2020年普通高考数学一轮复习第34讲直线与圆锥曲线的位置关系精品学案
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系教师用书理(PDF,含解析)
( ) ( ) １＋
１ ｋ
２
｜ ｙ１ －ｙ２ ｜ ＝
１＋
１ ｋ
２
（ ｙ１ ＋ｙ２ ） ２ －４ｙ１ ｙ２ （ ｋ≠０） ．
（ ３） 当直线过抛物线的焦点时，可利用抛物线的焦点弦长公
式求解弦长．
３．圆锥曲线中的弦中点的有关结论
设 ＡＢ 为圆锥曲线的弦，点 Ｍ 为弦 ＡＢ 的中点：
标准方程
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
直；（ ２） 直线过圆锥曲线的焦点．
（
２０１９
黄山一模，２０）
已知椭圆
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０） 的
左、右焦点分别为 Ｆ１ ，Ｆ２ ，离心率 ｅ ＝
１ ２
，点
Ｐ
是椭圆上的一个动
点，△ＰＦ１ Ｆ２ 面积的最大值是 ４ ３ ． （ １） 求椭圆的方程；
（２） 若 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 是椭圆上不重合的四点，ＡＣ 与 ＢＤ 相交于
点
Ｆ１
，→ＡＣ·Ｂ→Ｄ
＝
０，且
｜
→ＡＣ
｜
＋
｜
Ｂ→Ｄ
｜
＝
９６ ７
，求此时直线
ＡＣ
的方程．
解析 （ １） 由题意知，当点 Ｐ 是椭圆上（ 或下） 顶点时，
△ＰＦ１ Ｆ２ 的面积取得最大值．
此时，Ｓ△ＰＦ１Ｆ２ ＝
１ ２
·２ｃ·ｂ ＝
４
３ ，又 ｅ ＝
ｃ ａ
＝
１ ２
，ａ２
＝ ｂ２ ＋ｃ２ ，
（２ 分）
解得 ａ ＝ ４，ｂ ＝ ２
１ ２ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
§ １０．４ 直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学(理科)一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学习型教学案
高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的一条弦，m是AB的中点，则kAB＝________，kAB•kom＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点m，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px的弦AB的中点m，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线c：F＝0交于A，B两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2•y1＋y22－4y1y2.自我检测．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Ak⊥l，垂足为k，则△AkF的面积是A．4B．33c．43D．82．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是A．B.116，0c．D.0，－1163．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0，在同一坐标系中，它们的图形可能是4．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B 两点，o为坐标原点，则oA→•oB→的值为A．－12B．－14c．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2＝12y，过A，B 两点的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是A．∪B.－∞，－22∪22，＋∞c．∪D．∪探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AoB的面积为S.求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1，F2，离心率e＝32.求椭圆的标准方程；设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P和线段AB的中点m，求l在y 轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量oP→＋oQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例已知椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A，B.当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程及离心率；求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠Pox＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆c的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分]由已知，l：y＝ab与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F，设A，则＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ•a2c1＋λ，y0＝λ•abc1＋λ.即Ac＋λ•a2c1＋λ，λ•abc1＋λ.[8分] 将A点坐标代入椭圆方程，得2＋λ2a4＝2a2c2，等式两边同除以a4，2＋λ2＝e22，e∈，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3≤－22－e2•22－e2＋3＝3－22＝2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．一、选择题．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px通过点A，则p的值为A.92B．2c.21313D.13133．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3c.115D.37164．已知直线y＝k与抛物线c：y2＝8x相交于A、B两点，F为c的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于A.13B.23c.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B 两点，则|AB|的最大值为A．2B.455c.4105D.8105二、填空题6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t ＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，m、N分别是圆2＋y2＝4和2＋y2＝1上的点，则|Pm|－|PN|的最大值为________．8．已知抛物线c：y2＝2px的准线为l，过m且斜率为3的直线与l相交于点A，与c的一个交点为B，若Am→＝mB→，则p＝________.三、解答题9．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．0．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA→•QB →＝4，求y0的值．11．P是双曲线E：x2a2－y2b2＝1上一点，m，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线Pm，PN的斜率之积为15.求双曲线的离心率；过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B 两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足oc→＝λoA →＋oB→，求λ的值．学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理．相交相切相离①相交相切相离②一个②平行一个 2.－b2x0a2y0－b2a2b2x0a2y0 py0自我检测．c 2.c 3.c 4.B课堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋32＝6，即x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24＝72k2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>63或k<－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－63<k<63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝4tx－1，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线c没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t>2或t<－2.]例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解设点A的坐标为，点B的坐标为，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.由y＝kx＋bx24＋y2＝1得x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16．①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2•164k2－b2＋14k2＋1＝2.②又因为o到AB的距离d＝|b|1＋k2＝2S|AB|＝1，所以b2＝k2＋1.③将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ>0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：5x2＋8mx＋4＝0，则Δ＝64m2－80>0，解得m2<5.设P，Q，则x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m2－15，y1－y2＝x1－x2，∴|PQ|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2－85m2－165m2－1＝2，解得m2＝158，满足，∴m＝±304.例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解由y＝kx＋1x2－y2＝1得x2＋2kx＋2＝0.设A，B，则Δ＝4k2＋81－k2>0x1＋x2＝2k1－k2<0x1x2＝－21－k2>0，∴1<k<2.设m，由x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝y1＋y22＝11－k2，设l与y轴的交点为Q，则由P，mk1－k2，11－k2，Q三点共线得b＝2－2k2＋k＋2，设f＝－2k2＋k＋2，则f在上单调递减，∴f∈，∴b∈∪．变式迁移3 解由已知条件，直线l的方程为y＝kx ＋2，代入椭圆方程得x22＋2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2>0，解得k<－22或k>22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得k＝22.由知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c6．[1,5) 7.5 8.29．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点m，且Δ＝1－4>0，即b<134.又m在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋12－12－4×－2＝32.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋16k2x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为m，则m的坐标为．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→•QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝，QB→＝，QA→•QB→＝－2x1－y0＝－22－8k21＋4k2＋6k1＋4k2＝416k4＋15k2－11＋4k22＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有2－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
高考数学一轮复习学案：直线与圆锥曲线的位置关系学案理北师大版
第九节圆锥曲线的综合问题2. ［考纲传真］(教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想.双基自主测评I 梳理自测巩固基础知识(对应学生用书第148页)［基础知识填充］1 •直线与圆锥曲线的位置关系设直线I : Ax+ By+ C= 0,圆锥曲线C: F(x, y) = 0,Ax+ By+ C= 0, 2由* 消去y得到关于x的方程ax + bx + c= 0.F(x, y) = 0(1) 当a^0时，设一元二次方程ax2+ bx+ c= 0的判别式为△，则△ >0?直线I 与圆锥曲线C有两个公共点；△= 0?直线I与圆锥曲线C有二个公共点；△v 0?直线I与圆锥曲线C有零个公共点.(2) 当a = 0, b^0时，即得到一个一元一次方程.当C为双曲线时，I与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个.当C为抛物线时，I与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个.2 •圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(X1, y" , 0X2, y2)，则| AB = (X1 —X2)2+ (y1 —y2)2= 1 + k2•| X1 —X2| = ；：$1 + k •(X1 + X2)2—4X1X2=1+ & 占.|a|［知识拓展］过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.［基本能力自测］1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 直线l 与椭圆c 相切的充要条件是直线I 与椭圆C 只有一个公共点.( )(2) 直线I 与双曲线C 相切的充要条件是直线I 与双曲线C 只有一个公共点.()(3) 过抛物线y 2= 2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .()(4) 若抛物线上存在关于直线 I 对称的两点，则I 与抛物线有两个交点.( )［解析］(1)对.椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切. (2) 错•当直线I 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切. (3) 对.可转化为到准线的距离来证明(3)正确.(4) 错.当直线I 为对称轴时，I 与抛物线有一个交点. ［答案］ ⑴ V (2) X (3) V ⑷X2 22.(教材改编)直线y = k (x— 1) + 1与椭圆X +音=1的位置关系是()A.相交D.不确定A ［直线y = k (x — 1) + 1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆 相交.］3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2= 4x 仅有一个公共点，这样的直线有()A. 1条B. 2条D. 4条C ［结合图形分析可知， 满足题意的直线共有 3条：一条过点(0,1)且平行于x 轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线.］2 2x y2— 2= 1(a >0, b >0)的交点个数是(a bA. 1 C. 1 或 2b b一A ［因为直线y = -x + 3与双曲线的渐近线 y=-x 平行，所以它与双曲线只有 1个a a交点.］5.过抛物线y 2= 8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线，交抛物线于 A , B 两点，则弦AB 的 长为 .216 ［设A (X 1, y 1) , RX 2, y 2)，因为抛物线 y = 8x 的焦点为 H2,0)，直线 AB 的B.相切C.相离 C. 3条 4.直线b尸a x +3与双曲线B. 2 D. 0倾斜角为135°,故直线AB的方程为y = —x + 2，代入抛物线方程y2= 8x,得x2—12x+ 4= 0，则X1 + X2= 12, X1X2= 4，则| AB = X1 + X2 + 4= 12 + 4= 16.］第1课时直线与圆锥曲线的位置关系题型分类突破|翊剖析探求规徘方法(对应学生用书第149页)I題型1|2X'■■'I(2017 •全国卷I )设A B为曲线C: y=才上两点，A与B的横坐标之和为4.(1) 求直线AB的斜率；(2) 设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMLBM求直线AB的方程.［解］⑴设A(x i, y i),巳X2, y2),2 2X i X2贝U X i M X2, y i= , y2= , X i + X2= 4,4 4十© 亠八、“、、亠y i -y2 x i + X2于是直线AB的斜率k= - ■= i.X i —X2 42, X /口，X(2)由y=-，得y = 2.X3设M(X3, y3)，由题设知—=i，解得X3= 2,于是M2,i).设直线AB的方程为y= x+ m故线段AB的中点为N2,2 + n) , |MN =|m+ i|.2X 2将y = x+ m代入y=得X—4X— 4m= 0.4当△ = i6( m+ i)>0,即卩n>—i 时，X-,2 = 2±2 m^ i.从而| AB = ,2|x i —X2I = 4 2( m^ i).由题设知| AB = 2| MN，即 4 , 2(m^ i) = 2(m^ i)，解得m= 7.所以直线AB的方程为y= x + 7.［规律方法］i.判断直线与圆锥曲线的位置关系, 一般是将直线与圆锥曲线方程联立, 消去x或y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：1消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.2重视“判别式△”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.2 2［跟踪训练］已知直线I : y= 2x+ m椭圆C： X +養=i.试问当m取何值时，直线I与椭圆C：(1) 有两个不重合的公共点;(2) 有且只有一个公共点."y= 2x + m［解］将直线I的方程与椭圆C的方程联立，得方程组S x2 y2/十2 ，将①代入②，2 2整理得9x十8mx+ 2m —4= 0.③方程③根的判别式△ = (8n)2—4X 9X (2 m—4)=—8m 十144.(1)当△> 0,即一3 2 v m< 3 .2时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个不重合的公共点.⑵当△= 0，即m=±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线I与椭圆C I题型有且只有一个公共点.2 2 2x x y聖(2018 •广州综合测试(二))已知双曲线——y2= 1的焦点是椭圆C：^十吉=1(a>b > 0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数•【导学号：79140304】(1) 设椭圆C的方程；(2) 设动点M N在椭圆C上，且|MN = 響，记直线MN在y轴上的截距为m求m 的最大值.［解］⑴双曲线午—y2= 1的焦点坐标为(土.6, 0)，离心率为」学.2 2 2因为双曲线x —y2= 1的焦点是椭圆C：考十£= 1(a>b>0)的顶点，且椭圆与双曲线的5 a b离心率互为倒数，、.a2—b2. 30所以a= ,6，且-1—a = 6，解得b= 1.2故椭圆C的方程为x6十y2= 1.⑵因为|MN = 433> 2,所以直线MN勺斜率存在.因为直线MN在y轴上的截距为m 所以可设直线MN的方程为y = kx + m2x 2代入椭圆的方程g+ y2= 1中，2 2 2得(1 + 6k) x + 12km灶6( m-1) = 0.2 2 2因为△ = (12 kn) —24(1 + 6k )( m—1)=24(1 + 6k2—m) > 0,2 2所以m v 1 + 6k.设M(x1, y1), N X2, y2),29(1 + k)令k2+ 1 = t > 1,贝U k2= t —1.则 | MN = 1 + k 2|X 1 — X 2| =1 + k 2 •、;(X 1 + X 2)2 — 4x 1X 2.4.2—18k + 39k + 7根据根与系数的关系得X 1 + X 2= —12km21 + 6k ，X 1X 2 =6( m -1)1 + 6k 2-------------------- 212km1 + 6k 24,3224( m — 1) 1 + 6k 2因为| MN =3则,1 + k 2•-------------------- 212km 1 + 6k 2224( m —1) _ 1 + 6k 2 =4 d 33 所以m = 2—18t + 75t — 50 9t17=R 75-18t + 早整理得A. X + 4y — 5 = 0B. X —4y — 5= 02点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距 离公式求弦长.3弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公 式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况2 2［跟踪训练］(2017 •宜春中学与新余一中联考)设椭圆 M 鲁+存=1(a >b >0)的离心率与双曲线X 2 — y 2 = 1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.的面积.由 2a = 4, a =M ，b 2= a 2— c 2,得 a = 2,a 23 •2 +3 =」尹.又P 到直线 AB 的距离为 d =—，所以 &PAB = £|AB • d =1 _42 1 2'亍•— 3= 丁2 2卜(1)在椭圆1X 6+ 4 = 1内，通过点M 1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )(1)求椭圆M 的方程;(2)若直线 y = 2X + 1交椭圆M 于A,B 两点，R1 , 2)为椭圆M 上一点，求△ PAB由题可知，双曲线的离心率为.2，则椭圆的离心率故椭圆M 的方程为 2 2y X二 + —= i4十2 . (2)联立方程S y =回 + 12 2X y—^―= 1.2十4，得 4X 2+ 2 2x — 3 = 0,X 1+ X 2= —且tX1X2=-42 ~2，所以 | AB =71 + 2| X 1 — X 2| =羽 7（X 1 + X 2）2— 4x 1X 2 =C. 4X+ y—5 = 0D. 4x —y—5= 0【导学号：79140305】C. 4X + y — 5 = 0D. 4x — y — 5= 0(X 1+ X 2)( X 1 — X 2) 16 (w + y 》(y — yj 4=0, X 1+ X 2= 2, 因为"iy 1+ y 2= 2, 所以 g =— =— £ X 1 — X 2 16( y 1 + y 2) 41所以所求直线方程为 y — 1 = — 4( X — 1), 即 X + 4y — 5 = 0. (2)由题意知m^0,可设直线 AB 的方程为1 y =— X + B. m2 1 + y 2= 1, 由 1 y =—mX +b ， 消去y ，得1+訂-卑X + 因为直线 1 X 2 y =— ~X + b 与椭圆—+ y 2= 1有两个不同的交点, 所以△ = — 2b 2+ 2+ 4 > m0,①将AB 中点, m +2代入直线方程 y = m>+ 2 解得b = — mm 2 ②由①②得 m< — 于或 m 〉-^6][规律方法]处理中点弦问题的常用方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 X1⑵ 如图8-9-1，已知椭圆 冷+y 2= 1上两个不同的点 A , B 关于直线y = mx + 2寸称.则实数m 的取值范围为 __________2 y i 16+ 4 = 1， 则2 2X 2 y 2 56+ 4 =1， 由①一②,+ X 2, y i + y 2, 匚兰三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可 X i — X 2 求得斜率•2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与 系数的关系求解•［跟踪训练］抛物线 C 的顶点为原点，焦点在__x 轴上，直线 x — y = 0与抛物线 C 交于 A , B 两点•若 只1,1)为线段AB 的中点，则抛物线 C 的方程为( ) 2 2 A. y = 2x B. y = 2xC. x 2= 2yD. y 2= — 2x2 y 2= 2px i , B ［设A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，抛物线方程为 y = 2px ,则* 2 两式相减y 2 = 2px 2, y i 一 y 2 2 可得2p = •(y i + y 2)= k AB ・2= 2，即可得p = 1,「.抛物线C 的方程为y = 2x .］ X i — X 2B (X 2, y 2),尊 卜 冒，+^) [(i )设直线与椭圆的交点为A (X 1, y 1),2 X i⑴ A (2)。
高考第一轮复习数学直线与圆锥曲线的位置关系
例3在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称,易得直线BC：x=－ky+m,由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式,
答案：
5.求过点0,2的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.
解：设直线方程为y=kx+2,
把它代入x2＋2y2＝2,
整理得2k2＋1x2+8kx+6=0.
要使直线和椭圆有两个不同交点,则Δ＞0,即k＜－ 或k＞ .
设直线与椭圆两个交点为Ax1,y1、Bx2,y2,中点坐标为Cx,y,则
2.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题,主要有这样几个方面：相交弦的长,有弦长公式|AB|= |x2－x1|；弦所在直线的方程如中点弦、相交弦等、弦的中点的轨迹等,这可以利用“设点代点、设而不求”的方法设交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决.
3.涉及到圆锥曲线焦点弦的问题,还可以利用圆锥曲线的焦半径公式即圆锥曲线的第二定义,应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.
条条条条
解析：数形结合法,同时注意点在曲线上的情况.
答案：B
2.已知双曲线C：x2－ =1,过点P1,1作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有
条条条条
解析：数形结合法,与渐近线平行、相切.
答案：D
3.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点异于顶点,则直线PF的斜率的变化范围是
2019-2020年高三数学第一轮复习单元讲座 第34讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 新人教版
2019-2020年高三数学第一轮复习单元讲座第34讲直线与圆锥曲线的位置关系教案新人教版一．课标要求：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。
二．命题走向近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。
预测07年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。
三．要点精讲1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。
直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。
因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。
则弦长公式为：d====。
焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。
四．典例解析题型1：直线与椭圆的位置关系例1．已知椭圆：，过左焦点F 作倾斜角为的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。
高三数学一轮复习必备精品34：直线与圆锥曲线的位置关系 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免
第34讲直线与圆锥曲线的位置关系备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】一．【课标要求】1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题 二．【命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往12三．12但不是3d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +。
焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
四．【典例解析】题型1：直线与椭圆的位置关系例1．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB的长解析：a=3,b=1,c=22，则F （-22，0）。
由题意知：)22(31:+=x y l 与1922=+y x 联立消去y 得：01521242=++x x 。
设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x ，41521=⋅x x ，223221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点，例221，1x +2a ∴a 、b 的方程组即可例3．（2009北京理）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()(),,,1A m n P x x -， 则()2,22B m x n x ---， ∵,A B 在∴2n ⎧⎨-⎩消去n ,0=（1） ∵(4∆=例4y =x +2交椭圆由⎪⎩⎪⎨⎧9因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝518-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-）．点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。
2020届高三数学一轮复习 《直线与圆锥曲线的位置关系》学案
《直线与圆锥曲线的位置关系》学案课前准备【考纲要求】掌握圆锥曲线的有关中点、弦长等问题．【知识梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法⑴联立直线与圆锥曲线方程，构成方程组．⑵消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程组．⑶若0∆>，则直线与圆锥曲线有 交点．若0∆=，则直线与圆锥曲线有 交点．若0∆<，则直线与圆锥曲线 交点．2．弦长公式若斜率为k 的直线与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则AB ===．1．⑶两个．一个．没有．【基础自测】1．过点(0,1)与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析】易知过点(0,1)与抛物线相切时，有2条；直线1y =与抛物线的对称轴平行也满足条件，故选C ．2．直线1by x a =+与双曲线22221x y a b -=的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】A 【解析】∵直线1by x a =+与双曲线的渐近线by x a =平行，∴它与双曲线只有1个交点．3．若曲线22x y =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（）A ．430x y ++=B ．490x y +-=C ．430x y -+=D ．420x y --=【答案】D【解析】∵22x y =，∴4y x '=．设切点为200(,2)x x ，∴切线l 的斜率为04k x =．∵直线l 与直线480x y +-=垂直， ∴1()14k ⨯-=-，∴4k =，01x =．∴切线l 的方程为024=--y x ．4．已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB =（ ）A ．3B ．4 C． D．【答案】C【解析】设直线AB 的方程为y x b =+．由23y x by x =+⎧⎨=-+⎩，得230x x b ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121x x +=-.得AB 的中点11(,)22M b --+． ∵M 在直线0x y +=上，∴1b =， ∴220x x +-=，则∴AB ===课堂互动【典例剖析】考点一 中点弦问题【例1】（2019九校联考）已知椭圆22142x y +=以及椭圆内一点(1,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】设弦的端点1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21122112()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴2121042x x y y --+=，∴212112y y k x x -==--． 【方法技巧】处理中点弦问题常用的方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有12x x +，12y y +，2121y y x x --三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．【变式】（2019福州质检）已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y x =与抛物线C 交于A 、B 两点，若(1,1)P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为（ ）A ．22y x =B ．22y x =-C ．22x y =D ．22x y =-【答案】A【解析】依题意可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则21211y y x x -=-, ∵(1,1)P 为AB 的中点，∴122y y +=， 由21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得212121()()2()y y y y p x x +-=- ∴2121212()()2y y p y y x x -=+=-， ∴抛物线C 的方程为22y x =．考点二 直线和圆锥曲线的位置关系 【例2】（2019荆州质检）直线1()y kx k =+∈R 与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(1,5)(5,)+∞UD ．[1,5)(5,)+∞U【答案】C【解析】∵直线1()y kx k =+∈R 恒过点(0,1)， ∴22050115m m m⎧⎪>⎪⎪≠⎨⎪⎪+<⎪⎩，解得1m >且5m ≠．【方法技巧】研究直线与圆锥曲线位置关系的方法一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【变式】过抛物线22y x =的焦点作一条直线与抛物线交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条【答案】B【解析】设(),()A A B B A x y B x y ,,， 则21322A B AB x x p p =++=+=>=.∴符合条件的直线有两条．考点三 弦长问题【例3】(2019厦门质检)直线(1)y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若163AB =，则k = ．【答案】【解析】2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2440ky y k --=，∴124y y k +=，124y y =-．∴AB =21164(1)3k ==+=，∴23k =，∴k =．【方法技巧】处理弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，直接求交点坐标再求弦长；(2) 涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．【变式】（2019雅礼中学）斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A B ,两点，则AB 的最大值为()A ．2 BCD【答案】C【解析】设直线l 其方程为y x t =+， 由2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22584(1)0x tx t ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1285x x t +=-，2124(1)5t x x -=.∴AB ===，当0t =时，max AB =.考点四 直线与圆锥曲线的综合问题【例4】（2019湖师附中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3，其左顶点在圆22:3O x y +=上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(0,2)P 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．M 是AB 中点，且Q 点的坐标为2(,0)5，当QM AB ⊥时，求直线l 的方程．【解析】（1）∵椭圆C 的左顶点在圆O 上，令0y =，得x =a =∵3c e a ==，∴1c =，∴22b =， ∴椭圆C 的方程为22:132x y C +=． （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，此时直线l 的方程为0x =．②若直线l 的斜率存在，设其方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+， 由222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)1260k x kx +++=， 可得272480k ∆=->，即234k >．1221223k x x k +=-+， 设00(,)M x y ，则0002264,22323k x y kx k k =-=+=++， 由QM AB ⊥，可知00125y k x ⋅=--， 化简得23520k k ++=，解得1k =-或23k =-（舍去）， 此时，直线l 的方程为20x y +-=， 综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=．【温馨提醒】解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，要注意斜率不存在时的讨论，有时借助图形的几何性质更为方便．【课时作业】1．若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)-C ．(0,3)D ．(0,6) 【答案】C【解析】此圆恒过抛物线的焦点(0,3)．2．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ） A ．1条 B ． 2条 C ． 3条 D ．4条【答案】C【解析】双曲线两顶点间的距离为22a =，∵||42AB =>，∴与双曲线的两支都相交的直线有两条，∵过右焦点作直线垂直于x 轴时，弦长为4，∴与双曲线的右支相交的直线有一条，∴这样的直线l 有3条．3．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A ．(,)33-B ．(C ．[D ．[ 【答案】C【解析】∵ 双曲线的渐近线是y x =，∴直线斜率的取值范围是[． 4．设点F 为抛物线24y x =的焦点，,A B 是抛物线上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点(5,0)D ,则AF BF +=（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】设),(),,(2211y x B y x A ， ∴122AF BF x x +=++． ∴线段AB 的中垂线交x 轴于点(5,0)D ， ∴AD BD =，∴22221122(5)(5)x y x y -+=-+,∴2222122121(5)(5)44x x y y x x ---=-=-,∴121221(10)()4()x x x x x x +--=-，∵126x x +=，∴8AF BF +=．5．(2019沈阳质检)已知抛物线24y x =的一条弦AB 恰好以(1,1)P 为中点，则弦AB 所在直线方程是 ．【答案】210x y --=【解析】设弦的端点1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，由21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得212121()()4()y y y y x x +-=- ∴21212y y x x -=-，即2AB k =． ∴弦AB 所在直线方程是12(1)y x -=-，即210x y --=．6．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点．若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 .【解析】设(,),(1)P x y x ≥，∵直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，∴c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=2=． 7．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于,A B 两点，若2AM MB =u u u u r u u u r ，求直线l 的方程．【解析】（1）∵22c =,∴1c =， ∵12c e a ==，∴2a =，b = ∴椭圆方程为22143x y +=． （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，当k 不存在时，直线方程为0x =，不符合题意．当k 存在时，设直线方程为1y kx =+， 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)880k x kx ++-=， ∴222(8)48(34)192960k k k ∆=+⨯+=+>， ∴122122834834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩． 若2AM MB =u u u u r u u u r ，则122x x =-， 代入上式，可得 ∴22222834834k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，消去2x ，解得12k =±． ∴所求直线方程为112y x =±+．8．（2019黄山质检）设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点． (1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-u u u r u u u u r ，求点P 的坐标； (2)设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】(1)由题意得2,1,a b c ===∴1(F，2F ．设(,)(0,0)P x y x y >>．则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r 22534x y =+-=-． 由22221474x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(1,2P ． (2)显然直线0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ． 由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)16120k x kx +++=， ∴1212221216,1414k x x x x k k=+=-++ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>，得234k >，① 又AOB ∠为锐角⇔cos 0AOB ∠>⇔0OA OB ⋅>u u u r u u u r ，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>u u u u u u u u r ， 又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++, ∴221212121224(4)(1)2()4014k x x y y k x x k x x k -+=++++=>+， ∴24k <，② 综合①②可知2344k <<， ∴k的取值范围是(2,2)-U ．。
直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案
①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。
③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。
①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。
①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。
直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。
该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。
该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。
点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。
直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。
求参数的取值范围。
根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。
指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。
<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。
②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。
联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。
(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。
高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系【本讲主要内容】直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系、直线与抛物线的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 直线与椭圆的位置关系：（1）位置关系： ⎧⎪⎨⎪⎩ 相交 （割线）相切 （切线） 相离（2）判定方法：将直线的方程与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。
若方程有两个不同解（0∆>），则直线与椭圆相交； 若方程有一个解（0∆=），则直线与椭圆相切； 若方程无解（0∆<），则直线与椭圆相离。
2. 直线与双曲线的位置关系： （1）位置关系：①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。
②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。
③相离：直线与双曲线无公共点。
（2）判定方法：用直线的方程与双曲线的方程联立的方程组的解的个数描述直线与双曲线的位置关系如下：①方程有一组解⇔直线与双曲线相切或相交（一个公共点）；②方程组有二组解⇔直线与双曲线相交（两个交点交于一支或二支）； ③方程组无解⇔直线与双曲线相离。
3. 直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系： ①相交：直线与抛物线交于两个不同点，或直线与抛物线的对称轴平行与抛物线交于一个点。
②相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线不平行于抛物线的对称轴。
③相离：直线与抛物线无公共点。
（2）判定方法：把直线的方程与抛物线的方程联立起来得到一个方程组，于是 ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切（一个公共点）； ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交（两个公共点）； ③方程组无解⇔直线与抛物线相离。
4. “设而不求”、韦达定理和弦长公式： （1）“设而不求”的方法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般地，首先设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ，其中有四个参数1122x y x y 、、、，它们的作用，只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线关系中的常用方法。
高考一轮复习教案九(5)直线与圆锥曲线的位置关系(教师)文科用
模块： 九、二次曲线 课题： 5、直线与圆锥曲线的位置关系教学目标： 掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用；会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题．重难点： 运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题． 一、 知识要点1、 直线与圆锥曲线的位置关系可能通过它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题来讨论．往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想．需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点． 2、弦长公式：若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点()()1122A x y B x y ，，，，则弦长为12AB x =-或12AB y y =-．二、例题精讲例1、已知直线(:tan l y x α=+交椭圆2299x y +=于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围．答案：50,,66πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．例2、已知抛物线212y x ax =-++与直线2y x =． （1） 求证：抛物线与直线相交；（2） 求当抛物线的顶点在直线的下方时，a 的取值范围；（3） 当a 在(2)的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值答案：（1）联立后易得；（2）22a <<+（3）当min AB =例3、已知双曲线2214x y -=和定点1(2,)2P . （1）过P 点可以做几条直线与双曲线C 只有一个公共点；（2）双曲线C 的弦中，以P 点为中点的弦12P P 是否存在？并说明理由答案：（1）过点P 有4条直线与双曲线只有一个公共点；（2）中点弦12P P 不存在．例4、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+y =kx +3对称，求k 的取值范围． 答案：10k -<<．例5、已知抛物线22y x =及定点(1,1),(1,0)A B M -，是抛物线上的点，设直线,AM BM 与抛物线的另一个交点分别为12,M M ，求证：当点M 在抛物线上变动时（只要12,M M 存在且1M 与2M 是不同的两点），直线12M M 恒过一定点，并求出定点的坐标． 答案：（1，2）．例6、直线12y x =与抛物线2148y x =-交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5y =-交于Q 点． （1） 求点Q 的坐标；（2） 当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．答案：（1）()5,5-；（2）30．例7、直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B ． （1） 求实数k 的取值范围；（2） 是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆通过双曲线C 的右焦点F ？ 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）2k -<<（2）存在，65k =-．例8、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （1） 求k 的取值范围；（2） 设椭圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）不存在．三、课堂练习1、过点（2，4）作直线与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有 ． 答案：2条．2、双曲线221x y -=的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 ． 答案：()(),01,-∞+∞．3、设抛物线2(0)y ax a =>与直线(0)y kx b k =+≠有两个交点，其横坐标分别是12.x x ，而直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标是3x ，那么123,,x x x 的关系是 ． 答案：321111x x x =+． 4、若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为 ． 答案：21． 5、设抛物线22y x =与过焦点的直线交于,A B 两点，则OA OB ⋅的值 ． 答案：34-． 6、双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 ． 答案：(,0)(1,)-∞+∞．四、 课后作业 一、填空题1、抛物线24y x =截直线2y x b =+得弦AB，若AB =F 是抛物线的焦点，则FAB 的周长等于 ．答案：7+2、已知椭圆2224x y +=，则以()1,1为中点的弦的长度为 ．3、已知直线:90l x y -+=，以椭圆22412x y +=的焦点为焦点作另一椭圆与直线l 有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公共点坐标是 ． 答案：(5,4)-．4、若直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交于A B 、两点，当m 变化时，AB 的最大值是 ．． 5、在ABC ∆中，BC m =，()0AB AC n m n +=<<，则ABC ∆的面积的最大值为 ．答案：146、已知椭圆()22202y x a a +=>与以()2,1A 、()4,3B 为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是 ．答案：82,⎛⎫⎛+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭．二、选择题7、已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条 答案：D ．8、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)F ，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A 、14322=-y x B 、13422=-y x C 、12522=-y x D 、15222=-y x 答案：D ．9、椭圆221mx ny +=与直线1y x =-交于,M N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为2，则mn的值是（ ）A 、2B 、3C 、2D 、27答案：A ．三、解答题10、过点()1,0P 的直线1l 与抛物线2y x =交于不同的A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，直线2l 过点M 和()1,0Q -．如果1l 的斜率为k ，12k -和直线2l 的斜率的积为()f k ，求()f k 的函数关系式，并讨论其单调性．答案：()()(),22,04,k ∈-∞--+∞，单调递增．11、已知双曲线2222:1x y C a b-=的实轴长等于2，焦距等于10.（1）求双曲线C 的方程；（2）设M 、N 是双曲线C 的焦点，点P 在双曲线C 上，MP NP ⊥，求PMN ∆的周长； （3）设M 、N 是双曲线C 的顶点，点P 在双曲线C 上，PMN ∆的周长等于6，求点P 的坐标．答案：（1）22124y x -=；（2）24；（3）P ⎛ ⎝．12、过抛物线()220y px p =>上一定点()()00,0P x y y >，作两条直线分别交抛物线于()()1122,,,A x y B x y ．（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数． 答案：（1）58p ；（2）2-，0AB p k y =-．。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系教师用书(PDF,含解析)
{ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ，
Ｆ（
ｘ，ｙ）
＝
的解． ０
方程组消元后化为关于
ｘ（
也可以是
ｙ）
的一元
二次方程 Ａｘ２ ＋Ｂｘ＋Ｃ ＝ ０（ Ａ≠０） ．判别式 Δ ＝ Ｂ２ －４ＡＣ，应有 Δ＞０．所
以 ｘ１ 、ｘ２ 是方程 Ａｘ２ ＋Ｂｘ＋Ｃ ＝ ０ 的解． 由根与系数的关系求出 ｘ１ ＋
ｘ２ ＝ －
Ｂ Ａ ， ｘ１ｘ２
则ｋＡＢ
＝
ｐ ｙ０
．
对应学生用书起始页码 Ｐ２１９
有关位置关系、弦长、面积问题的解题策略
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１．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可
个交点，此时，若 ｒ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的渐近线平行；
若 ｒ 为抛物线，则直线 ｌ 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或
重合．
２．连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ，曲线 ｒ：Ｆ（ ｘ，ｙ）＝ ０，ｌ 与 ｒ 的两个不同的交点
为 Ｍ （ ｘ１， ｙ１ ）、 Ｎ （ ｘ２， ｙ２ ）， 则 （ ｘ１， ｙ１ ）、 （ ｘ２， ｙ２ ） 是 方 程 组
第十章 圆锥曲线与方程 １ ２５
§ １０．４ 直线与圆锥曲线的位置关系
考 点 直线与圆锥曲线的位置关系 高频考点
１．判断直线 ｌ 与圆锥曲线 ｒ 的位置关系时，通常将直线 ｌ 的
方程 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ （ Ａ、 Ｂ 不 同时为 ０） 代入 圆锥 曲线 ｒ 的方 程
2020高考数学理科大一轮复习导学案《直线与圆锥曲线》含答案
第九节圆锥曲线的综合问题知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有3条．解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知直线y ＝x ＋m 被椭圆4x 2＋y 2＝1截得的弦长为225，则m 的值为±1.解析：把直线y ＝x ＋m 代入椭圆方程得4x 2＋(x ＋m )2＝1，即5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，设该直线与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0的两根，Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝－16m 2＋20>0，即m 2<54.由韦达定理可得x 1＋x 2＝－2m5，x 1·x 2＝m 2－15，所以|AB |＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·4m 225－4m 2－45＝225，所以m ＝±1.3．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是2x＋4y －3＝0.解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12， 即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.知识点二 圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值．4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( C )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.知识点三 圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．5．设a>0为常数，动点M(x，y)(y≠0)分别与两定点F1(－a，0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为(A)A．2 B．－2C．3 D. 3解析：轨迹方程为yx＋a·yx－a＝λ，整理，得x2a2－y2λa2＝1(λ>0)，c2＝a2(1＋λ)，1＋λ＝c2a2＝3.λ＝2，故选A.1．中点弦问题的常用方法(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．2．弦长问题有两种形式①|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].其中第二种形式应用比较巧妙．直线方程可设为x ＝my ＋n 的形式，这样可以有效避免直线斜率不存在的讨论，但也要注意斜率为0的特殊情况．第1课时 最值、范围、证明问题考向一 最值问题方向1 利用几何性质求最值【例1】 已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2 B.522＋1 C.522－2D.522－1【解析】 如图，过点P 作P A ⊥l 于点A ，作PB ⊥y 轴于点B ，PB 的延长线交准线x ＝－1于点C ，连接PF ，根据抛物线的定义得|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PF |.∵P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2， ∴d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |＝(|P A |＋|PC |)－1 ＝(|P A |＋|PF |)－1.根据平面几何知识，可得当P ，A ，F 三点共线时，P A ＋PF 有最小值． ∵F (1,0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为|1－0＋4|2＝522，∴|P A |＋|PF |的最小值是522，由此可得d 1＋d 2的最小值为522－1. 【答案】 D方向2 利用函数、不等式求最值【例2】 (2019·福建模拟)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)设P (2,0)，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A ，B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，求λ的最小值．【解】(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆Γ的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴P A →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)·(x 2－2)＋y 1y 2，当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21＝12，此时P A→＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)，∴P A →·PB →＝(－3)2－y 21＝172.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴P A →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k 2＋4＋k 2＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132(2k 2＋1)<172，要使不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，只需λ≥(P A →·PB →)max ＝172，即λ的最小值为172.最值问题的两种常见解法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．1．(方向1)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为2 2.解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.2．(方向2)(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A 14y 21，y 1，B 14y 22，y 2.因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是62，15104.考向二 范围问题【例3】 (2019·福建龙岩质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为M .已知点N (1,0)，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的垂直平分线交TM 于点P .(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为曲线C 1，抛物线C 2：y 2＝2px 的焦点为N .l 1，l 2是过点N 互相垂直的两条直线，直线l 1与曲线C 1交于A ，C 两点，直线l 2与曲线C 2交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．【解】 (1)∵P 为线段TN 垂直平分线上一点， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PT |＝|TM |＝4， ∵M (－1,0)，N (1,0)，∵4>|MN |＝2，∴P 的轨迹是以M (－1,0)，N (1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵y 2＝2px 的焦点为(1,0)， C 2的方程为y 2＝4x ，当直线l 1斜率不存在时，l 2与C 2只有一个交点，不合题意． 当直线l 1斜率为0时，可求得|AC |＝4，|BD |＝4， ∴S 四边形ABCD ＝12·|AC |·|BD |＝8. 当直线l 1斜率存在且不为0时，方程可设为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(1＋k 2)3＋4k 2.直线l 2的方程为y ＝－1k (x －1)与y 2＝4x 联立可得x 2－(2＋4k 2)x ＋1＝0， 设B (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|BD |＝x 3＋x 4＋2＝4＋4k 2， ∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC ||BD |＝12(4＋4k 2)·12(1＋k 2)3＋4k 2＝24(1＋k 2)23＋4k 2.令3＋4k 2＝t ，则k 2＝t －34(t >3)，S (t )＝24⎝⎛⎭⎪⎫1＋t －342t＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2， ∴S (t )在(3，＋∞)是增函数，S (t )>S (3)＝8， 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8，＋∞)．解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ， ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)得M (1，32)，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)， ∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得，x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45(1＋13＋4k 2)， ∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)． 考向三 证明问题【例4】 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，O 为坐标原点，直线AB (不垂直于x 轴)过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为－p .(1)求抛物线C 的方程；(2)若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：|OD ||OM |>2.【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB (不垂直于x 轴)的方程可设为y ＝kx －p2(k ≠0)．∵直线AB 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. ∵直线OA 与OB 的斜率之积为－p ，∴y 1y 2x 1x 2＝－p ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 2x 1x 22＝p 2，得x 1x 2＝4.由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p24＝0，其中Δ＝(k 2p ＋2p )2－k 2p 2k 2>0， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24， ∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)证明：设M (x 0，y 0)，D (x 3，y 3)， ∵M 为线段AB 的中点，∴x 0＝12(x 1＋x 2)＝k 2p ＋2p 2k 2＝2(k 2＋2)k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k ，∴直线OD 的斜率k OD ＝y 0x 0＝2kk 2＋2，∴直线OD 的方程为y ＝2kk 2＋2x ，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 3＝2(k 2＋2)2k 2，∴x 3x 0＝k 2＋2，∵k 2>0，∴|OD ||OM |＝x 3x 0＝k 2＋2>2.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点B 是椭圆C 的上顶点，点Q 在椭圆C 上(异于B 点)．(1)若椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫－3，22，求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆C 交于B ，P 两点，以线段PQ 为直径的圆过点B ，证明：存在k ∈R ，使得|BP ||BQ |＝12.解：(1)依题意得c a ＝22，3a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由椭圆的对称性，不妨假设存在k >0，使得|BP ||BQ |＝12. 由题意得a 2＝2b 2，则椭圆C ：x 22b 2＋y 2b 2＝1，联立直线l 与椭圆C 的方程可得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＝0，解得x P ＝－4kb1＋2k 2，所以|BP |＝1＋k 2×4kb1＋2k 2，因为BP ⊥BQ ，所以|BQ |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2×4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k b1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝1＋k 2×4bk 2＋2，因为|BP ||BQ |＝12，所以21＋k 2×4kb 1＋2k 2＝1＋k 2×4bk 2＋2， 即2k 3－2k 2＋4k －1＝0. 记f (x )＝2x 3－2x 2＋4x －1，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0， 所以函数f (x )存在零点， 所以存在k ∈R ，使得|BP ||BQ |＝12.第2课时 定点、定值、探究性问题考向一 定点问题【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【解】 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆必过P 3，P 4两点，又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．将点P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－1，32的坐标代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，kP 2A ＋kP 2B ＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m ＝－1，得m ＝2.此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋b (b ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1·x 2＝4b 2－41＋4k 2，则kP 2A ＋kP 2B ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2(kx 1＋b )－x 2＋x 1(kx 2＋b )－x 1x 1x2＝2kx 1x 2＋b (x 1＋x 2)－(x 1＋x 2)x 1x2＝8kb 2－8k －8kb 2＋8kb1＋4k 24b 2－41＋4k 2＝8k (b －1)4(b ＋1)(b －1)＝－1.又∵b ≠1，∴b ＝－2k －1，此时Δ＝－64k ，存在k 使得Δ>0成立． ∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＝k (x －2)－1.当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1)．解决圆锥曲线中定点问题的基本思路(1)把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(这里把常量k 当作未知数)．(2)既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于0，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，即⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0的点(x 0，y 0)为直线或曲线所过的定点．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，过F 2作与x 轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点，△F 1AB 的面积为3，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)以椭圆C 的右焦点F 2为焦点．(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，t (t ≠0)为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．解：(1)设F 2(c,0)(c >0)，令x ＝c 代入椭圆C 的方程有：|y A |＝b 2a ， ∵e ＝12，∴a ＝2c .∴S △F 1AB ＝12×2c ×2|y A |＝3.∴b 2＝3，由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.∴p ＝2. 故抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由(1)知：P (－1，t )(t ≠0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t .直线PO 的方程为y ＝－tx ， 代入抛物线E 的方程有N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2，－4t . 当t 2≠4时，k MN ＝t ＋4tt 24－4t2＝4tt 2－4，∴直线MN 的方程为y －t ＝4t t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 24，即y ＝4tt 2－4(x －1)．∴此时直线MN 过定点(1,0)．当t 2＝4时，直线MN 的方程为x ＝1，此时仍过点(1,0)，即证直线MN 过定点．考向二 定值问题【例2】 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)．过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． 【解】 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1. 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2 ＝1k －1·2k2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程．(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．解：(1)因为e＝32＝ca，所以a ＝23c ，b ＝13c . 代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点， 则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．考向三 探究性问题【例3】 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1， 又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，x 1x 2＝2m 2－23. ∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0. 即2·2m 2－23－4m3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，当m ＝1时，M ，P ，Q 三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4， 可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]， 所以符合题意的直线l 不存在．。
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2019-2020学年高三数学一轮复习 8.4直线与圆锥曲线的关系学案（四）【复习目标】能正确熟练地解决直线与圆锥曲线的位置关系的一些综合问题；提高运用方程思想, 等价转化, 分类讨论, 数形结合数学思想的意识.【课前预习】过抛物线x y 22=内一点P （a,1）作弦AB ，若P 为AB 中点，则AB 所在直线方程为: ，其中a 的取值范围是 。
直线01=--y x 与实轴在y 轴上的双曲线m y x =-22)0(≠m 的交点在以原点为中心, 边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形的内部, 则m 的取值范围是 （ ）A ．10<<mB ．0<mC ．01<<-mD ．.1-<m 设直线1l ：x y 2=, 直线2l 经过)1,2(点, 抛物线C : x y 42=, 已知21,l l 与C 共有三个交点, 那么满足条件的直线2l 共有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条过双曲线12222=-by a x 的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ , 1F 是左焦点, 若 901=∠Q PF , 则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．21+ C ．22+ D ．23-【典型例题】例1 如果抛物线y=ax 2-1(a>0)上存在关于直线x + y = 0成轴对称的两个不同点，求实数a 的取值范围。
例2 已知A 、B 的坐标分别是（－1，0）、（1，0），曲线C 上任意一点满足22PA PB -= ()4||||0PA PB -≠.求曲线C 的方程；过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，若∠MAN 为钝角，求直线l 倾斜角α的取值范围。
【巩固练习】一个正三角形的三个顶点都在双曲线122=-ay x 的右支上，其中一个顶点与双曲线右顶点重合，则实数a 的取值范围是： （ ）A ．0<a<3B ．3<a<43C ．a>3D ．a>43设坐标原点O ，抛物线22y x =与过其焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅= （ ）A ．34-B ．34C ．3D ．3- 【本课小结】【课后作业】已知椭圆C:13422=+y x ，试确定m 的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线y=4x+m 对称。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
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2019-2020学年高考数学第一轮复习 直线与圆锥的位置关系学案（1）一、学习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二、自主学习：【课前检测】1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为（ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条【考点梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三、合作探究：例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．四、课堂总结：知识：方法：数学思想五、检测巩固：1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．六、学习反思：。
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2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第34讲直线与圆锥曲线的位置关系一•课标要求：1 •通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2 •掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。
二.命题走向近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。
预测2020年高考：1 •会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2 •与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。
三•要点精讲1 .点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系2 •直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。
9直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。
因为 方程组解的个数与交点的个数是一样的。
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离•对于抛物线来说，平行于对称 轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双 曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：i 殳直线；血+By+c=o,圆ft 曲线C ：虬爲y)=0,消去y （或消古丈）得匕 az a -bbzH-c=0, A=b 2 -4ac, a^0_⑴相交：(2)A<0 « 相离;⑶A=0«相切.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件.3 •直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线:F(x,y)=0，它们的交点为 P i (x i ,y 1) , P 2 (x 2,y 2),且由F (X ，y) 0，消去 厂ax 2+bx+c=0 (0) , △ =b 2 — 4ac 。
y kx n则弦长公式为：d=J (x , X 2)2 (% y 2)2=" k 2)% x ?)2 =。
| PF |焦点弦长：e (点P 是圆锥曲线上的任意一点， F 是焦点，d 是P 到相应于焦d点F 的准线的距离，e 是离心率)。
四•典例解析rj\x+By + C=0由/琳 y ）=0题型1：直线与椭圆的位置关系1，过左焦点F作倾斜角为一的直线交椭圆于A、B两点, 例1 .已知椭圆:69求弦AB 的长。
解析：a=3,b=1,c=2 --：：2，则 F (-2 2 , 0)。
设A( x^yj 、B(X 2,y 2)，则x n X 2是上面方程的二实根，由违达定理，X 1 x ?3、2 ,3 2――又因为A B F 都是直线|上的点,2所以 |AB|=」11| 为 X 2| 3 伍 1—x2P —4/X 2V 3J 3点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。
例2 .中心在原点，一个焦点为F ( 0,50 )的椭圆截直线 y 3x 2所得弦的中点横坐标1为丄，求椭圆的方程。
2由题意知：| : y1(x 2.2)与 L .391联立消去y 得：4x 2 12,2x 15 0。
15X 1 X 2, X M4x 1 x 2 2解析：设椭圆的标准方程为2 2笃每 1(a b 0)，由a bF 1 (0, 50 )得 a 2 b 2 50 把直线方程y 3x 2代入椭圆方程整理得：(a 2 9b 2)x 2 12『x b 2(4 a 2)0。
12b 21x 1 X 6b 21 X1X22又AB 的中点横坐标为一，2 2— a 9b22a 9b2a 23b 2，与方程2 2 2a b50联立可解出a75,b 2 252 2故所求椭圆的方程为： X y1。
75 25点坐标公式，求出中点的横坐标，再由 F (0，一 50 )知，c= •, 50 , a 2 b 250 ,最后解关于a 、b 的方程组即可。
例3.直线y 2k 与曲线9k 2x 2 y 218k 2 x(k R,且k 0)的公共点的个数为(A)1 (B)2(C)3 (D)4设弦的两个端点为 A(X 1，yjB(X 2, y 2)，则由根与系数的关系得:点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中解析：将y 2k 代入9k2x2y218k2x 得：9k2x24k218k2x。
9|xf 18 x 4 0，显然该关于|x|的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故选择答案D。
点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
例4.已知椭圆C的焦点分别为F l ( 2J2 , 0)和F2 (2、；'2 , 0),长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
x2y2解析：设椭圆C的方程为—2 1 ,a b由题意a=3, c=2 2，于是b=1.2x 2•••椭圆C的方程为 + y = 1.9得10x + 36x + 27= 0,1因为该二次方程的判别式A >0，所以直线与椭圆有两个不同的交点,设A (X1, y1), B (X2, y2),贝U X1 + X2 =9 1故线段AB的中点坐标为( ，一).5 5点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。
题型2 :直线与双曲线的位置关系2 2例5.("过点PC.7,5)与双曲线冷盘1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
(2)直线y kx 1与双曲线3x2 y21相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上?4解析：(1)解：若直线的斜率不存在时，则 x 、、7，此时仅有一个交点 G 7,0)，满足条件;时，方程无解，不满足条件;7字 时，2 5.7X 10 75方程有一解，满足条件;2-时，令 [14k(5 k..7)]2k 无解，所以不满足条件；4(25 7k 2)[(5 k 、、7)2 165]所以满足条件的直线有两条 x J 7和y2 2(2)把y kx 1代入3x y1整理得: 24 4a 2。
由>0得,6 a . 6且a . 3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。
若A 、B 在双曲线的同一支，须 x 1x 2 >0，所以a -.3或a .3。
a 3故当 6 a .3或,3 6时，A B 两点在同一支上；当 •、3 a 、. 3时，A 、B 两点在双曲线的两支上。
点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。
一种是与渐近线平行的两条与双曲线交 于一点的直线。
另一种是与双曲线相切的直线也有两条。
若直线的斜率存在时，设直线的方程为k(x 、_ 7)则 y kx 5 k 、7，(25 (kx 5 "2 *1 , 「25x 2257(kx 5 k 、.7)27 25，7k 2)x 27 2kx(5 k 「7)(5 k 、、7)2 7 250，当k 2化简得:2 2(3 a )x 2ax 20 (1)例5. (1)求直线yx 1被双曲线x 2亍1截得的弦长;2X 2 | j2j(X i X 2)2 4X 1X 2 血J 4k 4 k 2 4 4 k 2解析：由乞14x1得 4x 2（X 1)2 4 0 得 3X 2 2x 50 (*)设方程（*） 的解为Xi，X2，则有X i得,4 20（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点, 则设直线的方程为 y kX 1它被双曲线截得的弦为 AB 对应的中点为P （X ，y ），y kx 12y 1I4 得(4 k )x2kX 5设方程（ *）的解为X1，X24k 2 20(4 k 2)• 16k 280,|k| ,5 X1且X 22k4f X1X22(X1 X 2)扣1y 2)1(X1X 2) 12 2得4X y0(y4 或 y 0）。
方法二：设弦的两个端点坐标为A (X i , y 1),B (X 2, y 2) ，弦中点为 P（X,y ），则4X 2y 24得 :4(为X 2)(X 1 X 2) (y 1y 1 y 2 4( X X 2) y 4x X 1 X 2 y 1 y 2即x y 1丫2）（力 y 2）2 2即4x y y 0 （图象的一部分）4X 12 y 12 4点评：(1 )弦长公式|AB| J k |x , x 2|的两种处理方法。
例7 •过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离 心率的范围。
b 2x 2点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范 围往往与判别式的取值建立联系。
题型3 :直线与抛物线的位置关系2例&已知抛物线方程为y 2p(x 1)( p 0)，直线l : x y m 过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为 3,求p 的值。
解析：设I 与抛物线交于A(x i , y i ), B(X 2,y 2),则| AB | 3.点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实 数解则相离。
例9 .直线y =x — 1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是2 解析：设双曲线的方程为笃 a2yb 7 1(a K0,b 0) , F(c,0)，渐近线 y —x ，则过 Fa的直线方程为y-(x c )，则 bC)代入得(b 4a 4)x 2c 44 22, 4 c2a cx a c a b 0,即得 x 1x 2 0b 4 a 4,••• b a ，即得到 e 、、2。
由距离公式|AB|= (x X 2)2(% y 2)2 = 1 1 |y 1y 21 ■■ 2 | y 1 y 2 |,则有(％ y 2)2由x y 1殳消去x,得寸 y 2 2p(x 1).2pyp 2 0.(2p)2 4p 2 0.y 1y 22P ，y i y 2从而(y y 2)2 (y 1 y ?)2 Ayy,即(2p)24p 2由于p>0,解得p 卫p4| y i y 21; (2)有关中点弦问题答案：(3, 2)2 ___________解法一：设直线 y =x — 1与抛物线y =4x 交于A (x i , y i ), B(X 2, y 2),其中点为P(x o ,y o )。
x 1 x 2/、x o = -- =3. y o =x o — 1=2. /• P (3, 2)。