定积分的证明题44题
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题目1证明题 容易
。证明
)()()()(a f x f dt t f t x dx d x
a -='-⎰
题目2证明题 容易
。
利用积分中值定理证明 0sin lim :40
0=⎰→dx x n n π
题目3证明题 一般
。
使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0
)(0)(],[)(='
==⎰ξξb a dx x f a f b a x f b
a
题目4证明题 一般
。
为正整数时证明：当，
设⎰⎰
=+=a
na
dx x f n dx x f n a x f x f 0 0
)()( )()(
题目5证明题 一般
。证明： )1()1(1
0 1
0 ⎰⎰-=-dx x x dx x x m n n
m
题目6证明题 一般
。且
上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(2
1
)()()(,],[)( .)()(,
,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f b
a
-≤
---≤-⎰
题目7证明题 一般
。
其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :.
0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f b
x a b
a
'=-≤==<<⎰
题目8证明题 一般
。
使，
内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==b
b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ
题目9证明题 一般
。
证明： sin sin
0 20
20
1
⎰⎰<<+ππ
xdx xdx n n
题目10证明题 一般
。
求证：⎰<+-<1032 6
421πx x dx
题目11证明题 一般
内恒等于零。在区间上积分为零，证明内任一闭
上连续，且在在区间设),()(),(),()(b a x f b a b a x f
题目12证明题 一般
。
证明上连续在若函数0)(a )(21)(:,
]1,0[ )( 2 0 0 2
3>=⎰⎰a a dx x xf dx x f x x f
题目13证明题 一般
。
证明上连续在和设函数⎰⎰⎰⋅≤b
a b
a b
a dx x g dx x f dx x g x f
b a x g x f )()(])()([ :,
],[)()(222
题目14证明题 一般
⎰⎰+=4
2
)d sin )(cos 2(sin d cos )2(sin ]1,0[ )( π
π
ϕϕϕϕϕϕϕ。
证明：上连续，
在设f f x f
题目15证明题 一般
。
证明且上可导在设2)(2)(:,
0)(,)(,],[)(a b M
dx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰
。
证明：上连续，
，在设⎰⎰-+=>a
a dx x a f x f dx x f a a x f 0
2 0
)]2()([)( )0( ]2,0[ )(
题目17证明题 一般
。
；
为正整数，证明：设 sin )2( cos )1( 2 2ππππ
π
π==⎰⎰--kxdx kxdx k
题目18证明题 一般
。
试证且上有一阶连续导数在设1)]([:.
1)0()1(.]1,0[)(2
1
≥'=-⎰dx x f f f x f
题目19证明题 一般
。证明：为正整数，
若⎰⎰=⋅2
0 2
0 cos 21sin cos π
πxdx xdx x m m m m
m
题目20证明题 一般
。
则上连续，
在区间若函数 ])([)()( ],[ )( ⎰⎰-+-=b
a
b a
dx x a b a f a b dx x f b a x f
题目21证明题 一般
。证明：上连续在设函数⎰⎰=
π
π
2 0 2
)cos (41)cos (,
]1,0[ )( dx x f dx x f x f
题目22证明题 一般
。
，则连续，且在若函数 0)()()()( ≡=⎰x f dt t f x f R x f x
a
题目23证明题 一般
。
证明：为周期的连续函数，
是以设 )()2()()(sin )( 0
2 0
⎰⎰+=+π
πππdx x f x dx x f x x x f
题目24证明题 一般
成立。
都有不等式
对于任何试证明上连续且单调递减在设⎰⎰
≥∈1
)()(],1,0[:,
]1,0[ )(dx x f q dx x f q x f q