宁夏银川一中2019届高三数学第一次模拟试题

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}1,21x M x x N x =<=>，则MN =A. ∅B. {}01x x <<C. {}0x x <D. {}1x x <2．复数21iZ i=+的虚部是 A ．iB ．-iC ．1D ．-13．在等比数列{}n a 中，若119a =，43a =，则该数列前五项的积为 A ．±3B ．3C ．±1D ．14则该三棱锥的体积为 A ．43B ．83C ．123D ．2435．二项式1022)x 展开式中的常数项是 A ．360B ．180C ．90D ．456．在ABC ∆中，1tan ,cos 2A B ==，则tan C = A ．-1B ．1CD ．-27．若对任意非零实数,a b ，若a b *如右图的程序框图所示，则(32)**A ．1213B ．21C ．23D ．98．函数()3sin(2),(0,)3f x x πφφπ=-+∈满足)()(x f x f =，则φ的值为A ．6π B ．3πC ．56πD ．32π9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，())1,0(,,∈c b a ，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则ba312+的最小值为 A ．332B ．328C ．314D ．31610．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为 A B ．2 C D 11．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x ，给出下列命题：①当0>x 时，)1()(x e x f x -= ②函数)(x f 有2个零点 ③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞⋃- ④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f其中正确命题个数是A ．1B ．2C ．3 12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为2,1 颜色都不相同，且标号为“3,5,7”色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种A ．18B ．36C ．72D ．108第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线xy 2=与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为 .14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若15．在区间[0,2]上任取两个实数a ,b ，则函数f (x )=x 3+ax -b 在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率是 .16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面，2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q (1)q ≠，且2212b S +=， （1）求n a 与n b ； （2123S ++<18.（本小题满分12分）理科数学试卷第3某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中 随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图 的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列， 试估计全年级视力在5.0以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的 学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和 951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）如图(1)所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图(2)所示．(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)以椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的中心O 为圆心，22b a +为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足2=PQ ，OFQ OPQ S S ∆∆=26. （1）求椭圆C 及其“准圆”的方程；（2）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N两点，试证明：当0=⋅ON OM 时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f(1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求a 的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<+++为自然对数的底数）.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于 点D ．连接CF 交AB 于点E ．（1）求证：DE 2=DB •DA ； （2）若DB =2，DF =4，试求CE 的长．B A CE O F23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，（t为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()|2|f x x =-.（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.银川一中2019届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案13. 4-ln2 14. 85 15. 87 16.π8三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公差为d ，因为得3q =或4q =-（舍），3d =．故33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=．……………………………………………5分（2）………………8分12111111113223341S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………………10分 因为1n ≥，所以 123S ++<……………………12分18. （1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分 因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27,24,21,18 ……………………………2分 所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为821000820100⨯= …………………………3分 （2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分 （3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X 可取0、1、2、3 …………………7分363920(0)84C P X C ===， 21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===， 33391(3)84C P X C === X 的分布列为………………11分X 的数学期望2045181()0123184848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………12分 19．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，BE ∥CD .即在图(2)中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1⊂平面A 1OC ，OC ⊂平面A 1OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE - C 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B (22，0，0)E (－22，0，0)，A 1(0，0，22)，C (0，22，0)得BC→＝(－22，22，0)，A 1C →＝(0，22，－22) CD→＝BE →＝(－2，0，0)． 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63.20.解：（1）设椭圆C 的左焦点F 0),0,(>-c c ，由OFQ OPQ S S ∆∆=26得c a 26=，又2=PQ ，即422=+b a 且222a c b =+，所以1,322==b a ， 则椭圆C 的方程为1322=+y x ；椭圆C 的“准圆”方程为422=+y x .………4分（2）设直线ED 的方程为),(R b k b kx y ∈+=，且与椭圆C 的交点),(),(2211y x N y x M 、，联列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x b kx y 代入消元得：0336)31(222=-+++b kbx x k 由22212213133,316k b x x k kb x x +-=+-=+ ………6分 可得2222121313))((kk b b kx b kx y y +-=++= 由0=⋅ON OM 得02121=+y y x x 即++-223133k b 031334313222222=+--=+-k k b k k b ， 所以)1(4322+=k b ………8分 此时0327)33)(31(43622222>+=-+-=∆k b k b k 成立，则原点O 到弦ED 的距离234311222==+=+=k b k b d , 得原点O 到弦ED 的距离为23，则134342=-=ED ，故弦ED 的长为定值. ……………………………12分 21、解：（1）()0,122=++='x a xxx f 是)(x f 的一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a =0符合条件…………………….（2分）（2）()2221212xax ax a x x x f +++=++=' 1）若a =0时，()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤⎩⎨⎧≤∆<010R x f 在)(∴上单调递减…………………………………（4分）3）若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时，由aa x a a 221111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f aa x a a x 221111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a -------（6分）综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减，若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+- 上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a 。