2013届高考数学考点回归总复习《第六讲函数的单调性与最大(小)值》
函数的单调性与最大(小)值
2.()下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|
3.()设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()
2.函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
8. ()若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝_________.
类型三 抽象函数的单调性
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
()f(x)的定义域为(0，
＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
函数的单调性与最大小值
探究提高
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
2 x12 1 0, x2 1 0, | x1x2 | 1,
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )(x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)(x2 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x ) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
题型四
函数单调性与不等式
【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
2013届高考数学考点回归总复习《第六讲 函数的单调性与最大(小)值》课件
[反思感悟] (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2,函 数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符 号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定 义域内或给定的范围内进行. (2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将 不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解, 导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄 清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等 式进行转化.
类型四
Hale Waihona Puke 抽象函数的单调性与最值解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质 的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值 转化或配凑.
【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函 数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出. 了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处: (1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数
单调性相反;
1 y f ( x)
与y=f(x)的
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ④ 0. x1 x2 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
函数的单调性及最大(小)值
第4讲 函数的单调性与最大（小）值第一部分 知识梳理1.设函数y=f(x)的定义域为I,增函数：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.减函数：，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.2.判断函数单调性的方法①直接法：对于我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数的、反比例函数，我们都可以直接判断他们的单调性，并求其单调区间②图像法：增函数的图象是从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的③定义法：证明函数单调性的五个步骤：ⅰ）取值 ⅱ）作差 ⅲ）变形 ⅳ）判号 ⅴ）定论3.函数最大（小）值的定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数满足①对于任意，都有；②存在，使，那么是函数的最大（小）值。
4.函数的单调性与最值（1）若函数在区间上是增函数，则函数的最小值，最大值: ;若函数在区间上减函数，则函数的最小值，最大值：（2）若函数在区间上是增函数，则在区间不存在最值，但可以说函数在区间上的值域：第二部分 精讲点拨考点1 .作图像写出单调区间（1）.函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .思考：指出函数的单调区间，并且算出最大值考点2 比较函数值的大小（2）．已知函数f (x)= x2－2x＋2，那么f (1)，f (－1)，f ()之间的大小关系为（ ）如果函数，对于任意的实数都有，试比较的大小考点3 求下列函数最值（1）（2）（3）已知，对于函数，若，函数的最小值为1，最大值为，试求的值考点4 求参数的范围（4）．二次函数在区间(∞，4)上是减函数，能确定的是（ ）.A. B. C. D.若函数在上为增函数，则实数的取值范围？考点5 换元法求函数最值（5）函数的最小值____________考点6 函数单调性的判断及求最大（小）值例2．（1）证明函数在定义域上是增函数（2）证明函数：在上是减函数试证明的单调递增区间是，；单调递减区间是例3 . 求函数在区间上的最大值和最小值已知函数，求在区间上的最大值.考点7 抽象函数例4 . 已知道是定义域上的增函数，若，求实数的取值范围已知道是定义域上的增函数，若，求实数的取值范围第三 部分 过关检测一、选择题1. 函数的单调增区间是（ ）A. B. C. R D.不存在2. 如果函数在R上单调递减，则（ ）A. B. C. D.3. 在区间上为增函数的是（ ）A． B．C． D．4.在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y=－x+1B. y=C. y= x2－4x＋5D. y=5. 函数的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 36. 函数的最小值是（ ）.A. 0B. 2C. 4D.7．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）A． B．C． D．无法确定8.定义在上的偶函数在是增函数，则不等式等价于（ ）A. B. C. D. 或9．函数在区间是增函数，则的递增区间是 （ ）A． B． C． D．10．已知是R上的增函数，令，则是R上的（ ）.A．增函数 B．减函数 C．先减后增 D．先增后减二、填空题1.求函数的最小值______2.函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .3.函数的单调递减区间是__________________.4．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是 ________①．②③． ④．三、解答题1.试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.2.求下列函数的值域 （1） （2） （3）3．已知函数.（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.4. 已知函数.① 当时，求函数的最大值和最小值；② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.5．已知函数在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.6.已知函数f(x)= ，若f（x）在区间（0，1]上是减函数，实数a的取值范围7．已知函数的定义域为R，对任意实数、均有，且，又当时，有. （1）求的值； （2）求证：是单调递增函数.。
单调性与最大(小)值_课件5
课前自助餐
授人以渔
自助餐
∵1≤x1<x2，∴x1x2>1，∴2x1x2－1>0. 又 x1－x2<0， ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数． ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝72.
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(2)用等价变换和函数思想解题． 在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2xx＋a>0 恒成立⇔x2＋2x＋a>0 恒成立． 设 g(x)＝x2＋2x＋a， 则 g(x)在[1，＋∞)上的最小值 φ(a)>0. 这样问题就转化为求 g(x)的最小值 φ(a)，从而得到关于 a 的 不等式，解之即可．
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(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手， 也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是 a.∀x1， x2∈D，且 x1<x2 ，b.计算 f(x1)－f(x2) 并判断符号，c.结论．
②设 y＝f(x)在某区间内可导，若 f′(x) ≥ 0，则 f(x)为增函 数，若 f′(x) ≤ 0，则 f(x)为减函数．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
【解析】 (1)当 a＝12时，f(x)＝x＋21x＋2， 联想到 g(x)＝x＋1x的单调性，猜想到求 f(x)的最值可先证明 f(x)的单调性．任取 1≤x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(21x1－21x2)
＝x1－x22x21xx21x2－1.
x≥0， x<0，
其图像如图 1 所示，所以函数 y＝f(x)的单调递增区间为(－
∞，－1]和[0,1]；单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
3.2.1单调性与最大(小)值
概念学习
PART 2
知识点一 增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递 当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时 函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上 随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容
2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，
1.3.1函数的单调性与最大(小)值
1.3.1.2函数的最大（小）值一、学习目标1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)二、学习探究探究任务：函数最大（小）值的概念思考：先完成下表，典型例题例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。
如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t )=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？例2 已知函数f(x)=1x2-(x∈［2,6］),求函数的最大值和最小值。
三、合作探究1. 作出函数223y x x=-+的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x-≤≤；（2）03x≤≤；（3）(,)x∈-∞+∞.2.画出函数y＝x－|x－1|的图象，并求其值域．3.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3－x2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈ 2，5].(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间及值域.4.求函数f(x)＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．5.已知函数f(x)＝1x －2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明； (2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 2 2. 函数|1|2y x =++的最小值是（ ）.A. 0B. －1C. 2D. 3 3.函数y x = ）.4．函数f(x)＝1x，x ∈[－1,0)∪(0,2]( )A ．有最大值12，最小值－1B ．有最大值12，无最小值C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值5. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最 值为 .6.函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为 ，最小值为 .7．函数f(x)＝x2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．四、当堂检测1若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 2．函数f(x)＝6－x －3x 在区间[2,4]上的最大值为________． 3．已知函数f(x)＝2x －1(x ∈[2,6])． (1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．五、我的学习总结①知识与技能方面： ②数学思想与方法方面：。
单调性与最大(小)值——单调性 课件
函数单调性与单调区间的定义
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，区间 D I :
如果x1, x2 D，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就称函数f (x)在区间D上单调递增（如图（1））.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果x1, x2 D，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就称函数f (x)在区间D上单调递减（如图（2））.
你能说明为什么 f (x1) f (x2 ) 吗？
x1 x2 0,x1 x2 0.
由不等式性质7可得：（ x1）2 （ x2）2.
即x12 x22 , f (x1) f (x2 ).
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫 做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质.
1)
由x1, x2 （1， ），得x1 1, x2 1.
所以x1x2 1, x1x2 1 0.
又由x1 x2 , 得x1 x2 0.
于是 x1 x2 x1x2
所以，函数
(
y
x1x2
x
1)
1
0,即y1 y2.
在区间（1， ）上单调递增.
x
总结：虽然我们可以通过函数的图象判断函数的单调性，但证明函数在某个区间上单调递增（减）
图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说当x≤0时， y 随 x 的增大而减小.
用符号语言描述就是：
任意取x1, x2 (,0]，得到f (x1) x12 , f (x2 ) x22 ,
那么当x1 x2时，有f (x1) f (x2 ).
这时我们就说，函数 f (x) x2在区间 (,0] 上是单调递减的.
函数的单调性与最大(小)值PPT课件
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利 用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
高中数学《单调性与最大（小）值》说课稿
高中数学《单调性与最大（小）值》说课稿高中数学《单调性与最大(小)值》说课稿以下是小编整理的高中数学《单调性与最大(小)值》(数学必修一)》说课稿，希望对大家有帮助!一、教材分析1.教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，。
2. 教材的地位和作用函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
3.教材的重点﹑难点﹑关键教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
明确单调性是一个局部概念.教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。
教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程.4.学情分析高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.二、目标分析(一)知识目标：1.知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法;了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。
2.能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。
3.情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望。
单调性与最大(小)值_课件6
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子 区间,所以求解函数的单调区间,必 须先求出函数的定义域.对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用 已知结论求解,如二次函数、对数函 数、指数函数等； 如果是复合函数，应根据复合函数 的单调性的判断方法，首先判断两 个简单函数的单调性，再根据“同 则增，异则减”的法则求解函数的 单调区间．
思维启迪 解析 探究提高
(1)证明 方法一 ∵函数 f(x)对于任 意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令 x＝y＝0，得 f(0)＝0. 再令 y＝－x，得 f(－x)＝－f(x)． 在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．函数的最值
3．单调区间的表示
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如 前提
果存在实数 M 满足
单调区间只能用区间表 示，不能用集合或不等
(1) 对 于 任 意 (3) 对 于 任 意 x∈I，都有 x∈I，都有 条件 __f_(x_)_≤_M_____； __f_(x__)≥_M______； (2)存在 x0∈I， (4) 存 在 x0∈I, 使得_f_(x_0_)_＝__M_. 使得_f_(x_0_)_＝__M_.
函数的单调性与最（小）值
函数与基本初等函数 I
基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对
难点正本 疑点清源
高考理科数学《函数的单调性与最大(小)值》课件
调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(5)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单
调性．
解法一：设－1<x1<x2<1，
f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝（x1a－（1x）2－（xx12）－1），
解：先作出函数 y＝x2－4x＋3 的图象，由于绝对值的作用，把 图象在 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y＝|x2－4x＋3|的图象，
如图所示．
由图可知 f(x)在(－∞，1]和[2，3]上为减函数，在[1，2]和[3， ＋∞)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调
递减区间为(－∞，1]，[2，3]．
(5)已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax.证明：当 a≥1 时，
函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x12＋1－ x22＋1－a(x1－x2) ＝ x12＋x112－ ＋x22x22＋1－a(x1－x2)
2
＝x2－3x＋2，y＝log1u(u>0)，由于内层函数 u＝x2－3x＋2
2
在 x∈(－∞，1)上单调递减，外层函数 y＝log1u 在 u∈(0，
2
＋∞)上单调递减，由复合函数单调性可知，函数 y＝log1(x2
2
－3x＋2)的单调递增区间是(－∞，1)．故选 A.
(3)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
1.3.1 单调性与最大(小)值
y
有什么变化趋势？通过这个
100
试验，你打算以后如何对待
80
60
刚学过的知识?
40
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”
20
o
从左至右是逐渐下降的，对此，
12 3
t
我们如何用数学观点进行解释？
知识探究
考察下列两个函数:
f (x) x2 (x 0)
y
yx
y
y x2
o
x
o
x
思考1:这两个函数图像有何共同变化特征 ？
是减函数.
例2 :画出函数 f x 3x 2 的图像，判断它的单
调性，并加以证明
小结
1.单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
作业：教材P32页 第 4题
毕
后
记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
以上数据表明，记忆量y是时间
y
100
间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这
80
60
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
40
20
斯遗忘曲线”,如图.
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
大你能看出对应的函数值y
思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？
理论迁移
例1 如图是定义在闭区间
y
[-5，6]上的函数y y=f f((xx))
的图象，根据图象说出 yy=f(fx()x)的单调区间，以 及在每一单调区间上，
-3
x
-5
o1 3 6
函数 y=f(x) 是增函数还
《函数的单调性与最大(小)值》教案#优选.
1.3.1 函数的单调性与最大(小)值（1）教案授课人：马山中学蒙立勇1．教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方法．（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．2．教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．3．教学方法和教学手段运用导学案方式引导学探索发现新识。
4．教学过程5、教学基本流程：单调性的直观感受---单调性的定性描述-----单调性的定量刻画-----单调性的具体应用合作学习问题探究（2）对于函数f(x)，当自变量x在定义域的某个区间上的任取两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则在这个区间上随着自变量x的增大，函数值f(x)都在逐步增大，则函数在这个区间上是增函数由此可知要确保函数是增函数，x1，x2在这个区间必须是任意才可以归纳总结形成结论一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间D叫做函数的单调区间，分为递增区间和递减区间引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义，同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义教师引导学生找出定义中的关键词：定义域内的某个区间----自变量的任意两个值-----都有。
(广东专用)2013高考数学总复习 第二章第二节 函数的单调性与最大(小)值课件 理
1．(1)函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定 义域，也可以是定义域的某个区间．(2)如果函数在某个区间上 是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的．
2．(1)函数单调性的判定方法有：①定义法；②图象法； ③利用已知函数的单调性；④导数法．(2)证明函数的单调性的 方法有：①定义法；②导数法.
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有 ______f_(x_)_≤__M______； ②存在x0∈I，使得
_______f_(x_0_)_＝__M_.______
①对于任意的x∈I， 都有__f_(x_)_≥__M___； ②存在x0∈I，使得
____f_(x_0_)_＝__M__. __
结论 M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最小值
1．如图2－2－1所示，函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间 是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？
【提示】 不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．
2．函数的最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？
函数单调性的应用
(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a， b满足ab≠0. (1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围． 【思路点拨】 (1)讨论a、b的符号，利用指数函数的性质判 定f(x)的单调性；(2)由f(x＋1)＞f(x)，转化为指数不等式求解．
【提示】 最大(小)值是函数图象上最高(低)点的纵坐标，若 x0是函数f(x)的最大(小)值点，反映在图象上点(x0，f(x0))是函 数图象的最高(低)点．
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解法二 :
对f
x求导,有f x
a(x2 1) (x2 1)2
,
x 1,1, x2 1 2 0, x2 1 0,
当a 0时, f x 0, f x为增函数.
当a 0时, f x 0, f x为减函数.
[反思感悟] 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比 较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法､放缩 法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.
(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.
3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单 调性的方法.
【典例1】判断函数f
x
ax x2 1
a
0 在区间 1,1 上的单调性.
[解]解法一 : 设 1 x1 x2 1,则f x1 f x2
[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
考点陪练
1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞), 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A. f (x) 1 x
C.f(x)=ex 答案:A
B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f (x1) f (x2 ) 0. x1 x2
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
类型一
函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接 法､图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤:
答案:D
4.(2011 福建模拟)已知函数y 1 x
为M,最小值为m,则 m 的值为( ) M
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命 题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
类型二
函数的奇偶性与单调性
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可 得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图 象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相 反.
【典例2】已知f
x
x2
xa bx 1
是奇函数.1求a, b的值;
2求f x的单调区间,并加以证明; 3求f xx 0的最值.
[分析] 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.
[解]1 f x f x 0恒成立,
即
x2
xa bx 1
x2
xa bx 1
0
恒成立,则2a b x2 2a 0对任意的实数x恒成立.
a b 0.
2
f
x
x
x 2
1
x
R 是奇函数,
只需研究0, 上f x的单调区间即可.
任取x1, x2 0, ,且x1 x2,则f x1 f x2
2.函数f x x 的最大值为(
)
x 1
A. 2
B. 1
5
2
C. 2
D.1
2
答案:B
3.(2011 长春质检)已知f x为R上的减函数,则满足
f
1 x
f
1的实数x的取值范围是(
)
AHale Waihona Puke ,1B.1, C.,0 0,1 D.,0 1,
2.函数的最值
前提 条件
结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M;
①对于任意 x∈I,都有
f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M.
M为最大值
②存在x0∈I,使 得f(x0)=M. M为最小值
结论 M为最大值 M为最小值 定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在
当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数f(x)在区间 D上是减函数
自左向右看图象 是下降的
(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说
y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调 区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数; 当f′(x)<0时,f(x)为减函数.
第六讲 函数的单调性与最大(小)值
回归课本 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
定义
图象 描述
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数
自左向右看图象是上升的
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函 数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.
了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:
(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 单调性相反;
y 1 f (x)
与y=f(x)的
(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增 函数等;
a(x1x2 1)(x2 x1) (x12 1)(x22 1)
.
( x1 x2 ( x12
1)( x2 1)( x22
x1) 1)
0,
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x 在1,1上递减;
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x 在1,1上递增.
(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2,则Δx=x2x1>0;
(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理 化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨 论;
(4)判断:根据定义作出结论.