最新求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆及双曲线的离心率的习题(最新整理)
求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． e ＝.23532、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF，则C 的离心率为________．解析：答案：FD333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为FD 22x a22y b上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，BF FD即，解得，D (，－)．2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩32c 2b 由D 在椭圆上得：＝1， ∴＝，∴e＝.22223()()22b c a b -+22c a13ca4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o ,2AF FB =.椭圆C 的离心率；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.直线l 的方程为 )y x c =-，其中c=.联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率23c e a ==. 5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，Mx 2a 2y 2b2为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A. B. C. D. ，故选B.1525452158、设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，Bx 2a 2y 2b2两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝.339．椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭22221x y a b+=0a b >>F 2F 1F 2F 圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（B ）eA B C ．D 1-4(2-10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.2224123211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，(2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c)所以＝，＝.PB 1→ (－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c )PA 2→ (a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c)因为∠B 1PA 2为钝角，所以·<0， 即＋<0.PA 2→ PB 1→ －2a 2c （a －c ）（a ＋c ）22ab 2（a －c ）（a ＋c ）2化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故＋－1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以(c a )2 c a 5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e ＝326a c ca2、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1 B.＋1 C ．2 D ．2 选B32323、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±x ，则该双曲线的离心率e 等于( )12A ．5 B. C. D. 选C552542.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是( )ABC D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=-⎪--++⎝⎭ ，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴=C4、设F 1，2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，x 2a 2y 2b2且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. B ．2 C. D ．2353如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝c a＝.35、过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两x 2a 2y 2b2点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，b 2a。
椭圆离心率题型归类高二数学选择性必修第一册)(解析版)
专题9椭圆离心率题型归类目录【题型一】离心率基础.....................................................................................................................1【题型二】利用椭圆第一定义求离心率.........................................................................................3【题型三】焦点三角形与余弦定理.................................................................................................5【题型四】顶角直角三角形型.........................................................................................................7【题型五】焦半径与第二定义.......................................................................................................10【题型六】第三定义与中点弦.......................................................................................................12【题型七】焦点三角形：双底角型...............................................................................................14【题型八】焦点三角形：双余弦定理型.......................................................................................16【题型九】焦点弦与定比分点.......................................................................................................19【题型十】焦点圆...........................................................................................................................22【题型十一】椭圆与圆...................................................................................................................24培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................26培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................31培优第三阶——培优拔尖练.. (35)综述：1.椭圆离心率求解方法主要有：①求出a ，c ，代入公式ce a；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c 或b 的值，c 值就是离心率2.椭圆扁平程度：因为e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆【题型一】离心率基础【典例分析】如果椭圆221(8)89x y kk+=>-+的离心率为12e=，则k=（）A．4B．4或54-C．45-D．4或45-【答案】B【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．【详解】解：因为椭圆221(8)89x y kk+=>-+的离心率为12e=，当89k+>时，椭圆焦点在x轴上，可得：13,2a b c e=∴=∴==，解得4k=，当089k<+<时，椭圆焦点在y轴上，可得：13,32ca b c ea======，解得54k=-．4k∴=或54k=-.故选：B．1.已知椭圆()22105x y mm+=>的离心率5e=，则m的值为______．【答案】253或3【分析】分别对焦点在x轴和y轴讨论，结合离心率求解m即可.【详解】已知椭圆方程为221(05).5x y m mm+=>≠且当焦点在x轴上，即05m<<时，有a b=则c=105=，解得m＝3.当焦点在y轴上，即5m>时，有a b则c==253m=，即m的值为3或253.故答案为：3或2532.方程22134x y m m +=--表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是____________．【答案】(0,1)；【分析】根据椭圆的标准方程求解．【详解】由题意4030m m ->⎧⎨->⎩且34m m -≠-，解得4m >。
(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系例1已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.例2已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为()21,1-.二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2 Ｄ．2[,1)2xy OF 1F 2三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.四、利用函数的值域，建立不等关系例5椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为[]6,5，求椭圆离心率的范围.五、利用均值不等式，建立不等关系.例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2 xy OA BF MC(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.解析1：令n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥2224c n m=+∴ ()22222224a nm n m c=+≥+=∴ 即21222≥=ac e又12210<≤∴<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 21b b S PFF =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22121b ⇒≤c 2b ⇒≤2c 22c a -⇒≤2c 222ac e =⇒≥21故22≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+cx y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+by a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥即222c a c-≥，22≥=∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，222c y x P =+∴为圆 与 12222=+by a x 的公共点.由图可知222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-122<≤∴e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系解析4：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0902245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 122<≤e .。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。
一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。
椭圆离心率专题
椭圆离心率专题1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为2．F 1，F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是6．椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆2222x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
9．以1F 、2F 为焦点的椭圆2222x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为 。
10．对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a=为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是(0,1)e ∈，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆2214x y m +=与椭圆2219x y m +=相似，则m 的值为11．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于12．以等腰直角△ABC 的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .13．直线022=-+y x 经过椭圆)(12222o b a by ax >>=+的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．14．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a b ya x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为17．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 满足a ≤，离心率为e ，则2e 的最大值是_______．19．若椭圆221x my +=_______________.20．已知P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点,若021=⋅PF PF ,21tan 21=∠F PF ,则此椭圆的离心率为____________.23．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；参考答案1．D【解析】由题意得：0tan 60a b==，∴b a =，∴2213b a =，∴22213a c a -=，即2113e -=，∴223e =，∴e =。
求离心率的范围问题
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12 B ．13 C 232π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．3⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
离心率的范围问题 解析版
微重点 离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a 5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-ba<1t <b a ，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】 (2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则ba >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a=cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a2+y 20b 2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，asin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】 A【解析】双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a2-y 20b 2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =ba x +b 2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b ax +b2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a2+y 2b 2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a2+y 2b 2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 12+31e 22-4=0，所以，1e 22=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得ca>133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b 2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得ca >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2 ，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a 5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104 D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+1 2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =csin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =ca =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a2-y 2b 2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +mx 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =ca=1a <122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1, 得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1 .综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。
椭圆离心率值和范围类型
圆锥曲线 5 椭圆离心率值和范围类型一．选择题〔共40 小题〕1．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．1、F2 是椭圆的两个焦点，满足?=0 的点 M 总在椭圆内部，那么椭圆离心2． F率的取值范围是〔〕A ．〔 0， 1〕B ．〔0， ]C．〔 0，〕D． [， 1〕3．椭圆 C：+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左右焦点为F1， F2，假设椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点，使得△ F1F2P 为等腰三角形，那么椭圆 C 的离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．4．设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C 上的点， PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．5．椭圆C：=1〔 a＞b＞ 0〕的左焦点为F， C 与过原点的直线相交于 A ， B 两点，连接 AF ， BF，假设 | AB | =10 ，| BF| =8， cos∠ ABF=，那么C的离心率为〔〕A ．B．C．D．6．设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．〔﹣ c，0〕，F〔 c，0〕为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且，7． F12那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．第 1 页〔共 36 页〕8． O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1 〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E．假设直线 BM 经过 OE 的中点，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．9．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．10．椭圆 C1：2C2：2+y =1〔 m＞ 1〕与双曲线﹣ y =1〔 n＞ 0〕的焦点重合， e1，e2分别为 C1， C2的离心率，那么〔〕1 2＞1 B ． m＞n 且 e1 2＜ 1C． m＜ n 且 e1 2＞ 1 D ．m＜n 且 e1 2＜ 1A ． m＞ n 且 e e e e e 11．椭圆+=1 〔a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与椭圆交于A 、B 两点，假设△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为〔〕A ．B． 2﹣C．﹣ 2 D．﹣12． F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ．B ．C． 3D． 213．椭圆的两顶点为 A 〔 a， 0〕， B〔 0， b〕，且左焦点为F，△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率 e 为〔〕A ．B ．C． D ．14．椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为 G，内心 I，且有〔其中λ为实数〕，椭圆C 的离心率 e=〔〕A ．B．C．D．第 2 页〔共 36 页〕15．椭圆 〔 a ＞ b ＞ 0〕的半焦距为c 〔c ＞ 0〕，左焦点为 F ，右顶点为A ，抛物线与椭圆交于 B 、 C 两点，假设四边形ABFC 是菱形，那么椭圆的离心率是〔 〕A ．B ．C ．D ．16．实数 4， m ， 9 构成一个等比数列，那么圆锥曲线2的离心率为〔〕+y =1 A ．B ．C ．或D ． 或 717．椭圆 〔 a ＞ b ＞ 0〕与双曲线 〔m ＞0， n ＞ 0〕有相同的焦点〔﹣ c ， 0〕和〔 c ， 0〕，假设 c 是 a 、 m 的等比中项， n 2 是 2m 2 与 c 2的等差中项，那么椭圆的离心率是〔 〕A ．B ．C ．D ．18．设 F 1、F 2 是椭圆 E ： + =1〔 a ＞b ＞ 0〕的左、右焦点， P 为直线 x=上一点，△F 2PF 1 是底角为 30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔 〕A ．B ．C ．D ．19．点 F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A 、 B 两点，假设△ ABF 2 是锐角三角形，那么该椭圆的离心率 e 的取值范围是〔 〕A ．〔 0，﹣ 1〕 B ．〔﹣ 1， 1〕 C ．〔 0， ﹣ 1〕 D ．〔 ﹣ l ， 1〕20．椭圆 C ： 的左焦点 F ，C 与过原点的直线相交于 A ，B 两点，连结 AF ， BF ，假设 | AB | =10 ， | AF | =6 ，，那么 C 的离心率为〔 〕A ．B ．C ．D ．21．椭圆 + =1 〔 a ＞ b ＞ 0〕的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，直线 AF 2 与椭圆的另一个交点为 C ，假设△ ABF 2 的面积是△ BCF 2的面积的 2 倍，那么椭圆的离心率为〔 〕第 3 页〔共 36 页〕A ．B ．C ．D ．222．抛物线 y =4x 的准线过椭圆=1〔 a ＞ b ＞0〕的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点， O 为坐标原点，△ AOB 的面积为 ，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．23．在区间 [ 1， 5] 和[ 2， 4] 分别取一个数，记为 a ， b ，那么方程 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为〔 〕A ．B ．C ．D ．24．从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB ∥ OP 〔 O 是坐标原点〕，那么该 椭圆的离心率是〔 〕A ．B ．C ．D ．25．椭圆 C 的两个焦点分别是 F 1，F 2，假设 C 上的点 P 满足 ，那么椭圆C的离心率 e 的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ． 或26．在 Rt △ ABC 中， AB=AC=1 ，假设一个椭圆通过 A 、 B 两点，它的一个焦点为 C ，另一个 焦点 F 在 AB 上，那么这个椭圆的离心率为〔 〕 A ．B ．C ．D ．27．直线 l ：y=kx +2〔 k 为常数〕 过椭圆 =1〔 a ＞ b ＞ 0〕的上顶点 B 和左焦点 F ，且被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 L ，假设 L ≥，那么椭圆离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．2222 2〔 0＜ r ＜ 2〕，动圆 M 与圆 O 1、圆 28．圆 O 1：〔x ﹣ 2〕 +y =16和圆 O 2：x +y =r 相切，动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆， 这两个椭圆的离心率分别为 e 、e 〔 e ＞ e 〕，那么1 21 2的最小值是〔〕O 2 都e 1+2e 2第 4 页〔共 36 页〕A ．B ．C． D ．29．椭圆+=1〔a＞ b＞ 0〕上一点 A 关于原点的对称点为 B ，F 为其右焦点，假设AF ⊥BF ，设∠ ABF=a ，且 a∈ [，] ，那么该椭圆离心率的取值范围为〔〕A ． [，1] B．[，] C． [，1〕D．[，]30． F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ． 3B．C． 2 D ．31．椭圆〔a＞b＞0〕上一点 A 关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，假设 AF ⊥ BF ，设∠ ABF= α，且，那么该椭圆离心率e 的取值范围为〔〕A ．B ．C． D ．32．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、 F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△ PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形．假设| PF1| =10 ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，那么 e1?e2+1 的取值范围为〔〕A ．〔 1， +∞〕B．〔， +∞〕C．〔， +∞〕D．〔，+∞〕33．椭圆+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，假设 MF1垂直于 x 轴，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B． 2﹣C． 2〔 2﹣〕 D．34．在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 的顶点 A 〔 0， 3〕和 C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，那么=〔〕A ．B．C．D．35．椭圆的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，] B．〔0， ] C． [，1〕 D． [， 1〕第 5 页〔共 36 页〕36．椭圆的左焦点 F 1， O 为坐标原点，点 P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，假设那么椭圆的离心率为〔 〕 A ．B ．C ．D ．1、 F 2 是椭圆 C 1：+y 2 2 的公共焦点， A 、 B 分别是 C 1、 C 2 在第37．如图 F=1 与双曲线 C二、四象限的公共点，假设四边形AF 1BF 2 为矩形，那么 C 2 的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．38．设 A 1，A 2 分别为椭圆=1〔 a ＞ b ＞ 0〕的左、右顶点，假设在椭圆上存在点 P ，使得 ＞﹣ ，那么该椭圆的离心率的取值范围是〔 〕A ．〔 0， 〕B ．〔0， 〕C ．D ．39． A 、B 是椭圆长轴的两个端点， M ，N 是椭圆上关于 x 轴对 称的两点，直线 AM ，BN 的斜率分别为 k 1， k 2，且 k 1k 2≠ 0．假设 | k 1|+| k 2| 的最小值为 1，那么椭圆的离心率〔 〕 A ．B ．C ．D ．40．设 F 1， F 2 分别为椭圆 C 1： + =1〔 a ＞ b ＞ 0〕与双曲线 C 2： ﹣ =1〔 a 1＞b 1＞0〕的公共焦点， 它们在第一象限内交于点M ，∠ F 1MF 2 =90°，假设椭圆的离心率 e ∈[ ，] ，那么双曲线 C 2 的离心率 e 1 的取值范围为〔〕A ． [ ，] B ． [，〕C ． [，] D ． [，+∞〕第 6 页〔共 36 页〕第 7 页〔共 36 页〕圆锥曲线 5 椭圆离心率值和范围类型参考答案与试题解析一．选择题〔共40 小题〕1．〔 2021?广东〕假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为 2c，由题意可知： a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为 2a，短轴为2b，焦距为2c，那么 2a+2c=2 ×2b，2222222即 a+c=2b? 〔a+c〕=4b =4〔 a﹣ c 〕，所以 3a ﹣ 5c=2ac，同除 a ，整理得5e 2+2e﹣ 3=0 ，∴或 e=﹣ 1〔舍去〕，应选 B ．2．〔 2021?江西〕 F1、F2是椭圆的两个焦点，满足?=0 的点 M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0， 1〕B ．〔0， ]C．〔 0，〕D． [， 1〕【分析】由?=0 知 M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．又 M 点2222．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．总在椭圆内部，∴ c＜b， c＜ b =a﹣c【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a， b， c，∵?=0，∴M 点的轨迹是以原点又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．2 2 22c＜ b，c ＜ b =a ﹣ c ．2，∴ 0＜ e＜．∴e =＜应选： C．3．〔 2021?潍坊模拟〕椭圆C：+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左右焦点为F1， F2，假设椭圆C上恰好有 6 个不同的点，使得△ F1F2P 为等腰三角形，那么椭圆 C 的离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．第 8 页〔共 36 页〕【分析】分等腰三角形△F1F2P 以 F1 F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、 c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围．【解答】解：①当点 P 与短轴的顶点重合时，△F1F2P 构成以 F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P；②当△ F1F2P 构成以 F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P，在△ F1 2 1中， F1 2+PF1＞PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，F P F由此得知 3c＞ a．所以离心率 e＞．当 e= 时，△ F1F2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故 e≠同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在 e且 e≠时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P 这样，总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈〔，〕∪〔， 1〕4．〔 2021?淮南一模〕设椭圆C：=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是C 上的点， PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30 °，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设| PF2| =x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 | PF1 | 与 | F1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：设 | PF2| =x ，∵P F2⊥ F1F2，∠ PF1F2=30°，∴| PF1| =2x， | F1 F2| =x，又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴2a=3x ， 2c=x，∴C 的离心率为： e==．应选 A ．5．〔 2021?南阳校级三模〕椭圆C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点为F， C 与过原点的直线相交于A ， B 两点，连接 AF ，BF ，假设 | AB | =10 ，| BF| =8，cos∠ABF=，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由条件，利用余弦定理求出| AF| ，设 F′为椭圆的右焦点，连接BF′， AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如下图，在△ AFB 中， | AB | =10 ，| BF| =8， cos∠ABF= ，由余弦定理得222﹣ 2| AB || BF| cos∠ ABF| AF| =| AB |+| BF|=100+64﹣ 2× 10× 8×=36，∴| AF| =6，∠ BFA=90 °，设 F′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形．∴| BF′|=6， | FF′|=10 ．∴2a=8+6， 2c=10，解得 a=7， c=5．∴e= = ．应选 B ．6．〔 2021?新课标Ⅱ〕设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是C 上的点 PF2⊥ F1F2，∠ PF1F2=30 °，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设| PF2| =x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 | PF1 | 与 | F1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解： | PF2 | =x ，∵ PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2=30°，∴| PF1| =2x， | F1 F2| =x，又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴2a=3x ， 2c= x，∴C 的离心率为： e==．应选 D ．7．〔 2021?长沙模拟〕F1〔﹣ c， 0〕， F2〔c， 0〕为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．【分析】设 P〔 m，n 〕，由得到 n 2=2c2﹣m2① ．把 P〔 m，n 〕代入椭圆得到2222222222b m +a n =a b②，把①代入②得到 m的解析式，由 m ≥0及 m≤ a 求得的范围．【解答】解：设 P〔 m，n 〕，=〔﹣ c﹣ m，﹣n〕?〔c﹣ m，﹣ n〕=m 2﹣ c2+n2，222222① ．∴m +n=2c， n=2c﹣ m把 P〔 m， n 〕代入椭圆222222得 b m +a n =a b② ，22222把① 代入②得 m =≥ 0，∴ a b ≤ 2a c ，2≤ 2c 2222b， a﹣c ≤ 2c，∴ ≥．2222﹣ 2c 2又 m ≤ a ，∴≤ a ，∴≤ 0，故 a≥ 0，∴≤．综上，≤≤，应选： C．8．〔 2021 春 ?德宏州校级期末〕O 为坐标原点， F 是椭圆 C：+=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点， A ，B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点E．假设直线BM 经过 OE 的中点，那么C的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由题意可得F， A ， B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k 〔 x+a〕，分别令x= ﹣ c，x=0，可得 M ，E 的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F〔﹣ c， 0〕，A 〔﹣ a， 0〕，B 〔 a，0〕，令 x= ﹣ c，代入椭圆方程可得y=± b=±，可得 P〔﹣ c，±〕，设直线 AE 的方程为y=k〔 x+a〕，令 x= ﹣ c，可得 M 〔﹣ c， k〔 a﹣ c〕〕，令 x=0，可得 E〔 0， ka〕，设 OE 的中点为 H ，可得 H〔 0，〕，由 B ，H， M 三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得 e= =．应选： A ．9．〔 2021?江西模拟〕斜率为的直线 l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘222a b ，求得关于的方程求得e．【解答】解：两个交点横坐标是﹣c， c所以两个交点分别为〔﹣c，﹣c〕〔 c，c〕代入椭圆=1两边乘 2 22a b2 222 2那么 c 〔 2b +a 〕=2a b2 2 2∵b =a ﹣ c 22 2 2 2c 〔3a ﹣ 2c 〕 =2a^4﹣ 2a c2 22a^4﹣ 5a c +2c^4=0（ 2a 2﹣ c 2〕〔 a 2﹣2c 2〕=0 =2，或∵ 0＜ e ＜ 1所以 e= =应选 A10．〔 2021?浙江〕椭圆 C 1： 2〔 m ＞ 1〕与双曲线 C 2： 2〔 n ＞0〕的焦+y =1 ﹣ y =1点重合， e 1， e 2 分别为 C 1， C 2 的离心率，那么〔〕 A ． m ＞ n 且 e 1e 2＞ 1 B ． m ＞n 且 e 1e 2＜ 1C ． m ＜ n 且 e 1e 2＞ 1 【分析】 根据椭圆和双曲线有相同的焦点，2 2 2+1，即 得到 c =m ﹣ 1=n 能得 m ＞ n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．D ．m ＜n 且 e 1e 2＜ 1m 2﹣ n 2=2，进行判断，【解答】 解：∵椭圆 C 1 ：2 2+y=1〔 m ＞ 1〕与双曲线 C 2：﹣ y =1〔 n ＞ 0〕的焦点重合，2 22∴满足 c =m ﹣ 1=n +1，22﹣n22即 m =2＞ 0，∴ m ＞ n ，那么 m ＞ n ，排除 C ， D2 222 22那么 c =m ﹣ 1＜ m ， c =n +1＞ n ， 那么 c ＜ m ． c ＞ n ， e =， e = ，12那么 e 1?e 2=?= ，22 2= = =1 +那么〔 e 1?e 2〕=〔 〕 ?〔 〕 = =1+=1 +＞ 1，第 13 页〔共 36 页〕11．〔2021?郑州一模〕椭圆+=1 〔 a＞b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与椭圆交于 A 、B 两点，假设△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为〔〕A ．B． 2﹣C．﹣2D．﹣【分析】设| F1F2| =2c， | AF 1| =m ，假设△ ABF 1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么| AB | =| AF 1| =m， | BF1| =m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得 a， c 的方程，求得，开方得答案．【解答】解：如图，设 | F1F2| =2c， | AF 1| =m ，假设△ ABF 1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么| AB | =| AF 1| =m， | BF 1| =m，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为 4a，即有 4a=2m+m，即 m=2〔 2﹣〕a，那么| AF 2| =2a﹣ m= 〔 2﹣2〕a，在直角三角形AF 1F2中，2| F1F2| =| AF 1|2即 4c =4〔 2﹣2∴c =〔 9﹣ 62+| AF 2|2，2 2+4〔22，〕 a﹣ 1〕 a2〕 a ，那么 e 2==9﹣ 6=，∴e=．应选： D．12．〔 2021?湖北〕 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ．B ．C． 3D． 2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，〔 a＞ a1〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，∴由余弦定理可得222﹣ 2r1r2cos，①4c =〔 r1〕 +〔 r2〕在椭圆中，①化简为即 4c 22=4a﹣ 3r1r2，即，②在双曲线中，① 化简为即4c 22=4a1 +r1r2，即，③联立②③ 得，=4 ，由柯西不等式得〔1+〕〔〕≥〔1×+〕2，即〔〕=即， d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为 a2，〔 a1＞ a2〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，∴由余弦定理可得222﹣ 2r1r2cos22﹣ r1r2，4c =〔 r1〕 +〔 r2〕=〔 r1〕 +〔 r2〕由，得，∴=，令 m===，当时， m，∴，即的最大值为，法 3：设 PF1| =m ， | PF2| =n，那么，则a1+a2=m ，那么=，由正弦定理得=，即=sin〔 120°﹣θ〕≤=应选： A13．〔 2021?江西二模〕椭圆的两顶点为A 〔 a，0〕， B〔 0，b〕，且左焦点为 F，△ FAB 是以角B 为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率 e 为〔〕A ．B ．C． D ．【分析】先求出 F 的坐标求出直线AB 和 BF 的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得 a 和 c 的关系式，进而求得e．【解答】解：依题意可知点F〔﹣ c， 0〕直线 AB 斜率为=，直线 BF 的斜率为=∵∠ FBA=90 °，∴〔〕 ?=﹣=﹣ 1整理得 c 2+ac﹣a2=0，即〔〕2+﹣ 1=0，即 e2+e﹣ 1=0解得 e=或﹣∵0＜ e＜ 1∴e=，应选 C．14．〔 2021?绥化一模〕椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心 I，且有〔其中λ为实数〕，椭圆 C 的离心率e=〔〕A ．B．C．D．【分析】在焦点△ F1PF2中，设 P〔 x0，y0〕，由三角形重心坐标公式，可得重心 G 的纵坐标，因为，故内心 I 的纵坐标与 G 相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、 b、 c 的等式，即可解得离心率【解答】解：设 P〔x0， y0〕，∵ G 为△ F1PF2的重心，∴G 点坐标为G〔，〕，∵，∴ IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△ F1PF2中， | PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴=?| F1F2| ?| y0 |又∵ I 为△ F1PF2的内心，∴ I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△ F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=〔| PF1|+| F1F2|+| PF2|〕||∴?| F1 F2| ?| y0 | =〔| PF1|+| F1F2|+| PF2|〕||即× 2c?| y0| =〔2a+2c〕|| ，∴2c=a，∴椭圆 C 的离心率e= =应选 A15．〔 2021?洛阳四模〕椭圆〔a＞b＞0〕的半焦距为c〔c＞ 0〕，左焦点为F，右顶点为 A ，抛物线与椭圆交于 B 、C 两点，假设四边形ABFC 是菱形，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】由椭圆方程求出 F 和 A 的坐标，由对称性设出 B 、C 的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出 B 的纵坐标，将点 B 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率 e 的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆〔a＞b＞0，c为半焦距〕的左焦点为F，右顶点为 A ，那么 A 〔 a， 0〕， F〔﹣ c， 0〕，2∵抛物线 y =〔a+c〕x于椭圆交于B，C两点，∴B 、 C 两点关于 x 轴对称，可设 B 〔 m， n〕， C〔 m，﹣ n〕∵四边形 ABFC 是菱形，∴ BC ⊥ AF ， 2m=a﹣ c，那么m=〔 a﹣c〕，将 B 〔 m， n〕代入抛物线方程得，2〔 a+c〕〔a﹣ c〕 =22n =〔a+c〕m=〔 a ﹣ c 〕，22〔 a﹣c〕，b〕，再代入椭圆方程得，+∴n = b ，那么不妨设 B〔=1，化简得=，由e=，即有4e 2﹣8e+3=0，解得e=或〔舍去〕．应选 D ．16．〔 2021?郑州三模〕实数4， m， 9 构成一个等比数列，那么圆锥曲线2的离心+y =1率为〔〕A ．B．C．或D．或 7【分析】由实数 4， m， 9 构成一个等比数列，得 m= ±=± 6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4， m， 9 构成一个等比数列，∴m= ±=± 6，当 m=6 时，圆锥曲线为，a=， c=，其离心率e=；当 m=﹣ 6 时，圆锥曲线为﹣，a=1， c=，其离心率e==．应选 C．17．〔 2021?焦作一模〕椭圆〔 a＞ b＞ 0〕与双曲线〔 m＞0， n＞0〕有相同的焦点〔﹣c， 0〕和〔 c，0〕，假设 c 是 a、m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】根据是 a、 m 的等比中项可得2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得2 c a ﹣22222是2m 22222a 和 cb =m+n=c ，根据 n与 c的等差中项可得 2n =2m+c ，联立方程即可求得的关系，进而求得离心率e．【解答】解：由题意：∴，∴22，∴ a =4c，∴．应选 D ．18．〔 2021?新课标〕设 F1、 F2是椭圆 E：+=1 〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】利用△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得 | PF2| =| F2F1| ，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴| PF2| =| F2F1|∵P 为直线 x=上一点∴∴应选 C．19．〔 2021 春?绵阳校级月考〕点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 A 、B 两点，假设△ ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．〔 0，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．〔0，﹣1〕D．〔﹣l，1〕【分析】由题设知F1〔﹣ c， 0〕，F2〔c， 0〕， A 〔﹣ c，〕，B〔﹣c，﹣〕，由△ ABF2是锐角三角形，知 tan∠AF 2F1＜ 1，所以，由此能求出椭圆的离心率 e 的取值范围．【解答】 解：∵点 F 1、 F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，∴F 1〔﹣ c ，0〕， F 2 〔c ， 0〕，A 〔﹣ c ， 〕， B 〔﹣ c ，﹣ 〕，∵△ ABF 2 是锐角三角形，∴∠ AF 2F 1＜ 45°，∴ tan ∠AF 2F 1＜ 1，∴，整理，得 b 2＜2ac ，∴ a 2﹣ c 2＜ 2ac ，两边同时除以 a 2，并整理，得 e 2 +2e ﹣ 1＞ 0，解得 e ＞ ，或 e ＜﹣，〔舍〕，∴0＜ e ＜ 1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围是〔 〕．应选 B ．20．〔 2021?辽宁〕椭圆 C ： 的左焦点 F ，C 与过原点的直线相交于 A ，B 两点，连结 AF ，BF ，假设 | AB | =10 ，| AF | =6 ， ，那么 C 的离心率为 〔 〕A ．B ．C ．D ．【分析】 在△ AFB 中，由余弦定理可得 22+| BF| 2| AF | =| AB | ﹣ 2| AB || BF | cos ∠ABF ，即可 得到 | BF| ，设 F ′为椭圆的右焦点，连接 BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形 AFBF ′是矩形． 即可得到 a ，c ，进而取得离心率．【解答】解：如下图， 在△ AFB 中，由余弦定理可得 | AF |2=| AB |2+| BF| 2﹣ 2| AB || BF| cos ∠ABF ，∴，化为〔 | BF| ﹣ 8〕2=0，解得 | BF| =8．设 F ′为椭圆的右焦点，连接 BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形 AFBF ′是矩形．∴ | BF ′|=6， | FF ′|=10 ．∴ 2a=8+6， 2c=10，解得 a=7， c=5．∴．应选 B ．21．〔 2021?浦城县模拟〕椭圆+=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，直线 AF 2与椭圆的另一个交点为C，假设△ ABF 2的面积是△ BCF 2的面积的 2 倍，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣ c， 0〕， F2〔 c， 0〕，设 x= ﹣ c，代入椭圆方程，求得 A 的坐标，设出 C〔 x，y〕，由△ ABF 2的面积是△ BCF2的面积的 2 倍，可得=2，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣ c，0〕， F2〔 c， 0〕，由 x= ﹣ c，代入椭圆方程可得y=±，可设 A 〔﹣ c，〕， C〔x， y〕，由△ ABF 2的面积是△ BCF2的面积的 2 倍，可得=2，即有〔 2c，﹣〕 =2〔x﹣ c， y〕，即 2c=2x ﹣ 2c，﹣=2y，可得 x=2c ， y= ﹣，代入椭圆方程可得，+=1 ，由 e=222，， b =a﹣ c22即有 4e + ﹣ e =1，解得 e=．应选： A ．22．〔 2021?南充一模〕抛物线2=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点，y =4x 的准线过椭圆且准线与椭圆交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由题设条件，利用椭圆和抛物线的性质推导出c=1，，由此能求出椭圆的离心率．2【解答】解：∵抛物线y =4x 的准线方程为 x= ﹣ 1，抛物线 y 2=4x 的准线过椭圆的左焦点且与椭圆交于 A 、B 两点，∴椭圆的左焦点 F〔﹣ 1， 0〕，∴ c=1，∵O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，∴，∴，整理，得2a 2﹣ 3a﹣ 2=0 ，解得 a=2，或〔舍〕，∴．应选： B．23．〔 2021?河南模拟〕在区间 [ 1，5] 和 [ 2，4] 分别取一个数，记为a，b，那么方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为〔〕A ．B．C．D．【分析】表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，〔a，b〕点对应的平面图形的面积大小和区间 [ 1，5] 和 [ 2，4] 分别各取一个数〔 a，b〕点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a＞ b＞ 0， a＜ 2b它对应的平面区域如图中阴影局部所示：那么方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，应选 B ．24．〔 2021?四川〕从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB ∥ OP〔O 是坐标原点〕，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】依题意，可求得点P 的坐标 P〔﹣ c，〕，由 AB ∥OP? k AB =k OP? b=c，从而可得答案．【解答】解：依题意，设P〔﹣ c， y0〕〔 y0＞ 0〕，那么+=1，∴y0=，∴P〔﹣ c，〕，又A 〔 a， 0〕， B〔 0， b〕， AB ∥ OP，∴k AB =k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为2== ，e，那么 e = =∴椭圆的离心率e=．应选 C．25．〔 2021?新余二模〕椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，假设 C 上的点 P 满足，那么椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C．D．或【分析】利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C 的离心率 e 的计算公式即可得出【解答】解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ | PF1 | ==3c，由椭圆的定义可得 | PF1|+|PF2| =2a，∴ | PF2| =2a﹣ 3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+〔 2a﹣3c〕≥ 3c，3c+2c≥ 2a﹣ 3c，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．26．〔2021?宁夏校级二模〕在Rt△ ABC 中， AB=AC=1 ，假设一个椭圆通过 A 、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点 F 在 AB 上，那么这个椭圆的离心率为〔〕A ．B ．C．D．【分析】设椭圆的另一焦点为C′，依题意可求得 a，进一步可求得 AC ′，在直角三角形 ACC ′中，可求得 CC′，即 2c，从而可求得这个椭圆的离心率．【解答】解：∵在 Rt△ ABC 中， AB=AC=1 ，∴ABC 是个等腰直角三角形，∴BC=；设另一焦点为C′由椭圆定义， BC ′+BC=2a ， AC ′+AC=2a ，设BC ′=m ，那么 AC ′=1﹣ m，则+m=2a， 1+〔 1﹣ m〕 =2a两式相加得： a=；∴AC ′=2a﹣AC=1 +﹣1=2直角三角形ACC ′中，由勾股定理：〔 2c〕 =1 + =∴c=．∴e= == = ﹣ ．应选 A ．27．〔 2021?商丘三模〕直线 l ： y=kx +2〔k 为常数〕过椭圆 =1〔 a ＞ b ＞ 0〕的上顶点 B 和左焦点 F ，且被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 L ，假设 L ≥，那么椭圆离心率 e 的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ．【分析】由垂径定理， 结合算出直线222，l 到圆 x +y =4 的圆心的距离 d 满足 d ≤结合点到直线的距离公式建立关于k 的不等式， 算出 k2．由直线 l 经过椭圆的上顶点 B2，利用离心率的公式建立e 关于 k 的关系式，和左焦点 F ，可得 c=﹣ ，从而得到 a =4 +即可求出椭圆离心率e 的取值范围．22l ： y=kx +2 的距离为 d=【解答】 解：圆 x +y =4 的圆心到直线2 2L ，∵直线 l ： y=kx +2 被圆 x +y =4 截得的弦长为∴由垂径定理，得2，即，解之得 d 2≤∴≤，解之得 k2∵直线 l 经过椭圆的上顶点 B 和左焦点 F ，∴b=2 且 c==﹣，即 a 2 =4+因此，椭圆的离心率2=e 满足 e ==∵k2，∴ 0＜ ≤ ，可得 e ∈〔 0， ]应选： B28．〔 2021?江西校二模〕O1：〔 x 2〕22222+y =16 和 O2： x +y=r 〔0＜ r＜ 2〕，M 与 O1、 O2都相切，心M 的迹两个，两个的离心率分e1、 e2〔 e1＞ e2〕， e1+2e2的最小是〔〕A ．B ．C． D ．【分析】分求出 e1、e2〔 e1＞ e2〕，利用根本不等式求出e1+2e2的最小．【解答】解：① 当 M 与 O1、O2都相内切， | MO 2|+| MO 1 | =4 r=2a，∴e1 =．②当 M 与 O1相内切而与 O2相外切， | MO 1|+| MO 2| =4+r=2a′，∴ e2=∴e1+2e2=+=，令 12 r=t〔 10＜ t＜ 12〕， e1+2e2=2×≥ 2×==故： A ．29．〔 2021?南充三模〕+=1〔 a＞b＞ 0〕上一点 A 关于原点的称点B， F其右焦点，假设 AF ⊥ BF ，∠ ABF=a ，且 a∈ [，] ，离心率的取范〔〕A ． [，1] B．[，] C． [，1〕D．[，]【分析】左焦点F′，根据定：| AF|+| AF ′|=2a，根据 B 和 A 关于原点称可知| BF| =| AF ′|，推知 | AF |+| BF| =2a，又根据O 是 Rt△ABF 的斜中点可知| AB | =2c，在 Rt △ABF 中用α和 c 分表示出 | AF| 和 | BF| 代入 | AF |+| BF | =2a 中即可表示出即离心率e，而根据α的范确定 e 的范．【解答】解：∵ B 和 A 关于原点称∴B 也在上左焦点F′根据定：| AF|+| AF ′|=2a又∵ | BF| =| AF ′|∴ | AF |+| BF| =2a⋯①O 是 Rt△ABF 的斜中点，∴| AB | =2c又| AF| =2csinα⋯②| BF| =2ccosα⋯③②③代入① 2csinα+2ccosα=2a∴=即 e==∵a∈ [，] ，∴≤ α+π/4≤∴≤ sin〔α+〕≤ 1∴≤ e≤应选 B30．〔 2021?济南模拟〕F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠ F1 2，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕PF =A ． 3B．C． 2 D ．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，〔 a＞ a1〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，222﹣ 2r1r2cos，①∴由余弦定理可得 4c =〔 r1〕 +〔 r2〕在椭圆中，①化简为即 4c 22=4a﹣ 3r1r2，即=﹣ 1，②在双曲线中，① 化简为即4c 22=4a1 +r1r2，即=1﹣，③联立②③ 得，+=4 ，由柯西不等式得〔1+〕〔+〕≥〔1×+×〕2，即〔+〕2≤× 4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．应选 B ．31．〔2021?湖北校级模拟〕椭圆〔a＞b＞0〕上一点A关于原点的对称点为点 B ， F 为其右焦点，假设AF ⊥ BF ，设∠ ABF= α，且，那么该椭圆离心率e的取值范围为〔〕A ．B ．C． D ．【分析】首先利用条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：| AF |+| AN | =2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．【解答】解：椭圆〔a＞b＞0〕上一点 A 关于原点的对称点为点B， F 为其右焦点，设左焦点为：N那么：连接 AF ， AN ， AF ， BF所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：| AF|+| AN | =2a∠A BF= α，那么：∠ ANF=α．所以： 2a=2ccosα+2csinα利用 e==所以：那么：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A32．〔 2021?张掖校级模拟〕中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为设| PF1| =10 ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2，那么 e1?e2+1 的取值范围为〔〕第 29 页〔共 36 页〕A ．〔 1， +∞〕B．〔，+∞〕C．〔，+∞〕D．〔，+∞〕【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c， | PF1| =m ， | PF2| =n，〔m＞n〕，由条件可得m=10 ，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c， a2=5 ﹣ c，〔c＜ 5〕，运用三角形的三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c， | PF1| =m， | PF2| =n ，〔 m＞ n〕，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．假设| PF1| =10，即有 m=10 ， n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣ n=2a2，即有 a1=5+c，a2=5﹣ c，〔 c＜ 5〕，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c=4c＞ 10，那么c＞，即有＜ c＜ 5．由离心率公式可得e1?e2===，由于 1＜＜4，那么有＞．那么 e1?e2+1．∴e1?e2+1 的取值范围为〔， +∞〕．应选： B．33．〔 2021?朝阳二模〕椭圆+ =1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，假设 MF 1垂直于 x 轴，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B． 2﹣C． 2〔 2﹣〕 D．【分析】如图， Rt△ MF2 F1中， tan60°== ，建立关于 a、 c 的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，在Rt△ MF 1F2中，∠ MF2 F1=60 °， F1F2=2c∴MF 2=4c， MF1=2cMF 1+MF 2=4c+2c=2a? e= =2﹣，应选 B ．34．〔 2021 春 ?吉安校级月考〕在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 的顶点 A 〔 0，3〕和C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，那么=〔〕A ．B．C．D．【分析】由椭圆性质得BC +AB=2a=10 ，由此利用正弦定理及三角函数知识能求出的值．【解答】解：椭圆=1 中， a=5， b=4 ，c=3，∵△ ABC 的顶点 A 〔 0，3〕和 C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，∴BC +AB=2a=10 ，由正弦定理得==== =．应选： A ．35．〔2021?四川〕椭圆的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，] B．〔0， ] C． [，1〕 D． [ ， 1〕【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，根据 | PF| 的范围求得 | FA| 的范围，进而求得的范围即离心率 e 的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与A 点的距离相等而| FA| =| PF| ∈[ a﹣ c， a+c]第 31 页〔共 36 页〕于是∈ [ a﹣c， a+c]即ac﹣ c 2≤ b2≤ ac+c2∴又 e∈〔 0，1〕故 e∈．36．〔 2021?安徽模拟〕椭圆的左焦点F1， O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，假设那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C． D ．【分析】由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知 Q 点在∠ PF1O 角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求e【解答】解：∵椭圆的左焦点F1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，，∴PQ 平行于 x 轴，且 P 点的横坐标为，Q点的横坐标为，又知 Q 点在∠ PF1O 角平分线上，如图△PF1Q 是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得 e=．应选 C．。
专题：椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=⇒=-m mm ， 综上316=m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为236，设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在∆Rt ABC 中，90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) [解析]=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a cba b 221)(215-3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，则椭圆的离心率是13-4,椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca = 3-1变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。
对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。
求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。
先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。
方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。
根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。
方法三：利用函数的思想分析解答。
根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。
例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。
需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。
2025高考数学总复习离心率的范围问题
由题意知 a＝1，b＝ 1－m2，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与
椭圆有交点，得c≥b，
所以
c2≥b2＝a2－c2，解得ac22≥12，所以
e＝ac≥
2 2.
又
0<e<1，所以椭圆
E
的离心率的取值范围为
22，1.
(2)已知 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆焦点，且|PF1|
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例 2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆 E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点 P，
满足|OP|＝m(O 为坐标原点)，则椭圆 E 的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
2
2
B.12，1
√
D.
22，1
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
A.(1，＋∞) C.(2,1＋ 2)
√B.(1,2)
D.(1,1＋ 2)
由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°， 将 x＝－c 代入ax22－by22＝1，可得 y＝±ba2， 故在 Rt△AFE 中，|AF|＝ba2，|FE|＝a＋c， ∵∠AEF<45°，
第八章
§8.7 离心率的范围问题
重点解读
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知 特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘 应用也可使问题求解更简洁.
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
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求椭圆离心率范围的常见题型解析
解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂
直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.
例2
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在
一点P 使
1221
sin sin a c
PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为
(
)
21,1-.
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足
的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心
率的取值范围是（ ）
Ａ．(0,1) Ｂ．
1(0,]2
Ｃ．2
(0,
)2 Ｄ．2[,1)2
x
y O
F 1
F 2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系
例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在
椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.
四、利用函数的值域，建立不等关系
例5椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O
为原点），若椭圆长轴长的取值范围为
[]6,5，求椭圆离心率的范围.
五、利用均值不等式，建立不等关系.
例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；
解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.
在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22
＝4a 2－3a 2＝a 2 x
y O
A B
F M
C
(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥1
2.
又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫
12，1.
例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使
︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.
解析1：令
n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥
2
2
2
4c n m
=+∴ ()2
2
222
22
4a n
m n m c
=+≥
+=∴ 即21
222
≥=a
c e
又12
2
10<≤∴
<<e e
六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系
解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2
1
b b S PF
F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22
1
21
b ⇒≤
c 2
b ⇒≤2
c 22c a -⇒≤2c 222
a
c e =⇒≥21
故
2
2
≤e ＜1
七、利用实数性质，建立不等关系
解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得
1-=-⋅+c
x y c x y ，即222x c y -=，代入
1222
2=+b
y a x 得()22222
c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222
c a c
-≥，2
2
≥=
∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系
解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，
2
2
2
c y x P =+∴为圆 与 122
22=+b
y a x 的公共点.由图可知
222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2
222a c c a <≤-12
2
<≤∴
e
说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.
九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系
解析4：椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大
无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0
90 2
245sin sin 001=<∠=<
∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 12
2
<≤e .。