专题探究-含参数不等式恒成立问题.ppt.ppt
合集下载
2020年高考数学(理)总复习课件：专题四 函数、不等式中的恒成立问题(共31张PPT)
②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a).
令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去).
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表：
x
0 (0， a)
a
( a，2)
g′(x)
－
0
＋
g(x) 0
↘
－23a2 a
↗
∵g(0)＝0，g( a)＜0，
又∵0，23⊆A，
解：(1)由于 f(x)＝aln x－x－ax＋2a，其中 x>0， f′(x)＝ax－1＋xa2＝－x2＋x2ax＋a. ①当 a≤0 时，f′(x)<0 恒成立，于是 f(x)的单调递减区间 为(0，＋∞). ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝a＋ a22＋4a(另一根舍去). 列表得
x
0，a＋
a2＋4a
2
a＋ a2＋4a 2
a＋
a22＋4a，＋∞
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
于是 f(x)的单调递增区间为0，a＋ a22＋4a，单调递减区
间为a＋ a22＋4a，＋∞.
综上所述，当 a≤0 时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当 a>0 时，f(x)的单调递增区间为0，a＋ a22＋4a，单调递减区 间为a＋ a22＋4a，＋∞.
解得 a>ln 2－1.∴ln 2－1<a≤12；
当 a>12时，函数 f(x)的单调递增区间为0，1a和(2，＋∞)，
单调递减区间为1a，2.
则 f(x)max＝f1a＝－2－21a－2ln a<0 恒成立.
所以
高考数学微专题3不等式中的存在与恒成立问题3.1利用数形结合法求解课件
函 数 f(x)≤0 在 区 间 [1 ， ＋ ∞) 上 恒 成 立 ， 则 当 a> － 1 时 ，
f1＝lna＋1－e＋a≤0， fx0＝－x0－ex0＋a≤0.
①设 g(a)＝ln(a＋1)＋a－e，a∈(－1，＋
∞)，可知 g(a)在区间(－1，＋∞)上单调递增，又 g(e－1)＝ln(e－1＋1)
主题4 不等式
微专题3 不等式中的存在与恒成立问题 3.1 利用数形结合法求解不等式恒成立问题
内容索引
问题背景 思维模型 典型例题 自主探究
内容索引
不等式恒成立问题是近几年模拟考试、高考的热门考点，需要 学生熟练掌握求解此问题的三种常见方法(数形结合、分离参数、 构造函数)．而我们在利用常见方法求解此问题时，方法的合理选 择成为难点，合理的方法结合熟练的计算会让问题变得简单，不合 理的方法会导致简单问题复杂化，增加计算、思维等各方面的难 度．因此，选择合适的方法是能否顺利解决此类问题的关键．
0<x<12，logax≥x2，则只需
loga12≥14，即
1 loga2
1
≥logaa4，所以
a14≥12，即
a≥116，所以116≤a<1；当
x≥12时，
f(x)＝a1x≥x2，此时若对任意 x≥12，1ax≥x2，即 ln a1x≥ln x2，
即 lna1≥2lxn x，则只需 ln1a≥2lxn xmax.令 g(x)＝2lxn x，则 g′(x)＝2－x22ln x，当
内容索引
k(t)与曲线 g(t)相切时，设切点为(x0，y0)，则－e1t20－t10＝ba，且bat0＋4＝e1t0－ ln t0，整理，得 3＋ln t0＝e2t0，解得 t0＝1e，此时ba＝－2e.
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美课件
则a要大于右边式子在（1,4）的最大值
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
b
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
b
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
含参数不等式恒成立问题的解题策略课件
问题1：用判别式法需注意什么？
变式一 若
f ( x) ax 2ax 4 ,当 x R 时， f ( x) 0 恒成立,则实数 a 的取值范围 。
2
解： (1)当a 0时，要使f ( x) 0恒成立，
2 则＝（－2a） 4a 4 0, 解得0 a 4
三、 思维拓展,直击高考
练习二： 已知 x 1是函数 f ( x) mx3 3(m 1) x2 nx 1的一个极值 点，其中 m, n R, m 0 ， （1）求 m 与 n 的关系式；
（2）当 x [1,1] 时，函数 y f ( x) 的图像上任意一点的
一、追根溯源,构建方法
例 1 （必修5 P115A第3题，B组第2题改编）若
f ( x) x 2ax 4 ,当 x R 时，f ( x) 0恒成立,求实数
2
a
的取值范围
归纳总结：
。
1.判别式法 设 f ( x) ax2 bx c(a 0) f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 . 2.最值法（转化为求原函数的最值） f ( x) 0 恒成立 f ( x)min 0 ； f ( x) 0 恒成立 f ( x)max 0 .
提高题：
4.（2012年惠州调研）已知函数 f ( x) ax ln x(a R) （1）求 f ( x) 的单调区间；
（2）设 g ( x) x2 2x 2，若对任意 x1 (0, ) ,均存在 x2 [0,1] , 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求 a 的取值范围. x3 5．(2012广州调研理）已知函数 f ( x) ln 2ax 1 x 2 2ax （1）若 x 2 为的极值点，求实数 a 的值； （2）若 y f ( x) 在 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围；
高考二轮复习专题_不等式中的恒成立问题教学PPT课件
小结
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
课后练习
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
策略与方法
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
例题精讲
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
不等式中的恒成立问题
策略与方法
策略与方法
策略与方法
策略与方法
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
策略与方法
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
例题精讲
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
不等式恒成立问题的解法PPT
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 解，得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，
则：
f()>0
f(x)>0恒成立 f()>0
f(x)<0恒成立 y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 C>0_________Δ_=_b_2_-_4_a_c__<_0___。
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
_____________;
含参不等式恒成立问题的解法完美课件
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 a>0
*故 ( bx+ )min =b+1
*
三、课时小结：
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
*则 g(m)>0恒成立g(-2)=3x2-3x+343;px+1>2x+p恒成立，则实数x的取值范围是： ——————————。
*２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：a=b=
*
二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
x<-1或x>3
小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
*练习1:x<-1或x>3小结：2、二次函数型问题，结合抛物
*
y=kx
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
在同一坐标系下作它们的图象如右图:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 a>0
*故 ( bx+ )min =b+1
*
三、课时小结：
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
*则 g(m)>0恒成立g(-2)=3x2-3x+343;px+1>2x+p恒成立，则实数x的取值范围是： ——————————。
*２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：a=b=
*
二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
x<-1或x>3
小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
*练习1:x<-1或x>3小结：2、二次函数型问题，结合抛物
*
y=kx
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
在同一坐标系下作它们的图象如右图:
高中数学 含参不等式恒成立问题的求解策略课件
的导数 f (x) 0 恒成立，则实数 a 的
取值范围是 {a|a≥9}
回归课本 提炼方法
变式 1 （2009 重庆理第 5 题）不等 式 x 3 x 1 a2 3a 对任意实数 x 恒成
立，则实数 a 的取值范围为（ A ）（新课
标选修 4-5 第 20 页第 9 题改编）
A．(, 1] [4, ) B．(, 2] [5, )
由 ex 1 x(x 0) 可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 1 时， 2
f '(x) ex 1 2a(ex 1) ex (ex 1)(ex 2a) ，
故 当 x (0, ln 2a) 时 ， f '(x) 0 ， 而 f (0) 0 ， 于 是 当 x (0, ln 2a) 时， f (x) 0 . 综合得 a 的取值范围为 (, 1] .
范围.
解 ： 由 题 意 ， f (x) 0 在 区 间 (1,1) 恒 成 立 。
ekx (1 kx) 0 在区间 (1,1) 恒成立。因为 ekx 0 ，即
1 kx 0 在区间 (1,1) 恒成立。
答案：1, 0
方法 1 (1 kx)min 0 ， x (1,1)
0,1
方法 2 分离变量 kx 1, x (1,1)
了解高考，把握热点
08 安徽理第20题 文第21题 全国II文第21题理第22题
陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I理第19题
39 湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题
套
有12套
09 重庆理第5题
浙江文第21题理第22题 上海理第11题
辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题
C．[1, 2]
取值范围是 {a|a≥9}
回归课本 提炼方法
变式 1 （2009 重庆理第 5 题）不等 式 x 3 x 1 a2 3a 对任意实数 x 恒成
立，则实数 a 的取值范围为（ A ）（新课
标选修 4-5 第 20 页第 9 题改编）
A．(, 1] [4, ) B．(, 2] [5, )
由 ex 1 x(x 0) 可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 1 时， 2
f '(x) ex 1 2a(ex 1) ex (ex 1)(ex 2a) ，
故 当 x (0, ln 2a) 时 ， f '(x) 0 ， 而 f (0) 0 ， 于 是 当 x (0, ln 2a) 时， f (x) 0 . 综合得 a 的取值范围为 (, 1] .
范围.
解 ： 由 题 意 ， f (x) 0 在 区 间 (1,1) 恒 成 立 。
ekx (1 kx) 0 在区间 (1,1) 恒成立。因为 ekx 0 ，即
1 kx 0 在区间 (1,1) 恒成立。
答案：1, 0
方法 1 (1 kx)min 0 ， x (1,1)
0,1
方法 2 分离变量 kx 1, x (1,1)
了解高考，把握热点
08 安徽理第20题 文第21题 全国II文第21题理第22题
陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I理第19题
39 湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题
套
有12套
09 重庆理第5题
浙江文第21题理第22题 上海理第11题
辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题
C．[1, 2]
第二章专题恒成立与存在性求参数范围问题课件高一上学期数学人教A版
分析 :即不等式 x2 mx 2m 3 0的解集为R.
解 :由题意可得,
m2 42m 3 m2 8m 12 0,
解得 6 m 2,
{m 6 m 2}.
2. 分离参数最值法
例2已知 x 1,不等式 x2 ax x2 2恒成立,求实数 a的取值范围.
a 2x2 2 x
解: 当 x＝0时, x2＋a|x|＋1＝1 ≥ 0 成立. 当 x≠0 时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－ |x|＋|1x| 恒成立.
∵ |x|＋|1x| ≥ 2 (当且仅当 |x|＝1 时, 等号成立), ∴－|x|＋|1x|≤－2, ∴a≥－2.
2. 分离参数最值法
练习2 : 若不等式a2 b2 2 ( 1)(a b) 对任意的正数 a, b 恒成立, 求实数 的取值范围.
例题选讲
例1不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0 对一切 x R 恒
成立,求实数 a的取值范围.
a 2, 2.
1. 判别式法, 必须具备以下两个条件:
(1) 能转化成关于 x 的一元二次不等式; (2) 不等式对任意 x R的恒成立.
1. 判别式法
练习:已知不等式 x2 mx 2m 3 0的解集为, 求实数 m的取值范围.
4. 更换主元法
例4若对任意 a [1,1],函数 f (x) x2+(a 4)x 4 2a
的值恒大于零, 则 x的取值范围是( C )
A.(,1) (2, ) B.(1, 2) C.(,1) (3, ) D.(1,3)
方法一: 更换主元 +图象法;
方法二 : 参变分离最值法.
恒成立求参数范围常用的有三种方法:
0
x
x
x1,或x
解 :由题意可得,
m2 42m 3 m2 8m 12 0,
解得 6 m 2,
{m 6 m 2}.
2. 分离参数最值法
例2已知 x 1,不等式 x2 ax x2 2恒成立,求实数 a的取值范围.
a 2x2 2 x
解: 当 x＝0时, x2＋a|x|＋1＝1 ≥ 0 成立. 当 x≠0 时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－ |x|＋|1x| 恒成立.
∵ |x|＋|1x| ≥ 2 (当且仅当 |x|＝1 时, 等号成立), ∴－|x|＋|1x|≤－2, ∴a≥－2.
2. 分离参数最值法
练习2 : 若不等式a2 b2 2 ( 1)(a b) 对任意的正数 a, b 恒成立, 求实数 的取值范围.
例题选讲
例1不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0 对一切 x R 恒
成立,求实数 a的取值范围.
a 2, 2.
1. 判别式法, 必须具备以下两个条件:
(1) 能转化成关于 x 的一元二次不等式; (2) 不等式对任意 x R的恒成立.
1. 判别式法
练习:已知不等式 x2 mx 2m 3 0的解集为, 求实数 m的取值范围.
4. 更换主元法
例4若对任意 a [1,1],函数 f (x) x2+(a 4)x 4 2a
的值恒大于零, 则 x的取值范围是( C )
A.(,1) (2, ) B.(1, 2) C.(,1) (3, ) D.(1,3)
方法一: 更换主元 +图象法;
方法二 : 参变分离最值法.
恒成立求参数范围常用的有三种方法:
0
x
x
x1,或x