直线与平面垂直的判定经典例题

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

一、基础达标

1．下列说法中正确的个数是()

①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.

②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；

④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；

⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 B

解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B. 2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个

C．有一个或无数个D．不存在

答案 B

解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45°

C．60°D．120°

答案 C

解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α

内的射影，则BC＝1

2AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与

平面α所成的角．

4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交

答案 C

解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.

5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心

解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．

6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．

答案 4 解析

⎭

⎬⎫

P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒

⎭

⎬⎫

P A ⊥BC

AC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC . 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D . 证明 如图，连接AC ，所以AC ⊥BD .

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，

∴BD⊥平面A1AC.

∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.

同理可证BC1⊥A1C.

又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，

∴A1C⊥平面BC1D.

二、能力提升

8．(2014·青岛高一检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()

A.

6

3 B.

26

5

C.15

5 D.

10

5

答案 D

解析如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.

又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，

∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，

∴OC1⊥平面BB1D1D.

∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．

∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．

在正方形A1B1C1D1中，

OC 1＝12A 1C 1＝1

222＋22＝ 2.

在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25

＝105.

9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________． 答案

105

解析 如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO .

由已知正方体易知EO ⊥平面ABC 1D 1，所以∠EAO 为AE 与平面ABC 1D 1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12A 1D ＝2

2，AE ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＋12＝52，sin ∠

EAO ＝EO AE ＝105.所以直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为10

5. 10.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是________．

答案 [2，＋∞)

解析 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ， 所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，P A ∩PQ ＝P ， 所以QD ⊥平面P AQ ，所以AQ ⊥QD .

①当0

②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；