量子力学公式的矩阵表示
§4.2量子力学的矩阵表示
§4.2量子力学的矩阵表示Dψ∑Φ=ψΦ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡n n nψ∑Φ=n n nψ∑Φ=n n n*⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψψΦΦ= 21,2,1**ΨΦ+=若 0ΨΦ=+，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ=+则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010Φ m ← 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mδ=+ΦΦ.态向基底的展开写成++=∑=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦn +=n C .对于连续谱情况本征方程： λλλ=Fˆ 基底： }{λ 正交归格化： )(λλδλ'-=' 封闭关系： I =⎰∞+∞-λλλd态ψ在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值λ的函数 ψ=ψλλ)(态ψ和Φ的内积为λλλd )()(*ψ⎰Φ=ψ∞+∞-因为λλλλλλλλd d d )()(][*ψ⎰Φ=⎰ψΦ=ψ⎰=ψ∞+∞-∞+∞-∞+∞-归一化条件为1)()(*=ψ⎰ψ=ψψ∞+∞-λλλd .而基底λ'在自身表象上表示为)(λλδλλ'-='.二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Φ=ψLˆ Φ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑m n n L m n ˆ Φ=∑ψm n n Lm nˆ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=ψψ 212122211211L L L LΦL Ψ=矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ= 可以在坐标表象上计算。
下面会看到，在坐标表象上矩阵元mn L 的计算公式为dx x xi x L x L n mmn )(),(ˆ)(*ϕϕ∂∂-⎰=∞+∞-式中n x x n =)(ϕ.【例】用包括Hamilton 量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。
量子力学的矩阵形式与表象变换
练习，求证U是么正矩阵。
么正变换小结
基矢变换： (e 1 ,e 2 ) (e 1 ,e 2 )U ()
基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－ Ψ a = Ψ ´ a´ = Ψ ´ Sa
Δ 有关矩阵知识 (参考周世勋书P250－255）
1．对角矩阵 Anm=amδnm. 2. 转置矩阵 (A ~)nmAmn
3．厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵) (A )nm (A ~ ) nm A m 运算规则：(AB) BA (A) A
A 1 A A2
A 3
A1 A A2
A3
以二维坐标系间变换为例。
设新坐标系 (e1,e2)相对原坐标系 (e1,e2) 顺时针 转过θ角。则
e1 c1e1c2e2,
e2 d1e1d2e2,
r (r )(r r )
动量表象
i
p x
px,
, i p
p
Fˆ(ip, p)
r (p )(12)3/2e ip r
p (r )(12)3/2e ip r
p (p )(p p )
(列矩阵的本征矢正交定义: XiXj 0 .)
C. 厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。XiXj ij
（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性 组合,变为正交的k个本征矢）.
Δ.本征矢的归一化: XiXi 1
1
Δ.未归一的归一化系数C:
C
X
i
X
i
Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
量子力学的矩阵表述
2
当平面波按 δ 函数归一化时
p ~ p + dp 之间的概率密度幅
[对分立谱
设 ϕ n 是某力学量 A 的与本征值 α n 对应的本征态
ψ ( x ) = ∑ c nϕ n
n
7.3 ]
c n 是在ψ ( x) 态中测量力学量 A 得到值 α n 的概率
一 态的矩阵表述
2
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 以分立谱为例 态空间的基底
A 表象和 B 表象
ˆϕ = α ϕ A n n n
A 表象以 { ϕ n } 为基底
ˆψ = β ψ B i i i
B 表象以 { ψ i }为基底
7.27 设这两套基底都是正交归一基底
ij
(ϕ n , ϕ m ) = δ nm
任意态 Ψ 可以用 { ϕ n } 展开
(ψ ,ψ ) = δ
i j
7.28
* * ˆ ˆ ϕn ,∑ S* Fij′ = ∑ S in jm Fϕ n = ∑ S in S jm ϕ n , Fϕ m m n n,m + = ∑ S in Fnm S * jm = ∑ S in Fnm S mj
(
)
7.40
( )
n ,m
h ,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
7.46 7.47
An B m
2 3 算符对态的作用
exp( A)
[ A, B] 等
7.48
Φ = FΨ ⇔ Φ ′ = F ′Ψ ′
本征方程和本征值
′ = λkφ k ′ Fφ k = λ k φ k ⇔ F ′φ k
7.49
可见
4.3量子力学公式的矩阵表示
2 = 1, b1 = 2
同样步骤得
再由波函数归一化条件
1 1 ψ −1 = 2 − 2i −1
典型例题
例1、用坐标轮换的方法，写出 l 、用坐标轮换的方法， 函数， 表达。 函数，用球函数 Ylm 表达。 解：我们知道 L = 2h (即l 的全部本征函数为： 的全部本征函数为：
F1n F2n M
L L L =0
(4.3 − 6)
L Fnn − λ L M M L
方程（ 久期方程。 方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 ）称为久期方程 求解久期方程 可得到一组λ 它们就是F的本征值 把求得的λ 的本征值。 λ1 , λ 2 , L λ n L ; 它们就是 的本征值。把求得的 i 分别代入 （4.3-5）式中就可以求得与这 i 对应的本征矢 ）式中就可以求得与这λ
( ai1 (t ), ai 2 (t ),
L ain (t ) L), 其中 其中i=1,2, …n, …。 。
(3). 薛定谔方程
∂ψ ( x, t) ˆ ih = Hψ (x,t) ∂t
（ Q表象： ψ x, t） ∑ an (t )un ( x) =
n
dan (t ) ˆ ih ∑ un ( x) = ∑ an (t ) Hun ( x) dt n n
3 y − iz = −h = −hφ1−1 8π r
ˆ 的本征函数， ˆ 即 φ 1−1 的确是 Lx 的本征函数，本征值是 L x
= − h。
并积分： 左边乘以u m ( x ) 并积分
*
dam ( x) ih = ∑ an (t ) H mn = ∑ H mn an (t ) dt n n
第五章量子力学的矩阵形式和表象变换
例题： 例题：一维粒子运动的状态是
Axe , x ≥ 0 ψ ( x) = { 0, x ≤ 0
求1）粒子动量的几率分布； ）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量 ）
∞
− λx
∫x
0
ν −1 − µx
e
dx =
1
µ
ν
(ν − 1)! (ν ∈ N 0 )
解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化 由于波函数为归一化，
∫
∞
0
( x − λx )e
2
− 2 λx
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为λ 考虑任意力学量 本征值为λ1, λ 2,…, λ n…,对应的正交本 本征值为 对应的正交本 则任意波函数ψ ） 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数ψ（x）按Q的 的 本征函数展开为 本征函数展开为
P2 H = T +V = + Fx 2m
在动量表象中， 的 在动量表象中，x的 算符表示为
1 ψ p (x) = e 1/ 2 (2πh)
i px x h
i px x h
d i 1 ψ p ( x) = x e 1/ 2 dp h (2πh )
d i ˆ = xψ p ( x) x = ih dp h
总结
直角坐标系中，矢量 的方向由 三个单位矢量基 直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基 三个单位矢量 决定，大小由 三个分量（基矢的系数）决定。 矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。
在量子力学中，选定一个 表象 表象， 在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 看作一组基矢 看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 大小由 系数决定。 系数决定 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（ 希尔伯特（Hilbert）空间 ）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
量子力学知识：量子力学中的矩阵力学
量子力学知识：量子力学中的矩阵力学量子力学是一门极富挑战性和创新性的科学，涉及到微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，矩阵力学是一种常见的量子力学理论框架，它提供了一种有效的方式来描述和计算原子和分子的态和能级。
在本文中，我们将讨论量子力学中的矩阵力学，包括其基本原理、应用和限制等方面。
1.基本原理矩阵力学是矩阵代数在量子力学中的应用。
在矩阵力学中，态矢量用列矢量表示，即：|φ⟩=(φ1, φ2, ...,φn)T其中，T代表转置，φ1, φ2, ..., φn表示态矢量的各个分量。
而算符用矩阵表示，即：A=（a11 a12 … a1n）（a21 a22 … a2n）（…… …… ……）（an1 an2 … ann）其中，aij表示算符A的第i行第j列元素。
通过矩阵算法，我们可以计算出在某一态下算符A的期望值和本征值等信息。
2.应用矩阵力学在量子力学的研究中有着广泛的应用，尤其是在原子和分子物理学中。
在原子物理学中，我们可以通过矩阵力学计算出原子的基态和激发态能级，以及原子的谱线和双光子跃迁等重要物理量。
在分子物理学中，矩阵力学可以用于描述分子的振动、转动、电荷分布和能级等性质，从而揭示分子内部的量子力学行为。
3.限制尽管矩阵力学在原子和分子物理学中有着广泛的应用，但它也有一些限制。
首先，矩阵力学只适用于可视为有限维希尔伯特空间的量子系统，因此对于高维的、复杂的量子系统，矩阵力学的应用将会受到限制。
其次，矩阵力学只能得到离散的能级和谱线，而对于连续的谱线和能带等物理量，需要采用其他方法进行计算和描述。
4.总结矩阵力学是量子力学中的一种基本理论框架，它提供了一种有效的方式来描述和计算原子和分子的态和能级。
通过矩阵代数的运算，我们可以得到原子和分子的重要物理量，如基态和激发态能级、谱线和双光子跃迁等。
尽管矩阵力学在量子物理学中有着广泛的应用，但它也有一些限制，如只适用于有限维希尔伯特空间的量子系统等。
量子力学中的矩阵表示方法
量子力学中的矩阵表示方法量子力学是一门探索微观世界的科学，而矩阵表示方法是量子力学中非常重要的一部分。
通过矩阵表示方法，我们能够描述和计算微观粒子的性质和相互作用。
本文将介绍矩阵表示方法在量子力学中的应用，以及其背后的数学原理。
首先，我们来了解一下量子力学中的态。
在量子力学中，粒子的态可以通过波函数来描述。
波函数是一个复数函数，在给定的时刻和空间点上，它代表了粒子的状态。
对于多粒子系统，其波函数包含多个变量，比如位置和自旋等。
然而，波函数并不是常用的物理量，我们更关注的是物理量的平均值和概率分布。
而在量子力学中，物理量是由算符来表示的。
算符是一种对波函数作用的数学对象，它可以描述某个物理量的性质。
量子力学中最常用的算符就是哈密顿算符，它表示了系统的总能量。
接下来，我们讨论如何将算符用矩阵表示。
矩阵表示方法是量子力学中一种非常常用的计算工具。
它的基本思想是将量子力学中的算符映射为矩阵，从而可以方便地对波函数进行计算和分析。
对于一个算符A，我们可以将其对应的矩阵表示为A。
矩阵A的元素A(i,j)表示了算符A在波函数基矢量|i⟩和|j⟩之间的矩阵元。
矩阵元代表了算符A在不同态之间的跃迁概率。
通过矩阵表示方法，我们可以方便地进行算符之间的运算。
例如，两个算符A和B的乘积AB可以通过将它们对应的矩阵相乘来得到。
这样，我们就能够方便地计算复杂的量子力学表达式。
除了表示算符，矩阵表示方法还可以用于描述量子态之间的变换。
量子力学中的变换由幺正算符来表示，而幺正算符可以看作是保持态空间长度不变的线性变换。
幺正算符对应的矩阵是正交矩阵，它满足矩阵的厄米共轭等于其逆矩阵。
通过矩阵表示方法，我们可以方便地描述和求解量子系统的本征态和本征值。
对于一个算符A，如果满足A|i⟩=a(i)|i⟩，其中|i⟩是A的本征态，a(i)是对应的本征值，那么算符A对应的矩阵A的特征方程就是AΨ=aΨ。
通过求解特征方程，我们可以得到算符A的本征值和本征态。
13-量子力学的矩阵形式
a1 S11 S12 . a1
a Sa a2 S21 S22 . a2
. . .
15
一、表象及其变换(5)
任一量子态在F表象中的表示a
a1 a2
可以通过矩
1
!!
2
( r)l e 2r2 / 2 F (nr , l 3 / 2, 2r 2 )
2
d
0
sin d
0
a
0
* nr
l
m
(r
,
,
)
nr
lm
(
r
,
,
)
r
2
dr
nrnr ll mm
N 2nr l, m l, l 1,, l 1, l
系：a Sa，幺正矩阵S (Sk ), Sk ( , k )
17
表象及其变换的理解
量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。波函数的 表示方式在量子力学中并不是唯一的，波函数也可以选用其 他变量的函数。量子力学中表象的选取决定于所讨论的问题。 表象选取得适当可以使问题的讨论大为简化。 对于表象和表象变换，通俗的理解，即坐标和坐标变换，表 象就是经典物理中的坐标，就如直角坐标系和极坐标系。
nxnynz (x, y, z) nx (x)ny ( y)nz (z), nx , ny , nz 0,1, 2,
H H x H y H z , H nxnynz (x, y, z) Enxnynz (x, y, z) 其解为(H x , H y , H z )的共同本征态，设此本征态为： nxnynz (x, y, z) nx (x)ny ( y)nz (z), nx , ny , nz 0,1, 2, 则H nxnynz (x, y, z) (H x H y H z )nx (x)ny ( y)nz (z) (Ex Ey Ez )nx (x)ny ( y)nz (z) Enxnynz (x, y, z)
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
QM公式的矩阵表示
§4-3-1 平均值公式的矩阵形式 平均值公式的矩阵形式
∑ ∑
n
∑
=
F 11 写成矩阵相乘形式 F21 * * * F = (a1 , a2,L, am L) L Fm1 简记为： 简记为： F = Ψ + F Ψ L + * * * * ψ = a1 , a2 , a3 ,L, am L
a1 a2 a 3
8
P56 (3.2-14)式
Chap.4-3 _QM公式的矩阵表示
例 求 Lx本征态在 Lz表象中的矩阵表示,只讨论(l=1)情况 的本征方程为： 解 Lx的本征方程为：
0 h 1 2 0
− λ h 2 0
λ=0,±h λ(-λ2 + h 2) = 0 取λ= 0 代入本征方程得： 代入本征方程得：
0 1 0 a1 h 1 0 1 a2 = 0 2 0 1 0 a3
a2 a1 + a3 = 0 a 2
同理解出 λ= − h 时 的本征函数
ξ 1, − 1
λ= 0的本征值 相应的本征函数
a1 = a2 a 3
ξ 10
a1 = a2 a 3
1 2 = 0 − 1 2
λ= h的本征值 相应的本征函数
10
例 求 Lx本征态在 Lz表象中的矩阵表示,只讨论(l=1)情况 解 ψ 1 = ξ 10 , ψ 2 = ξ 11 , ψ 3 = ξ 1, − 1 构成一个正交归一本征函数完备系
+ 正交归一化条件： 正交归一化条件：ψ i ψ j = δij
量子力学讲义第七章讲义
(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的 抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。 给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征 方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程 求本征函数。
4、 举例： 例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵 形式为：
， 其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。 设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。 例如动量本征态，，坐标本征态，等。
态和力学量的表象
r 称为矢量A在球坐标中的表示。
基矢或者说基底有无穷多种取法， 因此一个矢量有无穷多种表示。
4.1 态的表象
4.1.2 波函数ψ ( x , t ) 在Q表象的表示(分立谱) 1、定义 波函数 ψ ( x , t ) 用力学量算符Q的本征函数展开所得到的 全部展开系数组，称为量子态 ψ ( x , t ) 在Q表象的表示。 2、矩阵表示 若
= ∫ dpC ( p, t )C ( p, t )
*
4.1 态的表象
例:自由粒子的波函数 自由粒子的德布洛意平面波是 它在动量表象中的表示是 r
* r p
ψ =
1
(2πh ) 2
3
i r r ( p ′ ⋅ r − E ′t ) h
e
i r r ( p′⋅ r − E ′t ) h
C ( p , t ) = ∫ ψ ( x )ψ d τ = =
ψ ( x ) = ∫ ψ ( x ′ )δ ( x − x ′ )dx ′
可见 ψ ( x )就是波函数在坐标表象 中的表示 。
4.1 态的表象
v 4.1.5 动量表象的波函数——c ( p , t )
ˆ ψ p ( x ) = pψ p ( x ) p
动量表象基底为
ψ p ( x) =
1 2πh
ˆ u ( x) = Q u ( x) Q n n n
n
ψ ( x , t ) = ∑ a n ( t )u n ( x )
∫u
n
* ( x )um ( x )dx = δ nm
a n ( t ) = ∫ u n * ( x )ψ ( x , t )dx
在Q表象中的表示
a n (t ) 是 ψ ( x , t )
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
量子力学5
S是什么矩阵？满足什么条件？ 拿上面两个式子进行比较，不难发现：
SS
+
= S +S = I
S是么正矩阵。 结论：两个表象之间的变换是么正变换。 由 β i = φi ψ = 即 并且
α =S
+
计算两态之间的变换关系。
∑
n
φi ϕ n ϕ n ψ =
∑S
n
in
αn
β =Sα β , β = α S+ , α = β S
+
= ψ
它的厄米共轭态矢为：
* ψ = ∑ ϕ n c n = (c1* n * c2
... ...
)
两个态的内积记为： ψ ⋅ φ
ϕ1 = (1 0 0 ...) ϕ2 = (0 1 0 ...)
......
≡ ψ φ
注意
ψ φ = φ ψ
*
（这里注意一下与以前小括号内积的异同）
⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ ... ⎜ c 2 ⎟ = ⎜ ... ⎟ ⎝ ⎠
表象变换
从一个表象变换到另一表象，就象两个坐标系之间的转换。 设 其中
i
ˆ A ϕi = αi ϕi ,
ˆ B φj = βj φj
一、表象之间的么正变换 二、态与算符的变换 三、表象变换下的不变量
{ϕ }− A 表象基矢，
φi =
{φ }− B 表象基矢
j
将B表象的基矢用A表象的基矢展开：
∑
n
ϕ n ϕ n φi =
ϕ1
ϕ2
对归一化的态：
ψ ψ = (c1*
* c2
)
∑c
n
2 n
=1
基矢的正交归一：
量子力学第七章
n
* cn = (ψ n ,ψ (0)) = ∫ ψ n ( x )ψ ( x,0)dx −∞
∞
ˆ ( x, p = −ih ∂ )ψ ( x, t )dx v. 平均值 F (t ) = ∫−∞ψ ( x, t ) F ˆ ∂x
∞ *
4. 基函数 {δ ( x − x′) | x′ ∈ R}
ψ ( x, t ) = ∫ ψ ( x′, t )δ ( x − x′)dx′
*
∞ *
2 µγ A= π h
3/ 2
∂ ∞ x = ∫ ϕ ( p )ih ϕ ( p)dp = 0, p = ϕ * ( p )ϕ ( p ) pdp = 0 −∞ ∫−∞ ∂p ∂ h x = −h ∫ ϕ ( p) 2 ϕ ( p )dp = −∞ ∂p 2
2 2 ∞ 2 * 2
为方便，直接以“矩阵元” ψ ( x, t ) 描述状态。
M “第 ψ ( x1 , t ) L x1行” Ψ (t ) = M ψ ( x2 , t ) L x2 行” “第 M
5. Q表象中力学量的表示方法
ˆ i.力学量算符 F 在Q表象中用方阵F表示
h µγ
2
h p = ∫ ϕ ( p )ϕ ( p ) p dp = µγ −∞
2 ∞ * 2
2
h2 h h 2 2 > (∆x) (∆p ) = , ∆x∆p = 2 2 2
p 2 dp ϕ ′( p) dp = 4h 2 A2 ∫ x =h − ∞ ( p 2 − 2 µE ) 4 −∞
v v 3.基函数 {δ (r − r ′)} v v v v v v ˆδ (r − r ′) = r ′δ (r − r ′) r
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
x1
A A1e1 A2 e2 平面上任一个矢量A均 A1 (e1 , A) A2 (e2 , A) 可用它们展开，即
这一组基矢是完备的，
3
A1,A2代表矢量A与两个基矢的标积。即A在两个
坐标轴上的分量(投影)。当A1,A2确定后，就确定
了平面上的矢量A ，因此可以认为(A1,A2)就是矢 量A在坐标系x1x2中的表示。
题也就是把坐标表象中的哈密顿算符对角化，即 由x表象变换到能量表象。
20
2）幺正变换不改变矩阵F的迹
矩阵对角元素之和称为矩阵的迹。 设经过幺正变换后，矩阵F变为F'，则
F ' SFS 1 1 SpF' Sp(SFS ) Sp(S SF) SpF
1
即F'的迹等于F的迹，也就是说矩阵的迹不因幺正 变换而改变。 总结和比较
21
Q表象 量 子 态 ψ 力 学 量 F 幺 正 变 换
Q'表象
' a a1 1 ' ' ' a ' a a ( u , ) a ( u 2 a a2 n n , )
F11 F12 F ( Fmn )
在另一直角坐标系 x'1 x' 2 (设基矢为e1 ' , e2 ' )
假设它是原来x1x2坐标系顺时针转θ 角所得，在 此坐标系中矢量A表示成
x2
A2 ' x 2 '
A1 ' (e1 ' , A) 其中 A2 ' (e2 ' , A)
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
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(3). 薛定谔方程
i (x,)un (x) n
i
n
dan (t dt
)
un
(
x)
n
an (t)Hˆun (x)
左边乘以u
* m
(
x)
并积分：
i
dam (x) dt
an (t)Hmn
当m 0时，由(B)得
b2 0,b1 b3。
再由波函数的归一化条件
2 b1 2 1, b1
2 2
1
所以
0
2 2
0 1
当 m 1时，由(B)得 ,
同样步骤得
b1 b3 , b2 2ib1 再由波函数归一化条件 定出常数，得
1
1 2
1 2i 1
1
1
1 2
2i
1
F11 F12 F21 F22
F1n F2n
0 (4.3 6)
Fn1
Fn2
Fnn
方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组λ 值
1, 2 ,n ; 它们就是F的本征值。把求得的λi 分别代入
（4.3-5）式中就可以求得与这λi 对应的本征矢 (ai1(t), ai2 (t),
1
利用归一化条件求a3. 即
1
a3* (1
2
1)
2 a3
4
a3
2
1
1
a3
1 2
因此，对应于m=1 的本征函数为
1
1
1 2
2 1
当
m 1时，由( A)式得
a1
2 2
a2 ,
a3
2 2
a2.
本征函数为
2
2
1 a2 1
2
2
利用归一化条件求a2, 即
1
1 (1 2
n
Hmnan (t)
n
(4.3-7)
i
d dt
a1 a2
(t) (t)
H11 H 21
H12 H 22
a1(t)
a2
(t
)
四、例题
设已知在Lˆ2和 Lˆ z的共同表象中，算符Lˆx和 Lˆ y 的矩阵分别为
2 0 1 0
2 0 i 0
Lx
2
1 0
0 1
F11
F21
Fn1
F12
F22
Fn2
F1n F2n
Fnn
a1(t)
a2
(t
)
0
an
(t
)
(4.3 5)
方程（4.3-5）是一个线形齐次代数方程组：
(Fmn mn )an (t) 0, m 1,2,.
n
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：
0 i 0
i 0 i
0 b1 b1 i b2 mb2 0 b3 b3
2
mb1
2
ib2
2 2
ib1
mb2
2 2
ib2
mb3
0
2 2
ib3
0
0
b1,b2,b3有非零解的条件是
(B)
m 2 i
0
2
2 i m 2 i 0
2
2
0
2i
m
2
由此得m=0, ±1.对应于Ly 0,.
§4.3量子力学公式的矩阵表示
一、平均值公式
x表象： F *(x,t)Fˆ (x,t)dx (4.3 1)
Q表象： (x, t) an (t)un (x) n
F
am* (t)an (t) um* (x)Fˆun (x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t) (3)
mn
F11 F12
2
1)
2
a2
2
2
a2
2
1
1
a2
2 2
因此对应于m=-1的本征函数为
1
1
1 2
1
2
（2）求 Lˆ y的本征值和本征函数
设 Lˆy的本征函数为 m ，对应于Ly m 。即 Ly m m m
b1
令 m b2 ，并将 Lˆy的矩阵形式代入本征方程，即有
b3
2 2
1 ; Ly 0
2
i 0
i
i 0
求它们的本征值和归一化的本征函数，
解：（1）求 Lˆx
设在Lˆ2 和
的本征值和本征函数。
Lˆ z的共同表象中，Lˆx 的本征函数为
m
a1 a2 a3
，m
为所对应的本征值。
本征方程为
Lx m m m , 即
2 2
0 1 0
1 0 1
0 a1 a1 1 a2 m a2 . 0 a3 a3
F (a1*(t), a2*(t),
)
F21
F22
a1(t)
a2
(t
)
(4.3 2)
(2) 本征方程
Fˆ (x, t) (x, t)
F11 F12
Q表象：
F21
F22
a1(t) a1(t)
a2
(t
)
a2
(t
)
(4.3 4)
求解本征值和本征矢 将(4.3-4)式中等号右边部分移至左边，得：
ma1
2 2
a2
0,
2 2
a1
ma2
2 2
a3
0,
( A)
2
2 a2 ma3 0.
齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即
m
2 2 0
2 2 m
2 2
0 2 0 2 m
展开后整理得
m(m2 1) 0
即
m 0,1
即Lˆx的本征值为
Lx 0,
当m 0时，由( A)式得，a2 0, a1 a3.
本征函数为
a1
0 0
a1
利用归一化条件，确定常数a1.
由
(a1*
0
a1*)
a1 0
a1 2
a1 2
1
a1
得
a1
2 2
因此，对应于m=0 的本征函数是
1
0
2 2
0 1
当m 1时，由( A)式得 a1 a3, a2 2a3
本征函数为
1
1 a1 2