集合论习题解析——经典习题与考研习题

集合论习题解析

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1）， A=B时不成立
/* 与不同*/
分析： I) ABAB=B：因为BAB；对于任意xAB，如果 xA, 因为AB, 所以xB, 则对任意的 xAB， xB成立。所以AB=B。 • II) A=B AB=B，但AB不成立。
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• 可能 • A={1}, B={{1}, 1}.
• 3 设A, B, C是集合，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例： • 1) AB, BC AC; • 2) AB, BC AC; • 3) AB, BC AC; • 4) AB, BC AC; • 5) aA, AB aB.
1.1 与
• 1 设A, B, C是任意3个集合，如果AB, B C, 则AC可能吗？ AC常真吗？举例说明。
• AC可能 A={1}, B={{1}}, C={{1}, {{1}}} • AC不常真 A={1}, B={{1}}, C={{{1}}}
• 2 设A, B是任意2个集合， A B与 AB同时成立，这可能吗？
• 1）假 A={1}, B={2}, C={{2}} • 2）假 A={1}, B={2}, C={{1}} • 3）假 A={1}, B= {{1}}, C={{1}, 1}
• 4）假 A={1}, B={{1}, 1}，C={{1}, 2} • 5）真子集定义
• 4 设A, B, C是U的子集，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例： • 1) ABAB=B; • 2) ABAB=A; • 3) ABAB=A; • 4) ABAB=B; • 5) ABA(B-A)=B; • 6) BA(A-B)B=A;
x B或x C x B C x B C 所以，A B C .

集合论习题答案

P3 习题1.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x1，③x2+x+1，④x2x+1，①②x21，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5x4+x3x2+x1)}1.1.2 解⑴{x | x I+ , x<80}；⑵{x | x I且n I使x=2n+1}；⑶{x | x I且n I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y R , x2+y2<1}；⑸{(,)| ,R, >1}；⑹{ax+b=0| a,b R且a0}。

P5 习题。

1.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。

1.2.3 解：A=，B={0}，C={…,4,2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,4,2,0,2,4…}，F={2,4}，G=，H={…,4,2,0,2,4…}。

∴C=E=H，D=F，A=G。

1.2.4 答：四个全为真。

证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{} ；幂集的幂集{,{}}$⑵幂集{,{},{a},{,a}}；幂集的幂集零元素子集{,单元素子集{} , {{}} , {{a}} , {{,a}},双元素子集{,{}} , {,{a}} , {,{,a}} , {{},{a}} , {{},{,a}} , {{a},{,a}} ,三元素子集{,{},{a}} , {,{},{,a}} , {,{a},{,a}} , {{},{a},{,a}}}，四元素子集{,{},{a},{,a}} 。

集合大题的题目及解析

集合大题的题目及解析一、集合大题示例1. 题目设集合A = {x -2 ≤ x ≤ 5}，集合B = {x m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}。

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围。

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数；（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围。

2. 分值分布（1）这一问分值大概占30%。

（2）这一问分值大概占30%。

（3）这一问分值大概占40%。

3. 答案与解析（1）当B = ∅时，m+1>2m - 1，解得m<2。

当B≠∅时，要使B⊆A，则有$\begin{cases}m + 1\leqslant2m - 1\\m+1\geqslant - 2\\2m - 1\leqslant5\end{cases}$。

由m + 1≤2m - 1得m≥2。

由m + 1≥ - 2得m≥ - 3。

由2m - 1≤5得m≤3。

综合起来就是2≤m≤3。

综上，m的取值范围是m≤3。

（2）当x∈Z时，A={ - 2, - 1,0,1,2,3,4,5}，元素个数n = 8。

非空真子集个数为$2^{n}-2=2^{8}-2 = 254$。

（3）因为不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，所以A∩B = ∅。

①当B = ∅时，m + 1>2m - 1，解得m<2。

②当B≠∅时，则有$\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\m +1>5\end{cases}$或者$\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\2m - 1< -2\end{cases}$。

对于$\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\m + 1>5\end{cases}$，由m +1≤2m - 1得m≥2，由m + 1>5得m>4，所以m>4。

对于$\begin{cases}m+1\leqslant2m - 1\\2m - 1< - 2\end{cases}$，由m + 1≤2m - 1得m≥2，由2m - 1< - 2得m<-\frac{1}{2}，无解。

集合练习题及解析答案

集合练习题及解析答案精品文档集合练习题及解析答案1.若集合M,{a，b，c}中元素是?ABC的三边长，则?ABC一定不是A(锐角三角形 B(直角三角形C(钝角三角形 D(等腰三角形2(定义集合运算:A*B,{ z|z,xy，x?A，y?B}.设A,{1，2}，B,{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为A(0 B( C( D(63(已知集合A,{2,3,4}，B,{2,4,6,8}，C,{| x?A，y?B，且logxy?N，}，则C 中元素的个数是A(9B(8C( D(44(满足{,1,0} M?{,1,0,1,2,3}的集合M的个数是A(4个 B(个 C(7个D(8个5(已知集合A,{,1,1}，B{x|ax，1,0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为A({,1} B({1} C({,1,1}D({,1,0,1}6.已知全集U,{1,2,3,4,5,6}，集合A,{1,2,5}，?UB,{4,5,6}，则集合A?B,A({1,2} B({5} C({1,2,3} D({3,4,6}7(设全集U,{1,3,5,6,8}，A,{1,6}，B,{5,6,8}，则?B,1 / 21精品文档A({6}B({5,8}C({6,8} D({3,5,6,8}2,x8(若A,{x?Z|2?1}，则A?的元素个数为A(0 B(1 C(2D(319(设U,R, M,{x|x2,x?0}，函数f的定义域为N，则M? x,1A([0,1)B( C([0,1] D({1}10(设U,R，集合A,{y|y,x,1，x?1}，B,{x?Z|x2,4?0}，则下列结论正确的是A(A?B,{,2，,1} B(?B,C(A?B,[0，，?)D(?B,{,2，,1}11(非空集合G关于运算?满足:?对于任意a、b?G，都有a?b?G;?存在e?G，使得对一切a?G，都有a?e,e?a,a，则称G关于运算?为融洽集，现有下列集合运算: G,{非负整数}，?为整数的加法;G,{偶数}，?为整数的乘法;G,{平面向量}，?为平面向量的加法;G,{二次三项式}，?为多项式的加法;其中G关于运算?的融洽集有________(12(设集合A,{1,2，a}，B,{1，a2,a}，若A?B，则实数a的值为________( 13(设集合A,{,1,1,3}，B,{a，2，a2，4}，A?B2 / 21精品文档,{3}，则实数a,________.214(已知集合A,{ x|x,5x，6,0}，B,{ x|mx，1,0}，且A?B,A，求实数m的值组成的集合(x,a15(记关于x的不等式若a,3，求P;若Q?P，求正数a的取值范围(116(已知由实数组成的集合A满足:若x?AA. 1,x设A中含有3个元素，且2?A，求A;A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由(1(解析:根据集合中元素的互异性知a?b?c，故选D.2(解析:依题意得A*B,{ z|z,xy，x?A，y?B},{0，2，4}，因此集合A*B 的所有元素之和为6，故选D.3(解析:C,{| x?A，y?B，且logxy?N，},{，，，}，故选D.4(解析:依题意知集合M除含有元素,1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个(因3而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，故有2,1,7个(故选C.5(D(A3 / 21精品文档7(解析:由于U,{1,3,5,6,8}，A,{1,6} ??UA,{3,5,8}，??B,{5,8}(答案:B12,x8(解析:A,{x?Z|2?1},{x|x>2或0 ? A?,{0,1}，其中的元素个数为2，选C.9(C10.D11.12(解析:?A?B，?a2,a,2或a2,a,a.若a2,a,2，得a,2或a,,1，根据集合A中元素的互异性，知:a?2，?a,,1.若a2,a,a，得a,0或a,2，经检验知，只有a,0符合要求(综上所述，a,,1或a,0.答案:,1或013(解析:?3?B，?a，2,3，?a,1.答案:1214(解析:?A,{ x|x,5x，6,0},{2，3}，A?B,A，?B?A.?m,0时，B,?，B?A;1?m?0时，由mx，1,0，得x. m4 / 21精品文档111?B?A，?,A，?,2,3， mmm11?11?得m,,或,.所以符合题意的m的集合为?0，,23.3??x,315(解析:由 Q,{x||x,1|?1 },{x|0?x?}.由a>0，得P,{x|,12，即a的取值范围是(116(解析:?2?A，?A，即,1?A， 1,21?11???AA，?A,?2，,1，2.??1,?,1?1假设A中仅含一个元素，不妨设为a, 则a?A，有A，又A中只有一个元素，1,a1?a，即a2,a，1,0，但此方程Δ ?不存在这样的实数a.故A不可能是单元素集合(1(已知A,{x|3,3x>0}，则下列各式正确的是A(3?AB(1?AC(0?A D(,1?A集合A表示不等式3,3x>0的解集(显然3,1不满足不等式，而0，,1满足不等式，故选C.C2(下列四个集合中，不同于另外三个的是A({y|y,2} B({x,2}C({2} D({x|x2,4x，4,0}{x,2}表示的是由一个等式组成的集合(故选B.5 / 21精品文档B3(下列关系中，正确的个数为________(1?2R?Q;?|,3|?N*;?|,?Q.1 本题考查常用数集及元素与集合的关系(显然2?R，?正确;2?Q，?正确;|,3|,3?N*，|3|,3?Q，?、?不正确(4(已知集合A,{1，x，x2,x}，B,{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值(因为集合A与集合B相等，所以x2,x,2.?x,2或x,,1.当x,2时，与集合元素的互异性矛盾(当x,,1时，符合题意(?x,,1.一、选择题1(下列命题中正确的?0与{0}表示同一个集合;?由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};?方程2,0的所有解的集合可表示为{1,1,2};?集合{x|4 示(A(只有?和? B(只有?和?C(只有? D(以上语句都不对6 / 21精品文档{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故?错误;?符合集合中元素的无序性，正确;?不符合集合中元素的互异性，错误;?中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示(故选C.C2(用列举法表示集合{x|x2,2x，1,0}为A({1,1} B({1}C({x,1} D({x2,2x，1,0}集合{x|x2,2x，1,0}实质是方程x2,2x，1,0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}(故选B.B3(已知集合A,{x?N*|,5?x5}，则必有A(,1?A B(0?A?A D(1?A?x?N*5?x5，?x,1,2，即A,{1,2}，?1?A.故选D.D4(定义集合运算:A*B,{z|z,xy，x?A，y?B}(设A,{1,2}，B,{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为A(0 B(2C( D(67 / 21精品文档依题意，A*B,{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.D二、填空题5(已知集合A,{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________(由互异性知a2?1，即a??1，故实数a不能取的值的集合是{1，,1}({1，,1}6(已知P,{x|2,x,a，x?N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a,________.用数轴分析可知a,6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.三、解答题7(选择适当的方法表示下列集合集(由方程x,0的所有实数根组成的集合;大于2且小于6的有理数;由直线y,,x，4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合(方程的实数根为,1,0,3，故可以用列举法表示为{,1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x,0}，有限集(由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列8 / 21精品文档举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x?Q|2 用描述法表示该集合为M,{|y,,x，4，x?N，y?N}或用列举法表示该集合为{，，，，}(8(设A表示集合{a2，2a,3,2,3}，B表示集合{2，|a，3|}，已知5?A且5?B，求a的值(因为5?A，所以a2，2a,3,5，解得a,2或a,,4.当a,2时，|a，3|,5，不符合题意，应舍去(当a,,4时，|a，3|,1，符合题意，所以a,,4.9(已知集合A,{x|ax2,3x,4,0，x?R}(若A中有两个元素，求实数a的取值范围;若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围(?A中有两个元素，?方程ax2,3x,4,0有两个不等的实数根，?a?0，99??即a,,16.?a,,16a?0. ?Δ,9，16a,0，4当a,0时，A,{,3};当a?0时，若关于x的方程ax2,3x,4,0有两个相等的实数根，Δ,9，16a,0，9 / 21精品文档9即a,,16若关于x的方程无实数根，则Δ,9，16a,0，9即a16;9故所求的a的取值范围是a?,16a,0.1(设集合A,{x|2?x,4}，B,{x|3x,7?8,2x}，则A?B等于A({x|x?3} B({x|x?2}C({x|2?x,3} D({x|x?4}B,{x|x?3}(画数轴可知选B.B2(已知集合A,{1,3,5,7,9}，B,{0,3,6,9,12}，则A?B,A({3,5} B({3,6}C({3,7} D({3,9}A,{1,3,5,7,9}，B,{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，?A?B,{3,9}(故选D.D3(50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________(10 / 21精品文档设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有人，只参加乙项的有人(+x+=50，?x=5.?只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，?仅参加一项的有45人(54(已知集合A,{,4,2a,1，a2}，B,{a,5,1,a,9}，若A?B,{9}，求a的值(?A?B,{9}，?9?A，?2a,1,9或a2,9，?a,5或a,?3.当a,5时，A,{,4,9,25}，B,{0，,4,9}(此时A?B,{,4,9}?{9}(故a,5舍去(当a,3时，B,{,2，,2,9}，不符合要求，舍去(经检验可知a,,3符合题意(一、选择题1(集合A,{0,2，a}，B,{1，a2}(若A?B,{0,1,2,4,16}，则a的值为A(0 B(1C( D(4?A?B,{0,1,2，a，a2}，又A?B,{0,1,2,4,16}，?{a，a2},{4,16}，?a,4，故选D.D2(设S,{x|2x，1>0}，T,{x|3x,5 1A(?11 / 21精品文档B({x|x 515C(} D({x|,}23151 S,{x|2x，1>0},{x|x>,，T,{x|3x,5 5D3(已知集合A,{x|x>0}，B,{x|,1?x?2}，则A?B,A({x|x?,1} B({x|x?2}C({x|0 集合A、B用数轴表示如图，A?B,{x|x?,1}(故选A.A4(满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M?{a1，a2，a3},{a1，a2}的集合M的个数是A(1 B(2高一数学集合的练习题及答案一、、知识点:本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。

考研集合答案

第九章集合一、选择题1.若查找每个记录的概率均等，则在具有n个记录的连续顺序文件中采用顺序查找法查找一个记录，其平均查找长度ASL为( )。

【北京航空航天大学 2000 一、8 （2分）】A． (n-1)/2 B. n/2 C. (n+1)/2 D. n2. 对N个元素的表做顺序查找时，若查找每个元素的概率相同，则平均查找长度为( ) 【南京理工大学1998一、7（2分）】A．（N+1）/2 B. N/2 C. N D. [（1+N）*N ]/23．顺序查找法适用于查找顺序存储或链式存储的线性表，平均比较次数为（（1））,二分法查找只适用于查找顺序存储的有序表，平均比较次数为（（2））。

在此假定N为线性表中结点数，且每次查找都是成功的。

【长沙铁道学院 1997 四、3 (4分)】A.N+1B.2log2NC.logND.N/2E.Nlog2NF.N24. 下面关于二分查找的叙述正确的是 ( ) 【南京理工大学 1996 一、3 （2分）】A. 表必须有序，表可以顺序方式存储，也可以链表方式存储 C. 表必须有序，而且只能从小到大排列B. 表必须有序且表中数据必须是整型，实型或字符型 D. 表必须有序，且表只能以顺序方式存储5. 对线性表进行二分查找时，要求线性表必须（）【燕山大学 2001 一、5 （2分）】A.以顺序方式存储B.以顺序方式存储,且数据元素有序C.以链接方式存储D.以链接方式存储,且数据元素有序6．适用于折半查找的表的存储方式及元素排列要求为( ) 【南京理工大学 1997 一、6 （2分）】A．链接方式存储，元素无序 B．链接方式存储，元素有序C．顺序方式存储，元素无序 D．顺序方式存储，元素有序7. 用二分（对半）查找表的元素的速度比用顺序法( ) 【南京理工大学 1998 一、11 （2分）】A．必然快 B. 必然慢 C. 相等 D. 不能确定8．当在一个有序的顺序存储表上查找一个数据时，即可用折半查找，也可用顺序查找，但前者比后者的查找速度( )A．必定快 B.不一定 C. 在大部分情况下要快 D. 取决于表递增还是递减【南京理工大学 1997 一、7 （2分）】9. 具有12个关键字的有序表，折半查找的平均查找长度（）【中山大学 1998 二、10 （2分）】A. 3.1B. 4C. 2.5D. 510. 折半查找的时间复杂性为（）【中山大学 1999 一、15】A. O（n2）B. O（n）C. O（nlog n）D. O（log n）11．当采用分快查找时，数据的组织方式为 ( ) 【南京理工大学 1996 一、7 （2分）】A．数据分成若干块，每块内数据有序B．数据分成若干块，每块内数据不必有序，但块间必须有序，每块内最大（或最小）的数据组成索引块C. 数据分成若干块，每块内数据有序，每块内最大（或最小）的数据组成索引块D. 数据分成若干块，每块（除最后一块外）中数据个数需相同12. 二叉查找树的查找效率与二叉树的( （1）)有关, 在 (（2）)时其查找效率最低【武汉交通科技大学1996 一、2(4分)】(1): A. 高度 B. 结点的多少 C. 树型 D. 结点的位置(2): A. 结点太多 B. 完全二叉树 C. 呈单枝树 D. 结点太复杂。

大学集合论试题及答案

大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。

A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。

A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。

A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。

A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。

A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。

A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。

A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。

A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。

A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。

A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。

2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。

3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。

4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。

5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。

6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。

7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。

8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。

9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。

10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。

集合论测试答案

1. 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

1、证明R 是X 上的等价关系。

2、求出X 关于R 的商集。

1、证明：（1）自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2）对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3）传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。

2、X/R=}]2,1{[R ><2. 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} 要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。

集合的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)集合与函数综合问题

集合的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）集合与函数综合问题1．设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i)(){}T f x x S =∈；(ii)对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（） A ．*,A N B N ==B ．{}13A x x =-≤≤， C ．{}01,A x x B R =<<= D ．,A Z B Q ==2．对于全集U 的子集A 定义函数()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-C ．()()()A BA B f x f x f x =⋅ D ．()()()ABA B f x f x f x =+3．已知集合()(){},|M x y y f x ==,若对于任意()11,x y M ∈,存在()22,x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”,给出下列四个集合: ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭;②(){},|sin 1M x y y x ==+;③(){}2,|log M x y y x ==;④(){},|2x M x y y e ==-;其中是“垂直对点集”的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④4．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1C ．{S}=2且{T}=2D ．{S}=2且{T}=35．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈6．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}； ②M={}； ③M={}； ④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④7．对于集合M 、N ，定义：且，，设＝，，则= （）A ．（，0]B ．[，0) C ．D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合A 、B U ⊆，下列所有正确说法的序号是______. （1）()()A B A B f x f x ⊆⇒≤ （2）()()1U A A f x f x =- （3）()()()A BA B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅9．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2018,2018]x ∈-时，d =________；10．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.11．设函数，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，下列所有错误的说法的序号是_________.（1）若P M ⋂=∅，则()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）若P M ⋂≠∅，则()()A P A M ⋂≠∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.12．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i AB ϕ=且()1i A B ϕ=；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()i A ϕ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③集合的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）集合与函数综合问题1．设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i)(){}T f x x S =∈；(ii)对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（） A ．*,A N B N ==B ．{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或C ．{}01,A x x B R =<<= D ．,A Z B Q ==【答案】D 【解析】【分析】【详解】对于A =N ∗,B =N ,存在函数f (x )=x −1,x ∈N ∗,满足：(i )B ={f (x )|x ∈A };(ii )对任意12,x x A ∈,当12,x x S ∈时,恒有()()12f x f x <，所以选项A 是“保序同构”；对于A ={x |−1⩽x ⩽3},B ={x ∣∣x =−8或0<x ⩽10},存在函数，满足：(i )B ={f (x )|x ∈A };(ii )对任意12,x x A ∈,当12,x x S ∈时,恒有()()12f x f x <，所以选项B 是“保序同构”；对于A ={x |0<x <1},B =R ,存在函数π()tan(π)2f x x =-,满足：(i )B ={f (x )|x ∈A }；(ii )对任意12,x x A ∈,当12,x x S ∈时,恒有()()12f x f x <，所以选项C 是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D. 故选D.2．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤B ．()()1R A A f x f x =-C ．()()()ABA B f x f x f x =⋅D ．()()()ABA B f x f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】根据()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,逐项分析,即可求得答案.【详解】()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩对于A,A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x == ②当x A ∉且x B ∉,即Ux B ∈,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈, 即()Ux A B ∈⋂时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x A f x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ ,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 3．已知集合()(){},|M x y y f x ==,若对于任意()11,x y M ∈,存在()22,x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”,给出下列四个集合:①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭;②(){},|sin 1M x y y x ==+;③(){}2,|log M x y y x ==;④(){},|2x M x y y e ==-;其中是“垂直对点集”的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项：121210x x x x +=，无解①不是；根据图像知②④满足；取11x =则不存在2x 使等式成立，③不是，得到答案. 【详解】①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则121210x x x x +=，无解，不是； ②(){},|sin 1M x y y x ==+，根据图像知：对于任意1x ，111,0x y x y y =-≠与函数 sin 1y x =+相交，验证10y =时也满足，故满足条件；③(){}2,|log M x y y x ==，则122122log log 0x xx x +⋅=，取11x =则不存在2x 使等式成立，不是； ④(){},|2xM x y y e==-，根据图像知：对于任意1x ，111,0x y x y y =-≠与函数 2x y e =-相交，验证10y =时也满足，故满足条件；故选：C【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.4．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f （x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a当b2﹣4c=0时，f（x）=0还有一根只要b≠﹣2a，f（x）=0就有2个根；当b=﹣2a，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根；当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2 故选D5．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 【答案】A 【解析】试题分析：对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-即有2121()()f x f x x x αα--<<-，令k=2121()()f x f x x x --，有-α＜k ＜α，不妨设12(),()f x Mg x M αα∈∈，即有-α1＜k f ＜α1，-α2＜k g ＜α2，因此有-α1-α2＜k f +k g ＜α1+α2，因此有12()()f x g x M αα++∈．故选A ．考点：本题考查了元素与集合关系的判断点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力6．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}； ②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对于①中是以轴为渐近线的双曲线，渐进性的夹角是，所以在同一支上，任意，不存在，不满足垂直对点集的定义；在另一支上对任意，不存在，所以不满足“垂直对点集”的定义；对于②，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集”的定义，所以正确；对于③中，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不满足“垂直对点集”的定义；对于④中，如下图中直角始终存在，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集”的定义．考点：新定义的概念及其应用．【易错点晴】本题主要考查了“垂直度点集”的定义，属于中档试题，利用对于任意对于任意，存在，使得成立，是解答本题的关键，同时注意存在与任意的区别是本题的一个易错点．7．对于集合M、N，定义：且，，设＝，，则= （）A．（，0] B．[，0) C．D．【答案】C【解析】试题分析：设()22{|3,},{|log ,}A y y x x x R B x y x x R ==-∈==-∈，223993244y x x x ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭，{|94}{|94}A y y x x ∴=≥-=≥-， {|0}B x x =<，集合,M N ，定义{|}M N x x M x N -=∈∉且， ()()M N M N N M ⊕=-⋃-，{|}{|0}A B x x A x B x x ∴-=∈∉=≥且， 9{|}{|}4B A x x B x A x x -=∈∉=<--且，()()[)9,0,4A B A B B A ⎛⎫∴⊕=-⋃-=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．考点：集合间交、并、补的运算，函数的定义域、值域的求法，根据新概念解决问题的能力．【易错点晴】本题中易错的地方是已知条件中集合A 所能取到的数是函数2y x 3x =-中y 能取到的数，集合B 所能取到的数是函数()2log y x =-中x 能取到的数，实际上是考查了一些常见的基本初函数的定义域、值域问题．另外，注意练习运用新概念解决问题的能力，可以经历读题、转化成所学知识、列出式子、得到答案过程． 8．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合A 、B U ⊆，下列所有正确说法的序号是______. （1）()()A B A B f x f x ⊆⇒≤ （2）()()1U A A f x f x =- （3）()()()ABA B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】利用特征函数的定义知：（1）由A B ⊆，对x 与A 、B 关系分类讨论，可得（1）正确；利用特征函数的定义可判断（2）的正误；取特殊值情况A B ⋂≠∅，利用定义可判断（3）的正误；利用集合运算与函数运算可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】（1）A B ⊆，分类讨论：①当x A ∈，则x B ∈，此时()()1A B f x f x ==；②当x A ∉，且x B ∉，即U x C B ∈，此时()()0A B f x f x ==； ③当x A ∉，且x B ∈，即()U x C A B ∈时，()0A f x =，()1B f x =，此时()()A B f x f x ≤.综合有()()A B f x f x ≤，故（1）正确；（2）()()1,10,U U A A x Af x f x x A ∈⎧==-⎨∈⎩，故（2）正确；（3）假设A B ⋂≠∅，任取x AB ∈，则x A B ∈，则()1ABf x =，但()()2A B f x f x +=，则()()()ABA B f x f x f x ≠+，故（3）不正确；（4）()()()1,1,1,1,0,0,0,0,A B U U U U U x A Bx A B x A x Bf x x A B x A B x A x B ⋂∈⋂∈⋂∈∈⎧⎧⎧⎧⎪===⋅⎨⎨⎨⎨∈⋃∈⋂∈∈⎪⎩⎩⎩⎩()()A B f x f x =⋅，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）. 【点睛】本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用．9．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2018,2018]x ∈-时，d =________；【答案】2020 【解析】【分析】先根据{}[]x x x =-解得[]x 取值范围，再得x 取值范围，最后根据定义得结果. 【详解】[]{}[]{()}1([]1)({}1)0()f x x x g x x x x x ⋅≥+-∴-⋅-≥∴≥0[2018,2018][2018,2)2(2018)20{}1[]20.1x x x x d ≤∴∈-∴∈-∴=--=<≤故答案为：2020 【点睛】本题考查新定义以及解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.10．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________. 【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【解析】【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围. 【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②.要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为：(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.11．设函数，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，下列所有错误的说法的序号是_________.（1）若P M ⋂=∅，则()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）若P M ⋂≠∅，则()()A P A M ⋂≠∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=. 【答案】（1）（4）【解析】【分析】数学中说明命题不正确，只需要举出反例依次判断即可得结果. 【详解】若{}1P =，{}1M =-，则{}{}()1,()1A P A M ==，此时()()A P A M ⋂≠∅，故（1）错；同理（2）正确；若{}{}=P M =非负实数，负实数，则{}{}()()A P A M ==非负实数，正实数，则()()A P A M R ⋂≠，故（4）错误，同理（3）正确，故答案是（1）（4）【点睛】该题考查的是有关命题真假判断的问题，涉及的知识点有新定义运算的，注意从题的条件中正确读取相关信息，再者就是不正确的命题只需要举个反例足矣. 12．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i AB ϕ=且()1i A B ϕ=；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()i A ϕ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A 【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，故①正确；对于②，若()0i AB ϕ=，则()i A B ∉，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i AB ϕ=，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅（）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，1i AB ϕ=（）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

历年真题全精解析分类答案

历年真题全精解析分类答案一、数学题1. 集合论题：A、B、C、D、E五人参加一次比赛，已知A比C积分多，C比B分多，B比D分多，D比E分多。

请问，以下哪个选项是可能的积分顺序？A) A > C > B > D > EB) C > D > B > E > AC) B > C > A > E > DD) D > B > E > C > A答案：C) B > C > A > E > D2. 代数题：已知a > b > c > 0，则以下哪个不等式成立？A) a - c > a - bB) 2c > a + bC) a^2 > b^2 + c^2D) ab > ac答案：D) ab > ac3. 几何题：已知△ABC中，AB = AC，∠B = 40°，∠C = 70°，则∠A的大小为多少？A) 40°B) 50°C) 70°D) 80°答案：B) 50°4. 概率题：一枚硬币抛掷两次，已知至少一次正面向上的概率为1/4，求两次都为反面向上的概率。

A) 1/2B) 1/4C) 1/6D) 1/8答案：D) 1/8二、语文题1. 阅读理解题：下面哪个选项最全面准确地概括了文中的主要观点？A) 文章讲述了一个感人的故事B) 文章描绘了美丽的自然景色C) 文章阐述了一个社会问题D) 文章介绍了一个历史事件答案：C) 文章阐述了一个社会问题2. 改写句子题：下面哪个选项改写的句子最准确无误？A) 他给我买了一本书。

B) 他为我购置了一本书。

C) 他取得了一本书给我。

D) 他帮我购得了一本书。

答案：B) 他为我购置了一本书。

三、英语题1. 词汇题：选择下面哪个单词的拼写是正确的。

第1-4-5章集合论(含答案)

求 A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下确界。
答案：{3，4，5}：上界：1，3；上确界：3；下界：无；下确界：无； {1，2，3}：上界：1；上确界：1；下界：4；下确界：4。 10、设 A={1,2,3,4,5},A 上偏序关系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA; (1)作出偏序关系 R 的哈斯图 (2)令 B={1,2,3,5}，求 B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。答案：.(1)偏序关系 R 的哈斯图为
6
12、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到 B 的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求 R 和 R-1 的集合表示和关系矩阵表示。
答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R 1 ={<1,1>,<2,4>}
3
1 1 4、设集合 A a, b, c, d 上的二元关系 R 的关系矩阵为 M R 0 0
矩阵，并画出 R， r ( R), s( R), t ( R) 的关系图。
0 0 0 0
0 1 0 0
0 1 ,求 r ( R), s( R), t ( R) 的关系 0 1
16、设|X|=n，|Y|=m 则（1）从 X 到 Y 有（2）当 n , m 满足 n=m
时，存在双射有
17、在 0（（4））之间写上正确的符号。 (1) = (2) (3) (4) 18、若集合 S 的基数|S|=5，则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ 32 ）。 2 2 19、设 P={x|(x+1) 4 且 x R},Q={x|5 x +16 且 x R},则下列命题哪个正确（ (1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q 20、判断下列命题哪几个为正确？( ) 答：（2），（4） (1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф} {Ф,{{Ф}}} (4) Ф {Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}} 21．设 A={1， 2， 3， 4}， A 上关系图如右图所示， 2 R = 。 (3) Ф∈{{Ф}}

集合论、图论重要习题100

例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

集合练习题及答案

集合练习题及答案集合练习题及答案在学习过程中，练习题是一种非常重要的学习方式。

通过练习题，我们可以巩固所学的知识，培养解决问题的能力。

而集合练习题更是一种特殊的练习题，它能够帮助我们更好地理解和掌握集合论这一数学分支。

集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是元素的集合及其之间的关系。

在集合论中，我们会遇到各种各样的问题，而通过练习题的形式来学习和掌握这些问题的解决方法，可以帮助我们更好地理解集合论的概念和原理。

下面，我将给大家提供一些集合练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，求A和B的并集。

解答：两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的集合。

所以A和B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

2. 给定集合C={a, b, c, d}，D={c, d, e, f}，求C和D的交集。

解答：两个集合的交集是包含两个集合中共有元素的集合。

所以C和D的交集为{c, d}。

3. 给定集合E={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，F={2, 4, 6, 8, 10}，求E和F的差集。

解答：两个集合的差集是包含第一个集合中有，但是第二个集合中没有的元素的集合。

所以E和F的差集为{1, 3, 5, 7, 9}。

4. 给定集合G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，H={2, 4, 6, 8, 10}，求G和H的对称差。

解答：两个集合的对称差是包含两个集合中仅有的元素的集合。

所以G和H的对称差为{1, 3, 5, 7, 10}。

通过以上的练习题，我们可以看到集合的并集、交集、差集和对称差都是通过对集合中的元素进行操作得到的。

掌握了这些操作，我们就能够更好地理解集合的概念和性质。

除了以上的基本操作，集合论还有许多其他的重要概念和定理，比如幂集、子集、补集等。

通过练习题的形式来学习和掌握这些概念和定理，可以帮助我们更好地理解和应用集合论。

集合练习题及答案-经典

集合练习题及答案-经典集合期末复题一、选择题（每题4分，共40分）1、下列四组对象，能构成集合的是（A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数）答案：D2、集合{a，b，c}的真子集共有个（A 7 B 8 C 9 D 10）答案：73、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（A。

6 B。

7 C。

8 D。

9）答案：44、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M∪N）=（A。

{1，2，3} B。

{2} C。

{1，3，4} D。

{4}）答案：A5、方程组x y1的解集是( )（A.{x=0,y=1} B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1}）答案：C6、以下六个关系式：{ }，。

3Q,N,a,b b,a，x|x220,x Z是空集中，错误的个数是（A 4 B 3 C 2 D 1）答案：B7、点的集合M＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指( )（A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集）答案：C8、设集合A=x1x2，B=xx a，若A B，则a的取值范围是（）A aa2 B aa1 C aa1D aa2答案：D9、满足条件M1=1,2,3的集合M的个数是（A 1B 2C 3D 4）答案：C10、集合P x|x2k,k Z，Q x|x2k1,k Z，R x|x4k1,k Z，且a P,b Q，则有（）Aa b P B a b Q C a b R D a b 不属于P、Q、R中的任意一个答案：B二、填空题11、若A{2,2,3,4}，B{x|x t2,t A}，用列举法表示B答案：B={4,9,16}12、已知集合A={x| x2+x-6=0}。

B={x| ax+1=0}，且B是A的子集，求a的值。

由A可得，x=2或x=-3，因此A={-3,2}。

(word完整版)集合经典例题练习题

第一讲集合一、知识梳理：1。

集合的中元素具的特性：错误!元素的性如：世界上最高的山错误!元素的性如：{}c b a ,,和{}a b c ,,是表示同一个集合错误!元素的性如:由HAPPY 的字母组成的集合{}Y P A H ,,,2、常用数集：自然数集_____，正整数集_____,整数集____，有理数集____，实数集_____3、集合的基本关系：“包含”关系-子集：如果集合A 是集合B 的子集，可记作。

有两种可能①A 是B 的一部分,;②A 与B 是同一集合。

如果集合A 是集合B 的真子集，可记作 . 不含任何元素的集合叫做空集，记为∅常见性质：________________________________________________________。

如果A 有n 个元素的集合，含有个子集，个真子集4、集合的基本运算：A B ⋂=___________，A B ⋃=__________，U C A =__________性质:A A = ，A ∅= ，A B = ，A B ⊆ ；A A = ,A ∅= ,A B = ,A B ⊇ ； ()U A A = ， ()U A A = ;二、例题讲解例1（1)已知集合{}{}102,73<<=≤≤=x x B x x A ，求:A B ，A B ，B A C R ， B A C B（2）已知集合2{|1}M y y x ==+，{|1}N y y x ==+,则M N ⋂=_________变式1 、(1）已知集合2{|1}M x y x ==+，2{|2(3)}P x y x ==--,求M N ⋂（2）若全集{(,)|,}I x y x y R =∈，集合3{(,)|1}2y M x y x -==-，{(,)|1}N x y y x =≠+，则()()I I C M C N ⋂等于（）A 、∅ B 、{(2,3)} C 、（2,3）例2 已知22{2,(1),33}A a a a a =++++,若1A ∈,则a =________。

离散数学集合论哈工大答案

Z \ (Y \ X ) X ( Z \ Y ) 。
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。证明：（1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。（2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时）。那么对于 S1 （ S1 k 1 ）， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ，亦即命题在 n k 1 时也成立。由（1）、（2），可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？

集合论习题解答

集合论习题解答1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。

3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。

因为空集是任意集合的子集；2）假。

因为空集不含任何元素；3）真。

因为空集是任意集合的子集；4）真。

因为∅是集合{∅}的元素；5）真。

因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。

因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。

[解] 1）假。

例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

2）假。

例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A∈C。

集合论习题课答案

F
举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}}
2.集合计算
a) Φ∩{Φ}= Φ
b) {Φ}∩{Φ}= {Φ}
c) {Φ,{Φ}} –Φ= {Φ,{Φ}}
d) {Φ,{Φ}}-{Φ}= {{Φ}} e) {Φ,{Φ}}-{{Φ}}= {Φ}
3.在什么条件下，下面命题为真？ a) (A-B)∪(A-C)=A (A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C)
={<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>, <<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}
注意： A2×B= (A×A)×B≠ A×A×B
d) (A-B)(A-C)=Φ 因为当且仅当A=B ，才有AB=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C
4.集合的基数 A,B是有限集合,已知|A|=3,|ρ(B)|=64,|ρ(A∪B)|=256, 则
|B|=( ),
|A∩B|=( ),|A-B|=( ),|AB|=( ) 解：由|ρ(B)|=64=26，得 |B|=6 由|ρ(A∪B)|=256＝28，得|A∪B|=8 由容斥原理得
A∪B=U x(x∈A∪B x∈U) x(x∈A∪B) (x∈U为T) x(x∈A∨x∈B) x(xAx∈B) x(x∈~Ax∈B) ~AB 同理A∪B=U ... x(x∈A∨x∈B) x(xBx∈A) x(x∈~Bx∈A) ~BA 所以A∪B=U ~AB ~BA.

集合经典大题及解析 -回复

集合经典大题及解析一、集合的基本概念1.1 集合与元素问题：什么是集合？什么是元素？它们之间的关系是什么？解析：集合是由一组具有共同特征的元素组成的整体。

这个整体称为集合，而组成这个整体的每一个元素称为元素。

元素是集合的一部分，且必须满足集合的定义。

1.2 集合的子集问题：什么是子集？如何判断一个集合是否为另一个集合的子集？解析：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。

判断一个集合是否为另一个集合的子集，可以通过将两个集合进行比较，检查前者是否包含在后者中。

1.3 集合的并集与交集问题：什么是并集和交集？如何计算两个集合的并集和交集？解析：并集是将两个集合的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。

交集则是从两个集合中选出共同的元素组成一个新的集合。

计算并集和交集可以通过简单的数学运算来实现。

1.4 集合的补集问题：什么是补集？如何计算一个集合的补集？解析：补集是指在一个集合中去掉所有属于另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。

计算补集可以通过先找出不属于另一个集合的元素，然后将这些元素组成一个新的集合。

二、集合的关系2.1 子集与真子集问题：什么是真子集？如何判断一个集合是否为另一个集合的真子集？解析：真子集是指在一个集合中去掉所有不属于另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。

判断一个集合是否为另一个集合的真子集，可以通过比较两个集合的大小来确定。

2.2 集合相等问题：什么是集合相等？如何判断两个集合是否相等解析：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等。

判断两个集合是否相等，可以通过比较两个集合中的每一个元素来确定。

2.3 空集问题：什么是空集？空集有哪些性质？解析：空集是指没有任何元素的集合。

空集具有以下性质：(1) 空集是任何非空集合的真子集；(2) 任何元素都属于空集；(3) 空集的补集也是空集。

三、集合的运算性质3.1 集合的并运算问题：什么是并运算？如何计算两个集合的并运算？解析：并运算是指将两个或多个集合合并成一个新集合的操作。

集合论知识点及例题整理一、集合和集合的关系,元素和集合的关系是

集合论知识点及例题整理一、集合和集合的关系，元素和集合的关系是集合论知识点及例题整理一、集合和集合的关系，元素和集合的关系,是元素和集合之间的关系，而,是集合和集合之间的关系。

难点在于有些集合有时作为某些集合的一个元素的情况，如下面的例题。

例1(若集合A,{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( C )(A({a，{a}},A B({2},AC({a},A D(,,A例2(若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则( A )(A(A,B，且A,B B(A,B，但A,BC(A,B，但A,B D(A,B，且A,B例3(若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )( A(A,B，且A,B B(B,A，且A,BC(A,B，且A,B D(A,B，且A,B二、幂集1. 定义:若集合A为{a,b}，它的子集有,、{a}、{b}、{a,b}，则它的幂集为{,,{a},{b},{a,b}}，是所有子集为元素的集合。

如例1n2. A是n元集，则幂集P(A )有2 个元素。

如在上述集合中元素个数为2，其幂集的元素2个数,2,4，再如例2例1(设集合A,{a，b}，那么集合A的幂集是 {,,{a,b},{a},{b }} (例2(若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 1024 (解析:是2的10次方三、集合的运算有?、?、,、~和,等，这个知识点的理解比较简单，一般都和后面的二元关系结合起来考。

例1(若集合A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，则A?B= 空集(或,) (例2(设集合A,{a, b, c}，B={b, d, e}，求(1)B,A; (2)A,B; (3)A,B; (4)B,A例3(设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算(1)(A,B) (2)(A?B) (3)(A?B),(A?B)(解:(1)(A,B)={{a, b}, 2}(2)(A?B)={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}(3)(A?B),(A?B)={{a, b}, 2, a, b, {1}}四、集合运算律如书P9，这些运算律要写在半开卷纸上，用的最多的是分配律和吸收律。

集合论习题解析——经典习题与考研习题