组合数的性质与综合应用资料
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
组 合
组 合【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．要点诠释：① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作m n C ．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 例如，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅． 因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!m n n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
小学数学排列与组合的概念与应用
排列与组合的综合应用
排列与组合的概念：排列 是指从n个不同元素中取 出m个元素进行有序排列， 组合是指从n个不同元素 中取出m个元素进行无序
组合。
排列与组合的应用：在解 决实际问题时，需要根据 实际情况选择合适的排列
或组合方法。
排列与组合的解题思路： 首先，确定问题的目标和 要求；其次，分析问题的 条件和限制；最后，选择 合适的排列或组合方法解
组合问题：解决组 合问题的方法和步
骤
组合应用：组合在 数学题目中的应用
实例
组合与排列的区别： 组合与排列在数学 题目中的应用区别
排列与组合在实际问题中的应用
排列问题：例如，从5个 不同的数字中选出3个进 行排列，有多少种不同的
排列方式？
组合问题：例如，从5个 不同的数字中选出3个进 行组合，有多少种不同的
单击添加项标题
问题：有5个不同的球，其中2个是红色，3个是蓝色，放 入3个不同的盒子中，有多少种不同的放置方法？
单击添加项标题
问题：有5个不同的球，其中2个是红色，3个是蓝色，放入3个不同 的盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放置方法？
单击添加项标题
解析：这是一个组合问题，可以使用组合公式C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)来计算。在 这个问题中，n=5，r=3，所以C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种不同的放置方法。
单击添加项标题
解析：这是一个组合问题，可以使用组合公式C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)来计算。在 这个问题中，n=5，r=3，所以C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10种不同的放置方法。
提高练习题及解析
排列与组合的概念：理解排列 与组合的定义和区别
组合数的性质与综合应用解读
10
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
例、（1）求证：Cn+m1 = Cnm+-1Cn-m1+Cn-m1-1
4
1
540
四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙 3 人各取 1 堆，共有 C16·C52·C33·A33＝360(种)．
(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除， 故共有C16·AC5122·C44＝15(种)．
(6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A66＝720(种)．
跟踪练习
2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
(2)
C m1 n
C m 1 n
2
C
m n
C . m 1 n2
( 2)
C
m1 n
C
m1 n
2C
m n
(1)
(C
mn C1 mn C1 mn )Cmn(1CmnCmnC11
1.3(2)第2课时 组合数的性质和应用
(14 分)
【题后反思】 此类问题属于所谓“多面手”问题，应该按照“多 面手”有没有被选中，选中的“多面手”作何用进行分类．
【变式3】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日 语译员，另外两名英、日都精通．从中找出8人，使他们可以 组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语， 这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？ 解 按“英、日语都会的人”的参与情况，分成三类：
种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，
3 AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A 3 种情况，而这A 3 3
种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法， C2 C2 C2 6· 4· 2 故分配方式有 A3 ＝15(种)．
3
(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配
＝
90(种)．
(7)直接分配问题．
1 甲选1本，有C1 6种方法；乙从余下的5本中选1本，有C5种方法； 1 1 4 余下4本留给丙，有C4 种方法，共有分配方式 C C5· C4＝30(种)． 4 6·
(9 分)
1 2 3 0 (3)甲、乙都上场，都作前锋有 C6 C4种，都作后卫有 C6 · C4种，一
2 1 2 1 C C 种，共有 C1C2＋C3C0＋C1C C ＝ 个作前锋一个作后卫有 C1 2 6 4 6 4 6 4 2 6 4
176(种)．故共有 120＋340＋176＝636(种)．
解
3 (1)第一步：选3名男运动员，有C 6 种选法，第二步：选2名女
3 2 运动员，有C2 种选法，故共有 C C4＝120(种)选法． 4 6·
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
排列与组合(竞赛03)
排列与组合及其综合运用班级__________姓名__________一、知识点一：两个基本原理加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法．例1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？（2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法； 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法． 根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11． 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法； 第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N ＝6 5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币；（1）从中任取一枚，有多少种不同取法？（2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2．（1）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？（2）由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ （3）由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这只有5种选法；第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5⨯5⨯5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1．从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、...、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、 (9)10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结1：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法；其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习．练习1．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？2．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？3．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？4．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同；（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？二、知识点二：排列基本概念一<)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(m n定的顺序．．．．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同．什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列．例3．由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？练习：已知a 、b 、c 、d 四个元素；①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列．基本概念二定义：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mn A 表示．（人教版教材用m n P ）．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ 或!()!m nn A n m =-．1n A =__________；2n A =__________；3n A =__________；4n A =__________；计算：25A =__________；45A =__________； 42882A A -=__________；812712A A =__________．例4．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列即66A =720（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种；则共有22A 55A =240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法， 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有： 77A －662A ＋55A =2400种． 小结2：对于“在”与“不在”的问题，常用“直接法”或“排除法”，特殊元素可以优先考虑．例5．7位同学站成一排；（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法． 所以，这样的排法一共有：66A 22A ＝1440．（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能 站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，故丙不能站在排头和排尾的排法有652652(2)960A A A -⋅=种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素 进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 14A 55A 22A ＝960种方法．小结3：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例6：7位同学站成一排．（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）7627623600A A A -⋅=．解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有52563600A A =种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学 分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结4：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 练习：1．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二 个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1599136080A A =．解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ；则共有：595A ⋅＋69A ＝136080．解法三：（间接法）65109A A -=136080．2．（1）八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排24A ；丙排在后排14A ；其余进行全排列55A ，所以一共有24A 14A 55A ＝5760种方法． （2）不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种商品必须排在一起，而c ，d 两种商品不排在一起，则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a ，b 捆在一起与e 进行排列有22A ；此时留下三个空，将c ，d 两种商品排进去一共有23A ；最后将a ，b “松绑”有22A ．所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法．（3）6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有：33A 33A ；若第一个为学生则有33A 33A ，所以一共有233A 33A ＝72种方法．3．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：1234555555325A A A A A ++++=（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有1333A A 种方法；另一类是首位不为1，有1444A A 种方法．所以一共有1333A A 1444114A A +=个数比13 000大． 解法二：（排除法）比13 000小的正整数有33A 个，所以比13 000大的正整数有55A -33A ＝114个． 4．用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列； （1）第114个数是多少？（2）3 796是第几个数？解：（1）因为千位数是1的四位数一共有3560A =个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位 数字是“1”即“31”开头的四位数有2412A =个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数 也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”，而“3 968”排在第6个位置 上，所以“3 968”是第114个数．（2）由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．5．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中：（1）能被25整除的数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？解：（1）能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有24A 个，末尾为25的有1133A A 个，所以一共有24A ＋1133A A ＝21个．注：能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．（2）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，共有1355300A A =个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的．．．．”，故十位数字比个位大的有135511502A A =个．三、知识点三：组合基本概念一什么叫组合？一般地，从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同． 例如：判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：（1）从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）（2）从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列） 基本概念二从n 个不同元素中取出m （m n <）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有233C =种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ；一共6种组合，即：246C =．注意：要解决的是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．组合数公式：(1)(2)(1)!mmn nm m A n n n n m C m A ---+== 或!!()!m n n C m n m =-(,,)n m N m n *∈≤且． 练习：1．计算：①47C =__________；②710C =__________．2．求证：11m m n nm C C n m ++=⋅-． 3．设,x N +∈，求123231x x x x C C ---++的值．解：由题意可得：231123x x x x -≥-⎧⎨+≥-⎩，即：2≤x ≤4；∵*x N ∈，∴x =2或3或4； 检验：当x =2时原式值为7；当x =3时原式值为7；当x =2时原式值为11； ∴所求值为4或7或11．例7．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：22264290C C C ⋅⋅=．例8．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，2146C C ⋅， 1246C C ⋅，所以一共有34C +2146C C ⋅+1246c C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）33106100C C -=．四、知识点四：组合数的性质1．组合数 性质1：m n mn nC C -=． 理解：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n mn nC C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 注：1︒ 规定：01n C =；2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算n mn C -，能够使运算简化． 4︒ xy n n C C =x y ⇒=或x y n += 2．组合数 性质2：1m n C +＝m n C +1m n C -． 练习：①计算：34567789C C C C +++； ②求证：2n m C +＝n m C +12n m C -+2n m C -； ③解方程：1231313x x C C +-=； ④解方程：233223110x x x x x C C A --++++=； ⑤计算：0123444444C C C C C ++++和012345555555C C C C C C +++++； 推广：01212n nn n n n n n C C C C C -+++++= ．3．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：①11231k k k k k k n n n k k n C C C C C C +---++++++= ； ②1121k k k k k k k k k n n k C C C C C ++++++++++= ；③1230123()2n n n n n n n n n nC C C nC C C C ++++=+++ ．例9．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查；（1）都不是次品的取法有多少种？ （2）至少有1件次品的取法有多少种？ （3）不都是次品的取法有多少种？解：（1）4902555190C =；（2）44132231410090109010901090101366035C C C C C C C C C -=+++=； （3）44132231410010901090109010903921015C C C C C C C C C -=+++=．例10．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有1465C C ；3奇2偶有3265C C ；5奇1偶有56C ； 所以一共有1465C C +3265C C +56236C =． 例11．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英 语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2243C C ； ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有3143C C ； ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有3243C C ． 所以一共有2243C C +3143C C +3243C C ＝42种方法．例12．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）221211645443242C C C C C C -+=．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有1244C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2243C C ．所以一共有1244C C +2243C C ＝42种方法．例13．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有55A 种方法． 根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝1800种方法．例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：（1）根据分步计数原理得到：22264290C C C =种．（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有222642C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：22236423C C C xC=，所以2226423315C C C x A ==． 因此分为三份，每份两本一共有15种方法．注：本题是分组中的“均匀分组．．．．”问题． （3）这是“不均匀分组”问题，一共有12365360C C C =种方法．（4）在（3）的基础上在进行全排列，所以一共有12336533360C C C A =种方法．（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有22264290C C C =种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有12336533360C C C A =种方法； ③“1、1、4型”，有436390C A =种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．例15．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44A 35C ＝240种方法．例16．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：（1）根据分步计数原理：一共有44256=种方法．（2）（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法； 所以一共有24C 34A ＝144种方法．例17．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多 少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为3620C =种方法．例18．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有211182772()A C C C +种方法；②若不取6，则有1277C A 种方法．根据分类计数原理，一共有211182772()A C C C ++1277C A ＝602种方法．。
小学奥数专题-组合的基本应用(一)
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数nm P 可分成以下两步: 第一步:从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步:将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m mn n mP C P =⋅． 因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质:m n mn nC C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是:m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．知识要点教学目标7-5-1.组合的基本应用（一）模块一、组合之计算问题【例 1】 计算:⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =． 【答案】⑴ 2615C =，4615C =⑵ 2721C =，5721C =【例 2】 计算:⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -． 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P C C C P -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C CC P -=====；⑶ 2981002100100100100221009922122494821P C C C P ⨯-=-⨯=-=-=⨯． 【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．【巩固】 计算:⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 312121110220321C ⨯⨯==⨯⨯⑵ 998210001000100099949950021C C ⨯===⨯⑶ 2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯． 【答案】⑴ 312220C =⑵ 9981000499500C = ⑶ 228828P C -=．模块二、组合之体育比赛中的数学【例 3】 某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问:共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行21212116621C ⨯==⨯(场)比赛．【答案】21266C =【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问:共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答例题精讲【解析】由组合数公式知，共需进行2242423276 21C⨯==⨯(场)比赛．【答案】224276C=【例 4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球．【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7题【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让6个人最多次地传球，则是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15条线，代表传球15次，根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有6个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去掉4个奇数点，还剩下2个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.AB C DEF【答案】13次【例 5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有n个人参加循环赛，应该有217821⋅-==⨯n n nC （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n（），所以13n=，即一共有13人参加循环赛．【答案】13n=【例 6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段:将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段:将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段:由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问:整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛266515 21C⨯==⨯场，共8个小组，有158120⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24436 21C⨯==⨯场，共4个小组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛．【答案】148【例 7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)先选4人，再考虑组合的方法．8选4有4870C=种组合，其中实质不同的有一半，即70235÷=种；对每一边的4个人，共有实质性不同的2423C÷=种，所以，可以得到3533315⨯⨯=种实质不同的比赛安排表．(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考虑到实质相同:1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了72次，答案为:78!2315÷=．【答案】315模块三、组合之数字问题【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问:⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】⑴要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有225522541021PCP⨯===⨯(个)不同的乘积．⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．由排列数公式，共有255420P=⨯=(种)不同的乘法算式．【答案】⑴2510C=⑵2520P=【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．【答案】120【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】228822872821PCP⨯===⨯(种)．【答案】2828C=【例 9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。
组合数的综合应用(习题课)
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组合数的综合应用(习题课)类型一简单的组合问题【典例】1.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师,其中体育教师2名,数学教师4名.按每所学校1名体育教师,2名数学教师进行分配,则不同的分配方案有( )A.24B.14C.12D.8(1)男运动员3名,女运动员2名.(2)至少有1名女运动员.(3)既要有队长,又要有女运动员.1.根据题意,假设两个学校为甲、乙,先为甲学校安排1名体育教师,2名数学教师,再将剩下的1名体育教师,2名数学教师安排给乙学校,由分步乘法计数原理计算可得答案.2.(1)根据组合数公式将问题分步进行.(2)分四类求解,也可以用间接法.(3)分两类:男队长、女队长,当是男队长时再选女队员,最后选男队员,当是女队长时,其余队员可以任意选.【解析】1.选C.根据题意,假设两个学校为甲、乙,先为甲学校安排1名体育教师,2名数学教师,有=12种选法,再将剩下的1名体育教师,2名数学教师安排给乙学校,有1种选法,则有12种不同的分配方案.(2)方法一(直接法):“至少有1名女运动员”包括以下几种情况,1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.方法二(间接法):不考虑条件,从10人中任选5人,有种选法,其中全是男运动员的选法有种,故“至少有1名女运动员”的选法有-=246(种).(3)当有女队长时,其他人选法任意,共有种选法;不选女队长时,必选男队长,共有种选法,其中不含女运动员的选法有种,故不选女队长时共有-种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有+-=191(种).提示:正面考虑情况较多时通常采用间接法,在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用.提醒:在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏.A.120种B.90种C.60种D.30种【解析】选C.甲场馆安排1名有种方法,乙场馆安排2名有种方法,丙场馆安排3名有种方法,所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有=60种.(1)任意选5人.(2)甲、乙、丙三人必须参加.(3)甲、乙、丙三人不能参加.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.(6)甲、乙、丙三人至多2人参加.【解析】(1)有=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有=3种选法,再从另外的9人中选4人,有种选法,共有=378种选法.(5)方法一(直接法):可分为三类:第一类:甲、乙、丙中有1人参加,共有=378种;第二类:甲、乙、丙中有2人参加,共有=252种;第三类:甲、乙、丙中有3人参加,共有=36种;共有++=666种不同的选法.方法二(间接法):12人中任意选5人,共有种,甲、乙、丙三人都不能参加的有种,所以,共有-=666种不同的选法.(6)方法一(直接法):甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:第一类:甲、乙、丙都不参加,共有种;第二类:甲、乙、丙中有1人参加,共有种;第三类:甲、乙、丙中有2人参加,共有种.共有++=756种不同的选法.方法二(间接法):12人中任意选5人,共有种,甲、乙、丙三人全参加的有种,所以,共有-=756种不同的选法.【解析】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.(2)这是全排列问题,共有=24(种)放法.(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有种投放方法,所以共有=144(种)放法.类型二与几何有关的组合应用题【典例】1.空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为( )A.205B.110C.204D.2002.平面上有9个点,其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等),此外任何三点不共线.2.(1)从9个点任取2个点,除去共线的情况即可.(2)根据射线的定义,结合题目中点是共线还是不共线进行讨论.(3)向量有方向,所以直接取出点即可.【解析】1.选A.方法一:可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类,则得到所有的取法总数为+++=205.方法二:从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况,得到所有构成四面体的个数为-=205.2.(1)任取两点共有种取法,共线四点任取两点有种取法,所以共有直线-+1=31条.(2)不共线的五点可连得条射线,共线的四点中,外侧两点各可发出1条射线,内部两点各可发出2条射线,而在不共线的五点中取一点,共线的四点中取一点而形成的射线有条,故共有+2×1+2×2+=66条射线.(3)任意两点之间,可有方向相反的2个向量各不相等,则可有=72个向量.提示:异面直线的条数问题、四面体个数问题、三角形的个数问题、射线的条数问题等.解几何有关的组合应用题的解题策略(1)图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.(2)在处理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解决.如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )A.70个B.64个C.58个D.52个【解析】选C.正方体的8个顶点中任取4个共有=70个,不能组成四面体的4个顶点有6个,已有6个面,对角面有6个,所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有70-12=58个.类型三组合应用中的分组分配问题角度1 不同元素分组分配问题(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本.(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本.(3)分成三组,每组都是2本.(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.(1)先从6本书中取出一本作为一组,再从剩余的5本中任取2本作为一组,则其余3本为一组.(2)在(1)分组的基础上进行排列即可.(3)先从6本书中取出2本作为一组,再从剩余的4本中任取2本作为一组,则其余2本为一组,其中有重复须除以.(4)在(3)中分组的基础上排列即可.(3)先分三组,有种分法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为(AB,CD,EF),但种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共种情况,而这种情况只能作为一种分法,故分配方式有=15(种).在解不同元素分组分配问题的过程中,经常用到核心素养中的数学运算,通过题中条件的分析选择合适的排列组合公式,再结合计数原理进行计算.【解析】这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少一本,则有(3,1,1,1)和(2,2,1,1)两种.当为(3,1,1,1)时,有种分组方法,所以有=480种分法;当为(2,2,1,1)时,有种分法,所以有=1 080种分法.角度2 相同元素分配问题【典例】1.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )A.30B.21C.10D.15①每个盒子都不空;②恰有一个空盒子;③恰有两个空盒子.1.由于名额之间没有差别,只需将10个名额分成三部分即可.2.①6个小球是相同的,所以只要将6个小球分隔成4组即可.②先选出一个空盒,再将6个小球分隔成3组.③在6个小球的7个空隙中放入5个隔板,在其中各有两个隔板放到同一个间隙中.【解析】1.选D.用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有=15(种)分配方法.2.①先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有=10(种).②恰有一个空盒子,插板分两步进行.③恰有两个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有种插法,如|00|0000|,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.其一:这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子,如||00||0000|,有种插法. 其二:将两块板与前面三块板之一并放,如|00|||0000|,有种插法.1.分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种.①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.2.相同元素分配问题的建模思想(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的元素(n≥m),有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板.A.680B.816C.1 360D.1 456【解析】选A.先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个“板”,共有=680种方法,故有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有680种不同的分配方案.A.116B.100C.124D.90【解析】选B.根据题意,分2步进行分析:①将5名医学专家分为3组,若分为2、2、1的三组,有=15种分组方法,若分为3、1、1的三组,有=10种分组方法,则有15+10=25种分组方法;②将分好的三组分派到三个医疗点,甲专家所在组不去A医疗点,有2种情况,再将剩下的2组分派到其余2个医疗点,有2种情况,则3个组的分派方法有2×2=4种情况,则有25×4=100种分配方法.1.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( )A.36种B.48种C.96种D.192种2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球,从中取2个球,则这两个球同色的不同取法有( )A.27种B.24种C.21种D.18种【解析】选C.分两类:一类是2个白球有=15种取法,另一类是2个黑球有=6种取法,所以取法共有15+6=21(种).3.随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识,网购鲜花速递行业迅速兴起.佳佳为祝福母亲的生日,准备在网上定制一束混合花束.客服为佳佳提供了两个系列,如下表:粉色系列黄色系列戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪假日公主、金辉、金香玉玫瑰山康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列,再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束.则佳佳可定制的混合花束一共有________种.答案:108【解析】根据题意,分2步进行分析:①从3名男生和3名女生中选出3人,要求这3人中必须既有男生又有女生, 则有--=18种情况,②将选出的3人全排列,安排担任三个不同学科课代表,有=6种情况,则有18×6=108种选法.答案:108三关闭Word文档返回原板块。
组合与排列、组合综合
组合与排列、组合综合[理论要点]1．组合:从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
注意组合与排列的异同。
共同点:都是从n个不同元素中，取出m个元素。
不同点:排列要将取出的m个元素按一定顺序排成一列，组合则是将取出的m个元素不管顺序并成一组。
这是区分排列与组合的主要标准。
只要两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合。
只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。
2．组合数:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，即。
（n,m∈N且m≤n）3．组合数的两个性质:①=（n,m∈N, 0≤m≤n）这里规定=1。
②。
以上两性质均可用两种方法证明。
一是利用组合数公式；另一种是构造性证明，即根据组合定义直接推出。
这两个性质在简化组合数的计算、证明组合数有关等式中应用广泛。
4．处理排列、组合的综合问题时，一般想法是先选后排，再根据分类或分步，来解决问题。
[典型例题分析]例1．某小组10名同学，其中4名女生，6名男生，现从中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法有多少种？分析:3名代表中至少有一名女生，说明这3名代表可以是1女2男，或2女1男或三女，可分两类情形来考虑。
若从反面想，3名代表中至少有一名女生的反面是3名代表中一个女生都没有，即全部是男生。
这样，就有了两种解法。
解法1（直接法）根据3名代表中女生的人数来分类。
第一类:3名代表中有1名女生，2名男生，有·种选法。
第二类:3名代表中有2名女生，1名男生，有·种选法。
第三类:3名代表中有3名女生，无男生，有种选法。
∴共有·+·+=60+36+4=100种不同选法。
解法2（间接法）排除不符合条件（即3名男生的情形）的选法数即可。
∵s从10名代表同学中选3名代表的选法数是，3名代表都是男生的选法数是，∴3名代表中至少有一名女生的选法数是-=120-20=100。
组合数的性质
组合数的性质与特点
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的特点
• 组合数与排列数的关系：C(n, k) = P(n, k) / k!，其中P(n, k)为排列数
组成的组合数，记为C(n, k)
k)!)
• 当k=0时，C(n, 0) = 1
• 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 递推法：C(n, k) = C(n-1, k-1) +
• 当k=n时，C(n, n) = 1
C(n-1, k)
• 迭代法：C(n, k) = C(n-1, k) +
• 计算多项式分布的置信区间：P(X=k) = C(n, k)p_1^k * p_2^k * ... * p_n^k
组合数在假设检验中的应用
假设检验的定义
• 对总体参数θ进行假设检验，检验H_0：θ=θ_0是否成立
组合数在假设检验中的应用
• 计算二项分布的假设检验：P(X=k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
组合数的递推关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高三一轮复习_排列组合
7
4．(2010·北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老
师不相邻的排法种数为( A )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
D．A88C27
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有 A88种排法，老 师插空有 A29种方法，所以共有 A88A29种排法．
2021/7/17
8
5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传 广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方 式有( C ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种
2021/7/17
22
探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素 取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排 列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的 差异及分类的标准．
2021/7/17
23
变式训练 3 (2010·湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同 学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参 加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、 戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( B ) A．152 B．126 C．90 D．54
2021/7/17
19
变式训练 2 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学 校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因 此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法 种数是__1_6_____．(用数字作答)
解析 从 6 所高校中任选 3 所有 C36＝20(种)不同选法，其中 同时报考 2 所考试时间相同的选法数为 C14＝4(种)，故不同的 报名方法种数为：C36－C14＝20－4＝16(种)．
论文资料：组合、组合数的概念及组合数公式及应用
组合、组合数的概念及组合数公式及应用一、重点、难点：1、主要内容为组合的意义、组合数及组合数公事、性质，组合的简单应用。
2、重点是组合的意义、组合数公式及性质和它们的简单应用。
3、难点是排列与组合的区别及组合数公式、性质的简单应用。
二、学法指导：1、组合：从n 个不同元素中，任取)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、排列与组合的区别关键在于：排列与顺序有关，组合与元素的顺序无关。
即当取出元素后，如果改变一下顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如改变顺序，所得结果还是原来的取法就是组合问题。
组合的最大特点是每一个组合仅与选取的元素有关，而与这些元素的排列的位置无关。
3、要分清“组合”和“组合数”是两个不同的概念，组合是从n 个不同元素中，任取)(n m m ≤个元素并成一组，是一个具体的事件，而组合数是符合条件的所有组合的个数，是一个数。
4、在写从n 个不同元素中，任取)(n m m ≤个元素的组合时，也要按一定的规律顺序写，以免重复或遗漏。
5、组合数的公式有两个：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n P P C m n m m m n m n-=+--==和 。
《注》：一般在计算具体的组合数时，常用前一个公式；在对含有字母的组合数恒等变形或证明等式时，常用后一个公式。
6、组合数有两个重要性质：（1）11)2(;-+-+==m n m n m n m n n m n C C C C C 。
《注》：第一个性质常用与当2n m >时组合数的计算，这样可以使计算简便些，第二个性质常用与恒等变形和证明等式。
三、例题讲解：例题1、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有多少种？解：3名医生分配到3所学校有633=P 种分法。
6名护士被分配到3所学校每校2名护士有90222426=C C C 种分法。
组合数学考研专业课资料
组合数学考研专业课资料组合数学是数学的一个分支，研究的是集合中元素的选择、排列和组合方式。
它在理论计算机科学、统计学、运筹学等领域有着广泛的应用。
对于考研的学生来说，组合数学是其中的一门专业课程，掌握了组合数学的基本概念和方法，对于考试取得好成绩非常重要。
一、组合数学的基本概念1.1 集合和元素集合是由元素组成的一个整体，可以表示为一对大括号{}中包含一个或多个元素的形式。
元素是集合中的个体，可以是数字、字母、符号等。
1.2 子集和幂集集合A的全部元素都是集合B的元素时，称A是B的子集，用A⊆B表示。
集合A中除去一个或多个元素后所得到的集合称为A的真子集。
集合A的所有可能子集的集合称为A的幂集。
1.3 排列和组合排列是指从集合中选取一定数量的元素按照一定的顺序排列，用数学符号表示为n!，其中n表示元素的个数。
排列与元素的顺序相关。
组合是指从集合中选取一定数量的元素不考虑顺序，用数学符号表示为C(n, m)，其中n表示元素的个数，m表示选取的元素个数。
1.4 二项式系数二项式系数是组合数学中常见的系数，表示组合的可能性。
二项式系数C(n, m)用来计算从n个元素中选取m个元素的组合方式。
二、组合数学的应用领域2.1 图论图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机网络、电路设计、交通规划等领域有着广泛的应用。
2.2 正整数划分正整数划分是将一个正整数拆分成若干个正整数的和的问题。
组合数学中的划分数理论可以用来解决正整数划分问题，对于组合数学的研究具有重要意义。
2.3 编码理论编码理论是研究如何将信息转换为特定的编码形式以便传输或存储的学科。
组合数学中的排列和组合等概念在编码理论中有着重要的应用。
2.4 概率论概率论是研究随机事件发生的规律的数学学科。
组合数学中的概率论可以用来计算组合的可能性，对于统计学、金融学等领域有着重要的应用。
三、组合数学考研专业课资料推荐3.1 《组合数学导引》《组合数学导引》是一本介绍组合数学基本概念和方法的教材，适合初学者阅读。
(完整版)高中排列组合知识点汇总情况及典型例题(全)
适用标准一．基来源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步达成，则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地点同意重复使用，求方法数经常用基来源理求解。
二．摆列：从 n 个不一样元素中，任取m（ m≤ n ）个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从 n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列，所有摆列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.(1) (3)规定： 0!1n!n(n 1)!,( n1) n!( n 1)!(2) n n! [( n 1) 1] n! ( n 1) n! n! (n 1)! n!；n n 1 1n1111(n1)!( n1)!(n1)!( n 1)!n!(n 1)!三．组合：从 n 个不一样元素中任取 m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n 个不一样的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!m !定： C n01A m m m!m! n2.组合数性质： C n m C n n m， C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2 L C n r1 C n r C r r11C r r1 C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2 L C n r1 C n r C n r11若 C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1 +m 2n四．办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事（审题）②有序仍是无序③分步仍是分类。
2．解摆列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况去掉。
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8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
8
8
8
8
8
例．计算：
C
3 7
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
1098 7 210 4!
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
例 证明
1、
Cm n1
C m1 n
C
m n1
C
m 1 n1
2、
C
n n
Cn n1
L
C
n n
m
C n1 n m 1
补充例题：
（1）计算C40 C51 C62 C193 ； （2）计算C22 C32 C42 C120 ；
1
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
C C C 组合数性质2
m
m
m1
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m 1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
巩固练习
3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法
的种数是
10
C53
C52
54 2!
10
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
C1300
100 99 98 3 2
161700种
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种?
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C1300 C938 9604 种
例 计算
C ( 1 )
198 ;
200
C 2 200 199 19900
200
21
(2)
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C ( 3 )
3 3 2 .
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
例、（1）求证：Cn+m1 = Cnm+-1Cn-m1+Cn-m1-1
(2)求C22+C23+C42+C52+C62+C72的值
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定 理 1:
m
nm
n
n
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？C
3 8Leabharlann 56②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，
有多少种取法？C
2 7
21
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有
练习：1、 C19000－C8999 =（ ）
A、C11010
B、C
9
99
C、C1909
D、C11020
2、求
C 97 98
2C9986
C 95 98
的值
3、已知 C172 = C171 + C1x1 , 求x的值
4、求C22+C23+C42+C25+C62+…+C1200的值
小结
1.组合数公式:
m 1
m
m 1
n 1
n
n 1
n 1
(2)
C m1 n
C m 1 n
2
C
m n
C . m 1 n2
( 2)
C
m1 n
C
m1 n
2C
（3）求证：Cnn
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
例１ 计算：
C C ( 1 )
3 2;
99
99
C
3 1
0
0
100
99
98
161700
3 21
2C C C ( 2)
3 3 2 .
8
9
8
2
C3 8
(
C
3 8
C
2 8
)
C2 8
C3 8
56
例2 求证:
(1)
C C C C ; m
多少种取法？C
3 7
35
从引例中可以发现一个结论：C3 C 2 C3
8
7
7
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C
2 7
C73
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1, a2 ,L , an1这n 1个不同的元素中取
从2件次品中抽出1件次品的抽法有
C
1 2
从98件合格品中抽出2件的抽法有 C928
C21 • C928 9506
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C21 • C928 C22 • C918 9604 种
出m个元素的组合数是Cnm1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 ,L , an1这n个元素中取出 m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；
不含a1的组合是从a2 , a3 ,L , an1这n个元素中取出
m个元素组成的，共有Cnm个
由分类计数原理，得
(n 1)! m![(n 1) m]!
C .m n 1
组合数性质2：
Cm Cm Cm1
n1
n
n
说明：
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．