(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

空间向量的夹角、距离计算同步练习题

一、选择题

1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4)

， (1 ，-4,1) ，则直线

与

AB 的夹角为（ C

）

A

B

C

AC

A.30 0

B.45 0

C.600

D.90 0

2. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180°

解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° .

3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（ ， ， ），那么这条

直线与平面的夹角为 (

D )

A.90 0

B. 60 0

C.45 0

D. 30

4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 (

A )

A.30°

B.60°

C.45°

D.90°

5．在棱长为

a 的正方体

－1111中，是

1

的中点，则点

1

到平面 的距离是 (

)

ABCD A B CD

M

AA

A

MBD

6

30

3

6

A.

B.

a

C.

D.

a

6

a

6

4

a

3

D

a

A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M

1

B ( a a, 0)

解析： 以 为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为

a ， 0， a ，

，则1

，

，

， ，

，

2

→

→

→

0，－

1 →

1

D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ，

，DM ＝ a

， 0，

2a

2a .

1

1

－ y ＋ 2z ＝ 0，

y ＝ 2z ，

令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2)

→

，a ) ，则 A 到平面

所以

所以

，DA ＝( a, 0

1

1

1

1

x ＋2z ＝ 0，

x ＝－ 2z ，

的距离是

→

＝ 6 . 答案： A

BDM

d 1

6

a

| n |

6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 (

B )

A. 1

B.

C.

D. 2

7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ）

A.

B.

C.

D.

8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( )

ABCD ABEF

FA

ABCD

AC

A ．45°

B ．30°

C ．90°

D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴，

所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC

→ → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉

1

＝120°. ∴ AC 与 BF 所成的角为 60°.

10．在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AB ＝ 2， BC ＝2， DD 1＝ 3，则 AC 与 BD 1 所成角的余弦值为

( )

3

70 3 70

70

A ．0B.

70

C ．－70

D.

70

解析：

选 A. 建立如图坐标系，则

D (0,0 ， 3) ，B (2,2,0) ， A (2,0,0) ， C (0,2,0) ，

1

→

∴ BD ＝ ( － 2，－ 2,3) ，

1

→

→ →

→ →

→ →

BD · AC

AC ＝ ( －2,2,0)

．∴ cos 〈BD ， AC 〉＝ 1

→ ＝0.

∴〈 BD ， AC 〉＝ 90°，其余弦值为

0.

1

1

|

1

||

|

BD

AC

BE 与平面 B BD 所成的角的正弦值

为

11．在正方体 ABCD － A BCD 中， E 是 CC 的中点，则直线

()

1 1 1

1

1

1

10

B.

10 ．－

15

D.

15

A ．－

5 C

5

5

5

解析：选 B.

建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为

2，则 D (0,0,0) ，B (2,2,0) ， B 1 (2,2,2) ，E (0,2,1) →

．∴ BD ＝( －2，

－ 2,0) → →

，BB 1＝ (0,0,2) ， BE ＝( － 2,0,1) ．

→

→

，∴

－ 2x －2y ＝ 0， x ＝－ y ，

设平面 B 1BD 的法向量为 n ＝ ( x ，y ， z ) ．∵ n ⊥ BD ， n ⊥ BB 1

2z ＝ 0. ∴

z ＝ 0.

→

→

10

n · BE

令 y ＝ 1，则 n ＝( － 1,1,0) ．∴ cos 〈 n ，BE 〉＝

→ ＝ 5 ，设直线 BE 与平面 B 1BD 所成角为

θ，则 sin θ＝

| n || BE | |cos 〈 ，→

〉 | ＝ 10 .

n BE 5

uuur uuuur

(

)

12. 在正方体 ABCD －A B CD 中， M 、N 分别为棱 AA 和 BB 的中点，则 sin 〈 CM ， D 1 N 〉的值为 1 1 1 1 1 1

1 4

2

2 A. 9

B.

9 5

C.

9

5

D.

3

解析：设正方体棱长为

2，以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 为 z 轴建立空间直角坐标系，可知

uuur

CM

1

uuuur

＝ (2 ，－ 2,1) ， D 1 N ＝ (2,2 ，－ 1) ，

uuur uuuur

1 uuur uuuur

4 5 cos 〈 CM ， D N 〉＝－

， sin 〈 CM ， D N 〉＝.

1

9

1

9

答案： B

二、填空题

13. 已知 a ， b 是直线， α，β 是平面， a ⊥ α， b ⊥ β，向量 a 1 在 a 上，向量

b 1 在 b

上， a 1＝ (1,0,1) ，