2013届高考数学考点回归总复习《第六讲函数的单调性与最大(小)值》

类型二
函数的奇偶性与单调性
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可 得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图 象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相 反.
【典例2】已知f
x

x2
xa bx 1
是奇函数.1求a, b的值;
答案:D
4.(2011 福建模拟)已知函数y 1 x
为M,最小值为m,则 m 的值为( ) M
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命 题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数f(x)在区间 D上是减函数
自左向右看图象 是下降的
(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说
y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调 区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数; 当f′(x)<0时,f(x)为减函数.
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f (x1) f (x2 ) 0. x1 x2
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
类型一
函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接 法､图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤:
2.函数f x x 的最大值为(
)
x 1
A. 2
B. 1
5
2
C. 2
D.1
2
答案:B
3.(2011 长春质检)已知f x为R上的减函数,则满足
f

1 x


f
1的实数x的取值范围是(
)
A. ,1
B.1,
C.,0 0,1 D.,0 1,
(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2,则Δx=x2x1>0;
(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理 化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨 论;
(4)判断:根据定义作出结论.
解法二 :
对f
x求导,有f x

a(x2 1) (x2 1)2
,
x 1,1, x2 1 2 0, x2 1 0,
当a 0时, f x 0, f x为增函数.
当a 0时, f x 0, f x为减函数.
[反思感悟] 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比 较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法､放缩 法等;讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.
第六讲 函数的单调性与最大(小)值
回归课本 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
定义
图象 描述
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数
自左向右看图象是上升的
2.函数的最值
前提 条件
结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M;
①对于任意 x∈I,都有
f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M.
M为最大值
②存在x0∈I,使 得f(x0)=M. M为最小值
结论 M为最大值 M为最小值 定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函 数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.
了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:
(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 单调性相反;
y 1 f (x)
与y=f(x)的
(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增 函数等;
(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.
3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单 调性的方法.
【典例1】判断函数f
来自百度文库

ax x2 1

a

0 在区间 1,1 上的单调性.
[解]解法一 : 设 1 x1 x2 1,则f x1 f x2

a(x1x2 1)(x2 x1) (x12 1)(x22 1)
.
( x1 x2 ( x12
1)( x2 1)( x22
x1) 1)

0,
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x 在1,1上递减;
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x 在1,1上递增.
a b 0.
2
f
x

x
x 2
1

x
R 是奇函数,
只需研究0, 上f x的单调区间即可.
任取x1, x2 0, ,且x1 x2,则f x1 f x2
[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
考点陪练
1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞), 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A. f (x) 1 x
C.f(x)=ex 答案:A
B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)
2求f x的单调区间,并加以证明; 3求f xx 0的最值.
[分析] 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.
[解]1 f x f x 0恒成立,
即
x2
xa bx 1

x2
xa bx 1

0
恒成立,则2a b x2 2a 0对任意的实数x恒成立.