向量与三角,不等式等知识综合应用

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用

常熟市中学 蔡祖才

一、高考要求

平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读

考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．

考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练

1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移

2

π

个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）

(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0

2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32

π

-

，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2

3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为

．

4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤

2

π

)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦值为 ． 四、典型例题

例1 已知a =ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）

(A)

ω=1 (B) ω=2 (C) 21=

ω ( D) 3

2

=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则△OAB 的面

积达到最大值时，=θ （ ）

(A)

6π (B) 4π (C) 3

π

(D)

2

π

例3 设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b )． 使不等式f (x )≥

2

3

成立的x 的取值集合为 ．

例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．

例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （

4

π

，1）,且当x ∈［0, 4

π

］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．

例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |

=

5

求cos()28θπ+的值．

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习

1．已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =-，b i j λ=+，且||||a b 与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

（ ）

（A ）),21(+∞ （B ）)2

1,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)2

1,(-∞

2．在直角坐标系中，O 是原点，=(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）

（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）26 3．已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 （ ）

（A ）[0，

6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,

]33ππ （D ）[,]6

π

π 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若

OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是 （ ）

（A ）

112λ≤≤ （B ）11λ≤≤

（C ）

1122

λ≤≤+

（D ）1122λ-≤≤+5． 已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且a b ≠±，那么a b +与a b -的夹角的大小是 ．

6． 已知向量].2

,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos

π

∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为3

2

-，则λ的值为 ．

7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1m =- (cos ,sin ),n A A = 且 1.m n ⋅= （Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B

+=--，求tanC ．

8．设函数f (x )=a b ⋅，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．