小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学数学《三角形的等积变形》练习题（含答案）
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
3求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
4求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
4.如图（3），在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
6．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．
巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。
法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．
③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图， 和 夹在一组平行线之间，且有公共底边 那么 ；反之，如果 ，则可知直线 平行于 。
例题精讲
【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
1求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
2求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
【例9】如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
【例10】如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
【例11】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
【例12】如右图，三角形ABG和三角形ECF是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形EDGF的面积。
【例13】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10
厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
习题二
1．如图（1），在，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
1求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。
【例5】如右图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD=18厘米，DC=6厘米，AE=10厘米，EC=5厘米。求：三角形ADE的面积。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
1等底等高的两个三角形面积相等．
②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD面积相等。
【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。
分析：三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24÷2=12，
三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12÷2=6。
三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，
所以三角形FED的面积=6÷2=3。
2求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积=BC×12÷2 = BC×6
三角形EBC的面积=BC×3÷2 = BC×1.5
所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
3求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
4求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
4.如图（3），在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
6．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．
巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。
法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．
③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图， 和 夹在一组平行线之间，且有公共底边 那么 ；反之，如果 ，则可知直线 平行于 。
例题精讲
【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
1求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
2求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
【例9】如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
【例10】如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
【例11】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
【例12】如右图，三角形ABG和三角形ECF是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形EDGF的面积。
【例13】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10
厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
习题二
1．如图（1），在，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
1求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。
【例5】如右图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD=18厘米，DC=6厘米，AE=10厘米，EC=5厘米。求：三角形ADE的面积。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
1等底等高的两个三角形面积相等．
②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD面积相等。
【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。
分析：三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24÷2=12，
三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12÷2=6。
三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，
所以三角形FED的面积=6÷2=3。
2求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积=BC×12÷2 = BC×6
三角形EBC的面积=BC×3÷2 = BC×1.5
所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。