数12,k k 使得11220k k αα+=，不妨设10k ≠，从而21221k k k ααα==，即 (1,2,,)i i a kb i n ==即1α与2α的对应分量成比例.反之，如果(1,2,,)i i a kb i n == ，则12k αα=,即1210k αα-=，故{}12,αα线性相关.由三个向量构成的向量组如果对应分量成比例，则显然线性相关. 但线性相关，它们的对应分量不一定成比例. 如123111,,123ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或1231121,2,3134ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 判别下列向量组的线性相关性： （1）[]12,5Tα=，[]21,3Tα=-（2）[][][]1231,2,3,0,2,5,1,0,2TTTααα=-=-=- （3）[][][]1232,4,1,1,0,1,2,0,1,1,1,3,0,0,1TTTααα==-=解（1） 令1221[,]53A αα-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，由110A =≠，知A 是可逆矩阵，故其列向量组{}12,αα线性无关.（2）类似（1），由 1012200352--=-，得{}123,,ααα线性相关. (3) 易知向量组()()()T T T 1,0,0,1,1,0,0,1,1321===βββ线性无关，而向量组{}123,,ααα是向量组{}123,,βββ的加长向量组，故{}123,,ααα也线性无关.4. 设[][][]1231,1,1,1,2,3,1,3,TTTt ααα===, (1) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性相关？ (2) 问t 为何值时, 向量组321,,ααα线性无关？解 令11112313A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算得5A t =- （1）当5t =时，A 是不可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性相关. （2）当5t ≠时，A 是可逆矩阵，其列向量组321,,ααα线性无关. 5. 证明由阶梯矩阵的非零行构成的向量组一定线性无关. 证 不妨设阶梯矩阵12340000000000T T T T U αααα⊗****⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⊗**⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⊗*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中0⊗≠. 考察下面方程组112233123000000x x x x x x ααα⊗⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++=*⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥**⊗⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥***⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然该方程组只有零解，故{}123,,ααα线性无关.4.3 向量组的秩练习4.31. 设[][][][]T T T T12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7====αααα求向量组1234,,,αααα的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用所求的极大无关组线性表示.解 1234[,,,]A =αααα12341012234501233456000045670000r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此{}12,αα是{}1234,,,αααα的一个最大无关组，且2132ααα+-=，21432ααα+-=2. 设向量组2123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩为2，求,a b .解 记12342123,,2,31311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα，由于{}1234rank ,,,2=αααα，所以{}341,,ααα线性相关，{}342,,ααα也线性相关.由[]3411212,,2330132111002ra a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得2a =.由[]342122122,,23014113005rb b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ααα 得5b =.3. 证明极大无关组的定义4.5与定义4.6的等价性.证 （定义4.5⇒定义4.6） 设121,,,r βββ+ 是V 中任意1r +个向量. 由定义4.5（2）知121,,,r βββ+ 可由12,,,r ααα 线性表示，由定理4.9，121,,,r βββ+ 线性相关，即定义4.6（2）成立.（定义4.6⇒定义4.5）设β是V 中任意一个向量. 则12,,,,r αααβ 是1r +个向量，由定义4.6（2），12,,,,r αααβ 线性相关，又12,,,r ααα 线性无关，再由唯一表示定理，β可由12,,,r ααα 线性表示，即定义4.5（2）成立.4.4 矩阵的秩练习4.41. 求下面矩阵的秩（1）1121021120331101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（2）123222123333123111a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中123,,a a a 互不相等）. 解 （1）由11211121021102112033002011010000r A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得()3r A = （2）记123222123333123111a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于范德蒙行列式1232221231110a a a a a a ≠，得()3r A = 2. （1）设A 是23⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形； （2）设A 是32⨯矩阵，且rank 2A =，写出A 的等价标准形. 解 （1）[]20A E ≅，（2）20E A ⎡⎤≅⎢⎥⎣⎦3. 设22139528A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（1）求一个42⨯矩阵B 使得0AB =，且rank 2B =; （2）求一个42⨯矩阵C 使得AC E =，且rank 2C =. 解 （1）求解方程组0Ax =得两个线性无关的解12[1,5,8,0],[1,11,0,8]T T ββ==-令[]1211511,8008B ββ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则rank 2,B AB O ==，B 即为所求.（2）解1Ax e =得一个解11[5,9,0,0]8Tβ=--，解2A x e =得一个解21[2,2,0,0]8Tβ= 令[]1252921,00800C ββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2rank 2,C AC E ==，C 即为所求.4. 设m n n m m m A B C ⨯⨯⨯=，若C 是可逆矩阵，则()()r A r B m ==.证 ()()()()m r C r A B r A m r A m===≤⇒= ()()()()m r C r AB r B m r B m ===≤⇒=5. 证明：()()()r A B r A r B +≤+. 方法1 设12[,,,]n A ααα= ,[]12,,,n B βββ= ,(),()r A s r B t ==不妨设{}12,,,t ααα 是A 的列向量组的极大无关组，{}12,,,s βββ 是B 的列向量组的极大无关组. 显然A B +的列向量可由{}11,,,,,t s ααββ 线性表示，于是()r A B +=()A B +的列秩{}11r ,,,,,()()t s s t r A r B ααββ≤≤+=+证明：)()()(B r A r B A r +≤+ 方法2 由],[],[B A B B A c−→−+得[,][,]r A B B r A B +=，从而（用到例题的结论）)()(],[],[)(B r A r B A r B B A r B A r +≤=+≤+6. 用等价标准形定理证明：rank 1m n A ⨯=的充要条件是T A αβ=其中0,0m n R R αβ≠∈≠∈.证 设rank 1A =，由等价标准形定理，存在可逆矩阵,m m n n P R Q R ⨯⨯∈∈，使得1000A P Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]101,0,,00P Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令α是P 的第一列，T β是Q 的第一行，显然0,0αβ≠≠，上式就是T A αβ=.反之，如果TA αβ=()0,0αβ≠≠，则1()()1()1r A r r A α≤≤=⇒=4.5 向量空间练习4.51. 设{}31123123123(,,)|,,,0T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂ {}32123123123(,,)|,,,1T V x x x x x x x R x x x R ==∈++=⊂证明1V 是3R 的子空间, 2V 不是3R 的子空间. 证 1V 是齐次线性方程组的解集，2V 是非齐次线性方程组的解集，同例题的证明一样.2. 设343443434,,x x x x V x x x x R R x x ⎧⎫+⎡⎤⎪⎪⎢⎥-⎪⎪⎢⎥==∈⊂⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭证明V 是4R 的子空间，并求V 的维数及V 的一个基.证 把V 中向量改写为34314211111001x x x x x αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则12span(,)V αα=，又{}12,αα线性无关，所以{}12,αα是V 的一个基，dim 2V =.3. 设12342112,1,1,010541αααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求123span(,,)ααα两个不同的基, 并分别求α在所求的基下的坐标.解 易知{}123rank ,,2ααα=，又{}13,αα线性无关，{}23,αα线性无关，所以{}13,αα与{}23,αα都是123span(,,)ααα的基.解方程组1123x x ααα+=得120.5,1x x ==-于是α在基{}13,αα下的坐标是[]0.5,1T-.解方程组1223x x ααα+=得121,1x x ==-于是α在基{}23,αα下的坐标是[]1,1T-.4. 设121211201011,,,01310131ααββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：1212span(,)span(,)ααββ=. 证 只需证{}{}1212,,ααββ≅由[]12121011013100000000rααββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,ββ可由{}12,αα线性表示. 由[]1212100.50.501 1.50.500000000rββαα⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦知{}12,αα可由{}12,ββ线性表示.所以{}{}1212,,ααββ≅. 5. 已知3R 的两个基为1231111,0,0111ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 1231232,3,4143βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵.解 由[]123123100234,,,,,010*********rαααβββ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦得[][]123123234,,,,010101βββααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为234010101P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦4.6 线性方程组解的结构练习4.61. 求齐次线性方程组1232340x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩ 两个不同的基础解系，并写出通解.解 记系数矩阵为A ，则10010111rA ⎡⎤−−→⎢⎥-⎣⎦同解方程为14234x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 分别取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,11x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120111,1001αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别取3411,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得1201,10x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得基础解系为 120110,1101ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦通解为112212,(,)x k k k k R αα=+∈或112212,(,)x k k k k R ββ=+∈2. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为T T 12[0,1,2,3],[3,2,1,0]ξξ==解 设所求方程组为0=Ax ，由题设()12,0A ξξ=.记()12,B ξξ=，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T 的解.解方程组0=x B T ，即2341232303230x x x x x x ++=⎧⎨++=⎩ 得基础解系为T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=T A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα所求方程组为0=Ax ，即⎩⎨⎧=+-=+-03202421321x x x x x x 3. 求下面非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解 对增广矩阵初等行变换化最简阶梯形[]1100510108211210110135322300012rA b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等价方程组为132348132x x x x x =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 令30x =得方程组的一个解*[8,13,0,2]T η=-对应的齐次方程组的等价方程组为132340x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令31x =得基础解系[1,1,1,0]T α=-4. 设142536A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求使得方程组Ax b =有解的所有向量b . 解 向量b 是A 的列向量的线性组合，即12121425,,36b k k k k R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 设12,,,s ηηη 是非齐次方程组b Ax =的s 个解向量，令112212,,,,s s s k k k k k k R ηηηη=+++∈证明:（1）η是非齐次方程组Ax b =的解的充要条件是121s k k k +++= ； （2）η是齐次方程组0Ax =的解的充要条件是120s k k k +++= . 证 （1） 1122s s k k k ηηη+++ 是b Ax =的解⇔ ()1122s s A k k k b ηηη+++= ⇔ ()12s k k k b b +++= (≠b 0) ⇔ 121s k k k +++=（2） 1122s s k k k ηηη+++ 是0=Ax 的解⇔ ()11220s s A k k k ηηη+++= ⇔ ()120s k k k b +++= (≠b 0) ⇔ 120s k k k +++=6. 设4rank 3m A ⨯=, 321,,ηηη是非齐次方程组b Ax =的3个解向量, 并且T T )4,3,2,1( , )5,4,3,2(321=+=ηηη求方程组b Ax =的通解.解 由3)(4=⨯m A r 知，知0=Ax 的基础解系只含一个向量，取T )6,5,4,3()(2321=+-=ηηηξ则ξ是0=Ax 的基础解系. 从而非齐次方程组b Ax =的通解为1x k ηξ=+，（k R ∈） 7. 设矩阵[]1234,,,=A αααα, 其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=, 向量4321ααααβ+++=. 求线性方程组βx A =的通解.解 由假设易知()3r A =，从而0=Ax 的基础解系只含一个向量. 由12312342200=-⇔-++=ααααααα得[1,2,1,0]T ξ=-为0=Ax 的基础解系.由1234+++=ααααβ得[1,1,1,1]T η=为βx A =的一个解. 于是βx A =的通解是,()x k k R ηξ=+∈习题四1. 设βααα,,,,21r 都是n 维向量，β可由r ααα,,,21 线性表示，但β不能由121,,,-r ααα 线性表示，证明：r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.证 因为β可由r ααα,,,21 线性表示，设r r r r k k k k ααααβ++++=--112211又因为β不能由121,,,-r ααα 线性表示，所以0≠r k ，因此11111-----=r rr r r r k k k k k ααβα 即r α可由121,,,,r αααβ- 线性表示.2. 设123123111221,,1,1,,114a a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦确定常数a , 使向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示, 但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.解 记],,[321ααα=A ，],,[321βββ=B ，由于{}123,,βββ不能由{}123,,ααα线性表示，所以3)(<A r ，从而0)2()1(2=+--=a a A得1=a 或2-=a .当1=a 时，1321βααα===，故321,,ααα可由321,,βββ线性表示，但2β不能由321,,ααα线性表示. 所以1=a 符合题意.当2-=a 时，由[]122112006033000033rBA ---⎡⎤⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦知{}123,,ααα不能由{}123,,βββ线性表示，与题设矛盾. 综上，1=a .3. 设121,,,-m ααα （3≥m ）线性相关, m ααα,,32 线性无关, 讨论:（1）1α能否由132,,-m ααα 线性表示; （2）m α能否由121,,,-m ααα 线性表示.方法1 （1）因为m ααα,,32 线性无关，故132,,-m ααα 线性无关. 又因为121,,,-m ααα 线性相关，由唯一表示定理，1α可由132,,-m ααα 唯一表示.（2）设m α能由121,,,-m ααα 线性表示112211--+++=m m m αλαλαλα由（1），1α又能由132,,-m ααα 线性表示，故m α也能由132,,,-m ααα 线性表示，从而m ααα,,32 线性相关，这与假设矛盾. 故m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.方法2 由假设{}121,,,1m r m ααα-<- ，{}23,,,1m r m ααα=-（1） 由{}{}231231,,,,,m m m r r ααααααα-=≤ {}131,,11m r m ααα-≤+≤-得{}{}23123,,,,,1m m r r m ααααααα==-由唯一表示定理，1α能由132,,-m ααα 唯一表示.（2）由(1)，{}121,,,,1m m r m αααα-=- ，而{}121,,,1m r m ααα-<- 故{}{}121121,,,,,,,m m m r r ααααααα--≠m α不能由121,,,-m ααα 线性表示.4. 设nn RA ⨯∈, n R ∈α（0≠α）, 0=αk A , 01≠-αk A , 证明向量组{}21,,,,k A A Aαααα-线性无关.证 设0112210=++++--ααααk k A k A k A k k上式两边左乘1-k A得010=-αk A k ，由于01≠-αk A，得00k =，因此011221=+++--αααk k A k A k A k上式两边左乘2-k A ，类似可推出01=k . 进而再推出210k k k -=== .5. 设nn RA ⨯∈,n R ∈321,,ααα（01≠α）, 如果11αα=A , 212ααα+=A , 323ααα+=A证明321,,ααα线性无关.证 由题设23121)(,)(,0)(ααααα=-=-=-E A E A E A设0332211=++αααk k k两边左乘E A -得02312=+ααk k再左乘E A -得013=αk由01≠α得03=k ，往上逐一代入210,0k k ==. 故321,,ααα线性无关.6. 设向量组12:,,,m S ααα 线性无关, 1β能由S 线性表示, 而2β不能由S 线性表示,证明:（1）向量组122,,,,m αααβ 线性无关.（2）对R k ∈∀, 向量组1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.证 （1）由于12,,,m ααα 线性无关，而2β不能由12,,,m ααα 线性表示，故221,,,,βαααm 线性无关. 否则，由唯一表示定理，2β能由12,,,m ααα 唯一表示，与假设矛盾.（2）由（1）122rank[,,,,]1m m αααβ=+再由1β可由12,,,m ααα 线性表示，得1221122[,,,,][,,,,]cm m k αααββαααβ+−−→从而1221rank[,,,,]m k αααββ+= 122rank[,,,,]1m m αααβ=+1221,,,,m k αααββ+ 线性无关.7. 设12,,,,m αααβ nR ∈（0β≠）且0(1,2,,)T i i m βα== , 证明： (1) β不能由12,,,m ααα 线性表示；(2) 如果12,,,m ααα 线性无关, 则12,,,,m αααβ 也线性无关. 证 (1) 反证. 设β可由12,,,m ααα 线性表示1122m m k k k βααα=+++两边左乘Tβ得0Tββ=，这与0β≠矛盾.(2) 反证. 如果12,,,,m αααβ 线性相关，则由唯一表示定理，β由12,,,m ααα 唯一表示. 与(1)矛盾.8. 已知321,,ααα线性无关, 试问常数k m ,满足什么条件时, 向量组{}213213,,k m αααααα---线性无关？方法1设0)()()(313232121=-+-+-ααααααx m x k x整理得0)()()(332221113=-+-+-αααx m x x k x x x由于321,,ααα线性无关，故上式又等价于⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-000322131x m x x kx x x ⇔ 12310110001x k x m x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦312312,,αααααα---m k 线性无关的充要条件是上面方程组只有零解. 即1011010101kmk mk m --=-≠⇔≠- 方法2 记313232121,,ααβααβααβ-=-=-=m k . 写成矩阵形式[][]123123101,,,,1001k m βββααα-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由例4.14，321,,βββ线性无关⇔101rank 10301k m -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⇔1≠mk9. 已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关. 设111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性.证 把题设写成矩阵形式[][]1212,,,,,,m m C βββααα=其中100111011011m m⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 经计算12,1(1)0,m m C m +⎧=+-=⎨⎩若为奇数若为偶数同上一题完全类似，有两种方法. 结论是m βββ,,,21 线性无关⇔0C ≠⇔m 为奇数时 m βββ,,,21 线性相关⇔0C =⇔m 为偶数时10. 设,m n n p A B ⨯⨯是满足AB O =的两个非零矩阵，证明A 的列向量组线性相关, 且B 的行向量组线性相关.方法1 B 的列向量都是方程组0=Ax 的解，又B 为非零矩阵，说明0=Ax 存在非零解，所以n A r <)(，从而A 的列向量组线性相关.考虑0=TT A B ，又知TB 的列向量组即B 的行向量组线性相关.方法2 由例题，()()r A r B n +≤又()0,()0r A r B >>，所以(),()r A n r B n <<，于是A 的列向量组线性相关，且B 的行向量组线性相关.11. 证明：rank rank rank ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B .方法1 把,A B 用初等行变换化为阶梯矩阵，设12,00r rU U A B ⎡⎤⎡⎤−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中12,U U 的行向量都是非零行向量. 则1122000000000000r r U U U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A O OB 显然上式右边也是阶梯形矩阵，从而1122rank rank rank rank U U U U ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O A O A B O O B 的行数的行数方法2 设12rank ,rank r r ==A B ，A 有子式10r A ≠，B 有子式20r B ≠，因此⎡⎤⎢⎥⎣⎦A O OB 有子式1122000r r r r A A B B =≠，从而12rank r r ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦A O O B又12rank rank rank r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A O A O OB O B 所以12rank rank rank r r ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B12. 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵()2≥n , 证明：,()()1,()10,()1n r A nr A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证 当n A r =)(时，0≠A ，由行列式的展开定理：E A A A =*，立即知A *是可逆矩阵，即()r A n *=.当1)(-<n A r 时，A 的所有1-n 阶子式都等于零，这时*A 是零矩阵，故0)(=*A r . 当1)(-=n A r 时，0=A ，由行列式的展开定理0==*E A A A由例题n A r A r ≤+*)()(()1r A *⇒≤再由1)(-=n A r 知A 有一个1-n 阶子式不等于零，故*A 至少有一个元素不为零，因此()0r A *>. 综上，1)(=*A r .13.设rank m n A m ⨯=, 证明存在矩阵m n B ⨯, 使m m n n m E B A =⨯⨯.方法1 由题设m A r n m =⨯)(和例题，对任意的mb R ∈，线性方程组Ax b =都有解. 特别地取b 为标准单位向量12,,,m m e e e R ∈ ，方程组m n i A x e ⨯=(1,2,,)i m =的解记为12,,,n m b b b R ∈ ，令()12,,,n m m B b b b ⨯=则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=证法 2 由题设m A r n m =⨯)(（此时m n ≤），故只用列变换就可将A 化为标准形，即存在可矩阵n Q 使得()m AQ E O =把Q 分块，()1n mQ B Q ⨯=，则m m n n m E B A =⨯⨯易知()n m r B m ⨯=14. 证明Sylvester 不等式:r()r()r()m n n p n ⨯⨯+-≤A B A B方法1 设r AB r t B r s A r p n n m ===⨯⨯)(,)(,)(由等价标准形定理知有可逆矩阵Q P ,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000sEPAQ 因此11120()()000sB E s B s PAB PAQ Q B B n s n s -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦1()()()r AB r PAB r B ==112()()B t r B r Q B r B -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦122()()()()()r B r B r AB r B r n s ≤+=+≤+-移项得r n t s ≤-+，即r()r()r()n +-≤A B AB15. 设rank m n n ⨯=P ，证明rank()rank =PA A . 证法1 记C PA =，则()()()r C r PA r A =≤再由习题13，存在矩阵M 使得MP E =. 在C PA =两边左乘M 得MC A =从而()()()r A r MC r C =≤综上，()()()r C r PA r A ==.证法2 设A 是m n ⨯阶矩阵，()r m =P ，由Sylvester 不等式()()()r A r P r A m =+-≤()()r PA r A ≤从而r()r()=PA A16. 设n 阶矩阵A 满足2A A =，证明()()r A r A E n +-= 证 由()-=A E A O 和例题r()r()n +-≤A E A又[]()r()r ()r r()n ==+-≤+-E A E A A E A综上r()r()n +-=A E A .17. 证明满秩分解定理: 设rank m n A r ⨯=, 则A 有如下分解：m r r n A H L ⨯⨯=其中rank rank H L r ==.方法1 由等价标准形定理，存在可逆矩阵m P 和n Q 使得[]1111000rr r r n m rEE A P Q P E O Q O ----⨯⨯⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令[]11,r rE H P L E O Q O --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则n r r m L H A ⨯⨯=，且显然有r L r H r ==)()(.方法2 不妨设A 的列向量组的极大无关组为12,,,r ααα ，并记矩阵[]12,,,m r r H ααα⨯=则A 的所有列向量都可由12,,,r ααα 线性表示，即存在矩阵r n L ⨯使得n r r m L H A ⨯⨯=又()()()()m r r n m r r r A r H L r H r r H r ⨯⨯⨯==≤≤⇒=同理()r L r =.18. 证明：r()r()r()r()ABC AB BC B ≥+-. 证 设rank()n k B r ⨯=，B 的满秩分解为B MN =由Sylvester 不等式rank()rank[()()]rank()rank()r ABC AM NC AM NC =≥+- rank()rank()r rank()rank()rank()AMN MNC AB BC B ≥+-=+-19. 设12,V V 都是nR 的子空间, 令{}12121122|,V V V V ααααα+==+∈∈, {}1212|V V V V ααα=∈∈ 且证明12V V +与12V V 都是nR 的子空间. 举例说明{}1212|V V V V ααα=∈∈ 或不是nR 的子空间.证 易（略）20. 证明基的扩张定理定理4.14：设1,,m αα 是nR 的一个线性无关组, m n <, 则存在n m -个向量1,,m n a α+ , 使得11,,,,,m m n αααα+ 成为n R 的一个基.证 由于m n <，故12,,,m ααα 不是nR 的基，从而至少有一个向量1m +α不能由12,,,m ααα 线性表示. 则121,,,,m m +αααα 必线性无关（否则，由唯一表示定理得出矛盾）.如果1m n +=，则证毕. 否则，如果1m n +<，同上知，存在向量2m +α使得1212,,,,,m m m ++ααααα 线性无关. 依此类推，得证. 21. 若矩阵()ij n n A a ⨯=满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑则称A 是严格对角占优矩阵. 证明严格对角占优矩阵必是可逆矩阵.证 反证. 假设A 是不可逆矩阵, 则0Ax =有非零解, 记一个非零解为12(,,,)T n x x x x = . 再记1max 0k i i nx x ≤≤=>考察0Ax =的第k 个方程11220k k kn n a x a x a x +++=即1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑两边取绝对值111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与假设矛盾. 因此A 是可逆矩阵. 22. 证明方程组TTA Ax A b =一定有解.证 只需证方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等. 由例题()T T T T Tr()r()r ,r (,)r()r()⎡⎤=≤=≤=⎣⎦A A A A A A b A A b A A故()T T T r()r ,=A A A A A b从而方程组b A Ax A T T =一定有解.23. 设=Ax 0与=Bx 0都是n 元的齐次方程组, 证明下面三个命题等价： （1）=Ax 0与=Bx 0同解； （2）rank rank rank ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A AB B ； （3）A 的行向量组与B 的行向量组等价. 证 记（I ）=Ax 0，（II ）=Bx 0，（III ）=⎧⎨=⎩Ax Bx 0（1）⇒（2） 由于（I ）的解都是（II ）的解，所以（I ）的解也都是（III ）的解. 又显然（III ）的解都是（I ）的解. 因此，（I ）与（III ）同解. 同样的道理，（II ）与（III ）也是同解的. 因此它们基础解系所含向量个数相等，即()()r r r n n n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭A AB B于是()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B（2）⇒（3） 命题（2）等价于()()()T T T T r r r ,==A B A B由定理4.3，TA 的列向组与TB 的列向量组等价. 即A 的行向量组与B 的行向量组等价.（3）⇒（1） 这是显然.24．设B A ,均是n 阶的方阵，证明)()(B r AB r =的充要条件是方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.证 （⇒）显然0=Bx 的解必是0)(=x AB 的解. 又)()(B r AB r =，0=Bx 的基础解系也是0)(=x AB 的基础解系. 所以，方程组0)(=x AB 与方程组0=Bx 同解.（⇐）易25. 若n 阶矩阵[]121,,,,n n A αααα-= 的前1n -个列向量线性相关，后1n -个列向量线性无关，12n βααα=+++ ，证明：（1）方程组Ax β=必有无穷多解；（2）若T 12(,,,)n k k k 是Ax β=的任一解，则1n k =. 证 （1）由12n βααα=+++ , 知(1,1,,1)T x = 是Ax β=的一个解. 又()1r A n =-，故Ax β=有无穷多解.（2）121,,,n ααα- 线性相关，存在不全为零的数121,,,n l l l - 使1122110n n l l l ααα--++=说明()121,,,,0Tn l l l - 是0Ax =基础解系. Ax β=的通解为()()121(1,1,,1),,,,0,,,1T TT n k l l l -+=⨯⨯26. 设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111 (II)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++100221122*********m m m nm n n m m y b y b y b y a y a y a y a y a y a证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）无解.证 记方程组（I ）为=Ax b ，则方程组（II ）可写成T T 1⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A y b 0易知TTT r r()1r()11⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭A A A b0 这样(II)无解⇔TT T TT T r r 1r()1r 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇔+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A b b b 0 ()T T r()r r()r ⎛⎫⇔=⇔=⇔ ⎪⎝⎭A A A A b b （I ）有解27. 设线性方程组(I) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++m n mn m m n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111(II) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022111221111m nm n n m m y a y a y a y a y a y a(III) 02211=+++m m y b y b y b证明：方程组（I ）有解⇔方程组（II ）的解都是方程组（III ）的解.证 记n m ij a A ⨯=)(，T n x x x x ),,,(21 =，T m y y y y ),,,(21 =，T m b b b b ),,,(21 =则三个方程可写为(I) b Ax =，(II) 0=y A T ，(III) 0=y b T因此(I)有解⇔],[)(b A r A r =⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T T Tb A r A r )((由例5.2)⇔（II ）的解都是（III ）的解28. 设齐次方程组123423412422000x x x x x cx cx x cx x +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解空间的维数是2, 求其一个基础解系.解 由dim N()r()n =-A A 知，系数矩阵的秩r()422=-=A .221212101222010110100(1)(1)r c c A c c cc c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由r()2=A ，得1c =. 原方程组的等价方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得一个基础解系为T T 12(1,1,1,0),(0,1,0,1)=-=-αα29. 设四元齐次线性方程组(I) ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+求方程组（I ）与（II ）的公共解.解法1 将方程组(II)的通解T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=212122(,2,2,)T k k k k k k =-++代入组方程组(I)得到关于21,k k 的线性方程组2121212220020k k k k k k k k -++=⎧⇔+=⎨+-=⎩ 令k k =2，则k k -=1，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(21-=-+=（R k ∈）解法2 易求方程组(I)的基础解系为T )0,1,0,0(1=α，T )1,0,1,1(2-=α其通解为3142x k k αα=+令两个方程组的通解相等T T k k x )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+=T k )0,1,0,0(3=T k )1,0,1,1(4-+得关于4321,,,k k k k 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=-+=+-0020********2142k k k k k k k k k k 解之得k k k k k k k k ===-=4321,,,因此两个方程组公共解为T T T k k k x )1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(-=-+-=30. 设n n ij a A ⨯=)(, 0≠A , 证明：n r <时, 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022111212111n rn r r n n x a x a x a x a x a x a 的一个基础解系为T jn j j j A A A ),,,(21 =ξ，（n r j ,,1 +=） 其中jk A 为A 的),(k j 元的代数余子式（n k j ,,2,1, =）.证 由行列式展开定理02211=+++jn in j i j i A a A a A a （n r j r i ,,1;,,1 +==）所以j ξ（n r j ,,1 +=）是齐次方程组的解（共r n -个）.由0≠A ⇒齐次方程组系数矩阵的秩为r ，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为r n -. 再由0≠A n A r =⇒)(*⇒*A 的r n -个行向量的转置n r ξξ,,1 +线性无关.综上可知，n r ξξ,,1 +是齐次方程组的一个基础解系.31. 设rank m n A r ⨯=, *η是非齐次方程组b Ax =的一个特解, 12,,,n r ξξξ- 是其对应的齐次方程组0=Ax 的一个基础解系. 证明{}****12,,,,n r ηηαηαηα-+++是Ax b =解集V 的一个极大无关组, 从而rank 1V n r =-+.证 记{}****12,,,,n r T ηηαηαηα-=+++显然T 中的向量都是b Ax =的解，即T V ⊂.下面证明T 线性无关. 设0)()()(12211=++++++++---ηξηξηξηr n r n r n k k k k把上式整理为0)(1212211=+++++++++----ηξξξr n r n r n r n k k k k k k k上式两边左乘A 得0)(121=+++++--b k k k k r n r n由0≠b 得0121=+++++--r n r n k k k k往上代入得02211=+++--r n r n k k k ξξξ由r n -ξξξ,,,21 线性无关性得021====-r n k k k再往上代入又得01=+-r n k . 这说明T 是线性无关的向量组.下面再证明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 由于V 中的任一向量都可写为r n r n k k k x --++++=ξξξη 2211即)()()()1(221121r n r n r n k k k k k k x ---+++++++----=ξηξηξηη这说明V 中的任一向量都可由T 线性表示. 综上，向量组T 是Ax b =解集V 的一个极大无关组，rank r()1S n =-+A .32. 已知T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n b b b b b b b b b ===βββ是方程组1111221,222112222,221122,2200 0n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系. 证明T T T 111121,2221222,212,2(,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n n a a a a a a a a a ===ααα是方程组1111221,222112222,221122,22000n n n nn n n n n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的基础解系.证 记矩阵T 1T 2T n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααA α ，T 1T 2T n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββB β则方程组（I ）和（II ）可分别写为（I ）=Ax 0 和 （II ）=Bx 0（2n∈x R ）因为12,,,n βββ 是方程组=Ax 0的基础解系，所以r ()2n n n =-=A ，从而12,,,n ααα 线性无关. 而且，12,,,n βββ 线性无关，r()n =B . 因此，方程组=Bx 0的基础解系所含解向量的个数为2r()n n -=B .由假设()T T 12,,,n =⇒=⇒=A βββO AB O BA O()T 12,,,n ⇒=⇒=BA O B αααO知12,,,n ααα 是方程组=Bx 0的n 个线性无关的解. 因此，12,,,n ααα 就是方程组=Bx 0的一个基础解系.。
线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题
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3
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
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二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
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例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律，即：
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
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2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
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1 3 1 1 2 3 10
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2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
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运算性质 1 AT A;
2 A n A;
高等代数线性空间与线性变换练习题
第六章 线性空间一 判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ) .(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ).(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ).(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).(5) 121{(,,,)|1,}nn i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).(7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ).(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).(10)设12,,,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ).(11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ与12,,,n ααα等价, 则12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ).(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ).(13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若12dim dim dim s V V V n +++=, 则12s V V V +++为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若121230,()0,V V V V V =+=121,()0,S s V V V V −+++= 则12s V V V +++为直和.( ).(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},i j j i V V ≠=∑ 则12s V V V +++为直和. ( ).(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},,i j V V i j =≠则12s V V V +++为直和. ( ).(17) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 零向量表法是唯一的, 则12s V V V +++为直和. ( ).(18) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f ααα. ( ). (19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上的n 维向量空间. ( ).(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ). 答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确(18)正确 (19)正确 (20)错误二 填空题(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间. 则a R +∈的负向量为________.(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++−=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++−=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____.(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.(9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.(10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, 它的维数等于_____.(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===4(0,1,1,1)α=−−的坐标为__________.(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________.(13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=在此基下的坐标为 _______.(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件__________________________________________, 就叫做一个同构映射.(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++ ________直和.答案(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)1a(4)(0,0) (5)2(,)a a b −− (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)2n n + (11)(1,0,1,0)− (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)− (14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F (16)不一定是三 简答题(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么?1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ;2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么? 1) 所有连续函数的集合1W ;2) 所有奇函数的集合2W ;3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域.1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈; 2) 21212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈; 3) 312{(,,,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ⨯⨯⨯矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的向量空间吗? 说明理由.(5) 下列子空间的维数是几?1) 3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R −−⊆;2)22(1,1,)[]L x x x x F x −−−⊆(6) 实数域R 上m n ⨯矩阵所成的向量空间()m n M R ⨯的维数等于多少? 写出它的一个基.(7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,,,n n n αααααααα−++++ 也是V 的一个基吗？(9) 1,2,(1)(2)x x x x −+−+是向量空间2[]F x 的一个基吗？(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==−.求4R 的一个含12,αα的基.(11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==−=−到基123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===−的过渡矩阵.(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==−−=−− 4(1,1,1,1)α=−−的坐标.(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W 与12W W +是什么? 12W W +能不能是直和? (14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=−−==−; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=−=−−(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ⎛⎫=∈=∈ ⎪⎝⎭都是实数域R 的向量空间.问V 与W 是否同构? 说明理由.(17) 设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令12,1,2,,i i i n βααα=+++=且 ()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕⊕.答案(1)1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭. 2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A −≠, 但|()|0A A +−=, 对加法不封闭.(2)1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数. 2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数.3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);(0)((0))((1))()(1),f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+=== 故3,.f g f W λ+∈(3)1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x +++=的全体解向量.2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.(5)1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)−线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)−=−+. 2) 维数是2. 因易证21,1x x −−线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x −+−+−=.(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ⨯矩阵. 那么易证ij E 这m n ⨯个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ⨯的一个基, 故()m n M R ⨯的维数是m n ⨯.(7) ,,,1,2,3,,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,其中共有12(1)n n ++++−个向量, 故此向量空间的维数(1)2n n +. (8) 解 由121112(,,,)(,,,)n n n n A ααααααααα−+++=. 得1||1(1)n A +=+−. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.(9) 解 在基21,,x x 之下有2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x −−⎛⎫ ⎪−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭. 因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x −+−+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于1100010010,12100001−=−≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.(11) 解 由123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε==推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα−=因此所求过渡矩阵为10113201001100021112210211111122A B −⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−− ⎪⎝⎭. (12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪ ⎪−−⎝⎭于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为1541124114114A −⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪−⎪ ⎝⎭. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则 121121,W W W W W W =+=. 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而12W W V +=, 但12W W +不能是直和.(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.由 11223311220,k k k t t αααββ++−−=得齐次线性方程组123121212123121231232025206702530k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +−−+=⎧⎪+−−=⎪⎨−++++=⎪⎪−++−−=⎩ 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为122232424896,,,7777k t k t k t k t =−=−=−=−因此维12()1W W =, 维12()4W W +=. 取27t =,令1267ξββ=−+便有12()W W L ξ=, 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ≅≅所以V W ≅.反之, 若V W ≅, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基 12,,,n ααα, 易证12(),(),,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等.(17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=+++, 那么12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ−−=−−−+−−−+−+因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故12n V W W W =⊕⊕⊕四 计算题(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=−=−−=−−, 生成4R 的子空间.W 试从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==−=−−=−中找出W 的生成元.(1) 解 以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.11232312311147202002421533161510011/20201001/21100111/2100000400A B −⎛⎫⎪−−−⎪=→⎪−− ⎪⎪−−−⎝⎭⎛⎫⎪−− ⎪= ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,113323412,,2βααβααβαα=+=−+=+从而134(,,).L W βββ⊆但由B 还知134,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=−=−=−−4(1,5,3,1)α=−生成的子空间的一个基和维数.(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换241106391515151533330126181111042600001302.00000213−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===−−45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==−.(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换211101010********011230311230311211015110150001300013101121010500026000001101511002−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−− ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪−−−− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪−−− ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有 1235234,253ααααααα=−=++.(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中 100010.312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里 000000311B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而 3{()|}W X M F BX XB =∈=.任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组2111313322123233333c c c c c c c c =−−+⎧⎨=−−+⎩的解. 于是我们得到如下矩阵100010000300,030,100000000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 000000010,310010001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中2100100,.200A ωωω⎛⎫−+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭(5) 解 因31ω=, 所以22311,11A A I ωω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易证2,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2,,I A A 线性表示, 故2,,I A A 为的一个基, dim 3V =.(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,221332442,,.y x x y x x y x x =−=−=−求基1234,,,ββββ.(6) 解 因1122123412343344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且111222333444100011000110011y x x y x x P y x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1122123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即 112341234(,,,)(,,,)P ββββαααα−=故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.(7) 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++也是V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,,2,1)n n −, 求ξ关于后一个基的坐标.(7) 解 基12,,,n ααα到后一个基的过渡矩阵为111101110011001P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 那么12111001101101120001211000111n n n y n n y P y −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪−−− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,,1).(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=−关于这个基的坐标.(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组 11323538222x x x x x =⎧⎪+=⎨⎪+=−⎩解得1235,2,1x x x ==−=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)−.(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=−===是4R 的一个基.求4R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.(9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为 2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则11223344,x x x x P x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得齐次线性方程组134133412341345602360020x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎪⎨−+++=⎪⎪++=⎩解得1234x x x x ===−, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=−−−即为所求.(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=−==4(6,6,1,3)α=.求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为 2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭那么11221123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里11122213334444/91/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x −−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五 证明题(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由. (1) 证明1) 显然120W W ∈, 即12W W ≠Φ, 任取1212,,W W k F αα∈∈, 易知1212112,W W k W W ααα+∈∈, 故12W W 是V 的子空间.2) 不一定. 当12W W ⊆或21W W ⊆时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时,12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈∉及2221,W W αα∈∉使1212,W W αα∈, 而1212W W αα+∉, 因为这时121122,W W αααα+∉+∉, 否则与选取矛盾.(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.(2) 证明 易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且112212,.W W W W W W ⊆+⊆+设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即12W W W +⊆, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间..(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈, 但1W α∉, 又2W β∉. 证明: 1)对任意2,k F k W βα∈+∉;2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈. (3) 证明1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+−∈矛盾, 故1)成立.2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β∉时, 若存在1212,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα−=−∈, 因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明 若1212W W W W +=, 则12W W ⊆或21W W ⊆.(4) 证明 因12W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为1212W W W W +=, 所以121W αα+∈或122W αα+∈. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=−, 故21W W ⊆; 若122W αα+∈, 令12ααγ+=, 则12αγα=−, 故12W W ⊆.(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基.(5) 证明 设12,,,n ααα是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,,n εεε, 则12(,,,)n V L εεε=, 且12,,,n ααα中每一个可由12,,,n εεε线性表示. 由替换定理知12,,,n ααα与12,,,n εεε等价, 所以V 中每一个向量可由12,,,n ααα线性表示, 又 12,,,n ααα线性无关, 故12,,,n ααα可作为V 的一个基.(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V 中存在n t −个向量与其中任一组组成V 的一个基.(6) 证明 设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,,(1,2,,),i i it i m t n ααα=≤. 令12(,,,)i i i it V L ααα=, 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,,)i V i m ξ∉=, 使121,,,,i i it αααξ线性无关, 若1t n +<,令/121(,,,,)i i i it V L αααξ=, 则/i V 也为V 的非平凡子空间, 同理存在/2,1,2,,i V V i m ξ=−=, 而且1212,,,,,i i it αααξξ线性无关, 如此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ−使得12,,,,i i it ααα12,,,n t ξξξ−线性无关, 故对每个i ,它们都是V 的一个基.(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,,n ααα的秩为r , 使得11220n n k k k ααα+++=全体n 维向量12(,,,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的n r −维子空间.(7) 证明 显然12dim (,,,)n L r ααα=, 今设每个i α在12(,,,)n L ααα的某个基下的坐标为12[]i i i ir a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =那么由11220n n k k k ααα+++=可得1122[][][]0n n k k k ααα+++=.它决定了一个含n 个未知量12,,,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵12([],[],,[])n ααα的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r −.(8) 设12,,,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()()n f x x a x a x a =−−−. 证明多(8) 证明 因1dim []n F x n −=, 所以只需证12,,n f f f 线性无关. 设有12,,,n k k k F ∈,使1220n n k f k f k f +++= (*)由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而0,(1,2,)i k i n ==故12,,n f f f 线性无关, 为1[]n F x −的一个基.(9) 设W 是n R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说, 或者120n a a a ====, 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =(9) 证明 由W 非零, 我们总可以取12(,,,)n b b b W β=∈, 且0β≠, 那么每个0i b ≠且β线性无关. 今对任意12(,,,)n a a a W α=∈, 若0α=当然α可由β线性表示; 若0α≠而11a W b αβ−∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11ab αβ=. 故β可作为W 的一个基,且dim 1.W =(10) 证明: 22,,1x x x x x +−+是2[]F x 的一个基, 并求2273x x ++关于这个基的坐标.(10) 证明: 2dim []3,F x =22,,1x x x x x +−+由基21,,x x 表示的演化矩阵为 001111110A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭但A 可逆, 故22,,1x x x x x +−+是2[]F x 的一个基.2273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)−,因为13371.23A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证:11231213(())()()W W W W W W W W +=+.(11) 证明: 任意1123(())W W W W α∈+, 则1W α∈, 且123()W W W α∈+, 因此1311233,,W W W ααααα=+∈∈, 但1W α∈, 知313W W α∈, 故 1213()()W W W W α∈+.反之, 任意1213()()W W W W β∈+, 12112213,,W W W W βββββ=+∈∈, 则1W β∈, 且123()W W W β∈+, 故1123(())W W W W β∈+.(12) 设12,,,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W +++为直和.证明:{0},,,1,2,,ij W W i j i j s =≠=.(12) 证明: 由12s W W W +++为直和, 有(){0},,,1,2,,ij i jW W i j i j s ≠=≠=∑, 而(){0},,,1,2,,i j ij i jW W W W i j i j s ≠⊆=≠=∑. 故{0},,,1,2,,i j W W i j i j s =≠=.(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x +++=与12n x x x ===的解空间.证明: 12n F W W =+.(13) 证明 因120n x x x +++=的解空间的维数为1n −, 且一个基为12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),αα=−=−1,(1,0,,0,1)n α−=−, 又12n x x x ===即方程组12231000n n x x x x x x −−=⎧⎪−=⎪⎨⎪⎪−=⎩的系数矩阵的秩为1n −, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,,1)β=, 但121,,,n αααβ−线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故12n F W W =+.(14) 证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和. (14) 证明: 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα都是一维子空间.显然 12()()()n V L L L ααα=+++于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n −维子空间的交.(15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,,s ααα为W 的一个基, 将其扩充为V 的一个基12,,,s ααα1,,,s n αα+, 那么令12111(,,,,,,,,,)i s s s i s i n W L ααααααα++−++=于是这些,1,2,i W i n s =−, 均为1n −维子空间, 且12n s W W W W −=.(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空间.证明: 1()f V 是W 的一个子空间.(16) 证明: 因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意//1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是//1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W的一个子空间.(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.(17) 证明: 记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ⊂, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x .定义:[];F x V σ()()f x xf x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意(),()f x g x ∈[],,,F x a b F ∈(()())(()())()()(())(())af x bg x x af x bg x axf x bxg x a f x b g x σσσ+=+=+=+故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ≅.(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=,证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ≅.(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()()()h x s x k x s x σ易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ≅.(19) 证明 实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法: a b ab ⊕=, 与纯量乘法: kk a a =构成R 上的向量空间同构.(19) 证明: 定义:(1)x xa a σ>显然σ是R 到R +的映射.1),x y R ∈, 若x y ≠, 则x y a a ≠, 所以σ为单射;任意b R +∈, 因log ,log ba b a b a R =∈, 则(log )ba b σ=, 即σ为满射.从而σ为双射.2) 任,,()()()x y x y x y x y R x y a a a a a x y σσσ+∈+===⊕=⊕. 3) 任,()()()kx x k x k R kx a a k a k x σσ∈====,于是σ是R 到R +的同构映射. 故R R +≅.(20) 设V 是数域F 上无限序列12(,,)a a 的集合, 其中i a F ∈, 并且只有有限i a 不是零.V 的加法及F 中的数与V 中元的纯量乘法同n F , 则V 构成F 上的向量空间. 证明: V 与[]F x 同构.(20) 证明: 取[]F x 的一个基21,,,x x , 则[]F x 中任一多项式01()n n f x a a x a x =+++关于这个基有唯一确定的坐标01(,,,,0,)n a a a V ∈.定义:()f x σ01(,,,,0,)n a a a则σ是[]F x 到V 的一个同构映射, 故[]F x V ≅.线性变换一 判断题(1) 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=−, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ). (2) 在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( ). (3) 取定()n A M F ∈, 对任意的n 阶矩阵()n X M F ∈, 定义()X AX XA σ=−, 则σ是()n M F 的一个线性变换. ( ).(4) σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα线性相关, 那么12(),(),,()m σασασα也线性相关. ( ).(5) 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). (6) 在向量空间3R 中, 已知线性变换1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++=则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ−=−+−. ( ).(7) 对向量空间V 的任意线性变换σ, 有线性变换τ, 使(στιι=是单位变换). ( ). (8) 向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=−;12122(,)(,)x x x x x τ=−则212212()(,)(,).x x x x x στσ−=−+(9) 在实数域F 上的n 维向量空间V 中取定一组基后, V 的全体线性变换和F 上全体n阶矩阵之间就建立了一个一一对应. ( ).(10)在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵.( ).(11) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). (12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). (13) 域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间.( ).(14) 除零变换外, 还存在向量空间V 的线性变换, 能使V 的任意子空间对该变换不变.( )(15) 向量空间V 的线性变换1σ的不变子空间W , 也是V 的另一线性变换2σ的不变子空间, 这里21σσ≠. ( ).(16) 向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). (17) 线性变换σ的特征向量之和, 仍为σ的特征向量. ( ). (18) 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). (19) 数域F 中任意数λ都是F 上的向量空间V 的零变换的特征根. ( ). (20) σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ).参考答案：(1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 (5)正确 (6)正确 (7)错误 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)错误 (16)正确 (17)错误 (18)正确 (19)错误 (20)错误二 填空题(1) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是单射的充要条件是____________.(2) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是满射的充要条件是____________.(3) σ是向量空间V 的线性变换, 若满足________________, 则称σ是可逆变换. (4) 向量空间V 的任意线性变换σ, 都有(0)_______,()______.σσα=−=(5)σ是n 维向量空间V 的一个位似变换: (),k σξξ=那么σ关于V 的__________基的矩阵是kI .(6) 在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是 111213212223313233a a a A a a a aa a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.(7) 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=−+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.(8)设12,σσ分别是向量空间2R 中绕原点逆时针旋转12,θθ角的线性变换, 那么21σσ关于基12(1,0),(0,1)αα==的矩阵是___________________.(9) 对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说______________不变子空间. (10)2维平面上的旋转变换σ,_________非平凡的不变子空间.(11) 若线性变换σ与τ是_____________, 则τ的象与核都是σ的不变子空间. (12) 相似矩阵有_____的特征多项式.(13)0()0I A X λ−=的___________都是A 的属于0λ的特征向量. (14) A 与对角阵相似, ()[]f x F x ∈, 则()f A 必与某一______________. (15) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ, 则σ可对角化的充要条件是_____________.(16) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, 如果V 的任意一维子空间都是σ的不变子空间, 那么σ可以_____________.(17) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, σ可对角化的充要条件是 1)σ的特征多项式的根都在F 内; 2)_______________________________;(18) 设()n A M F ∈, 如果A 的特征多项式在F 内有______________, 那么A 可对角化. (19) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, λ是σ的一个特征根, 则dim ____V λλ的重数.(20) 矩阵327024005⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征根是______________.答案(1)ker(){0}σ= (2)Im()W σ= (3)存在V 的线性变换τ, 使σττσι== (4)0,α−(5)任意 (6)131112112321222133313231222a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭ (7)210011100−⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(8)12121212cos()sin()sin()cos()θθθθθθθθ+−+⎛⎫⎪++⎝⎭ (9)每个子空间都是 (10)没有 (11)可交换的(12)相同 (13)非零解向量 (14)对角阵相似 (15)1dim i ti V n λ==∑ (16)对角化 (17)对于σ的特征多项式的每一个根λ, 特征子空间V λ的维数等于λ的重数 (18)n 个不同的 单根 (19)≤ (20)3, 2, 5三. 单选题：1．向量空间()n V F 的零变换θ的象及核的维数分别是（ ）。
线性空间习题
6．平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义 的数量乘法：k⊗ =0 α 解：不能构成。因为 1⊗α =0 ，不满足规则5。
7．集合与加法同6）数量乘法定义为：k ⊗α =α 解：不能构成。因为
( k + l ) ⊗α = α
k ⊗α + l ⊗α = α +α = 2α
∴( k + l ) ⊗α ≠ k ⊗α + l ⊗α
ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ), = ( 0 ,1 , 0 , 0 ), = ( 0 , 0 ,1 , 0 ), = ( 0 , 0 , 0 ,1 ), η 1 = ( 2 ,1 , − 1 ,1 ), η = ( 0 , 3 ,1 , 0 ), 2 η 1 = ( 5 , 3 , 2 ,1 ), η 1 = ( 6 , 6 ,1 , 3 ),
P 10． n×n 中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的 数域P上的空间 解： ⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ 0 ⋅⋅ ⋅ 1 ⋅ ⋅⋅ i) 令
Fij = ⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ 1 ⋅⋅ ⋅ 0 ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
aij = aji =1 ，其余都是零，
0 0 ... 0 2 0 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... n
的维数和一组基。 时，求 C ( A) 的维数和一组基。
证：1)全体与A可交换的矩阵的集合记为C ( A),
B , D ∈ C ( A)
A( B + D ) = AB + AD = BA + DA = ( B + D ) A,
2
线性空间练习题.docx
线性空间练习题、单项选择题R3中下列子集( )不是R3的子空间.A. w1={( x1,x2, x3) R I X2= 1} B . W2= {( x1, X2, X3)R | X3= 0}3 S 3C. W3 ={( X1,X2,X3) RlX I=X2= X3} D . W4 ={( X i,X2,X3) RlX1 = X2「X3}二、判断题1、设V=P nXn则W={A∣A^ P n tIAl = 0}是V 的子空间.2、已知V = {(a bi,c di)∣a,b,c,d ∙R}为R上的线性空间，则维(V)= 2.3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组〉1「2 J S线性表出，则维(W)= S4、设W是线性空间V的子空间，如果一〉，「V, W且I-W,则必有G ÷β2W.三、1 .已知W1={ a b| a,b^ R} , W2={ a1 0| a1,c1E R},是R2x2的两个子空间，求I0 0.丿£0丿W1^ W2,W1W2的一个基和维数.2•已知G关于基{此』2,%}的坐标为(1 , 0, 2),由基{%口2,6}到基{忙見见} "3 2 4、的过渡矩阵为1 0 0 ,求G关于基{S的坐标.Q 1 0」四、设P n是数域P上的n维列向量空间，AP nn且A'=A,记W1 ={AX I X E P n}, W2 ={X X € P n, AX =0},1. 证明：W1,W2都是P n的子空间；2. 证明：P n=W I 二W2.线性变换练习题一、填空题1 •设；1, ；2；3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换匚在这组基下的矩阵是A =(a ij)3通，α=x1& +X2E2+ X3s3^V,则Cr 在基ε3^2^1下的矩阵B = _________,而可逆矩阵T = 满足B=T ^1AT 在基每，名2, %下的坐标为.2. 设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间P n的线性变换；「：' ■ P n,1 1 n则Cr (0) = ________ , dim (er —(0) )= ____ , dim(o^(P) )= ______ .3. _____________________________________________ 复矩阵A=(a j)n>n的全体特征值的和等于 ,而全体特征值的积等于______________________________________________ .4•设a是n维线性空间V的线性变换，且∙σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为 _________ 变换.5. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为________ 维线性空间，它与__________同构•6. ________________________________________________________________________________________设n阶矩阵A的全体特征值为W',打，f (X)为任一多项式，则f (A)的全体特征值为 _____________________________ .二、判断题1 .设;「是线性空间V的一个线性变换，>1,>2,…，∙ V线性无关，则向量组匚(-：*),；「(：• 2),…，匚CS)也线性无关•( )2 .设二为n维线性空间V的一个线性变换，则由C的秩+ ；「的零度=n ,有V= = (V)二二j (0).( )3. 在线性空间R2中定义变换σ(χ, y) = (1 ∙x, y),则二是R2的一个线性变换. ( )4. 若二为n维线性空间V的一个线性变换，则二是可逆的当且仅当 C J (0) ={ 0}. ( )5. 设二为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若二(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空间. ( )三、计算与证明⅛ 0 1 A1.设A= 1 1 a ,问a为何值时，矩阵A可对角化？<1 0 0」并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX二上..2 •在线性空间P n中定义变换二:C (Xι,X2,, X n)=(O, X2,, X n)(1)证明：；「是P n的线性变换.(2)求二(P n)与二JL(0).(3)二(P n) = J(O)=P n.3•若A是一个n阶矩阵，且A=A ,则A的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1•设V是一个欧氏空间，CE V ,若对任意口W V都有(Jn)=O y C= ______________ •2•在欧氏空间R3中，向量α =(1,0,_1) , β =(0,1,0),那么(α , B ) = _____________ ，I cf= __________ 3•在n维欧氏空间V中，向量•在标准正交基1, 2,…，n下的坐标是(x1,x2,…，x n),那么(,i)= 巴=_ > _ •4. _____________________________________________________ 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是•5•已知A是一个正交矩阵，那么A JL = __________ , A = __________ •二、判断题仁在实线性空间R2中，对于向量I=(X l,X2)「=(y1,y2),定义C)=(X』* X2y2 1),那么R2构成欧氏空间。
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2)
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2)一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u rC ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =u u u r r ，∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ．故选B ．2．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．如图，已知向量a r ，b r ，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r， 即a c b +=-r r r 故选D ．4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =r rB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =r rD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a br r ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．6．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r r ，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r rr ； C ．()12BO b a =-+u u u r r r； D ．()12BO b a =-u u u r r r ． 【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选7．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，则2132m m -r r 等于（ ）．A ．AO u u u rB ．BO uuu rC ．CO uuu rD ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴122312AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r，故A 不符合题意；211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r，故B 符合题意；122312CO AC m m ==---u u u r u u uu u r r u u r ，故C 不符合题意；121232DO BD m m =-=-u u u r u u ur u u r u u r ，故D 不符合题意.故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u rr，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r rD ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．9．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C【解析】 【分析】根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.10．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r； B ．2()22a b a b --=-+r r r r； C ．()0a a +-=r r； D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A. (),a b b a A ---vv v v ＝所以错误；B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.11．若a v ＝2e v，向量b v和向量a v方向相反，且|b v|＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v＝﹣4e v，由此对选项进行判断． 【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v|＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v＝-4e v推知|b v|＝4，故本选项不符合题意． C 、依题意得：b v＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v ＝-12b v，故本选项不符合题意．故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．12．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．13．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u r B ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC=-u u u r u u u r u u u rD ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.15．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r； C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．17．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．||2||a b =r r ；B ．a r ∥b r ；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r ．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.18．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.20．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.。
线性规划练习题
线性规划练习题1．已知实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．2．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知，满足约束条件，若的最大值为，则（）A．B．C．1D．24．设满足约束条件,若目标函数的最大值为，则的最小值为（）A．B．C．D．45．当实数满不等式组：时，xx有成立，则实数的取值范围是________．6．设实数，满足则的取值范围是．7．设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为_________．8．已知方程，其一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围为．9．已知实数,满足条件则的最小值为.10．若满足条件，则z = x+3y的最大值为．11．如图，直三棱柱的底面是边长为正三角形，，为的中点．PMB1C1A CBA1（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．12．如图，在三棱锥P－ABCxx，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC ＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、ACxx点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；试卷第2页，总4页线性规划练习题（3）求二面角A －PB －E 的大小．13．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（1）判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由；（2）若PA=2，求二面角E ﹣AF ﹣C 的xx 值．14．如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点． FDC PE（Ⅰ）求证：∥；（Ⅱ）若，且平面平面，试证明平面；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段上是否存在点,使得平面?（请说明理由）15．如图，在长方体中，面与棱分别交于点，且均为中点．（1）求证：面；（2）xx的中点．上是否存在动点，使得面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．试卷第4页，总4页线性规划练习题参考答案1．C【解析】试题分析：，显然表示点与点连线的斜率．作出题设不等式表示的平面区域，如图内部（含边界），是内任意一点，显然当与重合时，最小，，即的最小值为．故选C．考点：简单线性规划的非线性应用．2．C【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
第六章线性空间综合练习题及解答
第六章 线性空间（综合练习题）一．填空题1．在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3≠k ．2．设V 是有限维线性空间，21,V V 是V 的两个子空间，则它们的维数满足等式)dim (dim dim )dim (212121V V V V V V -+=+．3．线性子空间中最小的子空间是 _____{0}__ _ ． 4．生成子空间),,,(21r L ααα 的维数等于 ),,,(21r R ααα ．5．(){}123123,,,0i W a a a a F a a a =∈++=,则dim W =__2__ ．基是 )1,0,1(,)0,1,1(-- 6．设W 是齐次线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间，则维（W ）= ___4_____ ，W 的一组基是)1,0,0,0,1(,)0,1,0,0,1(,)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(----．7．设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则⇔≅W V W V dim dim =． 8．()()()()()()121,1,0,1,0,1,0,1,1,1,2,3W L W L ==，则()=+21dim W W ____3____． 9．设1W ．2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()12dim W W =___0____． 10． 数域P 上任一n 维线性空间V 都与线性空间____n P ____同构. 11．下列集合有____3____个是n R 的子空间； 11212{(,,)|,0}n i n W x x x x R x x x α==∈+++=； 21212{(,,)|,}n i n W x x x x R x x x α==∈===；3{(,,,,,,)|,}W a b a b a b a b R α==∈； 412{(,,)|}n i W x x x x α==为整数．二．选择题1．线性空间V 是零线性空间，则V 中所含向量的个数是（ B ）． A ．0个； B ． 1 个 ； C ．n 个； D ．无穷多个． 2．设V 是线性空间，V ∈γβα,,，则一定有（ B ）．A ．βαγ+=；B ．)(γαβγβα++=++ ；C ．γββα+=+；D ．γβα,,线性无关． 3．12,,,s ααα线性无关的充要条件是( C )． A ．12,,,s ααα均非零向量； B ．12,,,s ααα的任两个向量分量成比例；C ．12,,,s ααα中任一向量不能由其余的向量线表示；D ．12,,,s ααα中有一部分线性无关．4．设1V ，2V 是数域P 上n 维线性空间V 的两个非零子空间，则 12dim dim V V +=（ B ）． A ．1212dim()dim()V V V V +-⋂； B ．1212dim()dim()V V V V ++⋂ ； C ．12dim()V V +； D ． 0．5．下列关于子空间21V V 与是直和的描述中不正确的是（ C ）． A ．任一向量21ααα+分解式是唯一的； B ．零元素表示法唯一 ； C ．φ=21V V ； D ．2121dim dim )dim (V V V V +=+． 三．计算题1、在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。
线性变换练习习题
第四章线性变换习题精解1．鉴别下边所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间 V 中，A, 此中V 是一固定的向量；2）在线性空间 V 中，A此中V 是一固定的向量；3）在P3中，A ( x1, x2, x3)( x12 , x2x3 , x32 ) ；4）在P3中，A( x1 , x2 , x3 )(2x1x2 , x2x 3 , x1 ) ；5）在 P[ x ] 中，A f (x) f (x 1)6）在 P[ x ] 中，A f (x) f (x),此中x0P 是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A8）在 P n n中，A X=BXC此中 B,C Pn n是两个固定的矩阵 .解 1)当0时,是;当0时,不是.2) 当0时,是;当0时,不是.3) 不是 . 比如当(1,0,0) ,k 2 时, k A()( 2,0,0) , A (k ) (4,0,0) , A(k)k A() .4) 是 . 因取( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 , y3 ) ,有A() = A ( x1y1 , x2y2 , x3 y3 )=( 2x1 2 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )=( 2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2 y3 , y1 )= A+ AA(k) A ( kx1, kx2,kx3)(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )=k A( )故 A是P3上的线性变换.5)是.因任取f (x)P[ x], g( x) u( x) f ( x)g( x) 则A( f (x)g( x)) =A u( x) = u( x 再令 v( x) kf (x) 则A(kf ( x))故 A 为P[ x]上的线性变换.6) 是 . 因任取f ( x) P[ x], g(x)P[ x] ,并令1) = f (x 1) g( xA (v( x))v( xP[ x] 则.1) =A f (x) + A ( g(x))1) kf (x 1) k A( f (x))A( f (x)g( x)) =f ( x0)g (x0)A( f (x))A( g(x) ) A( kf( x))kf ( x0)k A( f (x))7) 不是. 比如取a=1,k=I,则A(ka)=-i , k(A a)=i,A( ka)k A(a)8) 是 . 因任取二矩阵 X , Y P n n , 则A X Y) B(XY)C BXC BYC A XA(+A X)=B(kX ) k( BXC )k A X(k故 A 是 P n n 上的线性变换 .2. 在几何空间中 , 取直角坐标系 oxy, 以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换,, 以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转90 度的变换 , 以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90度的变换 . 证明 :A 4 =B 4 =C 4 =E,AB BA,A 2 B 2 =B 2 A 2并查验 ( AB ) 2 =A 2 B 2 能否建立 .解 任取一直量 a=(x,y,z), 则有1)由于A a=(x,-z,y), A 2 a=(x,-y,-z) A 3 a=(x,z,-y),A 4 a=(x,y,z)a=(z,y,-x),2a=(-x,y,-z)BBB 3 a=(-z,y,x), B 4 a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2 a=(-x,-y,z) C 3 a=(y,-x,z),C 4 a=(x,y,z)所以A 4 =B 4 =C 4 =E2) 由于AB (a)= A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)= B (x,-z,y)=(y,-z,-x)所以AB BA3) 由于A 2B 2 (a)= A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)B 2 A 2 (a)= B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A 2B 2 =B 2 A 23)由于( AB) 2 (a)=( AB)( AB(a))_= AB(z,x,y)=(y,z,x) 22A B (a)=(-x,-y,z)( ) 22B 2AB A3. 在 P[x] 中, A f ( x) f ' ( x), B f (x) xf (x)证明 : AB-BA=E证任取 f ( x) P[x],则有( AB-BA) f ( x) =AB f ( x)-BA f ( x)=A( xf (x)) - B( f'( x)) = f ( x)xf ; ( x) - xf ' ( x) = f ( x)所以AB-BA=E4.设 A,B 是线性变换,假如 AB-BA=E,证明:A k B-BA k = k A k 1(k>1)证采纳数学概括法.当 k=2 时A 22222 B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=A结论建立 .概括假定k m 时结论建立,即 A m B-BA m=m A m 1 . 则当k m 1时有,A m 1 B-BA m 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BA m 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A m 1 A= ( m1) A m即 k m 1 时结论建立.故对全部 k 1结论建立.5. 证明 : 可逆变换是双射 .证设 A 是可逆变换, 它的逆变换为 A 1 .若a b , 则必有A a A b,否则设Aa=A b,两边左乘A 1 ,有a=b, 这与条件矛盾.其次 , 对任一直量b, 必有 a 使A a=b, 事实上, 令 A 1 b=a即可.所以 , A是一个双射.6. 设 1 , 2 ,,n 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
最新第七章线性变换练习题参考答案整理
第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换在这组基下的矩阵是33112233(),,ij Aa xxxV 则在基321,,下的矩阵B ＝1,T AT 而可逆矩阵T ＝0010101满足1,B TAT 在基123,,下的坐标为123x A x x . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间nP 的线性变换:(),n A P ,则1(0)＝|0,nAP，1dim(0)＝n r ，dim()nP ＝r .3．复矩阵()ij n n Aa 的全体特征值的和等于1nii i a ，而全体特征值的积等于||A .4．设是n 维线性空间V 的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P 同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()nf f f .7．设2231A，则向量11是A 的属于特征值 4的特征向量．8．若1001011A与1010101k Bk相似，则k = -1/2 ．9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23f ，则||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A 2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A ),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为10203321.二、判断题1．设是线性空间V 的一个线性变换，12,,,sV 线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （错）2．设为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝n ，有1()(0).VV （错）未必有1()(0).VV 3．在线性空间2R 中定义变换：(,)(1,)x y x y ，则是2R 的一个线性变换.（错）零向量的像是（1,0）4．若为n 维线性空间V 的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝.（正确）是可逆的当且仅当是双射.5．设为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W 是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W 为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||A ．（正确）7．已知1PBP A，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（正确）1P APB ，P 的列向量为A 的特征向量.8．为V 上线性变换，n,,,21为V 的基，则)(,),(),(21n线性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.9．为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则})(|{)(1是V 的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T A T 成对角形.133313331A解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331EA.矩阵A 的特征值为12,37,2.当17时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'.当2,32时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'.矩阵A有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵11111011T有1722T AT2．在线性空间n P 中定义变换：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x （1）证明：是nP 的线性变换.（2）求()nP 与1(0).（1）证明：112222(,,,)(0,,,)nn n n x y x y x y x y x y 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x .所以是n P 的线性变换.（2）2()(0,,,)|,2,,.n n iP x x x P i n .111(0)(,0,,0)|.x x P 3．设aA33242111与bB00020002相似．（1）求b a,的值；（2）求可逆矩阵，使B APP 1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a ba 所以5,6ab.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335EA 特征值为1,232,6.当1,22时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'.当16时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'.因此可取矩阵011102113P，有B AP P 1.4．令nn P 表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ，对任意的nn PX，定义()''X A XAB XB .证明是nn P上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X YP k P ，有()'()'()''''()(),XY A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YBX Y ()'()'()('')()kX A kX A B kX Bk A XAB XB k X .因此是n n P 上的一个线性变换.。
线性代数向量空间的练习题
线性代数向量空间的练习题一、单项选择题1．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组是由A 的列向量构成的向量组，向量组是由的列向量构成的向量组，则必有A．若线性无关，则线性无关 B．若线性无关，则线性相关C．若线性无关，则线性无关 D．若线性无关，则线性相关2．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为A．1 B．2C．D．43．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则A.?1，?3线性无关B.?1，?2，?3，?4线性无关C.?1，?2，?3，?4线性相关D.?2，?3，?4线性相关 5．向量组?1,?2,?,?s的秩不为零的充分必要条件是 A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组C．?1,?2,?,?s全是非零向量 B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=.如果|A|=2，则|-2A|=A.-3B.-4C.D.327.设α1，α2，α3，α是三维实向量，则A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=，α2=，α3=的秩为A.1B.2C.D.49.下列命题中错误的是．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则A.α1必能由α2,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示二、填空题1．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________.2.设向量组?1=,?2=, ?3=线性相关，则数a=________.3.向量组?1?,?2?,?3?的秩为_____________。
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、单项选择题R 3中下列子集()不是R 3的子空间.C. w 3 {(X 1,X 2,X 3) R 3 | X 1X 2X 3)D二、判断题P nn则W {A A P nn,A 0)是V 的子空间.2、已知V {(a bi,c di) a,b,c,d R)为R 上的线性空间，则维(V) =2.3、 设线性空间 V 的子空间 W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组i , 2,|||, s 线性表出，则维(W)= S4、 设W 是线性空间V 的子空间，如果， V, W 且 W,则必有W.三、I .已知W { a b |a,b R) , W 2 ( a i 0 |a i ,^ R),是R 2 2的两个子空间，求0 0G 0W i W 2,W i W 2的一个基和维数.关于基{ i , 2, 3)的坐标为(i, 0, 2),由基{ i , 2, 3)到基{ i , 2, 3) 的过渡矩阵为i 0 0 ,求 关于基{ i , 2, 3)的坐标.2 i 0四、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，A p n n 且A 2 A,记 W i {AX X P n ), W 2 (X X P n , AX 0),1. 证明：W i ,W 2都是P n 的子空间;2.证明：P n W i W 2.线性变换练习题、填空题线性空间练习题A. w i ((X i ，X 2, X 3) R 3|x 21)3 .w {(X i ,X 2,X 3) R |X 3 0)W 4 {( X i ,X 2,X 3) R 3 | X i X 2 X 3)i.设V 2.已知1设1, 2, 3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换在这组基下的矩阵是.A(a j)3 3, x1 1 x2 2 x3 3 V，贝U 在基3,2,1下的矩阵B = ________ , 而可逆矩阵T = _满足B T 1AT, 在基1, 2, 3下的坐标为____________________________________________________ .2. 设A为数域P上秩为r 的n阶矩阵，定义n维列向量空间P n的线性变换：()A , P n,则1(0) = ， dim 1(0) = ， dim (P n) =.3. 复矩阵A (a j)nn的全体特征值的和等于，而全体特征值的积等于 .4. 设是n维线性空间V的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为变换.5. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间，它与同构.6. 设n阶矩阵A的全体特征值为1, 2,川，n , f (x)为任一多项式，则f (A)的全体特征值为 .二、判断题1. 设是线性空间V的一个线性变换，1, 2,|||, s V线性无关，则向量组(1), ( 2),|||, ( s)也线性无关. ( )2. 设为n维线性空间V的一个线性变换，则由的秩+ 的零度=n ,有V (V) 1(0).( )3. 在线性空间R2中定义变换:(x, y) (1 x, y)，则是R2的一个线性变换. ( )4. 若为n维线性空间V的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0) = {0}. ( )5. 设为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空间. ( )三、计算与证明0 0 11.设A 11a,问a为何值时，矩阵A可对角化？1 0 0并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX=..2.在线性空间P n中定义变换(X i,X2,, X n) (0, X2,, X n)（1）证明：是P n的线性变换.（2）求（P n）与1（0）.（3）（P n）1（0） P n.3.若A是一个n阶矩阵，且A2A,贝U A的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1. 设V是一个欧氏空间，V ,若对任意V都有（，）0,贝u =.2. 在欧氏空间R3中，向量（1,0, 1） , （0,1,0），那么（，）=, =.3. 在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基1, 2,|||, n下的坐标是（X1,X2，川，X n）,那么（，i）=, =.4. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 .5. 已知A是一个正交矩阵，那么A1 =, A2 =.二、判断题1.在实线性空间R2中，对于向量（为，乂2）, （以心），定义（,）（X^y1 X2Y2 1）,那么R2构成欧氏空间。
（）2.在n维实线性空间R n中，对于向量（a1,a2,|||,a n）, （加，0,川，b n）,定义（，）角加，则R n构成欧氏空间。
（）3.1, 2,|||, n是n维欧氏空间V的一组基，（X1,X2，川，X n）,（y1,y2,川，y n）与分别是V中的向量，在这组基下的坐标，则（，）X1 y1 X2y2 III X n y n。
（）4.对于欧氏空间V中任意向量，j1是V中一个单位向量。
（）5.1, 2,|||, n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A a ij nn,其中a ij （i, j），则A是正定矩阵。
（）6.设V是一个欧氏空间，，V ,并且，则与正交。
（）7.设V是一个欧氏空间，， V,并且（，）0,贝U ,线性无关。
（）8.若，都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。
() 三、计算题3i (2, 1,0) , 2 (2,0,1)扩充成R中的一组标准正交基.2.设A为半正定矩阵，且A 0,证明：A E 0.3.证明：n维欧氏空间V与V T同构的充要条件是，存在双射：V V ,并且， V有小测验九一、填空题1、已知三维欧式空间V中有一组基1, 2, 3 ,其度量矩阵为A2 13 2 3的长度为____—_____ 02、设R2中的内积为(：，) A ,A 2 1 (10)，贝U , 在此内积之下的度量矩阵1 2 2 1为。
3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为4、在欧氏空间R4中，已知(2,1,3,2), (1,2, 2,1),则| | (内积按通常的定义)5、设R n为欧氏空间，则有柯西 -施瓦茨不等式：二、已知二次型2 2 2、f(X1,X2,X3) t(X1 X2 X3) 2X1X2 2X1X3 2X2X3(1) t为何值时二次型f是正定的？(2) 取t 1 ,用正交线性替换化二次型f为标准形、设1, 2, 3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为1 1 2110120 ，则向量003T，使TAT成对解角形。
220A 212020四、证明题1.设A , B为同级正交矩阵, 且A0.与的夹角为2.求正交矩阵1 2 12 1 6(1) 令 1 2，证明是一个单位向量；(2) 若 1 2*3与正交，求k四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：A 2( , ) , V.证明：(1) A为第二类的正交变换(称为镜面反射) 。
(2) V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.五、已知是对称变换，证明：的不变子空间W的正交补W 也是的不变子空间.小测验(六)一、填空题1、已知V a b c 0 a,b,c R是R3 3的一个子空间，则维(V)0 c b 0=, V的■组基是.2、在P4中，若 1 (1,2,0,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,k, 1,1), 4 (0,1, k,1)线性无关，M k 的取值范围是.3、已知a是数域P中的一个固定的数，而W {(a,X1,川X n)X i P,i 1,2,|||,n}是P n+1的一个子空间，M a=，而维(W) =.4、设P n是数域P上的n维列向量空间，A P n「且A2 A,记W1 {AX|X P}, W2{X X P n, AX 0},则W1、W2都是P n的子空间，且W1 + W2=, W J]W2=.5、设1, 2, 3是线性空间V的一组基，X1 1 X2 2 *3 3 ,则由基1, 2, 3到基2, 3, 1的过渡矩阵T = ，而在基3, 2, 1下的坐标是 ..................................、计算与证明1 12 1 1 1 ,B i, B 21113 71) 求L(A 1,A 2)R L (B 1,B 2)的维数与一组基. 2) 求L(A 「A 2)L(B 「B 2)的维数与一组基.2、在线性空间P 4中，求由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵，并求 (1,4,2,3)在基1, 2, 3, 4下的坐标，其中1(1,0,0,0), 2(4,1,0,0), 3( 3,2,1,0), 4 (2, 3,2,1) 1 (1,1,8, 3),2 (0,3,7, 2),3(1,1,6, 2),4( 1,4, 1, 1).3、1) 证明：在P n n 与A 可交换的矩阵的全体 W 是一个子空间； 2) 求W 的维数和一组基；3) 写出W 中矩阵的一般表达式。
4、 证明：x 2 x, x 2 x, x 1是P[x]3的一组基，并求2x 2 7x 3在此基下的坐标5、 V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令W 1 {f(x) f(x) V, f(x) f( x)}, W 2 {f(x) f(x) V, f (x) f ( x)}证明：W I 、W 2皆为V 的子空间，且V W 1 W 2.6、设V I ,V 2是V 的任意两个非平凡子空间，证明： V 1U V 2 V1、 在线性空间P 2X 2中,A i。