2020年普通高考数学一轮复习第34讲直线与圆锥曲线的位置关系精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案

第34讲直线与圆锥曲线的位置关系

一•课标要求：

1 •通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；

2 •掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。

二.命题走向

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测2020年高考：

1 •会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；

2 •与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。

三•要点精讲

1 .点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系

2 •直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

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直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为 方程组解的个数与交点的个数是一样的。

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离•对于抛物线来说，平行于对称 轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双 曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

i 殳直线；血+By+c=o,圆ft 曲线C ：虬爲y)=0,

消去y （或消古丈）得匕 az a -bbzH-c=0, A=b 2 -4ac, a^0_

⑴相交：

(2)A<0 « 相离;

⑶A=0«相切.

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件.

3 •直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线:F(x,y)=0，它们的交点为 P i (x i ,y 1) , P 2 (x 2,y 2),

且由

F (X ，y) 0

，消去 厂ax 2+bx+c=0 (0) , △ =b 2 — 4ac 。

y kx n

则弦长公式为：

d=J (x , X 2)2 (% y 2)2=" k 2)% x ?)2 =

。

| PF |

焦点弦长：

e (点P 是圆锥曲线上的任意一点， F 是焦点，d 是P 到相应于焦

d

点F 的准线的距离，e 是离心率)。 四•典例解析

r

j\x+By + C=0

由/

琳 y ）=0

题型1：直线与椭圆的位置关系

1，过左焦点F作倾斜角为一的直线交椭圆于A、B两点, 例1 .已知椭圆:

6

9

求弦AB 的长。

解析：a=3,b=1,c=2 --：：2，则 F (-2 2 , 0)。

设A( x^yj 、B(X 2,y 2)，则x n X 2是上面方程的二实根，由违达定理，X 1 x ?

3、2 ,

3 2

――又因为A B F 都是直线|上的点,

2

所以 |AB|=」1

1

| 为 X 2

| 3 伍 1

—x

2P —

4/X 2

V 3

J 3

点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。

例2 .中心在原点，一个焦点为

F ( 0,

50 )的椭圆截直线 y 3x 2所得弦的中点横坐标

1

为丄，求椭圆的方程。

2

由题意知：| : y

1

(x 2.2)与 L .3

9

1联立消去y 得：4x 2 12,2x 15 0。 15

X 1 X 2

, X M

4

x 1 x 2 2

解析：设椭圆的标准方程为

2 2

笃每 1(a b 0)，由

a b

F 1 (0, 50 )得 a 2 b 2 50 把直线方程y 3x 2代入椭圆方程整理得：(a 2 9b 2)x 2 12『x b 2(4 a 2)

0。

12b 2

1

x 1 X 6b 2

1 X

1

X

2

2

又AB 的中点横坐标为一，

2 2

— a 9b

2

2

a 9b

2

a 2

3b 2

，与方程

2 2 2

a b

50联立可解出a

75,b 2 25

2 2

故所求椭圆的方程为： X y

1。

75 25

点坐标公式，求出中点的横坐标，再由 F (0，一 50 )知，c= •, 50 , a 2 b 2

50 ,最后

解关于a 、b 的方程组即可。

例3.直线y 2k 与曲线9k 2x 2 y 2

18k 2 x

(k R,且k 0)的公共点的个数为

(A)1 (B)2

(C)3 (D)4

设弦的两个端点为 A(X 1，yjB(X 2, y 2)，则由根与系数的关系得:

点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中