小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
四年级下册数学试题-思维训练：三角形等积变形(下)(含答案)全国通用
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。
如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC＝2×BE，那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。
例3例2例1三角形等积变形(下)如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。
求三角形CDF的面积。
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF＝CE，BG＝DE，如果四边形ABCD 面积是1，求△EFG的面积？例6例5例4测试题1．如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN。
那么，阴影部分的面积是多少？2．如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分。
三角形BDC的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米。
已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。
求梯形ABCD的面积。
ADB C 3．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
4．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？HGFEBA5．如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使2AF AC =，求三角形DEF 的面积。
答案1．A M连接BM ，因为M 是中点所以ABM ∆的面积为14又因为2AN BN =，所以ANM ∆的面积为1114312⨯=，又因为BDC ∆面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212--= 2．bDCBA如右图，作AB 的平行线DE 。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
小学奥数——三角形的等积变形(附答案)word版本
小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）3，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法X 如右图，将EC 边四尊分（BD 二DE 二EF 二FC 二!BC ）,连结 4AD. AE, AF.则△AED 、“ADE 、Z\AEF. △AFCS?积.方法乳如右图，先将BC 四等分，即ED 二土EU 连结AD,再将AD 三1等分、即AL = EF-JD -jAT,连结CE 、CF,从而得到四个等积的三角形 ,即厶ABD . A CDF , A CER △為CE 等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.方法1 :如下左图，将 BC 边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E ,连结AD AE,从而得到厶ABD△ ADE △ AEC 的面积比为 1 : 3 : 4.方法厶 如上右图，先取RC 中点D 再取AB 的+分点氏 连结AIXDE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD 其面积比为 1 : 3 : 4.方法2:如右图，先将 BC 二等分，分点 D 、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC 等积.然后取 AC AB 中点E 、F ,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE 等 积.方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：4 +当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.证明：•••△DBC等底等高，••• S A ABC=S\ DBC又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOCS △DOC=^ DBC- S A BOC• S A AOB=S\ COD例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A'。
奥数状元必读专家点拨四年级下册第13课《三角形的等积变形》试题附答案
第三种：题目分类本。和错题本一样，专门记录自己做过的试题，并进行分类：一类是极其简单，自己一看就会的；一类是有一定难度，需要思考找到突破口的；一类是难度很大，需要综合运用很多知识并进行推理才能解答的。后两类都应该是我们的记录重点。
第四种：旧题新解。不时翻翻原来做过的试题，重点分析有没有新的解题思路和技巧。不断地增加思考有利于形成思考习惯，也有利于形成发散思维，开展多角度分析敏锐思路，随时利用新学知识去解决难题。
第五种：学习小组。定期地和小组成员分享好试题，好方法，好技巧，好经验，即可以增加同学之间的情感，又可以在交朋友的过程学习到新的东西，提高学习效率，培养合作精神，增强协调能力。
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答案
四年级奥数下册：第十三讲三角形的等积变形习题解答
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第一种：记笔记。这方法其实很普遍也很简单，但恰恰是很多同学不容易做到的，记笔记有很多好处，记录老师讲课精华，练习书写能力，养成边听边写能力，这对于提高学习效率是非常有效的。
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内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
3求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
4求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
4.如图（3），在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
6．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．
巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。
法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．
③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图， 和 夹在一组平行线之间，且有公共底边 那么 ；反之，如果 ，则可知直线 平行于 。
例题精讲
【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
1求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
2求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
【例9】如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
【例10】如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
【例11】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
【例12】如右图，三角形ABG和三角形ECF是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形EDGF的面积。
【例13】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10
厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
习题二
1．如图（1），在，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
1求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。
【例5】如右图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD=18厘米，DC=6厘米，AE=10厘米，EC=5厘米。求：三角形ADE的面积。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
1等底等高的两个三角形面积相等．
②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD面积相等。
【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。
分析：三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24÷2=12，
三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12÷2=6。
三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，
所以三角形FED的面积=6÷2=3。
2求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积=BC×12÷2 = BC×6
三角形EBC的面积=BC×3÷2 = BC×1.5
所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。