向量与三角,不等式等知识综合应用

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用
常熟市中学 蔡祖才
一、高考要求
平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读
考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．
考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练
1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移
2
π
个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）
(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0
2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32
π
-
，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2
3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为
．
4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤
2
π
)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦值为 ． 四、典型例题
例1 已知a =ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）
(A)
ω=1 (B) ω=2 (C) 21=
ω ( D) 3
2
=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则△OAB 的面
积达到最大值时，=θ （ ）
(A)
6π (B) 4π (C) 3
π
(D)
2
π
例3 设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b )． 使不等式f (x )≥
2
3
成立的x 的取值集合为 ．
例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．
例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （
4
π
，1）,且当x ∈［0, 4
π
］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．
例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |
=
5
求cos()28θπ+的值．
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习
1．已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =-，b i j λ=+，且||||a b 与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
（ ）
（A ）),21(+∞ （B ）)2
1,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)2
1,(-∞
2．在直角坐标系中，O 是原点，=(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）
（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）26 3．已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 （ ）
（A ）[0，
6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,
]33ππ （D ）[,]6
π
π 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若
OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是 （ ）
（A ）
112λ≤≤ （B ）11λ≤≤
（C ）
1122
λ≤≤+
（D ）1122λ-≤≤+5． 已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且a b ≠±，那么a b +与a b -的夹角的大小是 ．
6． 已知向量].2
,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos
π
∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为3
2
-，则λ的值为 ．
7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1m =- (cos ,sin ),n A A = 且 1.m n ⋅= （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B
+=--，求tanC ．
8．设函数f (x )=a b ⋅，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．
（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－
3π，3
π
]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ，n )(|m |<2
π
)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案
课前训练部分
1.C
2.D
3.
4.
1517
典型例题部分
例1 A
例2 111
1sin cos (1cos )(1sin )222
ABC S θθθθ∆=-
---- 当2θπ=即2
π
θ=
时,面积最大.
例3 3,8
8x k x k k Z π
πππ⎧⎫
-
≤≤+
∈⎨⎬⎩
⎭
例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(
=.222-=⋅- 即)(OC OB OA +⋅的最小值为:-2.
例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,
1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π
).∵x
∈［0,
4π］, ∴2x +4π∈［4π,4
π
3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·
2
2
=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +
4
π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8
π
个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8
π
个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m =(
8
π
，1)是满足条件的一个向量.
例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-+
(cos m n +=
由已知82,5
m n +=,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-
过关练习部分
1.B
2.C
3.B
4.B 5、
2
π
6. 21
7（Ⅰ）∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=
12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
, 1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66A ππ-= ∴3
A π
= （Ⅱ）由题知22
12sin cos 3cos sin B B B B
+=--，整理得22
sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2
tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使2
2
cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2
B =
8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +
6
π
). 由1+2sin(2x +
6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－2
3． ∵-
3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤6
5π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π
． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.
由（１）得 f(x)=2sin2(x +12
π
)+1. ∵|m |<
2π，∴12
m π
=-， 1.n =。