抛物线的几何性质

抛 物 线

一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质

1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.

2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴

3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当

0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.

4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =

知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02

p

x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p

例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2

2,812925f x y x x x x =-++=++，

又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2

,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为

[)9,+∞

答案：[)9,+∞

二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：

知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.

（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是

1e >，抛物线的离心率是1e =；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线

例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.

分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.

答案：解：由2

2

169144x y +=得：22

1169

y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛

物线的标准方程为()220y px p =->，由

32

p

=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.

三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦

如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.

又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛

⎫⎛⎫=+

=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.

②022p AB x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭（焦点弦长与中点的关系）

③若直线AB 的倾斜角为α，则2

2sin p

AB α

= 推导：12AB AF BF x x p =+=++

由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220p

y y k k

+=

≠

1212122222y y y y p p p x x p p k k k k

+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=

+=+= ⎪⎝⎭

当k 不存在时，即90α=时，22sin p

AB α

=

亦成立 ④A B 、

两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2

124

p x x =，212y y p =-

分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：

焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：

()02p y k x k ⎛

⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px

⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝

⎭⎨⎪=⎩

，得：2220ky py kp --= ()2

22

42122

1212122

2,22444

y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2

p

x =

则22

2

2

12121212,,224

y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==

⑤

11AF BF +为定值2p

推导：由焦半径公式知，12,22

p p

AF x BF x =+

=+ ()12212

12121111

2224

x x p p p

p p AF BF x x x x x x ++∴

+=+=+++++

又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22

112

424

AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故

11AF BF +为定值2

p

.