2020年嘉兴市高二数学上期末试题含答案
2020-2021学年嘉兴市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年嘉兴市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 过抛物线C ：y 2=4x 焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，|AB|=8，过线段AB 的中点作y 轴的垂线，垂足为P ，则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=( ) A. 36B. 40C. 50D. 52 2. 过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有( )A. 4条B. 5条C. 6条D. 7条 3. 已知函数y =f(x)满足下列条件：(1)对∀x ∈R ，函数y =f(x)的导数f′(x)<0恒成立；(2)函数y =f(x +2)的图象关于点(−2,0)对称；对∀x 、y ∈R 有f(x 2−8x +21)+f(y 2−6y)>0恒成立．则当0<x <4时，x 2+y 2的取值范围为( )A. (3,7)B. (9,25)C. [9,41)D. (9,49) 4. 设函数f(x)的定义域为R ，则下列命题中真命题的个数为( )①函数y =f(x +1)与函数y =f(1−x)的图象关于直线x =1对称；②若函数f(x +2)为奇函数，则f(1)+f(2)+f(3)=0；③若函数f(x)的图象关于直线x =1对称，且对任意x 都有f(x +2)=−f(x)，则f(x)的图象关于点(−2,0)对称；④若对任意x 1，x 2都有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1，则函数f(x)+1为奇函数．A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 直线l 与已知直线x +y −1=0垂直，则直线l 的倾斜角为( )A. 45°B. 135°C. 60°D. 30° 6. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设p ⃗ =(a +c,b)，q ⃗ =(b −a,c −a)，若p ⃗ //q ⃗ ，则角C 的大小为( )A. 2π3B. π2C. π6D. π3 7. 已知圆x 2+y 2−2mx −(4m +2)y +4m 2+4m +1=0的圆心在直线x +y −7=0上，则该圆的面积为( )A. 4πB. 2πC. πD. π2 8. 已知集合A ={x ∈Z|x 2−4x −5≤0}，B ={x|0<lnx <2}，则A ∩B 的元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 79. 已知函数f(x)=x 2+2x ,g(x)=(12)x −m ，若任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[−1,1]使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A. [−52,+∞) B. [−1,+∞) C. [−4,+∞) D. [12−2√2,+∞) 10. 下列命题中，错误的命题是( )A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交C. 平行于同一平面的两个平面平行D. 一条直线与两个平行平面所成的角相等二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）11. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与直线x =−1相切，则抛物线的方程为______ ．12. 已知向量a ⃗ =(1,2,1),b ⃗ =(1,2,2)，且(k a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )，则实数k 的值为______ ．13. 设直线l ：x −2y +2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B(如右图)，则这个椭圆的离心率e = ______ ．14. 已知△ABC ，点O 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点O 的直线与线段AB 及AC 的延长线分别相交于点E ，F ，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则8λ+μ的最小值是______ ． 三、多空题（本大题共3小题，共9.0分）15. 双曲线x 24−y 2=1的实轴长为 (1) ，渐近线的方程为 (2) ．16. 如图，在空间直角坐标系O −xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,1,0)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体在yOz 平面内的正投影是(填相应编号) (1) ；该四面体的体积是 (2) ．17.已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为(1)(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.从圆C：x2+y2−4x−6y+12=0外一点P(a,b)向圆作切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|(O为原点)，求|PT|的最小值以及此刻点P的坐标．19.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE//平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√32)且离心率为√32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C上一点P向圆O：x2+y2=r2，(r>0)引两条切线，切点分别为A，B(Ⅰ)若存在点P使∠APB=60°，求r的最大值；(Ⅱ)在Ⅰ的条件下，过x轴上一点(m,0)做圆O的切线l，交椭圆C于M，N两点，求|MN|的最小值．21.如图，已知三棱锥P−ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．(Ⅰ)求证：DM//平面PAC；(Ⅱ)求证：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅲ)求三棱锥M−BCD的体积．22.已知M(2,2√2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设A、B抛物线C上异于原点O的两点且∠AOB=90°，求证：直线AB恒过定点，并求出该定点坐标；(3)在(2)的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P(x,y)的轨迹方程．参考答案及解析1.答案：C解析：解：抛物线C ：y 2=4x 焦点(1,0)，设AB 的中点C ，由抛物线的焦点弦公式可知丨AB 丨=2丨CP 丨+2p ，则丨CP 丨=3，由余弦定理可知：丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=丨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2−2丨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠ACP ， 即丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=42+丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2−2×4丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠ACP ， 同理可得：丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=42+丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2−2×4丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠BCP ， 由∠ACP +∠BCP =π，则cos∠BCP =−cos∠ACP ，∴丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=32+2丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=50， ∴丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=50，故选C ．由抛物线焦点弦公式可知丨CP 丨=3，利用余弦定理，分别求得丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2和丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2，则丨PA⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PB⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=32+2丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=50． 本题考查抛物线的焦点弦公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．2.答案：D解析：本题考查了直线的截距式、整数的性质，考查了推理能力，属于基础题．当直线经过原点时满足条件，直线方程为：y =43x.当直线不经过原点时，设直线方程为x a +y b =1，把点P(3,4)代入可得：3a +4b =1，对a ，b 取正整数即可得出．解：当直线经过原点时，满足条件，此时直线方程为：y=43x，此时在两坐标轴上的截距都为0，符合题意;当直线不经过原点时，设直线方程为xa +yb=1，把点P(3,4)代入可得：3a +4b=1，满足条件的a，b有(4,16)，(5,10)，(6,8)，(7,7)，(9,6)，(15,5)．综上可得：满足条件的直线共有7条．故选：D．3.答案：C解析：解：由(1)对∀x∈R，函数y=f(x)的导数f′(x)<0恒成立，可得函数f(x)在R上单调递减；由(2)函数y=f(x+2)的图象关于点(−2,0)对称，∴函数f(x)为奇函数；∴对∀x、y∈R有f(x2−8x+21)+f(y2−6y)>0恒成立，化为f(x2−8x+21)>−f(y2−6y)= f(6y−y2).∴x2−8x+21<6y−y2，化为(x−4)2+(y−3)2<4.圆心C(4,3)，半径R=2．∴x2+y2⩾(|OC|−R)2=9．直线x=4与圆(x−4)2+(y−3)2=4相交于点P(4,1)，Q(4,5)．∴x2+y2<|OQ|2=41．∴则当0<x<4时，x2+y2的取值范围为[9,41)．故选：C．由(1)可得函数f(x)在R上单调递减；由(2)可得函数f(x)为减函数；已知对∀x、y∈R有f(x2−8x+ 21)+f(y2−6y)>0恒成立，化为f(x2−8x+21)>−f(y2−6y)=f(6y−y2).可得x2−8x+ 21<6y−y2，化为(x−4)2+(y−3)2<4.圆心C(4,3)，半径R=2.可得x2+y2≥(|OC|−R)2=9.直线x=4与圆(x−4)2+(y−3)2=4相交于点P(4,1)，Q(4,5).x2+y2<|OQ|2=41.即可得出．本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4.答案：C解析：解：①若函数y=f(x+1)与函数y=f(1−x)的图象关于直线x=0对称；所以原判断正确；②若函数f(x+2)为奇函数，f(2)=0，f(1)=−f(3)，则f(1)+f(2)+f(3)=0；正确；③若函数f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(2−x)=f(−x)，且任意x都有f(x+2)=−f(x)可知f(x+4)=f(x)函数的周期为4，f(x+2)=−f(x)，可得f(−x)=−f(x)，f(−x−4)=f(−x)=−f(x)，则f(x)的图象关于点(−2,0)对称；所以③正确；④定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1成立，令x1=x2=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)+1⇒f(0)=−1，令x1=x，x2=−x，则f(x−x)=f(x)+f(−x)+1，∴[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，∴f(x)+1为奇函数．若对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则函数f(x)+1为奇函数．正确．故选：C．利用函数的对称性判断①的正误；利用函数的奇函数的性质判断②的正误；利用函数的对称性以及函数的周期性判断③的正误；利用已知条件以及函数的奇偶性判断④的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体考查了函数的周期性，奇偶性，对称性及对称变换，是函数图象和性质的综合应用．5.答案：A解析：解：易得直线x+y−1=0的斜率为−1，由垂直关系可得直线l的斜率为1，即直线l的倾斜角α满足tanα=1，解得α=45°故选：A由垂直关系可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．6.答案：D解析：解：∵p⃗=(a+c,b)，q⃗=(b−a,c−a)，p⃗//q⃗，∴(a+c)(c−a)=b(b−a)，即a2+b2−c2=ab，根据余弦定理，cosC=a2+b2−c22ab =12，∵△ABC的三个内角A，B，C，∴C=π3，故选：D．先根据向量平行得到a2+b2−c2=ab，再根据余弦定理，即可求出角C．本题考查了向量平行的坐标运算和余弦定理，属于基础题．7.答案：A解析：解：圆x2+y2−2mx−(4m+2)y+4m2+4m+1=0的圆心(m,2m+1)，圆心在直线x+y−7=0上，可得m+2m+1−7=0，解得m=2，圆的半径为：2，所以圆的面积为：4π．故选：A．求出圆的圆心，代入直线方程，求出m，然后求解圆的半径，即可求解圆的面积．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，圆的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.答案：C解析：可以求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B的元素的个数．本题考查了集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法，对数函数的性质，属于基础题．解：A={x∈Z|−1≤x≤5}={−1,0,1,2,3,4,5}，B={x|1<x<e2}，∴A∩B={2,3,4,5}，∴A∩B的元素的个数为4．故选：C．9.答案：A解析：解：任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[−1,1]使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)min，函数f(x)=x2+2x ,g(x)=(12)x−m，则f′(x)=2x−2x2≥0在[1,2]上恒成立，所以f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)min=f(1)=3，g(x)在[−1,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=12−m，故3≥12−m，解得m≥−52，所以实数m的取值范围是[−52,+∞)．故选：A．将问题转化为f(x)min≥g(x)min，利用导数研究函数f(x)的单调性，求解f(x)的最小值，利用指数函数的单调性，求出g(x)的最小值，得到关于m的不等式，求解即可．本题考查了不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性、函数的最值，指数函数性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.答案：A解析：解：对于A，平行于同一直线的两个平面平行，不正确，如两相交平面，使直线与交线平行；对于B，一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交，满足直线与平面相交的性质，正确．对于C，平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质可知正确；对于D，一条直线与两个平行平面所成的角相等，因为直线在两个平面内的射影平行，所以所成的角相等，正确．故选：A．根据面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定，对不正确的进行列举反例即可．本题主要考查了平面与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11.答案：y2=4x解析：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=−1，即可求抛物线的标准方程．解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB 中，|MN|=12(|AP|+|BQ|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|， 故圆心M 到准线的距离等于半径，∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x =−1，∴p 2=1，∴p =2，故所求的抛物线方程为y 2=4x ．故答案为：y 2=4x ．12.答案：−12解析：解：∵a ⃗ =(1,2,1),b ⃗ =(1,2,2)∴k a ⃗ +b ⃗ =(k +1,2k +2,k +2)，a ⃗ −2b ⃗ =(−1,−2,−3) 又∵(k a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )，∴k+1−1=2k+2−2=k+2−3， 解得k =−12故答案为：−12由向量的线性运算可得k a ⃗ +b ⃗ 和a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，由平行可得关于k 的方程，解方程可得． 本题考查空间向量的平行的判定，涉及向量的线性运算，属基础题．13.答案：2√55 解析：解：B(0,1)，F(−2,0)故c =2，b =1，a =√b 2+c 2=√5，e =c a =2√55． 答案：2√55由题设条件可知B(0,1)，F(−2,0)，故c =2，b =1，a =√5，由此可以求出这个椭圆的离心率． 数形结合，事半功倍．14.答案：253解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E 、O 、F 三点共线，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mλAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{mλ=23(1−m)μ=13，消掉m 得，23λ+13μ=1①，(0<λ<1,μ>1)， ∴8λ+μ=(8λ+μ)⋅(23λ+13μ)=173+(2μ3λ+8λ3μ)≥173+2√2μ3λ⋅8λ3μ=253，当且仅当2μ3λ=8λ3μ②时取等号，由①②可解得μ=53，λ=56， 故答案为：253．由三角形法则可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由E 、O 、F 三点共线，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mλAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由{mλ=23(1−m)μ=13消掉m 得，23λ+13μ=1，从而8λ+μ=(8λ+μ)⋅(23λ+13μ)，利用基本不等式可求答案．本题考查向量加法的三角形法则、三点共线的条件及基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．15.答案：4y =±12x解析： 解：双曲线x 24−y 2=1知，a =2，b =1，可得双曲线的实轴长为2a =4， 渐近线方程y =±12x. 故答案为：4，y =±12x.求得双曲线的a =2，b =1，即可得到双曲线的实轴长2a ，渐近线方程y =±ba x.本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．16.答案：②16解析：解：满足条件的四面体如图所示：D(0,0,0)，D1(0,0,1)，B1(0,1,1)，B(1,1,0)，其在yOz平面内的正投影如图②所示：该四面体的体积V=13×(12×1×1)×1=16，故答案为：②，16借助正方体，画出满足条件的四个顶点，进而可得答案．本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题17.答案：相交2解析：解：圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，可化为(x+1)2+(y+1)2=4，其圆心坐标C1(−1,−1)，半径为2，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，可化为(x−2)2+(y−1)2=4，其圆心坐标C2(2,1)，半径为2，又|C1C2|=√(2+1)2+(1+1)2=√13<2+2=4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．依题意可求得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径，计算两圆心之间的距离即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系的判定，分别求得两圆的圆心坐标与半径是判断的关键，属于中档题．18.答案：解：圆C 的方程可化为：(x −2)2+(y −3)2=1， 即圆心C(2,3)，半径r =1， 如图，PT 切圆C 于T ，在直角三角形PTC 中，PC 2=PT 2+CT 2， 结合PT =OP ，得(a −2)2+(y −3)2=a 2+b 2+1， 化简得2a +3b −6=0，即点P 在直线l ：2x +3y −6=0上移动， 作OM 垂直l 于M ，易得直线OM 的方程为：3x −2y =0， 由{2x +3y −6=03x −2y =0解得{x =1213y =1813， 即M(1213,1813)， |OM|=√13=6√1313，故当P 与M 重合时，|OP|最小也即|PT|取得最小值6√1313， 此时P 点坐标为(1213,1813).解析：利用圆C 的方程确定其圆心和半径，作出图形，利用切线，半径所在直角三角形结合OP =PT 列出关于a ，b 的方程，得到P 点所在直线，利用垂线段最短可得最小值，联立直线方程可得点的坐标．此题考查了圆的方程，直线与圆的关系，点到直线的距离等，难度适中．19.答案：解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE//BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE//平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE//BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．∵DE//BC，∴DE//PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．解析：(1)D，E分别为AC，AB的中点，易证DE//平面A1CB；(2)由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；(3)取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C 底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．20.答案：解：(1)∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√32)且离心率为√32．∴{ 1a 2+34b 2=1ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)(I)设P(2cosθ,sinθ)． 如图所示，连接OA ，OB ，OP ． ∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP.∠APB =60°， ∴∠AOP =60°，∠APO =30°．∴r =12|OP|=12√4cos 2θ+sin 2θ=12√3cos 2θ+1≤12√3+1=1， ∴r 的最大值是1．(II)当直线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为：x =±1.代入椭圆方程可得y =±√32，此时|MN|=√3．当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为：y =k(x −m)，(k ≠0,|m|>1)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 则r =√1+k 2=1.可得1+k 2=k 2m 2． 联立{y =k(x −m)x 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0．△=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=16(1+4k 2−k 2m 2)>0． ∴x 1+x 2=8k 2m1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．∴|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√(1+k 2)(1+4k 2−k 2m 2)1+4k 2=4√3⋅√k 2(1+k 2)(1+4k 2)2=4√3√116−8k 2−1k 4+k 2．设k 2=t >0，令f(t)=8t−1t 2+t，f′(t)=8(t 2+t)−(8t−1)(2t+1)(t 2+t)2=−(4t+1)(2t−1)(t 2+t)2，可知：当t =12时，f(t)取得最大值4，∴|MN|取得最大值2．当t →+∞时，f(t)→0，|MN|→√3． 综上可得：|MN|的最小值为√3．解析：(1)由于椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,√32)且离心率为√32.可得{ 1a 2+34b 2=1c a =√32a 2=b 2+c 2，解得即可．(2)(I)设P(2cosθ,sinθ).如图所示，连接OA ，OB ，OP.由于OA ⊥AP ，OB ⊥BP.∠APB =60°，可得r =12|OP|=12√4cos 2θ+sin 2θ=12√3cos 2θ+1，即可得出．(II)当直线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为：x =±1.代入椭圆方程可得|MN|=√3．当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为：y =k(x −m)，(k ≠0,|m|>1)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).利用直线与圆的相切性质可得r =|km|√1+k 2=1.1+k 2=k 2m 2．直线方程与椭圆方程联立可得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.△=16(1+4k 2−k 2m 2)>0.利用根与系数的关系可得|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=4√3√116−8k 2−1k 4+k 2.设k 2=t >0，令f(t)=8t−1t 2+t，利用导数研究其单调性可得：当t =12时，f(t)取得最大值4，|MN|取得最大值2.当t →+∞时，f(t)→0，|MN|→√3.即可得出．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交相切转化为方程联立可得△≥0及根与系数的关系、弦长公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：(1)∵△PAB 中，D 为AB 中点，M 为PB 中点， ∴DM//PA∵DM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， ∴DM//平面PAC …(4分)(2)∵D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB =20，∴PD =DB =AD =12AB =10.…(5分) ∴△PAB 是直角三角形，且AP ⊥PB ，…(6分) 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC =P ，PB 、PC ⊂平面PBC ∴AP ⊥平面PBC. …(8分) ∵BC ⊂平面PBC∴AP ⊥BC. …(10分)又∵AC ⊥BC ，AP ∩AC =A ，AP 、AC ⊂平面PAC ． ∴BC ⊥平面PAC.…(12分) ∵BC ⊂平面ABC ．∴平面PAC ⊥平面ABC.…(14分)(3)由(1)知DM//PA ，由(2)知PA ⊥平面PBC ， ∴DM ⊥平面PBC.…(15分)∵正三角形PDB 中易求得DM =5√3，…(16分)且S △BCM =12S △PBC =12⋅12BC ⋅PC =14⋅4⋅√102−42=2√21.…(17分) ∴V M−BCD =V D−BCM =13×5√3×2√21=10√7.…(18分)解析：(1)在三角形PAB 中，利用中位线定理可得DM//PA ，再用线面平等的判定定理可以证出DM//平面PAC ；(2)在三角形PAB 中，根据中线PD =12AB ，证出PA ⊥PB.再结合PA ⊥PC ，利用线面垂直的判定定理证出AP ⊥平面PBC ，从而得到AP ⊥BC.同理，证出BC ⊥平面PAC ，最后用面面垂直的判定定理可以得到平面PAC ⊥平面ABC ；(3)根据前面的证明，不难得到DM ⊥平面BCM ，则DM 是三棱锥D −BCM 的高，根据题中所给的数据，求出DM =12PA =5√3，S △BCM =12S △PBC =2⋅√21，从而得到V M−BCD =V D−BCM =13×5√3×2√21=10√7．本题给出一个特殊的三棱锥，通过求证线面平行、面面垂直和求体积，着重考查了空间的线面平行判定定理和直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质，属于中档题．22.答案：(1)解：∵M(2,2√2)为抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点，∴(2√2)2=2p ⋅2， 解得p =2，∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ; (2)证明：当直线的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立y 2=4x ，得k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0， 依题意有k ≠0，x 1+x 2=−2km−4k 2，且x 1x 2=m 2k 2，则∠AOB =90°，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0， (1+k 2)m 2k2+km(−2km−4k 2)+m 2=0，化简得m 2+4km =0，∴m =−4k ，此时直线l ：y =kx −4k =(x −4)k ，恒过点N(4,0) 当直线l 的斜率不存在时， 设l ：x =t ，解得t =4， ∴直线恒过定点N(4,0) ;(3)解：过原点O 向直线AB ：y =k(x −4)作垂线，垂中为P ， 则P 点在以ON 为直径的圆周上(除去原点)， ∵O(0,0)，N(4,0)，∴点P 的轨迹方程为：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)．解析：(1)由M(2,2√2)为抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点，能求出p =2，由此能求出抛物线C 的标准方程;(2)设直线l ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立y 2=4x ，得k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，由此利用韦达定理、向量知识结合已知条件能证明直线恒过定点N(4,0);(3)由已知条件推导出P 点在以ON 为直径的圆周上(除去原点)，由此能求出点P 的轨迹方程． 本题考查抛物线的标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查垂足的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．。
2019-2020学年人教A版浙江省嘉兴市高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．抛物线x2＝4y的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（2，0）D．（0，2）2．直线l：x+3y﹣2＝0在x轴上的截距为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．已知点A（1，0）、B（1，2）与圆O：x2+y2＝4，则（）A．点A与点B都在圆O外B．点A在圆O外，点B在圆O内C．点A在圆O内，点B在圆O外D．点A与点B都在圆O内4．已知在空间中，α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的为（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l⊥β，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．已知直线l1：x+my+7＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则（）A．m＝﹣3 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝3 D．m＝﹣1或m＝3 6．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．若圆（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6）B．[4，6] C．（4，5）D．（4，5]8．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}，α＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）A．（）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（α，β）D．（﹣∞，α]∪（β，+∞）9．设x＞0，y＞0，且+＝1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（∞，6]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）C．（﹣6，4）D．（﹣4，6）10．正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，过D1做直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，且直线l与直线BC1所成角为，则满足条件的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．双曲线＝1的焦距为，渐近线为．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的表面积为，体积为．13．已知圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，则两圆的位置关系为（填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”），它们的公切线条数为．14．设F为抛物线y2＝12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|＝5，则点M的横坐标x的值是，三角形OMF的面积是．15．已知向量＝（1，2，3），＝（x，x2+y﹣2，y），并且、共线且方向相同，则x+y ＝．16．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过椭圆上的一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点，若|MN|为定值，则椭圆C的离心率为．17．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝2，＝﹣3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为．三、解答题18．过定点P（1，1）的直线l和圆C：x2+y2﹣2y＝8相交于A，B两点．（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程．19．如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA＝AB＝a，E、F、G分别为PA、PD、CD 的中点．（1）求证：直线PB∥平面FEG；（2）求直线PB与直线EG所成角余弦值的大小．20．已知椭圆C：+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，且|AB|＝4 （1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为直线x＝4在第一象限内的一点，连接PA交椭圆于点M，连接PB并延长交椭圆于点N．若直线MN的斜率为1，求P点的坐标．21．多面体ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3，AB＝4，AB⊥BB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点．（1）求证：C1E∥平面ABC；（2）若C1E＝2，求二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值．22．已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0）上的点到焦点的距离最小值为1．（1）求p的值；（2）若点P（x0，y0）在曲线C2：y＝x2+1上，且在曲线C1上存在三点A，B，C，使得四边形PABC为平行四边形．求平行四边形PABC的面积S的最小值．参考答案一、选择题1．抛物线x2＝4y的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（2，0）D．（0，2）解：把抛物线方程化为标准方程为：x2＝4y，∴抛物线的焦点在y轴的正半轴，p＝2，．∴抛物线的焦点坐标为（0，1）．故选：B．2．直线l：x+3y﹣2＝0在x轴上的截距为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2解：∵直线l：x+3y﹣2＝0与x轴的交点坐标为（2，0），所以它在x轴上的截距为2，故选：C．3．已知点A（1，0）、B（1，2）与圆O：x2+y2＝4，则（）A．点A与点B都在圆O外B．点A在圆O外，点B在圆O内C．点A在圆O内，点B在圆O外D．点A与点B都在圆O内【解答】解析：∵12+02＜4，12+22＞4，故点A在圆O内，点B在圆O外，故选：C．4．已知在空间中，α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的为（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l⊥β，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：空间中，α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，对于选项A：l∥α，l∥β，平面α和β有可能相交，故错误．对于选项B：若α⊥β，l⊥β，也可能直线l⊂α，故错误．对于选项C：若l⊥α，l∥β，则α⊥β，正确．对于选项D：若α⊥β，l∥α，则l可能在β内，也可能平行β，故错误．故选：C．5．已知直线l1：x+my+7＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则（）A．m＝﹣3 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝3 D．m＝﹣1或m＝3 解：直线l1：x+my+7＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，∴＝≠解得：m＝﹣1，或m＝3，故选：D．6．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：∵A1B1∥AB，∴∠BAC1是异面直线A1B1与AC1所成角（或所成角的补角），∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，∴AC1＝＝，BC1＝＝，∴cos∠BAC1＝＝＝．∴异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：B．7．若圆（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6）B．[4，6] C．（4，5）D．（4，5]解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y＝2的距离等于＝5，由|5﹣r|＜1，解得 4＜r＜6，∴半径r的取值范围是（4，6）．故选：A．8．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}，α＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）A．（）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（α，β）D．（﹣∞，α]∪（β，+∞）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），则α，β是一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，且a＜0；∴α+β＝﹣，α•β＝；∴不等式cx2+bx+a＞0化为x2+x+1＜0，∴αβx2﹣（α+β）x+1＜0；化为（αx﹣1）（βx﹣1）＜0；又0＜α＜β，∴＞＞0；∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为：{x|＜x＜}，故选：A．9．设x＞0，y＞0，且+＝1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（∞，6]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）C．（﹣6，4）D．（﹣4，6）解：∵+＝1∴3x+2y＝（3x+2y）（+）＝12++≥12+2＝24．∵3x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜24，求得﹣6＜m＜4，故选：C．10．正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，过D1做直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，且直线l与直线BC1所成角为，则满足条件的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：设立方体的棱长为1，过D1作直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，即l与平面ABCD所成角为，DD1为轴的圆锥母线（母线与DD1成60°）是直线l的运动轨迹，连接D1A，由题意得D1A∥BC1，直线l与直线BC1所成角为，直线l与直线D1A所成角为．此时D1A为轴的圆锥母线（母线与D1A成45°）是直线l的运动轨迹，两个圆锥相交得到两条交线，故选：B．二、填空题11．双曲线＝1的焦距为 6 ，渐近线为y＝±x．解：双曲线＝1，可知a＝2，b＝，c＝3，所以双曲线的焦距是6，渐近线方程为：y＝±x．故答案为：6；y＝±x．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的表面积为56+16，体积为40 ．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱柱体，如图所示：故：S＝＝56+16．V＝．故答案为：56+16，4013．已知圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，则两圆的位置关系为相交（填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”），它们的公切线条数为 2 ．解：圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2＝0，可化为（x+1）2+（y+1）2＝4，其圆心坐标C1（﹣1，﹣1），半径为2，圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，其圆心坐标C2（2，1），半径为2，又|C1C2|＝＝＜2+2＝4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．14．设F为抛物线y2＝12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|＝5，则点M的横坐标x的值是 2 ，三角形OMF的面积是3．解：F为抛物线y2＝12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，|MF|＝5，设M的横坐标为x，可得|MF|＝x﹣（﹣3），可得x＝2；纵坐标为：y＝＝．三角形OMF的面积是：＝3．故答案为：；15．已知向量＝（1，2，3），＝（x，x2+y﹣2，y），并且、共线且方向相同，则x+y ＝ 4 ．解：向量＝（1，2，3），＝（x，x2+y﹣2，y），并且同向，∴，解得或；当x＝﹣2、y＝﹣6时，反向，应舍去；∴x，y的值为．∴x+y＝4．故答案为：4．16．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过椭圆上的一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点，若|MN|为定值，则椭圆C的离心率为．解：当点P为（0，b）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为m：y＝x+b，n：y＝﹣x+b，联立方程组，解得M（b，），同理可得N（﹣b，），|MN|＝2b．当点P为（a，0）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为m：y＝（x﹣a），m：y＝﹣（x﹣a），联立方程组，解得M（，a），同理可得N（，﹣a），|MN|＝．若|MN|为定值，则2b＝，＝，则椭圆的离心率e＝＝＝，故答案为：．17．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝2，＝﹣3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为 2 ．解：∵在三棱锥D﹣ABC中，AB＝2，•＝﹣3，设＝，＝，＝∴＝，＝，∴＝（）•（）＝＝﹣3，∴＝+﹣+3，又＝＝，∴|（）﹣|＝2，①∴＝，②将①两边平方得，∴，∴，代入②中，得＝，∴＝+1+＝＝1+（），∴，又＝c2，，，∴＝≥＝2．∴的最小值为2．故答案为：2．三、解答题18．过定点P（1，1）的直线l和圆C：x2+y2﹣2y＝8相交于A，B两点．（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程．解：（1）直线l的斜率为1，所以直线方程：y＝x，圆C：x2+y2﹣2y＝8的圆心（0，1），r＝3，所以圆心到l的距离d＝＝，所以由垂径定理得：|AB|＝2＝2＝．（2）当|AB|最短时，CP⊥l时，直线l的方程：x＝1．19．如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA＝AB＝a，E、F、G分别为PA、PD、CD的中点．（1）求证：直线PB∥平面FEG；（2）求直线PB与直线EG所成角余弦值的大小．解：（1）证明：取AB中点H，连接EH、HG，∵E、F为PA、PD的中点，∴EF∥AD，又∵H、G为AB、CD中点，∴GH∥AD，EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面，又∵在△PAB中，EH∥PB，EH⊂平面EFG，PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）解：∵PB∥EH，∴PB与GE所成角的大小等于EH与EG所成角的大小，即为∠HEG，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥HG，又∵HG⊥AB，PA∩AB＝A，∴HG⊥平面PAB，∴HG⊥EH，在Rt△EHG中，HG＝a，EH＝PB＝，∴EG＝a，tan，cosθ＝，故直线PB与直线EG所成角的余弦值为．20．已知椭圆C：+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，且|AB|＝4 （1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为直线x＝4在第一象限内的一点，连接PA交椭圆于点M，连接PB并延长交椭圆于点N．若直线MN的斜率为1，求P点的坐标．解：（1）由题意易知|AB|＝4＝2a，则m＝a2＝4，故C：+y2＝1；（2）方法1：（韦达定理）由题可知设MN：x＝y+t，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆联立x2+4y2＝4，整理得5y2+2ty+t2﹣4＝0，△＝4t2﹣20（t2﹣4）＝16（5﹣t2）＞0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，直线AM：y＝（x+2）与直线BN：y＝（x﹣2）交于点P，则＝＝＝＝，故t＝1，点P在第一象限，则N（0，﹣1），故P（4，1）．方法2：（转化法）由题可知设MN：x＝y+t，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆联立，整理得5y2+2ty+t2﹣4＝0，△＝4t2﹣20（t2﹣4）＝16（5﹣t2）＞0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，又点M在椭圆上，即+y12＝1，则k AM k BM＝•＝＝﹣，直线AM：y＝k AM（x+2）＝﹣（x+2）与直线BN：y＝k BM（x﹣2）交于点P，即＝﹣4k AM k AN＝•＝＝，上式整理后解得t＝1，点P在第一象限则N（0，﹣1），故P（4，1）．（2）方法3：（解出点坐标）设P（4，t），t＞0，则k AP＝，k BP＝，则直线AP：y＝（x+2），直线BN：y＝4k（x﹣2），将椭圆与直线AP联立，得（t2+9）x2+4t2x+4t2﹣36＝0，△＝16t4﹣4（9+t2）（4t2﹣36）＞0，则x A+x M＝﹣，又x A＝﹣2，则x M＝，y M＝，故M（，），同理可得N（，），又k MN＝＝1，即﹣＝﹣，上式整理得2（t﹣1）（t+3）（t2+3）＝0，又t＞0，即t＝1，故P（4，1）．21．多面体ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3，AB＝4，AB⊥BB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点．（1）求证：C1E∥平面ABC；（2）若C1E＝2，求二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值．解：（1）证明：过E作EO∥A1A，交AB于O，连接CO，由梯形中位线知：OE＝＝3，∴OE＝CC1．又OE∥CC1，故四边形OECC1是平行四边形，∴C1E∥EO．又EO⊂平面ABC，C1E⊄平面ABC，∴C1E∥平面ABC．（2）解：由C1E⊥平面ABB1A1，则CO⊥平面ABB1A1，∴平面ABC⊥平面ABB1A1．如图，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系．则CO＝C1E＝2，A（﹣2，0，0），B（2，2，0），C1（0，3，2），C（0，0，2），＝（4，2，0），＝（2，3，2），＝（2，0，2）．设平面ABC的法向量为＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，﹣2，2）．设平面AB1C的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣2，﹣1）．∴cos＜＞＝＝，由图知二面角C1﹣AB1﹣C为锐角，∴二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值为．22．已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0）上的点到焦点的距离最小值为1．（1）求p的值；（2）若点P（x0，y0）在曲线C2：y＝x2+1上，且在曲线C1上存在三点A，B，C，使得四边形PABC为平行四边形．求平行四边形PABC的面积S的最小值．解：（1）解析：设线法由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故最小值应为（0，0），准线y＝﹣由题意可得＝1，解得p＝2；（2）解析：设线法设直线AC：y＝kx+b，当直线斜率k不存在时，此时直线AC为垂直x轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去．点P（x0，y0）在曲线C2：y＝x2+1上，故x02﹣4y0＝﹣4，设A（x1，y1），C（x2，y2），联立方程，得x2﹣4kx﹣4b＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，故线段AC的中点D（2k，2k2+b），若要满足四边形PABC为平行四边形，则B，P关于点D对称．则B（4k﹣x0，4k2+2b﹣y0）．又点B在抛物线C1上，故满足方程（4k﹣x0）2＝4（4k2+2b ﹣y0），即kx0+b＝（x02+4y0）①S＝2S△PAC＝2•|AC|•d＝|x1﹣x2|＝4•|kx0+b﹣y0|，代入①得：S＝•|x02﹣4y0|＝•|x02﹣4y0|，所以S min＝|x02﹣4y0|＝．所以平行四边形PABC的面积S的最小值为．（2）解析2：设点法设A（x1，y1），C（x2，y2），直线AC：（x1+x2）x﹣4y﹣x1x2＝0，点P（x0，y0）在曲线C2：y＝x2+1 上，故x02﹣4y0＝﹣4，．线段AC中点D（，），若要满足四边形PABC为平行四边形，则B，P关于点D对称，则B（x1+x2﹣x0，﹣y0）．又点B在抛物线C1上，故满足方程：4（﹣y0）＝（x1+x2﹣x0）2，即2x0（x1+x2）＝2x1x2+（x02+y0）①S＝2S△PAC＝2•|AC|•d＝•|x1﹣x2|＝＝＝＝，所以平行四边形PABC的面积S的最小值为：．。
浙江省嘉兴市高二数学上学期期末考试试题(含解析)
浙江省嘉兴市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.抛物线24x y =的焦点坐标是（ )A. ()1,0 B 。
()0,1 C 。
()2,0D 。
()0,2 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】24x y =是焦点位于y 轴上的抛物线所以2p =即焦点坐标为()0,1故选：B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题。
2.直线l ：320x y +-=在x 轴上的截距为（ )A 。
23 B 。
23- C. 2D 。
—2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义，令0y =即可求得直线在x 轴上的截距.详解】直线l ：320x y +-=由直线方程截距的定义可知，令0y =，解得2x =即直线与x 轴的交点坐标为()2,0,所以直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为2故选：C.【点睛】本题考查了截距的定义，直线在坐标轴上截距的求法，属于基础题.3.已知点1,0A ､()1,2B 与圆O ：224x y +=,则（ ）A. 点A 与点B 都圆O 外 B 。
点A 在圆O 外，点B 在圆O 内C. 点A 在圆O 内，点B 在圆O 外D. 点A 与点B 都在圆O 内 【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解。
【详解】因为点1,0A ､()1,2B将1,0A 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22104+<,所以点A 在圆224x y +=内 将()1,2B 的坐标代入圆224x y +=的方程，可得22124+>,所以点B 在圆O 外 故选：C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法，属于基础题.4。
空间中,,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线,则下列命题中正确的是（ ） A 。
若//l α，l β//,则//αβB 。
若αβ⊥，l β⊥，则//l αC 。
2020-2021学年浙江省嘉兴市城北中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2020-2021学年浙江省嘉兴市城北中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．2. 如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A 的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．3. 定义在R上的函数导函数为，且对恒成立，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】构造函数，再利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解.【详解】设，因为，所以，所以函数g(x)在R上是减函数，所以g(2)＜g(1),,故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4. 已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（）A． B． C． D．参考答案：B5. 如图是一个商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C【考点】EJ：结构图．【分析】组织结构图是从上往下画的，故“计划”隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响．【解答】解：组织结构图是从上往下画的，故“计划”隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响．则“计划”受影响的主要要素有3个故选C6. 设,则“”是“”的（）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C． D．参考答案：A复数。
19-20学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知抛物线方程为y=14x2，则该抛物线的焦点坐标为()A. (0,−1)B. (−116,0) C. (116,0) D. (0,1)2.已知直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，则l的方程为()A. 3x−2y−6=0B. 2x−3y+6=0C. 2x−3y−6=0D. 3x−2y+6=03.已知圆的方程为x2+y2=1，则点P(3,2)()A. 是圆心B. 在圆上C. 在圆内D. 在圆外4.已知直线m，n互不重合，平面α，β互不重合，下列命题正确的是()A. m//α，m//n，则n//αB. m⊥α，m⊥n则n//αC. m⊥α，n⊥α，则m//nD. α∩β=m，m//n，则n//α且n//β5.直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为()A. −9B. 3C. 4D. −46.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=3，AA1=AB=4，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为()A. √25B. 25C. 2√25D. 457.若圆(x−3)2+(y+52)=r2上有且只有两个点到直线4x−3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是()A. (0,2)B. (1,2)C. (1,3)D. (2,3)8.已知不等式ax2+bx−2>0的解集是{x|−2<x<−14}，则a−b的值为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知x>0,y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. −4<m<2B. −2<m<4C.D.10.一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC是异面直线且夹角为60°；③BD//MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.已知双曲线y24−x23=1，则该双曲线的焦距为______，渐近线方程为______．12.已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为______，表面积为______．13.已知圆C1：x2+y2−6y+8=0，圆C2：x2+y2−8x+7=0，则两圆C1，C2的位置关系为．14.已知抛物线y2=8x的焦点为F，O为坐标原点，A为抛物线上一点，且|AF|=4|OF|，则△AFO的面积为________．15.若a⃗=(2,3，m)，b⃗ =(2n,6，8)且a⃗，b⃗ 为共线向量，则m+n=______ ．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l1：y=12x，l2：y=−12x，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则√ab的值是______．17.若向量a⃗=(4,2，4)，b⃗ =(6,3，−2)，则(2a⃗−3b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知直线ax−y+1=0与圆C：x2+y2−6x+4y+4=0交于A，B两点，过点P(5,−1)的直线l与圆C交于M，N两点，(Ⅰ)若直线l垂直平分弦AB，求实数a的值；(Ⅱ)若|MN|=4，求直线l的方程．19. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，S ，E ，G 分别是B 1D 1，BC ，SC 的中点．(1)求证：直线EG//平面BDD 1B 1． (2)求直线EG 与AB 1所成角的余弦值．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点． (1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．21.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；(Ⅱ)求二面角C−BE−D的余弦值．22.已知抛物线C：y2=2px(0<p<4)的焦点为F，准线l与x轴交于点M，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限．(1)若AF=4，AM=2√7，求直线AB的方程；(2)若p=2，点Q为准线l上任意一点，求证：直线QA，QF，QB的斜率成等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．解：把抛物线方程化为标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点在y轴的正半轴，p=2，p2=1．∴抛物线的焦点坐标为(0,1)．故选D．2.答案：C解析：本题考查了截距式，属于基础题．利用截距式即可得出．解：∵直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，则l的方程为x3+y−2=1，即2x−3y−6=0．故选：C．3.答案：D解析：解：∵32+22=13>1，∴点P(3,2)在圆外，故选D．利用32+22=13>1，即可得出结论．本题考查点与圆的位置关系，考查计算能力，比较基础．4.答案：C解析：解：A.根据线面垂直的判定定理可知，直线n必须在α内，否则不成立．所以A错误．B.当n⊄α时，结论成立，当n⊂α时，结论不成立，所以B错误．C.根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线平行，所以C正确．D.根据线面平行的性质可知，当α∩β=m，m//n时，n//α或n//β或n⊂α或n⊂β，所以D错误．故选C．A.利用线面平行的判定定理判断．B.利用线面垂直的性质判断．C.利用线面垂直的性质判断．D.利用线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要熟练掌握线面平行和垂直的性质和判定定理．5.答案：C解析：解：因为直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，所以3m−2×6=0，解得m=4，故选C由直线平行可得3m−2×6=0，解之可得答案．本题考查直线方程的一般式，和直线的平行关系，属基础题．6.答案：C解析：本题考查异面直线成角，属于基础题．由题意得A1B//CD1，则∠ACD1是异面直线A1B与AC所成角(或其补角)，由余弦定理求余弦值．解：由题意可得AC=AD1=5，A1B=CD1=4√2，∵A1B//CD1，∴∠ACD1是异面直线A1B与AC所成角(或其补角)，记为θ，故cosθ=AC 2+CD12−AD122AC⋅CD1=2×5×4√2=2√25．故选C．7.答案：C解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．设圆心(3,−5)到直线4x −3y =17的距离为d ，则由题意可得r −1<d <r +1，利用点到直线的距离公式求出d 的值，解不等式求得半径r 的取值范围．解：设圆心(3,−5)到直线4x −3y =17的距离为d ， 则由题意可得r −1<d <r +1． 即r −1<|12+15−17|5<r +1，解得1<r <3， 故选C ．8.答案：D解析：解：∵不等式ax 2+bx −2>0的解集是{x|−2<x <−14}， ∴−2，−14是一元二次方程ax 2+bx −2=0的两个实数根， ∴−2−14=−ba ，−2×(−14)=−2a ，解得a =−4，b =−9． ∴a −b =5． 故选：D ．由不等式ax 2+bx −2>0的解集是{x|−2<x <−14}，可得−2，−14是一元二次方程ax 2+bx −2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：A解析：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用和不等式的恒成立问题，将恒成立问题转化为x+ 2y的最小值大于m2+2m，由基本不等式求出x+2y的最小值，从而得到关于m的不等式，解出即可．解：∵2x+1y=1，∴x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx·xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，∴8>m2+2m，∴−4<m<2，故选A．10.答案：B解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．将正方体纸盒展开图还原成正方体，再求出结果．解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED，则BE//GC，在等边△BDE中，BD与BE所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选B．11.答案：2√7;y=±2√33x解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线的方程，求解双曲线的焦距，以及渐近线方程即可．解析：解：因为双曲线方程y24−x23=1，所以双曲线的焦点在y轴上，且a=2，b=√3，则该双曲线的焦距为：2c=2√4+3=2√7；渐近线方程为：y=±ab x=±2√33x.故答案为2√7；y=±2√33x.12.答案：83；6+2√5+2√2解析：由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力．解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，∴几何体的体积V=13×2×2×2=83，在△PEB中，PB=√PE2+BE2=√5，同理可得PC=√5，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD=√PC2+DC2=√5+4=3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF=√PD2−DF2=√9−1=2√2，∴此几何体的表面积S=2×2+12×2×2+2×12×2×√5+12×2×2√2=6+2√5+2√2故答案为8；6+2√5+2√2．313.答案：相离解析：本题考查两圆的位置关系，求得圆的圆心和半径，运用圆心距离和半径的和与差的关系是解题关键，属于基础题．分别求得两圆的圆心和半径，以及圆心距离和半径之和、之差的关系，即可判断两圆的位置关系．解：圆C1：x2+y2−6y+8=0，即C1(0,3)，半径r1=1；圆C2：x2+y2−8x+7=0，即C2(4,0)，半径r2=3；可得|C1C2|=√16+9=5，即|C1C2|>r1+r2，可得两圆C1，C2的位置关系为相离．故答案为相离．14.答案：4√3解析：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定A的坐标．根据A为抛物线上一点，且|AF|=4|OF|，可确定A的坐标，即可求得结果．解：抛物线y2=8x的焦点为F(2,0)，O为坐标原点，A为抛物线上一点设坐标为(m,n)，因为|AF|=4|OF|=8，所以A到抛物线准线x=−2的距离为8，则m=6，取n=4√3则△AFO 的面积为12×2×n =4√3．故答案为4√3．15.答案：6解析：本题考查了空间向量共线的判定，属于较易题．a ⃗ ，b ⃗ 为共线向量，则a ⃗ =λb ⃗ ，{2=2λn 3=6λm =8λ，即可求出m 、n ．解：a ⃗ =(2,3，m)，b ⃗ =(2n,6，8)且a ⃗ ，b ⃗ 为共线向量，∴a ⃗ =λb ⃗ ，∴{2=2λn3=6λm =8λ，解得m =4，n =2，∴m +n =6，故答案为：6．16.答案：2解析：取点P 为上下定点，分别求出MN 的长度，两次求出MN 相等，即可得到a 、b 的数量关系． 本题考查了椭圆与直线的位置关系，根据已知采用特例法是解客观题的有效办法，属于中档题， 解：当点P 为(0,b)时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为l 1：y =12x +b ，l 2：y =−12x +b ，联立{y =−12x +b y =12x 可得M(b,b 2)，同理可得N(−b,b 2)，|MN|=2b ． 当点P 为(a,0)时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为l 1：y =12x −12a ，l 2：y =−12x +12a ，联立{y =12x y =−12x +12a可得M(a 2,14a)，同理可得N(a 2,−14a)，)，|MN|=a 2． 若|MN|为定值，则2b =a 2，⇒a b =4，∴则√a b 的值是2． 故答案为：2．17.答案：−200解析：解：∵向量a⃗=(4,2，4)，b⃗ =(6,3，−2)，∴(2a⃗−3b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ +4a⃗⋅b⃗ −6b⃗ 2=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ −6b⃗ 2=2(16+4+16)+24+6−8−6(36+9+4)=−200故答案为：−200．由已知条件利用向量坐标运算公式能求出结果．本题考查向量数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算公式的合理运用．18.答案：解：(Ⅰ)化圆C：x2+y2−6x+4y+4=0为C：(x−3)2+(y+2)2=9，可得圆心C(3,−2)，半径为3，直线ax−y+1=0，即y=ax+1．由于l垂直平分弦AB，故圆心C(3,−2)必在直线l上，∴直线l过点P(5,−1)和C(3,−2)，，则斜率k PC=12∴k AB=a=−2；(Ⅱ)当直线斜率不存在时，不满足|MN|=4，故直线斜率存在，设直线l的方程是y=k(x−5)−1，∵C到l的距离d=，|MN|=2√9−d2=4，2=4，解得k=−2，∴9−(1−2k)21+k2∴l的方程是：y=−2(x−5)−1，即：2x+y−9=0．解析：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．(Ⅰ)由圆的方程求出圆心坐标与半径，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心C(3,−2)必在直线l 上，求出直线l 的斜率，由两直线垂直与斜率的关系求解a ；(Ⅱ)设直线l 的方程是y =k(x −5)−1，利用垂径定理结合弦长求得k ，则直线l 的方程可求． 19.答案：证明：(1)如图，连接SB ，∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点，∴EG//SB ，又SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1，∴直线EG//平面BDD 1B 1．解：(2)以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴正方向，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则E(1,2，0)，C(0,2，0)，S(1,1，2)，G(12,32,1)，A(2,0，0)，B 1(2,2，2)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,1)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)， 设直线EG 与AB 1所成角为θ，则cosθ=|cos <EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EG ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅√8=√36．∴直线EG 与AB 1所成角的余弦值为√36．解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)连接SB ，由已知得EG//SB ，由此能证明直线EG//平面BDD 1B 1．(2)以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴正方向，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EG 与AB 1所成角的余弦值．20.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=23，则b 2a 2=59，① 由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a 2+259b 2=1，②解得：a 2=9，b 2=5，∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1；(2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，{x =my5x 2+9y 2=5a 2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2，∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a√5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ，则{x =my −a5x 2+9y 2=5a 2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0，由y =0，或y 1=10am5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1， 则√5a √5m 2+9=2×10am5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35，则直线AB 的斜率1m =5√33；方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1，由B ，C 在椭圆上，∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y 22)2=5a 2， 解得：x 2=a 4，y 2=4√3则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ； 方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(Ⅰ)证法一：取EC 中点G ，连结BC ，GF ，∵F 是CD 的中点，∴GF//ED ，GF =12ED ，由已知得AB//ED ，AB =12ED ，∴四边形BGFA 是平行四边形，∴BG//AF ，∵BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，∴AF//平面BCE ．证法二：以A 为原点，AC 为x 轴，在平面ACD 中过点A 作AC 的垂线为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(2,0，0)，B(0,0，1)，D(1,√3,0)，E(1,√3,2)，∵F 为CD 的中点，∴F(32,√32,0)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AF ⊄平面BCE ，∴AF//平面BCE ．解：(Ⅱ)设平面BCE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x +√3y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2x −z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)， 设平面BDE 的一个法向量n⃗ =(a,b ，c)， ∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−1)， ∴{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +√3b +c =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +√3b −c =0，取a =√3，得n ⃗ =(√3,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√64． ∴二面角C −BE −D 的余弦值为√64．解析：(Ⅰ)法一：取EC 中点G ，连结BC ，GF ，推导出四边形BGFA 是平行四边形，从而BG//AF ，由此能证明AF//平面BCE ．法二：以A 为原点，AC 为x 轴，在平面ACD 中过点A 作AC 的垂线为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF//平面BCE ．(Ⅱ)求出平面BCE 的一个法向量和平面BDE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角C −BE −D 的余弦值．该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：(1)解：设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知|AN|=|AF|=4，设A(x 0,y 0)(y 0>0)，由题意知|AM|2=|AN|2+y 02得(2√7)2=42+y 02,解得y 0=2√3，所以12=2px 0,即px 0=6，①又因为|AF|=x 0+p 2=4，②，①②两式联立解得p =2或p =6，因为0<p <4，所以p =2，则x 0=3，所以抛物线的焦点F(1,0)，A(3,2√3)，直线AB 的斜率为2√33−1=√3，故直线AB 的方程为y =√3(x −1)；(2)证明：若p =2，则抛物线C 的方程为y 2=4x ，F (1,0)，准线l:x =−1，设直线AB 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，Q(−1,t)，由{x =my +1y 2=4x消去x 可得，y 2−4my −4=0， 则y 1+y 2=4m,y 1y 2=−4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，x 1x 2=y 124×y 224=1，则k QA +k QB =y 1−tx 1+1+y 2−tx 2+1 =y 1−t my 1+2+y 2−t my 2+2=(y 1−t)(my 2+2)+(y 2−t)(my 1+2)(my 1+2)(my 2+2) =2my 1y 2+(2−mt)(y 1+y 2)−4t m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4 =−8m+4m(2−mt)−4t−4m 2+8m 2+4=−t ， 因为k QF =−t 2，所以k QA +k QB =2k QF ，故直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列，解析：本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设点A 在准线l 上的射影为N ，由|AM|2=|AN|2+y 02得到y 0=2√3，由px 0=6和|AF|=x 0+p 2=4，即可求得p ，从而求得F ，A 的坐标，即可求解，(2)若p =2，则抛物线C 的方程为y 2=4x ，F (1,0)，准线l:x =−1，设直线AB 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，Q(−1,t)，直线方程与抛物线方程联立，求得A ，B 两点纵坐标的关系，代入斜率公式，整理即可得证．。
2020-2021学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线1y x =+ 的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60︒C ．150︒D ．120︒【答案】A【分析】直线的倾斜角就是斜率，从而求得倾斜角.【详解】解：直线1y x =+的斜率k =θ，[)0,180θ∈︒︒，则tan 3θ=，∴30θ=︒．故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角及斜率的关系，难度较小. 2．已知抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则a 等于（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】D【分析】2y ax =的准线方程为4ax =-，可建立等式求解 【详解】2y ax =的准线方程为4a x =-14ax =-=-，故4a = 故选：D3．已知圆的方程是22210x y x +--=，则它的半径是（ ）A ．1BC ．2D ．4【答案】B【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得半径的长． 【详解】圆的方程可化简为()2212x y -+=故选：B4．已知α，β，γ为三个互不重合的平面，l 为一条直线，则下列命题中错误的是（ ）A ．//l α，l βαβ⊥⇒⊥B ．αγ⊥，// βγαβ⇒⊥C ．αγ⊥，βγαβ⊥⇒⊥D ．l α⊥，l βγαβ=⇒⊥【答案】C【分析】由线面垂直的判定定理可判断选项A ；一个平面垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个，可判断选项B ；对于选项C 可举出反例；由面面垂直的判定定理可判断选项D ．【详解】对于A ，//l α，l β⊥，则αβ⊥，正确； 对于B ，αγ⊥，// βγ，则αβ⊥，正确；对于C ，αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可以相交，可以平行，错误； 对于D ，l l βγβ=⇒⊂，又l α⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，正确；故选：C5．“3a =”是“直线1:310l ax y +-=与直线2:(2)20l x a y +-+=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当3a =时，1:3310l x y +-=，22:0l x y ++=，此时两直线斜率都是1-，所以12//l l ，即3a =可以得出12//l l ， 若12//l l ，则31122a a -=≠- ，即()23a a -=，解得3a =或1a =-， 所以12//l l 得不出3a =，所以“3a =”是“直线1:310l ax y +-=与直线2:(2)20l x a y +-+=平行”的充分不必要条件， 故选：A6．方程2x xy x +=表示的曲线是（ ）． A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点或一条直线【答案】C【解析】方程2x xy x +=即(1)0x x y +-=， 化简可得0x =或10x y +-=，而0x =表示一条直线，10x y +-=也表示一条直线， 故方程2x xy x +=的曲线是两条直线．7．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（ ）A ．1B ．1112C ．116D ．2【答案】B【分析】运用向量的线性运用表示向量111222AE AB BC AP =++，对照系数，求得,,x y z ，代入可得选项.【详解】因为()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++-， 所以2AE AB BC AP =++，所以111222AE AB BC AP =++，所以111,2,3222x y z === ，解得111,,246x y z ===，所以11111++24612x y z ++==，故选：B.8．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．5(1,]3C ．[2,)+∞D ．4[,)3+∞【答案】A【分析】根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果.【详解】因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ， 即42a c ≥，则2ca≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤. 故选：A.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）A ．2211B ．2211-C ．277D ．21111【答案】D【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角）， 又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥． 由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB +-⋅∠=+-⨯⨯︒=cos11BCPCBPC∠===，所以异面直线PC与AD所成角的余弦值为11．故选：D．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．已知圆222:()(21)2C x m y m m-+-+=，有下列四个命题：①一定存在与所有圆都相切的直线；②有无数条直线与所有的圆都相交；③存在与所有圆都没有公共点的直线；④所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解.②③根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线④假设过原点，有解【详解】由圆222:()(21)2C x m y m m-+-+=知圆心坐标为(),21m m-，半径|r m=，圆心在直线21y x=-上，①假设存在直线与所有圆均相切，设为y kx b=+则(),21m m-到y kx b=+的距离为|r m=可得|r m===直线与所有圆均相切，故切线应与m无关，可取1b=-=解得2k=-±即(21y x-±=-所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；过点0,1介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确；过点0,1在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确；假设过原点，则222()(21)2m m m-+-+=，得1m=或13m=，故④错误.故选：C【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．二、填空题11．一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是______.【答案】【分析】有题意可知该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】由题意可得该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径，设球的半径为R，则2R=所以R=，所以球的体积为334433Rππ==，故答案为：.12．在直角三角形ABC中，1AB AC==，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边AB 上，并且椭圆经过点,A B，则椭圆的长轴长等于______.【答案】22+【分析】利用勾股定理求出2BC =，然后在焦点三角形中，利用椭圆的定义表示出AF 和BF ，根据1AF BF +=列式计算长轴长.【详解】解：如图，设椭圆的长轴长为2a ，因为1AB AC ==，则2BC =，21AF a =-，22BF a =-，则21221a a -+-=，所以222a +=.故答案为：22+13．已知三棱锥P ABC -的各条棱长均为1，M ，N 分别是棱PA ，BC 的中点，将PMN 绕PN 所在的直线旋转一周，直线MN 与平面PAB 所成角余弦值的取值范围是______.【答案】426426-+⎣⎦【分析】由正三棱锥结构特征可得将PMN 绕PN 所在的直线旋转一周，MN 旋转形成的轨迹为一个圆锥的侧面，设直线PN 与平面P AB 所成的角为β，MN 与平面P AB 所成角为θ，可将问题转化为直线AB 与平面α所成的角β确定，直线BC 绕直线BA 旋转，且BC 与BA 所成的角小于直线AB 与平面α所成的角，所以ABC ABC βθβ-∠+∠，由此即可求解．【详解】解：由三棱锥P ABC -的各条棱长均为1，N 分别是棱BC 的中点，可得32PN =，又因为三棱锥P ABC -为正三棱锥，所以点C 到平面P AB 的距离为2236132⎛⎫-⨯=⎪ ⎪⎝⎭，又由N 分别是棱BC 的中点可得，点N 到平面P AB 的距离为6，设直线PN 与平面P AB 所成的角为β，则626sin 3β==，所以7cos β=；又因为M ，N 分别是棱P A ，BC 的中点，由PN AN =可得MN PM ⊥，则3sin PM PNM PN∠==，6cos .3PNM ∠=将PMN 绕PN 所在的直线旋转一周，因为PN 与平面P AB 所成角为定值，PNM ∠为定值，所以MN 旋转形成的轨迹为一个圆锥的侧面，设MN 与平面P AB 所成角为θ． 如图可将问题转化为：直线AB 与平面α所成的角β确定，直线BC 绕直线BA 旋转，且BC 与BA 所成的角小于直线AB 与平面α所成的角，所以ABC ABC βθβ-∠+∠，其中ABC ∠即为原图中PNM ∠，所以3sin ABC ∠=6cos ABC ∠=而cos01=，()7623426cos cos ?cos sin ?sin 33339ABC ABC ABC βββ+∠=∠-∠=-=()7623426cos cos ?cos sin ?sin 33339ABC ABC ABC βββ-∠=∠+∠=⨯+=.426426cos θ-+MN 与平面P AB 所成角余弦值的取值范围是426426,99⎣⎦．故答案为：426426,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查旋转体中直线和平面所成的角，涉及正三棱锥的结构特征，圆锥的结构特征，同角三角函数的基本关系．三、双空题14．双曲线22124x y -=的实轴长是______，渐近线方程是______.【答案】22 2y x =±【分析】由双曲线的方程可以求出,,a b c 的值即可求出实轴长2a ，渐近线方程b y x a=±. 【详解】由22124x y -=可得：2a =，2b =，所以实轴长是222a =，渐近线方程为22y x x =±=±， 故答案为：22；2y x =±15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，几何体中最长棱的长等于______.【答案】314【分析】由三视图可得原几何体是底面为直角梯形，侧棱垂直于底面的四棱锥，根据三视图的数据，可得四棱锥的棱长，即可求解.【详解】由三视图可知：原几何体是四棱锥，底面ABCD 为直角梯形，上底1AB =，下底2CD =，直角腰2AD =，所以四棱锥体积为：()1221133332ABCD S PD +⨯⨯⨯=⨯⨯=， 棱长22222313PA AD PD =+=+=2222222212314PB BD PD AD AB PD =+=++=++= 22222313PC CD PD =+=+=所以该几何体的体积是314 故答案为：314.16．已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于M ，N 两点，则||MN =______，线段MN 的中点坐标是______. 【答案】8 ()3,2【分析】依题意可得直线过抛物线的焦点，设()11,M x y ，()22,N x y 联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦12MN x x p =++求出弦长，再由12122y y x x +=+-，即可求出M ，N 的中点坐标；【详解】解：因为抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，又点()1,0在1y x =-上，直线1y x =-与抛物线24y x =交于M ，N 两点，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程得214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得，2610x x -+=，所以126x x +=，所以128MN x x p =++=，121224y y x x +=+-=，所以M ，N 的中点坐标为()3,2故答案为：8；()3,2；17．直线1y mx m =-+分别与x 轴､y 轴的正半轴交于M ，N 两点，点P 是圆22(2)2x y ++=上的动点，则||MN 的最小值是______，当||MN 最小时，PMN 面积的取值范围是______.【答案】 []2,6【分析】由题意可得0m <，分别求得M 、N 点坐标，求得MN ，利用基本不等式，即可求得答案；当||MN 最小时时，可求得直线方程，进而可求得圆上的点到直线的最大距离和最小距离，进而可求得PMN 面积的取值范围.【详解】因为直线1y mx m =-+分别与x 轴､y 轴的正半轴交于M ，N 两点， 所以0m <，令0y =，解得1(1,0)M m -，令0x =，解得(0,1)N m -， 所以22222112(1)(1)2()(2)MN m m m m m m =-+-=+++-+-，因为0m <，所以20,20m m->->，所以222122()(2)MN m m m m =+++-+-≥， 当且仅当221=m m ，2()=(2)m m--即1m =-时等号成立，所以28MN ≥，MN ≥||MN 的最小值是当||MN 最小时，(2,0),(0,2)M N ，此时直线方程为2y x =-+，即20x y +-=，所以圆心（-2,0）到直线的距离d ==，所以圆上的点到直线的最大距离为d r +==，最小距离为d r -=所以PMN 面积的最大值为11()622MN d r ⨯⨯+=⨯=，最小值为11()222MN d r ⨯⨯-=⨯=，所以PMN 面积的取值范围是[]2,6.故答案为：[]2,6【点睛】解题的关键是根据题意，求得MN 的表达式，根据m 的范围，利用基本不等式求解；求PMN 的面积的取值范围时，根据圆的几何性质，将问题转化圆上的点到直线的最大距离和最小距离问题，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.四、解答题18．已知直线:(1)30(0)l a x a ++=>. （1）当4a =时，求直线l 的斜率；（2）若直线l 被圆22250x x y -+-=截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】（1）52；（2）230x y -+=. 【分析】（1）由4a =，写出直线斜截式，得到直线斜率；（2）根据圆的方程，转化为标准式，得到圆心与半径，再根据点到直线距离公式得出圆心到直线的距离d ，利用垂径定理解出a 的值.【详解】（1）因为4a =，直线l 的方程为5230x y -+=， 即5322y x =+， 故直线l 的斜率为52.（2）圆方程可化为22(1)6x y -+=，圆心坐标为()1,0，则d =因为直线l 被圆22250x x y -+-=截得的弦长为2，即2=，d =整理可得，247110a a +-=，解得，1a =或114a =-， 因为0a >，故1a =，所以，直线l 的方程为230x y -+=. 【点睛】圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，可证明四边形OGEF 为平行四边形，则OF EG ∥，由线面平行的判定定理即可求证；（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，在EGC 中即可求EGC ∠的余弦值.【详解】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1OG BB ∥，则OG EF ∥， 又112EF CC =，则OG EF =， 所以四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，又EG ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ， 故//OF 平面ABE .（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，连接CG ，由直三棱柱111ABC A B C -可得EC ⊥平面ABC ， 则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角， 设2AB =，则114AA CC ==，又1CE C F =，则1CE =，CG =2EG =，所以，直线EG 与平面ABC 所成角的余弦值为2，故直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值为2. 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； （3）利用面面平行的性质定理：直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行；直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，这这条直线与另一个平行.20．已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，其焦点为F ，(2,)M m 为抛物线C 上的一点，且M 到焦点F 的距离为52. （1）求抛物线C 的方程；（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 与抛物线C 相交于两个不同的点P ，Q ，线段PQ 的垂直平分线过定点(2,0)，求k 的取值范围.【答案】（1）22y x =；（2）k >2k <-. 【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出p ，从而求出抛物线方程；（2）设PQ 的中点为()00,x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法可得01ky =，即可表示出PQ 的垂直平分线的方程为()001y x x y k=--+，又过定点(2,0)，即可求出0x ，联立直线PQ与抛物线方程，根据0∆>求出k的取值范围；【详解】解：（1）因为(2,)M m为抛物线C上的一点，则5 ||222p MF=+=，得1p=，故抛物线C的方程为22y x=，（2）设PQ的中点为()00,x y，()11,P x y，()22,Q x y，根据题意可知，2112y x=，2222y x=，则121212021y ykx x y y y-===-+，故有01ky=，线段PQ的垂直平分线的方程为()001y x x yk=--+，过定点()2,0，得1x=，直线()00:PQ y k x x y=-+，联立22y x=得2002220ky y kx y--+=，()00480k kx y∆=+->，即212k>，得22k>或22k<-.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21．如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC∠=︒，PCD和PAD△均为正三角形，M，N分别为CD，PB的中点.（1）求证：PA MN⊥；（2）求二面角P CM N--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63.【分析】（1）取PA的中点E，连结AM，ME，AC，PM，NE可得AM PM=，则PA ME⊥，CD⊥平面APM，则PA CD⊥，由////NE AB CD，所以PA NE⊥，且PA ME⊥可得PA MN⊥.（2）连结BD ，AC 交于点E ，由已知可得P ACD -为棱长为2正四面体， 作PO ⊥平面ABCD ，可求得PO ，BO ，平面PBD ⊥平面ABCD ，过N 作NH BD ⊥于H ，则NH ⊥平面ABCD ，所以//NH PO ，所以H 是BO 的中点，由余弦定理可得243HC =，由勾股定理可得HC CD ⊥，CD NC ⊥，所以NCH ∠为二面角N CM H --的平面角，可求tan NHNCH HC∠=，又二面角P CM A --的平面角θ的正切值为tan 22θ=，令二面角P CM N --的平面角大小为α，则tan tan tan tan()1tan tan NCHNCH NCHθαθθ-∠=-∠=+∠可得答案.【详解】（1）取PA 的中点E ，连结AM ，ME ，AC ，PM ，NE 如图所示PCD 、PAD △、CAD 是全等的等边三角形，根据题意，AM PM =，则PA ME ⊥， 又AM CD ⊥，PM CD ⊥，PMAM M =，所以CD ⊥平面APM ，且PA ⊂平面APM ，则PA CD ⊥，因为N ，E 分别为PB ，PA 的中点，则////NE AB CD ， 所以PA NE ⊥，且PA ME ⊥又ME NE E ⋂=，则PA ⊥平面MNE ， 又MN ⊂平面MNE ，所以PA MN ⊥.（2）连结BD ，AC 交于点E ，由已知可得P ACD -为棱长为2正四面体， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在线段BD 上，2233OD DE =⨯=， 则22263PO PD OD =-=，33BO =，PO ⊂PBD 平面，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，过N 作NH BD ⊥于H ，则NH ⊥平面ABCD ，NH CD ⊥，连结HC ，所以//NH PO ，所以H 是BO 的中点，12323HO BO ==，433DH =， 2DC=，30CDH ∠=，由余弦定理得22242cos303HC DH CD CD DH =+-⨯⨯=， 所以222HC CD HD +=，即90HCD ∠=，HC CD ⊥，NH HC H =，CD ⊥平面NHC ，NC ⊂平面NHC ，则HC CM ⊥，所以NCH ∠为二面角N CM H --的平面角，1623NH PO ==，233HC =，2tan 2NH NCH HC ∠==. 由已知可得，PM CD ⊥，AM CD ⊥，所以二面角P CM A --的平面角PMA θ=∠，3AM =，133OM AM ==，263tan 223PO OM θ===， 令二面角P CM N --的平面角大小为α， 则tan tan 2tan tan()1tan tan 2NCH NCH NCH θαθθ-∠=-∠==+∠， 所以，6cos α=，二面角P CM N --的余弦值为6.【点睛】本题考查线线垂直、二面角的求法问题，对于证明线线垂直，可以先证明线面垂直，或者利用勾股定理，对于二面角的求法，可以用定义法；三垂线法，利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想；向量法是通过求两个面的法向量，本题考查了空间想象力、计算能力.22．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F点2P⎭在椭圆E上.（1）求椭圆E的标准方程；（2）经过椭圆E的左焦点1F作斜率之积为12-的两条直线1l，2l，直线1l交椭圆E于A，B，直线2l交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求2GHF面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=；（2）最大值6.【分析】（1）利用椭圆的离心率以及点在椭圆上，可得椭圆E的标准方程；（2）设直线11:(l y k x=，设()11,A x y，()22,B x y，联立直线和椭圆方程，得出根与系数的关系以及中点坐标，结合1212k k=-，写出直线GH的方程，利用面积公式以及基本不等式求出面积的最值．【详解】（1）因为cea==，得12ba=，则222214x yb b+=，又椭圆经过点P⎭，则2221142b b+=，即21b=，故椭圆E的标准方程为2214xy+=.（2）设直线1l的斜率为1k，则11:(l y k x=，设()11,A x y，()22,B x y，联立122(44y k xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩得，()2222111141240k x x k+++-=，21122114x xk+=-+，2112211214kx xk=+，AB的中点11G⎛⎝⎭，同理可得CD的中点22H⎛⎝⎭，1212k k=-，所以，()122134GHkk k==-+，则()12113:4GH y x k k ⎛=-++ +⎝⎭. 令0y =得x =GH 在x轴上的交点为I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()21222121152245GHF k k S k k -==++△， 令12t k k =-，2215||151124124||||GHF t S t t t ==++△，因为||t ≥26GHF S ≤△，即2GHF面积的最大值6. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键点是联立直线与椭圆方程，求出中点坐标，结合1212k k =-，写出直线GH 的方程，进而可利用面积公式表示出2GHF 的面积，利用基本不等式求出最值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．。
2020年浙江省嘉兴市海宁第二中学高二数学理上学期期末试题含解析
2020年浙江省嘉兴市海宁第二中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数z=的共轭复数是（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由=，得复数的共轭复数是：1+2i．故选：A．2. 如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于A. B.C. D.参考答案：D略3. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,则B．若,,,则C．若,则D．若,则参考答案：C略4. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A【分析】先通过运算，化简为，再利用复数的几何意义判断.【详解】因为，所以对应的点位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.5. “命题P：对任何一个数x∈R，2x2﹣1＞0”的否定是（）A．?x∈R，2x2﹣1≤0B．?x?R，2x2﹣1≤0C．?x∈R，2x2﹣1≤0D．?x?R，2x2﹣1≤0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“命题P：对任何一个数x∈R，2x2﹣1＞0”的否定是：?x∈R，2x2﹣1≤0．6. 设函数则（）A．是减函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值参考答案：D略7. 由①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（）A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②参考答案：D【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的知识点是演绎推理中三段论的概念，由三段论：①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；我们易得大前提是③，小前提是①，结论是②．则易得答案．【解答】解：三段论：①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；大前提是③，小前提是①，结论是②．故排列的次序应为：③①②，故选：D．8. 椭圆的焦距为A．1 B．2 C．3 D．4B9. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（）A． 4 B． 2 C． -2D． -4参考答案：D10. 已知{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A.4B.C.－4D.－参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．参考答案：12【考点】分层抽样方法．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×=12人，故答案为：12【点评】本题主要考查了分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，属于基础题．12. 已知是一次函数，满足,则________。
浙江省嘉兴市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
浙江省嘉兴市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析） 一､选择题1.抛物线24x y =的焦点坐标是( )A. ()1,0B. ()0,1C. ()2,0D. ()0,2 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】24x y =是焦点位于y 轴上的抛物线所以2p =即焦点坐标为()0,1故选:B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.2.直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为( ) A. 23 B. 23- C. 2D. -2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义,令0y =即可求得直线在x 轴上的截距.详解】直线l :320x y +-=由直线方程截距的定义可知,令0y =,解得2x =即直线与x 轴的交点坐标为()2,0,所以直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为2故选:C.【点睛】本题考查了截距的定义,直线在坐标轴上截距的求法,属于基础题.3.已知点1,0A ､()1,2B 与圆O :224x y +=,则( )A. 点A 与点B 都圆O 外B. 点A 在圆O 外,点B 在圆O 内C. 点A 在圆O 内,点B 在圆O 外D. 点A 与点B 都在圆O 内 【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.【详解】因为点1,0A ､()1,2B将1,0A 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22104+<,所以点A 在圆224x y +=内将()1,2B 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22124+>,所以点B 在圆O 外 故选:C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题.4.空间中，,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//l α，l β//，则//αβB. 若αβ⊥，l β⊥，则//l αC. 若l α⊥，l β//，则αβ⊥D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】C【解析】若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l 平行)，故A 错误； 若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α或l ⊂α，故B 错误；若αβ⊥，//l α，则l 与β可能平行也可能相交，故D 错误；若l ∥β，则存在直线m ⊂β，使得l ∥m ，又由l ⊥α可得m ⊥α，故α⊥β，故C 正确； 本题选择C 选项.5.已知直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行,则( )A. 3m =-B. 1m =-C. 1m =或3m =D. 1m =-或3m =【答案】D【解析】 【分析】 根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得m 的值.【详解】因为直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行当0m =时两条直线不平行,即0m ≠则123m m --=-,且723m m -≠- 化简可得2230m m --=解方程可得1m =-或3m =经检验1m =-或3m =都满足题意故选:D【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.6.已知长方体1111ABCD A B C D -,1AB =,2AD =,11AA =,则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )A. 23B. 6C. 6D. 13【答案】B【解析】【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -,由长方体性质可知AB 与1AC 所成的角即为异面直线11A B 与1AC 所成角,即为1BAC ∠.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得1cos BAC ∠.【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -如下图所示:在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，则AB 与1AC 所成的角即为异面直线11A B 与1AC 所成角,即为1BAC ∠或其补角，因为AB ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，即12ABC π∠=，因为1AC ==1AB =，所以11cos 6AB BAC AC ∠===， 故选:B【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.7.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A. (4,6)B. [4,6]C. (4,5)D. (4,5]【答案】A【解析】 由圆()()22235x y r -++=，可得圆心的坐标为()35，- 圆心()35，-到直线4320x y --=的距离为：5=由51r -<得46r <<所以r 的取值范围是()46，故答案选A点睛：本题的关键是理解“圆上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1”，将其转化为点到直线的距离，结合题意计算求得结果8.已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A. 11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,,βα⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. (),αβD. (](),,αβ-∞+∞【答案】A【解析】【分析】 根据不等式20ax bx c ++>的解集,判断出,,a b c 的符号,利用韦达定理表示出αβ+和αβ⋅与,,a b c 的关系. 设不等式20cx bx a ++>的解集为(),m n ,利用韦达定理建立,αβ与,m n 的关系,进而用,αβ表示出,m n ,即可得不等式20cx bx a ++>的解集.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ==因为0α>,所以0β>,所以0a < 由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120c x x a αβ⋅=⋅=> 由0a <,可知0,0b c ><因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以11n m < 则,ba m n m n c c+=-⋅= 因为b c αβαβ+=-⋅,c aαβ⋅= 所以111m n m n m n αβαβαβαβ+⎧+==+⎪⋅⎪⎪⋅=⎨⋅⎪⎪<⎪⎩解方程组可得11m n βα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以不等式20cx bx a ++>的解集为11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.9.设0,0x y >>，且231x y+=，若2322x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. ][,64,-∞⋃+∞（）B. ][,46,（）-∞-⋃+∞ C. 6,4-（）D. 4,6-（） 【答案】C【解析】【分析】 把32x y +转为()233232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求得最小值24，然后由22m m +<24得m 的范围． 【详解】解：∵231x y+=∴()23493232121224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭． 当且仅当46x y =⎧⎨=⎩时取等号， ∴2224,-6<m<4m m +<∴，故选C ．【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．10.正方体中1111ABCD A B C D -,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π,且直线l 与直线1BC 所成角为4π,则满足条件的直线l 的条数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意,由l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值可得直线l 的运动轨迹为以1DD 为轴的圆锥母线(母线与1DD 成3π).由直线l 与直线1BC 所成角,可得此时直线l 的运动轨迹为以1D A 为轴的圆锥母线(母线与1D A 成4π).两个圆锥的交线,即为满足条件的直线l 的条数. 【详解】设立方体的棱长为1,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π 即l 与平面ABCD 所成角为6π,1DD 为轴的圆锥母线(母线与1DD 成3π)是直线l 的运动轨迹, 连接1D A ,易证11//D A BC ;直线l 与直线1BC 所成角为4π;直线l 与直线1D A 所成角为4π. 此时1D A 为轴的圆锥母线(母线与1D A 成4π)是直线l 的运动轨迹两个圆锥相交得到两条交线,故选:B.【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的夹角,根据空间位置关系判断直线的数量,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于难题.二､填空题11.双曲线22145x y -=的焦距为______,渐近线为______. 【答案】 (1). 6 (2). 5y x =±【解析】【分析】根据双曲的定义及,,a b c关系即可求得焦距和渐近线方程.【详解】双曲线221 45x y-=224,5a b==所以222459c a b=+=+=即3c=所以焦距为26c=渐近线方程为5by x xa=±=±故答案为:6;5 y x =±【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,双曲渐近线方程的求法,属于基础题.12.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),该几何体的表面积为______,体积为______.【答案】 (1). 76 (2). 40【解析】【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由三视图,还原空间几何体如下图所示:所以原几何体为直四棱柱,底面是正视图所示的直角梯形,高为4所以表面积()()1144214454762S =⨯+⨯⨯++++⨯= ()11444402V =⨯+⨯⨯= 故答案为:76;40【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱柱的结构特征及表面积和体积求法,属于基础题.13.已知圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :224210x y x y +--+=,则两圆的位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______.【答案】 (1). 相交 (2). 2【解析】【分析】 将两个圆化为标准方程,判断两个圆的圆心距与两个半径的关系,即可判断两个圆的位置关系,进而判断出公切线数量.【详解】圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :224210x y x y +--+=化为标准方程为圆1C :()()22114x y +++=,圆2C :()()22214x y -+-=所以两个圆的半径122r r == 由两点间距离公式可得32123213C C =+=因为圆心距满足1212013C C r r <<+所以两圆的位置关系为相交根据圆与圆相交时的公切线情况,可知两个圆的公切线为2条故答案为:相交;2【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系判断,圆与圆公切线数量和圆与圆的位置之间的关系,属于基础题.14.设F 为抛物线212y x =的焦点(O 为坐标原点),(),M x y 为抛物线上一点,若5MF =,则点M 的横坐标x 的值是______,三角形OMF 的面积是______.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程,求得p 的值.由抛物线定义即可求得点M 的横坐标.将点M 的横坐标代入抛物线,求得点M 的纵坐标,即可求得三角形OMF 的面积.【详解】因为抛物线212y x =则6p所以抛物线的准线方程3x =- 因为5MF =,由抛物线的定义知M 到准线的距离等于5MF =所以35x +=,即M 的横坐标为2x =代入抛物线方程可得M 的纵坐标为y =±所以11322OMF S OF y ∆=⋅=⨯⨯=故答案为: 2;【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质的简单应用,抛物线中三角形面积问题的解法,属于基础题.15.已知向量()1,2,3a =,()2,2,b x x y y =+-,并且a ､b 共线且方向相同,则x y +=______.【答案】4【解析】【分析】根据空间向量共线基本定理,可设()0b a λλ=>.由坐标运算求得λ的值,进而求得,x y .即可求得x y +的值.【详解】根据空间向量共线基本定理,可设()0b a λλ=>由向量的坐标运算可得2223x x y y λλλ=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩解方程可得131x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以4x y +=. 故答案为:4【点睛】本题考查了空间向量共线基本定理的应用,根据向量的共线定理求参数,属于基础题.16.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>与直线1l :12y x =,2l :12y x =-,过椭圆上的一点P 作1l ,2l 的平行线,分别交1l ,2l 于M ,N 两点,若MN 为定值,则椭圆C 的离心率为______.【解析】 【分析】方法一:由题意可知, 点P 的位置与椭圆的离心率无关.因而可分别设()0,P b 和(),0P a ,即可表示出交点,M N 的坐标.求得MN 的长,令两种情况下的MN 相等,即可得,a b 的关系,进而求得椭圆的离心率.方法二:根据椭圆的参数方程,可设()cos ,sin P a b θθ,进而表示出直线PN l 与PM l ,由直线交点的求法求得交点,M N 的坐标.即可根据两点间距离公式表示出MN .根据同角三角函数关系式的性质,即可得,a b 的关系,进而求得椭圆的离心率. 【详解】方法一:特殊位置分析法 当()0,P b 时,PN l :12y x b =+,PM l :12y x b =-+由1212y x b y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得,2b N b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,2b M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2MN b = 当(),0P a 时,PN l :122a y x =-,PM l :122ay x =-+ 由12212a y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得,24a a N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,24a a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2a MN =;因为MN 定值,所以22ab =,此时c e a ==== 故答案为方法二:设()cos ,sin P a b θθ,则PM l :()1cos sin 2y x a b θθ=--+ PN l :()1cos sin 2y x a b θθ=-+, 由()1cos sin 212y x a b y x θθ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11cos sin ,cos sin 242b M a b a θθθθ⎛⎫++⎪⎝⎭同理11cos sin ,cos sin 242b N a b a θθθθ⎛⎫--+⎪⎝⎭所以MN =若MN 定值,则22144b a =所以c e a ====故答案为:15 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及综合应用,直线交点坐标的求法,两点间距离公式及椭圆的参数方程应用,综合性强,属于难题.17.如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为 .【答案】2 【解析】试题分析：设AD a =，CB b =，DC c =，∵2AB =，∴2222||4a b c a b c ++=⇒+++2()4a b b c c a ⋅+⋅+⋅=，又∵3AC BD ⋅=-，∴2()()33a c b c a b b c c a c +⋅--=-⇒⋅+⋅+⋅+=，∴22222222(3)=42a b c c c a b +++-⇒=++，∴22222211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即21c ab +的最小值是2． 考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 三､解答题18.过定点()1,1P 的直线l 和圆C :2228x y y +-=相交于A ,B 两点.(1)当直线l 的斜率为1时,求线段AB 的长; (2)当线段AB 最短时,求直线l 的方程.【答案】（1）34（2）1x = 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率与点()1,1P 可得直线方程.由圆的一般方程化为标准方程,可得圆心坐标和半径.结合点到直线距离公式及垂径定理,即可求得弦长AB . （2）当AB 最短时,可知CP l ⊥.由定点()1,1P 即可求得直线l 的方程.【详解】（1）因为()1,1P ,直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为l :y x =，即0x y -=， 由圆的方程2228x y y +-=化为标准方程为()2219x y +-=,可得圆心()0,1，半径3r =所以由点到直线距离公式可得圆心到l 的距离0122d -==， 所以由垂径定理得221229342AB r d =-=-=； （2）当AB 最短时，可知CP l ⊥，因为()1,1P ，所以此时直线l 的方程为1x =.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及弦长求法，直线方程点斜式的写法，属于基础题. 19.如图所示,PA ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,PA AB a ==,E ､F ､G 分别为PA ､PD ､CD 的中点.(1)求证:直线//PB 平面FEG ;(2)求直线PB 与直线EG 所成角余弦值的大小.【答案】（1）见证明（2）3【解析】【分析】（1）取AB中点H,连接EH､HG.可证明//EF GH,即E､F､G､H四点共面.再由中位线定理可证明//EH PB,即可证明直线//PB平面FEG.（2）易知HEG∠即为PB与GE所成角的大小. 可证明HG⊥平面PAB,从而HG EH⊥,求得,EG EH的长,即可求得cos HEG∠,即直线PB与直线EG所成角的余弦值.【详解】（1）证明:取AB中点H,连接EH､HG.如下图所示:∵E､F为PA､PD的中点，∴//EF AD，四边形ABCD为正方形，//AB CD∴且AB CD=，又∵H､G为AB､CD中点，则//AH DG且AH DG=，∴四边形ADGH为平行四边形，∴//GH AD,//EF GH所以E､F､G､H四点共面，又∵在PAB∆中,//EH PB,EH⊂平面EFG,PB⊄平面EFG，∴//PB平面EFG；（2）∵//PB EH，∴PB与GE所成角的大小等于EH与EG所成角的大小,即为HEG∠或其补角，因为PA⊥平面ABCD,所以PA HG⊥，又∵HG AB⊥,PA AB A=，所以HG⊥平面PAB，EH⊂平面PAB，∴HG EH⊥，在Rt EHG∆中,HG a=,1222EH PB a==，∴6EG=，所以由锐角三角函数定义可知232cos6aEHHEGEGa∠===，故直线PB与直线EG所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，异面直线夹角的求法，核心在于辅助线作法，找到线线平行或异面直线的夹角，属于中等题.20.已知椭圆C:()2211xy mm+=>的左､右顶点分别为A,B,O为坐标原点,且4AB=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为直线4x=在第一象限内的一点,连接PA交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N.若直线MN的斜率为1,求P点的坐标.【答案】（1）2214xy+=（2）()4,1P【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何意义,求得a进而求得m,即可得椭圆的标准方程.（2）根据直线MN的斜率为1,可设直线MN的方程,联立椭圆方程,利用直线与椭圆有两个交点可知>0∆得n的范围.由两点求得斜率并表示出直线AM与直线BN,结合韦达定理即可求得n的值.即可得P点的坐标.【详解】（1）根据椭圆的几何意义,可知42AB a==，所以24m a ==，故椭圆C :2214x y +=；（2）因为直线MN 的斜率为1，所以设MN :x y n =+,()11,M x y ,()22,N x y ，与椭圆联立22440x y n x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得225240y ny n ++-=，()()22244541650n n n ∆=-⋅-=->， 则1225n y y +=-,21245n y y -=，直线AM :()1122y y x x =++与直线BN :()2222yy x x =--交于点P ，则()()()()211221212122424222y x y y n y y x y y n y ++++==--+-()()()()12111211222225522225n n y y n y n y n n y y n y n n y +⎛⎫⎛⎫++--+-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===++--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故1n =，点P 在第一象限则()0,1N -，由于点()2,0B ，直线BN 的方程为112y x =-， 联立4112x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩，故()4,1P . 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,韦达定理研究圆锥曲线问题的综合方法,计算量较为复杂,属于难题. 21.多面体111ABC A B C -,111////AA BB CC ,14AA =,12BB =,13CC =,4AB =,1AB BB ⊥,1C 在平面11ABB A 上的射影E 是线段11A B 的中点.(1)求证:1//C E 平面ABC ;(2)若12C E =,求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】 【分析】（1）过E 作1//EO A A 交AB 于O ,连接CO .根据梯形中位线定理及平行四边形性质可证明1//C E EO ,进而证明1//C E 平面ABC .（2）以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并分别求得平面ABC 和平面1AB C 的法向量,即可根据向量的数量积求得二面角11C AB C --的余弦值. 【详解】（1）过E 作1//EO A A 交AB 于O ,连接CO ,如下图所示:由梯形中位线知1132BB AA OE +==,所以1OE CC =， 又1//OE CC ，故四边形1OECC 是平行四边形，所以1//C E EO ，又EO⊂平面ABC,1C E⊄平面ABC，所以1//C E平面ABC；（2）由1C E⊥平面11ABB A,则CO⊥平面11ABB A，又CO⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面11ABB A，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示：则12CO C E==，()2,0,0A-,()2,2,0B,()10,3,2C,()0,0,2C，()14,2,0AB=,()12,3,2AC=,()2,0,2AC=，设平面ABC的法向量为(),,m a b c=，则11m ABm AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4202320a ba b c+=⎧⎨++=⎩，取1a=,得()1,2,2m=-设平面1AB C的法向量为(),,n x y z=，则1n ABn AC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即420220x yx z+=⎧⎨+=⎩，取1x=,得()1,2,1n=--，所以6cos,m nm nm n⋅<>==，6【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定, 平面法向量的求法,利用空间向量求二面角的大小,属于基础题.22.已知抛物线1C:()220x py p=>上的点到焦点的距离最小值为1.(1)求p 的值;(2)若点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上,且在曲线1C 上存在三点A ,B ,C ,使得四边形PABC 为平行四边形.求平行四边形PABC 的面积S 的最小值.【答案】（1）2p =（22. 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义,结合抛物线的几何性质可知()0,0到准线2py =-的距离为最小值,即可求得p 的值;（2）方法一:设出直线AC 的方程,并讨论斜率是否存在.联立直线与抛物线方程,结合韦达定理表示出AC 中点D 的坐标.将点()00,P x y 代入曲线2C 可得20044x y -=-.根据平行四边形性质可知B ,P 关于点D 对称,即可表示出B 点坐标,可得方程()()22004442k x k b y -=+-.利用三角形面积公式表示出平行四边形PABC 的面积S ,根据等量关系即可求得面积的最小值.方法二: 设()11,A x y ,()22,C x y ,表示出直线AC 的方程,由点()00,P x y 在曲线2C 上,可得20044x y -=-.由B ,P 关于点D 对称,可得B 点坐标,将B 的坐标代入抛物线方程,可得12,x x 的等量关系.根据三角形面积公式表示出平行四边形PABC 的面积S ,进而由不等式关系即可求得最小值.【详解】（1）根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 抛物线上的点到焦点的距离最小值为1 即()0,0到准线2py =-的距离为1即12p=,所以2p = （2）方法一:设直线AC :y kx b =+,当k 不存在时,此时直线AC 为竖直线,与抛物线只有一个交点,故舍去. 设()11,A x y ,()22,C x y联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩,得2440x kx b --=124x x k +=,124x x b =-.故线段AC 中点()22,2D k k b + 而点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上 故20044x y -=-若要满足四边形PABC 为平行四边形,则B ,P 关于点D 对称.则()2004,42B k x k b y -+-.又点B 在抛物线1C 上,故满足方程()()22004442k x k b y -=+-,即()2000148kx b x y +=+①12PAC S S AC d x ∆==⋅=-00b y =+-,代入①得:2004S x y =-2004x y =-,所以322min004S y =-=所以平行四边形PABC 的面积S . 方法二:设()11,A x y ,()22,C x y ,直线AC :()121240x x x y x x +--=,点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上, 故2044x y -=-.线段AC 中点221212,28x x x x D ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,若要满足四边形PABC 为平行四边形,则B ,P 关于点D 对称,则22121200,4x x B x x x y ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭.又点B 在抛物线1C 上故满足方程()22212012044x x y x x x ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭,即()()20121200224x x x x x x y +=++①122PACS S AC d x ∆==⋅=-12220000448x x x y y -=-=-2004y=-322004y ≥-=.所以平行四边形PABC 的面积S .【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程,过定点的直线与抛物线的位置关系,抛物线中四边形面积问题的综合应用,计算量大,综合性强,属于难题.。
19-20学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
2，0)，
2，0)，
1，2)，
1
⃗⃗⃗⃗⃗
=(−1,−1,1)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=(0,，2)，
2
1
2
2
设直线
则
与
1所成角为，
EG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
kl
l
19.
答案：证明：(1)如图，连接，
SB
∵、分别是、的中点，
G
BCSC
∴
，
又
⊂平面
11，
11，
平面
⊄平面
∴直线
11．
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
解：(2)以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
D
x
y
z
1
如图，
设正方体
−
1111的棱长，
10.答案：B
解析：
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、正方体结构特征等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题．将正方体纸盒展开图还原成正方体，再求出结果．
解：
将正方体纸盒展开图还原成正方体，
在①中，如图知AF与GC垂直，故①正确；
在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED，则
解析：
本题考查异面直线成角，属于基础题．
与AC所成角(或其补角)，由余弦定理求余弦值．
由题意得
1，则
1是异面直线
1
1
解：由题意可得
=
=5，
=
=4√2，
1
1
1
∵
∴
1，
1是异面直线
1
与AC所成角(或其补角)，记为，
2020年浙江省嘉兴市塘汇实验中学高二数学文上学期期末试题含解析
2020年浙江省嘉兴市塘汇实验中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6参考答案：B∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．2. 下列命题为特称命题的是（）A. 偶函数的图像关于y轴对称B. 正四棱柱都是平行六面体C. 不相交的两条直线是平行直线D. 存在实数大于等于3参考答案：C3. 甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【分析】所有的坐法共有种，乙正好坐中间的坐法有种，由此可得乙正好坐中间的概率【解答】解：所有的坐法共有A种，乙正好坐中间的坐法有A种，由此可得乙正好坐中间的概率为：故选B．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．4. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90° B．120° C．135° D．150°参考答案：B略5. 为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图 1所示，则下列描述正确的是（）A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐（第6题）参考答案：A6. 设命题，；命题：若，则方程表示焦点在轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（）A．B． C.D．参考答案：B7. 设函数f（x）在R上存在导数，，有，在(0, +∞)上，，若，则实数m的取值范围为（）A．[2,+∞) B．[3,∞) C．[－3，3] D．(－∞,－2]∪[2,+∞)参考答案：B8. 设不等式组,表示的平面区域为D，在平面区域为D随机取一个点，则此点到原点的距离大于2的概率是( )A．B． C．D．参考答案：C略9. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与通常每天都否定关系，基本知识的考查．10. 展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为（）A． B．C． D． .参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线x﹣+1=0被圆x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦长为．参考答案：考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线x﹣+1=0的距离d的值，再根据弦长公式求得弦长．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣3=0，即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）为圆心，半径等于2的圆．由于圆心到直线x﹣+1=0的距离为d==1，故弦长为2=2．故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．12. 如图所示流程图中，语句1(语句1与无关) 将被执行的次数是参考答案：25略13. 已知函数（，），它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为，且函数的图像过点，则的解析式为．参考答案：略14. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（，），则此双曲线的方程是 .参考答案：略15. 10个人平均分成两组，则不同的分法有____________________种．参考答案：16. 已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=（n∈N*），则b2015= ．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出b n+1=，b1=，从而得到数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，由此能求出b2015．【解答】解：∵a n+b n=1，且b n+1=，∴b n+1=，∵a1=，且a1+b1=1，∴b1=，∵b n+1=，∴﹣=﹣1，又∵b1=，∴ =﹣2．∴数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，∴=﹣n﹣1，∴b n=．则b2015=．故答案为：．【点评】本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．17. 若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年浙江省嘉兴市南暑中学高二数学理上学期期末试题含解析
2020年浙江省嘉兴市南暑中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知不同的直线m，n，l，不重合的平面，则下列命题正确的是A．m//，n∥，则m∥n B．m//，m//，则//C．m⊥，n⊥，则m∥n D．m⊥，m⊥，则//参考答案：D2. 如果执行右图的程序框图，那么输出的s＝()．A．10 B．22 C．46 D．94参考答案：C略3. 已知，则等于( ) A. -4 B. -2 C. 1 D. 2参考答案：D【分析】首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x＝3代入即可．【详解】因为f′（x）＝2x+2f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝2+2f′（1），∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4，当x＝3，f′（3）＝2．故选：D【点睛】本题考查导数的运用，求出f′（1）是关键，是基础题．4. 具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值( )A．4 B．C．5 D．6参考答案：A考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=3x﹣，代入样本中心点求出该数据的值．解答：解：由表中数据得：=，=，由于由最小二乘法求得回归方程=3x ﹣，将=，=代入回归直线方程，得m=4．故选：A点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键． 5. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）D 略6. 一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）A.六棱锥B.五棱锥C. 四棱锥D. 三棱锥参考答案：A7. 设全集为，集合，则( )参考答案：B8. 某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A ．16 B ．18 C ．24 D ．32参考答案：C【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A 33，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A 33， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A 33， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A 33， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列A 33， 总上可知共有不同的排列法4×A 33=24种结果， 故选C ．9. 已知直线l 1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l 2过点C(1,0)和D(0，a)，若l 1∥l 2，则a 的值为()A ．－2B ．2C ．0D.参考答案：A10. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．14参考答案：B【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论． 【解答】解：由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选：B ．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为________.参考答案：90° 12. 设a=+2，b=2+，则a ，b 的大小关系为 ．参考答案：a ＜b【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】先分别将a ，b 平方，再进行大小比较即可． 【解答】解：∵a=+2，b=2+，∴，∴a、b 的大小关系为a ＜b ； 故答案为 a ＜b ．【点评】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．13. 直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ．参考答案：略 14. 已知等差数列的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64参考答案：A由等差数列的性质可知15. 已知奇函数满足，当时，，若在上恰有个根，且记为则．参考答案：15 略16. 已知一个算法的流程图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为________．参考答案： －2或117. 一元二次不等式的解集为.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年浙江省嘉兴市秀洲现代中学高二数学理期末试卷含解析
2020年浙江省嘉兴市秀洲现代中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点（2，1）的直线中，被圆截得的弦长为最大的直线方程为（）A．B.C．D．参考答案：A略2. 设，，若，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.【详解】，本题正确选项：C【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.3. 椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点O的直线交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为（）A．4 B．8 C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：求得P和Q点坐标，利用两点之间的距离公式，求得丨PQ丨，利用函数的对称性及椭圆的定义求得丨PF1丨+丨QF1丨=4，即可求得△F1PQ的周长．【解答】解：椭圆，a=2，b=，c=1，F1（﹣1，0），F2（1，0），由PF2⊥F1F2，则P（1，），Q（﹣1，﹣），则丨PQ丨==，由题意可知：P关于Q对称，则四边形PF1QF2为平行四边形，丨PF2丨=丨QF1丨，则丨PF1丨+丨PF2丨=丨QF1丨+丨QF2丨=2a=4，∴丨PF1丨+丨QF1丨=4，∴△F1PQ的周长丨PF1丨+丨QF1丨+丨PQ丨=4+，故选C．4. 若（3x2﹣）n的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时常数项为（）A．B．﹣135 C．D．135参考答案：C【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过二项展开式的通项公式，令x的次数为0即可求得正整数n取得最小值时常数项．【解答】解：∵ =，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：；故选C．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键在于应用二项展开式的通项公式，注重分析与计算能力的考查，属于中档题．5. 过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=0参考答案：A【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．【解答】解：过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，∴﹣2×2﹣3+c=0，解得c=7，故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．6. 已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则=（）A．B．C．0 D．参考答案：C【考点】定积分．【分析】由函数图象得，由此能求出的值．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，∴，∴==（﹣﹣x）+（）=（﹣）+（）=0．故选：C．7. 若，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略8. 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D9. 方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1 C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0参考答案：C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a≤1．【解答】解：①a≠0时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得 a＜0；若方程有两个负的实根，则必有，故 0＜a≤1．②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．故选 C．10. 抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列{a n}中，，，则．参考答案：－6在等比数列{a n}中，a2a4++a4a6=36，2a3a5∴（a3）2+2a3a5+（a5）2=36，即（a3+a5）2=36，∵a7＜0，∴a3=a1q2＜0，a5=a1q4＜0，即a3+a5＜0，则a3+a5=﹣6，故答案为：﹣612. 函数的最小正周期为_______ 参考答案：【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.【详解】由题得所以函数的最小正周期为.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13. 若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）参考答案：【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】先求正方体的棱长，再求正方体的对角线，然后求出球的半径，然后求出体积．【解答】解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．正方体的体积为8，则棱长为2，正方体的对角线为2，球的半径为：球的体积：故答案为：14. 函数．若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，则f（x）的极小值（其中e为自然对数的底数）等于．参考答案：2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值．【解答】解：由函数得f′（x）=﹣．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有﹣=0，解得k=e．∴f′（x）=﹣=，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e时f（x）取得极小值f（e）=lne+=2．故答案为：2．15. 如图：先将等腰的斜边与有一个角为的的斜边重合，然后将等腰沿着斜边AB翻折成三棱锥,若，则的最大值为_.参考答案：16. 下面是描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的过程的程序框图，请问虚线框内是什么结构？参考答案：虚线框内是一个条件结构.17. 设函数若，则实数a的值是__________．参考答案：－1或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年浙江省嘉兴市丰士中学高二数学理上学期期末试题含解析
2020年浙江省嘉兴市丰士中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1参考答案：D【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．2. 双曲线的焦距是( )（A）（B）2（C）5 （D）10参考答案：D略3. 对相关系数r，下列说法正确的是 ( )A．越大，线性相关程度越大B．越小，线性相关程度越大C．越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大D．且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小参考答案：D4. 如图，是双曲线：（）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若则双曲线的离心率为 ( )A．B．C．2 D．参考答案：A略5. 直线（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0必过定点（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）参考答案：D【考点】恒过定点的直线．【分析】把直线的方程化为m（3x﹣2y+5）+2x+y+1=0，此直线过直线3x﹣2y+5=0 和直线2x+y+1=0的交点．【解答】解：直线l：（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0 即 m（3x﹣2y+5）+2x+y+1=0，过直线3x﹣2y+5=0 和直线2x+y+1=0的交点（﹣1，1），故选D．6. 设变量，满足约束条件：，则的最小值为（）．0 .2 ..9参考答案：A7. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42C．210 D．840参考答案：C8. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】利用循环结构，直到条件满足退出，即可得到结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=4，y=1，不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0；不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1；不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣2，y=﹣2；满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣2．故选：B．9. 过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝( ) A．－2 B．－ C．－4 D．－参考答案：D10. 如果直线与直线垂直，那么等于(A) (B) (C)(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知曲线，其中；过定点参考答案：略12. 设函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=_ ；若函数f（x）与y=k 存在两个交点，则实数k的取值范围是．参考答案：﹣2；（0，1]考点：函数的图象；函数的值；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，则f（﹣1）=4﹣1，f[f（﹣1）]=f（4﹣1）=log24﹣1=﹣2；函数f（x）与y=k的图象为：两个函数存在两个交点，则实数k的取值范围：0＜k≤1．故答案为：﹣2；（0，1]．点评：本题考查函数的值的求法，函数的图象以及函数的零点的求法，考查计算能力．13. 已知定义在上的函数f(x)满足f(1)＝2，，则不等式解集为▲．参考答案：略14. 已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m= ．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由焦点在x轴上的椭圆的标准方程+y2=1，结合离心率列方程，即可求出m的值．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为，则a=＞1，b=1，c=，∴=，解得m=．则m的值是．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，解题时要注意公式的合理运用．15. 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为___________．参考答案：6a2π略16. 已知，，则 .参考答案：-2略17. 给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④若，，则其中真命题的序号是：_________参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
11．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
12．如图，在圆心角为直角的扇形 中，分别以 为直径作两个半圆，在扇形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
故选A．
【点睛】
本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.
【详解】
由捆绑法可得所求概率为 .
故答案为C
【点睛】
本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.
3．B
解析：B
【解析】
（1）求此人这三年以来每开车从家到公司的时间之和在 （时）内的频率；
（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；
（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在 （时）内的周数为 ，求 的分布列以及数学期望.
22．随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．
二、填空题
13．【解析】【分析】确定在正方形的位置即可求解【详解】由题时则当在上运动时的长度大于5故的长度大于5的概率等于故答案为【点睛】本题考查长度型几何概型确定的轨迹是关键是基础题
解析：
【解析】
【分析】
确定 在正方形的位置即可求解
【详解】
由题 时 ，则当 在 上运动时， 的长度大于5
16．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于 ，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于 ，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______ 豆子大小可忽略不计
17．某篮球运动员在赛场上罚球命中率为 ，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．
（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）．
参考公式： ，
26．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
【分析】
由题意结合流程图运行程序，考查 是否成立来决定输出的数值即可.
【详解】
结合流程图可知程序运行过程如下：
首先初始化数据： ，
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时满足 ，输出 .
本题选择B选项.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
由已知求得 ， ，进一步求得 ，得到线性回归方程，取 求得 值即可．
【详解】
， ．
又 ，∴ ．
∴ ．
取 ，得 万元，故选A．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．
7．A
解析：A
【解析】
应抽取红球的个数为 ，选A.
点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.
25．某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计， 表示第 天参加该活动的人数，得到统计表格如下：
1
2
3
4
5
4
6
10
23
22
（1）若 与 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
A． B． C． D．
二、填空题
13．若正方形 的边长为4, 为四边形上任意一点,则 的长度大于5的概率等于______
14．已知实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________．
15．如图，在半径为1的圆上随机地取两点 ，连成一条弦 ，则弦长超过圆内接正 边长的概率是__________．
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取 人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
2020年嘉兴市高二数学上期末试题含答案
一、选择题
1．在如图所示的算法框图中，若 ，程序运行的结果 为二项式 的展开式中 的系数的 倍，那么判断框中应填入的关于 的判断条件是（ ）
A． B． C． D．
2．将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（ ）
A．12.68万元B．13.88万元C．12.78万元D．14.28万元
7．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ）
A．5个B．10个C．20个D．45个
8．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填
A．
B．
C．
D．
9．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．设数据 是郑州市普通职工 个人的年收入，若这 个数据的中位数为 ，平均数为 ，方差为 ，如果再加上世界首富的年收入 ，则这 个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
由题意，模拟程序的运算，可得
，
满足判断框内的条件，执行循环体， ，
满足判断框内的条件，执行循环体， ，
满足判断框内的条件，执行循环体， ，
此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．
则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为 ？
故选：C．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据二项式 展开式的通项公式，求出 的系数，由已知先求a的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；
（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．
23．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：
其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.
10．B
解析：B
【解析】
∵数据x1，x2，x3，…，xn是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
18．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数 ，则使关于 的一元二次方程 无实根的概率为______．
19．在区间 中随机地取出一个数 ，则 的概率是__________．
20．已知 中， ， ， ，在线段 上任取一点 ，则 为锐角三角形的概率_________．
三、解答题
21．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
【详解】
解：由于 ，
二项式 展开式的通项公式是 ，
令 ，
；
的系数是 ．
程序运行的结果S为360，
模拟程序的运行，可得 ，
不满足条件，执行循环体， ，
不满足条件，执行循环体， ，
不满足条件，执行循环体， ，
不满足条件，执行循环体， ，
由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为360．
则判断框中应填入的关于k的判断条件是 ？
【点睛】
本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案.
【详解】
由题意，边长为2的正方形的孔的面积为 ，
又由半径为2的圆形纸板的面积为 ，