高二期末考试圆锥曲线专项训练.doc
高二期末考试圆锥曲线专项训练
圆锥曲线专项训练一、填空题1．若双曲线221169x y -=的渐近线方程为 。
x y 43±= 2.双曲线122=+yx m的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 。
41-3. 设双曲线以椭圆221259x y +=的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 。
12±4．如图，在平面直角坐标系x o y 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是。
125．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =______.36.已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为。
37．已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 、为边作正三角形12MF F ，若1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为。
18．在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k （k ＞0）上任意一点P ，若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则|PM|•|PN|必为定值k ”、类比于此，对于双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，类似的命题为： 。
若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则|PM|•|PN|必为定值ba b a 2222+9．已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 。
27 10.已知F 1、F 2是椭圆42x +y 2=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值是 . 4[解析]：由焦半径公式|PF 1|=ex a -，|PF 2|=ex a +|PF 1|·|PF 2|=（ex a -）（ex a +）=222x e a -，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是2a =4.11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 。
高二文科数学圆锥曲线基础训练(含答案)
高二文科数学圆锥曲线基础训练1．k 为何值时，直线y=kx+2和椭圆632x 22=+y 有两个交点 （ ）A ．—36<k<36B ．k>36或k< —36C ．—36≤k ≤36D ．k ≥36或k ≤ —36 【答案】B【解析】 试题分析：由⎩⎨⎧=++=632222y x kx y 可得 ：（2+3k 2）x 2+12kx+6=0，由△=144k 2-24（2+3k 2）＞0得k>36或k< —36，此时直线和椭圆有两个公共点。
2．抛物线4x y 2=上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( )A. 0B. 1516C. 78D. 1716【答案】A 试题分析：设M ()00,y x ，因为M 到焦点的距离为1,所以110=+x ，所以00=x ，代入抛物线方程4xy 2=得00=y 。
3．过点（0，1）与双曲线221x y -=仅有一个公共点的直线共有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】D4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A.21B.23C.22D.33【答案】C5．若椭圆)0(122>>=+n m ny m x 和双曲线)0(122>>=-b a b y a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）A ．m-aB ．)(21a m - C ．22a m - D ．a m -【答案】A【解析】设P是第一象限的交点，由定义可知1212PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 12PF PF m a ∴=-6．已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（）A.17922=-y x B ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或17922=-x y D ．)0(17922>=-x y x 【答案】D7．已知k ＜4,则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有 ( ) A. 相同的准线 B. 相同的焦点C. 相同的离心率D. 相同的长轴【答案】B8．抛物线)0(2<=a ax y 的焦点坐标是( )A .⎪⎭⎫⎝⎛0,21a B.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0 C.⎪⎭⎫⎝⎛a 41,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 41,0 【答案】C9．抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）A. B. C.2 【答案】A10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两焦点分别为21,F F ，点A 在椭圆上，0211=⋅F F ，4521=∠AF F ，则椭圆的离心率e 等于 ( )A.33B.12-C.13-D. 215- 【答案】B 由0211=⋅F F AF 得112AF F F ⊥,又4521=∠AF F ，112AF F F ∴=即22b c a=，整理的2220c ac a +-=2210,1e e e ∴+-==11．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________【答案】1728122=+y x 【解析】试题分析：椭圆长轴的长为18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=31•2a=6，得c=3，因此，b 2=a 2-c 2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y 轴上，可得此椭圆方程为1817222=+y x . 12．过椭52x ＋42y ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求弦AB 的长_______【答案】35513．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .14．过点(1,2)总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .【答案】2k <<3k <<-【解析】2222150x y kx y k ++++-=表示圆需要满足22224(15)0k k +-->，解得33k -<<，又因为过圆外一点可以作两条直线与圆相切，所以点(1,2)在圆外，所以2221222150k k +++⨯+->，所以3k <-或2k >，综上所述，实数k 的取值范围是2k <<3k <<-15．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为5，则m ＝ .【答案】4±. 16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22。
高二数学圆锥曲线综合测试题(使用)含答案!
高二数学圆锥曲线综合测试题（考试时间：120分钟，共150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x ＞3)D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b 8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 10．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 12．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。
高二期末-圆锥曲线（理）（含答案）--闵祥鹏
专题——圆锥曲线（理）1、【2013-2014朝阳第一学期期末】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两焦点分别为1212F F A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、， 为椭圆上一点，且1AF x ⊥轴．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知命题：“已知M 是椭圆C 上异于左右顶点12A A 、的一点，直线12MA MA 、分别交直线:l x m =（m 为常数）于不同两点P Q 、，点N 在直线l 上，若直线MN 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，则N 为线段PQ 的中点”，试写出此命题的逆命题，判断所写命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由； （Ⅲ）根据研究（Ⅱ）的结果，类似地，请写出双曲线中的一个命题（不需证明）．解：（Ⅰ）因为12A ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，1AF x ⊥轴． 所以在12Rt AF F ∆中，由112AF=，12F F =272AF =．-------------------------------------1分 由122AF AF a +=，122F F c =，得2a c ==， ----------------------------------2分 所以1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． -----------------------------------3分 （Ⅱ）逆命题：“已知M 是椭圆C 上异于左右顶点12A A 、的一点，直线12MA MA 、分别交直线:l x m =（m 为常数）于不同两点P Q 、，点N 在直线l 上，若N 为线段PQ 的中点，则直线MN 与椭圆C 有且只有一个公共点M ”，为真命题 -------------------4分 证明如下：设()00M x y ，，则220014x y += 又直线1MA 的方程为()0022y y x x =++，直线2MA 的方程为()0022yy x x =--， 所以()0022y m P m x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，()0022y m Q m x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭， -------------------5分设PQ 的中点()11N x y ，则1x m =，()()()0000001202242224y m y m y mx x x y x +-+-+-==- 又220044x y -=-，所以01044mx y y -=，即点0044mx N m y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， -------------------6分 所以()()0220000000000004444444MNmx y y mx y x mx x k m x y m x y m x y -----====---- -------------------7分于是直线MN 的方程为()00004x y y x x y -=--，即00014x y x y y =-+ 由220001414x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，注意到220014x y +=， 可得220020x x x x -+= -------------------8分解得0x x =，所以方程组有唯一解0x x y y =⎧⎨=⎩所以直线MN 与椭圆C 有且只有一个公共点M ． -------------------9分（Ⅲ）已知M 是双曲线C 上异于左右顶点12A A 、的一点，直线12MA MA 、分别交直线:l x m =（m 为常数）于不同两点P Q 、，点N 在直线l 上，若N 为线段PQ 的中点，则直线MN 与双曲线C 有且只有一个公共点M ． -------------------12分2、【2013-2014东城（南片）第一学期期末】己知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()10F ， ，点()10A ， 在椭圆C 上，过F 点的直线l 与椭圆C 交于不同两点M N 、． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 斜率为1，求线段MN 的长；（Ⅲ）设线段MN 的垂直平分线交y 轴于点()00P y ，，求0y 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意：1=c ，2=a ，3222=-=c a b ，所求椭圆方程为13422=+y x ． -------------------3分 （Ⅱ）由题意，直线l 的方程为：1-=x y ．由221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得08872=--x x ，12128877x x x x +==-，所以7241212=-+=x x k MN ． -------------------7分 （Ⅲ）当x MN ⊥轴时，显然00=y ．当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠．由()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()2222348430k x k x k +-+-=．设()11M x y ，，()22N x y ，，线段MN 的中点为()33Q x y ，，则2221438kk x x +=+． 所以222134342k k x x x +=+=，()2334331k kx k y +-=-= 线段MN 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭在上述方程中令0x =，得02313344k y k k k==++．当0<k 时，3443-≤+k k ；当0>k 时，3443≥+k k． 所以01230<≤-y ，或12300≤<y ．综上，0y 的取值范围是1212⎡-⎢⎣⎦． ------------------- 10分3、【2013-2014东城第一学期期末】已知曲线()22:123x y C m R m m+=∈+-．（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设2m =，过点()04D ， 的直线l 与曲线C 交于M N 、两点，O 为坐标原点，若OMN ∆为直角三角形，求直线l 的斜率．解：（Ⅰ）若曲线C ：22123x y m m+=+-是焦点在x 轴上的椭圆，则有230m m +>-> 解得132m << ． -------------------2分 （Ⅱ）2m =时，曲线C 的方程为2214x y +=，C 为椭圆， 由题意知，点()04D ， 的直线l 的斜率存在，所以设l 的方程为4y kx =+，由22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()221432600k x kx +++=， -------------------4分 ()()222322401464240k k k ∆=-+=-，当0∆>时，解得2154k >． 设M N 、两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， （ⅰ）当MON ∠为直角时， 则12122232601414k x x x x k k+=-=++，， 因为MON ∠为直角，所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()2121214160k x x k x x ++++=，所以()222215132401414k k k k⨯+-+=++，解得k =． -------------------6分 （ⅱ）当OMN ∠或ONM ∠为直角时，不妨设OMN ∠为直角， 此时，1OM k k ⋅=-，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-① 又221114x y +=②将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去）， 将123y =代入①，得1x =所以114y k x -== -------------------8分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为和 -------------------9分4、【2013-2014海淀第一学期期末】已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：112P ⎛-- ⎝⎭， ，()201P ， ，312P ⎛ ⎝⎭，，41P ⎛ ⎝⎭，，()511P ， ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，B C 、为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）由22222222222222221(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，312P ⎛ ⎝⎭， 和()511P ， 不在椭圆M 上，即椭圆M经过112P ⎛-- ⎝⎭， ，()201P ，，412P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ． 于是2221a b ==，．所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=． ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()()2222220ty tmy m +++-=．设()()1122B x y C x y ，，，，则2216880m t ∆=-+>，1222122222 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ==()()()12221212y y t y y t m y y m =+++++1==-．于是3m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以 直线:3BC x ty =-．因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于03M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设． ………………………6分所以121212ABCS AM y y y ∆=⋅-=-====≤89．当0t =时取到最大值89． ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒．设直线):0AB x ty t=≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()2220t y +-=．所以0y =或22y t =+．所以B ⎝⎭，由ABBC ⊥，可得直线:BC y tx =-． 由223222, ,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得()()()22222328122102t t t t y y t +++--=+． 所以 ()()()22222810221B C t t y y tt +=-<++．所以 线段BC 与x 轴相交于2202N t ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， ． 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设． 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89． ……………………12分5、【2013-2014西城第一学期期末】已知抛物线2:12C y x =，点()0M a ， ，过M 的直线l 交抛物线C 于A B 、两点. （Ⅰ）若1a =，抛物线C 的焦点F 与AB 中点的连线垂直于x 轴，求直线l 的方程； （Ⅱ）设a 为小于零的常数，点A 关于x 轴的对称点为'A ，求证：直线'A B 过定点.（Ⅰ）解：由已知，抛物线2:12C y x =的焦点坐标为()30F ， . ……………… 1分设过点()10M ， 的直线l 的方程为()1y k x =-， 由()2112y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得()22222120k x k x k -++=. ……………… 2分 设()()1122A x y B x y ，，，，则2122212k x x k ++=. ……………… 3分 因为F 与AB 中点的连线垂直于x 轴，所以1232x x +=，即2263k k+=.………… 4分 解得23k k ==， ……………… 5分 所以，直线l 的方程为)1y x =-. ……………… 6分（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为()y k x a =-.由 ()212y k x a y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得()222222120k x ak x a k -++=， ……………… 7分 则20k ≠，且2481440ak ∆=+>，即0k ≠，且230ak +>.2212122212ak x x x x a k++=⋅=，. ……………… 8分 因为'A A 、关于x 轴对称，所以()11'A x y -， ，直线()212221':y y A B y y x x x x +-=--，又2211221212y x y x ==，，所以()222112y x x y y y =-+-， ……………… 10分所以()()221212*********121212x y y y y y y x x x y y y y y y y y -+-=+=------ ……………… 11分 因为2221212144144y y x x a ==，又12y y ，同号，0a <，所以1212y y a =-， ……………… 12分 所以直线'A B 的方程为()212121121212a y x x a y y y y y y =-=+---，……………… 13分所以，直线'A B 恒过定点()0a -， . ……………… 14分6、【2013-2014西城第一学期期末】已知A B C 、、为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点． （Ⅰ）若A C 、所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由．解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ………………2分 所以A C 、两点的坐标为()01， 和4133⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ， ………………4分所以AC =………………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则)0B，因为3OB OP =，在线段上，所以203P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ，求得423AC =，……6分所以OAC ∆的面积等于4=23391⨯． ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设():0AC y kx m m =+≠，()()1122A x y C x y ，，，，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得()222214220k x kmx m +++-=， ………………8分 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+， 所以，AC 的中点P 的坐标为2222121kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，， ………………9分 所以22632121km m B k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，，代入椭圆方程，化简得22219k m +=． ……………10分计算 AC ==…………11分． ………………12分因为点O 到AC 的距离O AC d -=． ………………13分所以，OAC ∆的面积2OAC O ACS AC d ∆-1=⋅4291==． 综上，OAC ∆面积为常数49． ………………14分7、【2012-2013朝阳第一学期期末】已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，右焦点F 到其左顶点A 的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）P 是椭圆C 上不同于A B 、的任意一点，直线AP BP 、分别与直线3x =相交于点M N 、，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）． ①求FM FN ⋅的值；②求证：A Q N 、、三点共线．解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>依题意31a c a c +=⎧⎨-=⎩，………………1分解得21a c =⎧⎨=⎩，所以2223b a c =-= ………………2分故椭圆C 的标准方程为22143x y +=………………3分 （Ⅱ）设()()00022P x y x -<<， 则直线()00:22y AP y x x =++，联立直线AP 与直线3x =，得00532y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ………………4分直线()00:22y BP y x x =--，联立直线BP 与直线3x =，得0032y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ………………5分① 因为()10F ， ，所以00522y FM x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，，0022y FN x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 故200020005522=4+224y y y FM FN x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭， ， ………………6分 因为()00P x y ，在椭圆22143x y +=上，所以2200143x y +=，即2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭………………7分所以14FM FN ⋅=………………8分 ② 证明：直线()005:22y MB y x x =-+，直线()0015:22y NA y x x =+- ………………9分联立得交点坐标000013245613613x y x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭， ………………10分因为()()()2200220000201324513242546136131434613x y x x x x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+---⎝⎭⎝⎭+==- 所以点000013245613613x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 在椭圆22143x y +=上 ………………11分 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A Q N 、、三点共线 ………………12分8、【2012-2013海淀第一学期期末】椭圆C 的中心为坐标原点O ，点12A A 、分别是椭圆的左、右顶点， B为椭圆的上顶点，一个焦点为)0FM 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点，直线1A M 与y 轴交于点P ，直线2A M 与y 轴交于点Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若把直线12A M A M 、的斜率分别记作12k k 、，求证：1214k k ⋅=-； （Ⅲ）是否存在点M 使12PB BQ =，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解: （Ⅰ）由题意，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则c =c a =所以2a =，2221b a c =-=， ------2分 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． -------3分 （Ⅱ）由椭圆C 的方程可知，点1A 的坐标为()20-， ，点2A 的坐标为()20， ，设动点M 的坐标为()00x y ， ，由题意可知002x <<， 直线1MA 的斜率01002y k x =>+，直线2MA 的斜率02002yk x =>-， 所以2000122000224y y y k k x x x ⋅=⋅=+-- ------4分 因为点()00M x y ， 在椭圆2214x y +=上，所以220014x y +=，即220014x y =-， -----5分 所以2020122200114444x y k k x x -⋅===---． ----------6分 （Ⅲ）设直线1MA 的方程为()12y k x =+，令0x =，得12y k =，所以点P 的坐标为()102k ， ， ----7分 设直线2MA 的方程为()22y k x =-，令0x =，得22y k =-，所以点Q 的坐标为()202k -， ，---8分 由椭圆方程可知，点B 的坐标为()01， ，由12PB BQ =，得12112212k k -=--， 由题意，可得()12112212k k -=--，整理得12423k k -=， ----9分 与1214k k ⋅=-联立，消1k 可得2222310k k ++=，解得21k =-或212k =-， -------10分 所以直线2MA 的直线方程为()2y x =--或()122y x =--，因为()122y x =--与椭圆交于上顶点，不符合题意．把()2y x =--代入椭圆方程，得2516120x x -+=，解得65x =或2， ------11分因为002x <<，所以点M 的坐标为6455⎛⎫ ⎪⎝⎭， ． -------12分已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过O 的直线l 与1C 相交于A B 、两点，且l 与2C 相交于C D 、两点．若2CD AB =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）依题意，椭圆221:14x C y +=的长半轴长为232---------------------2分因为椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率所以椭圆2C 的对称中心在原点，焦点在y 轴上，设椭圆()2222:124y x C a a =+>---------------3分2432a a -=，解得4a = ---------------------4分 所以椭圆2C 的方程为221164y x =+--------------------5分（Ⅱ）如图，设直线l 的方程为y kx =，或0x =（舍）设()()1122B x y D x y ，、，，由椭圆的对称性得()()1122A x y C x y ----， 、， 则()1122AB x y =， ，()2222CD x y =， 因为2CD AB =所以2CD AB =，即212x x = --------------------8分由方程组2214x y y kx ⎧+==⎪⎨⎪⎩，消去y得()220144x k +-=，解得221441x k =+--------------------10分同理，可得222164x k +=--------------------11分 由212x x =，解得1k =±所以直线l 的方程为0x y -=或0x y += --------------------13分已知动圆P （圆心为点P ）过定点()10A ， ，且与直线1x =-相切，记动点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线l 与曲线C 相切，且与直线1x =-相交于点Q ．试研究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）因为动圆P 过定点()10A ， ，且与直线1x =-相切 所以圆心P 到点()10A ， 的距离与到直线1x =-的距离相等根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为抛物线，方程为2:4C y x =． --------------------4分 （Ⅱ）设()()00:0P x y l y kx m k =+≠，，，则有2004y x =直线l 与直线1x =-联立得()1Q m k --， --------------------5分由24y x xm y k ==+⎧⎨⎩得()()2222400k x km x m k +-+=≠ 依题意，()2222440km k m ∆=--=，得1km = --------------------6分且02221km x k k -==，00112y kx m k k k=+=+= 所以212P kk ⎛⎫⎪⎝⎭， ，且11Q k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， --------------------8分 故以PQ 为直径的圆的方程为()212110x x y y k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--------------------10分 化简得()22213210x y x x k y k k ⎛⎫+------= ⎪⎝⎭所以2220100x y x x y ⎧+--=⎪-=⎨⎪=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即()10M ， --------------------13分 故在坐标平面内是否存在定点()10M ， ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．--------------------14分已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4．（Ⅰ）若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切，求椭圆焦点坐标；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M N 、两点，记直线PM PN 、的斜率分别为PM k ，PN k ，当41-=⋅PN PM k k 时，求椭圆的方程． 解：（Ⅰ）由112+=b 得2=b ， 又42=a ，2=a ，42=a ，22=b ，2222=-=b a c ，∴两个焦点坐标为)0 ，()0 ． 4分（Ⅱ）由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M N 、关于坐标原点对称． 不妨设()00M x y ，，()00N x y --， ，()P x y ，，M N P 、、在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有1220220=+b y a x ，12222=+by a x ，两式相减得：22202202ab x x y y -=-- 由题意它们的斜率存在，则00x x y y k PM --=，0x x y y k PN ++=，222022020000ab x x y y x x y y x x y y k k PNPM -=--=++⋅--=⋅， 则4122-=-ab ，由2=a 得1=b ，故所求椭圆的方程为1422=+y x ． 12分已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()230F ，，离心率为2e =（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A B 、两点，M N 、分别为线段22AF BF 、的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，求k 的值．解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =．结合222a b c =+ ，解得22123a b ==，．所以，椭圆的方程为221123x y +=． （Ⅱ）由221123x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()22312360k x +-=． 设()()1122A x y B x y ，，，，则12122360312x x x x k-+=⋅=+， 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， 因为()2113F A x y =-，，()2223F B x y =-，，所以()()()22212121233190F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=．即()2236190312k k -++=+，解得4k =±．设椭圆方程为()2222102x y b b b+=>，抛物线方程为()28x y b =-，如图所示，过点()02F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ． （Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（Ⅱ）设A B 、分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解：（Ⅰ）由()28x y b =-得18y x b =+， 当2y b =+得4x =±， ∴G 点的坐标为()42b +，， 法一：()2:4b GF y x b b+=--，与抛物线联立， 0∆=，解得1b =；法二：由椭圆方程得1F 点的坐标为()0b ， ， 根据抛物线光学性质，∴42b b -=+即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和()281x y =-； （Ⅱ）∵过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ， ∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个， 同理，以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个． 若以APB ∠为直角，设()P x y ，，())2020A B-， 、， ，22228100PA PB x y y y ⋅=-+=+-=，关于y 的二次方程有一大于等于1的解， ∴x 有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形．14、【2011-2012六十六中第一学期期末】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>， 由已知得：31a c a c +=-=，，222213a c b a c ∴==∴=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设()()1122A x y B x y ，，， 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得 ()()222348430k x mkx m +++-=，则()()()2222221222122641634303408344334m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩，即， 又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+ 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()20D ， ，1AD BD k k ∴=-，即1222211-=-⋅-x y x y ()121212240y y x x x x ∴+-++=()()2222223443164034334m k m mk k k k--∴+++=+++ 2271640m mk k ∴++= 解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->当12m k=-时，l的方程()2y k x=-，直线过点()20，，与已知矛盾；当22 7 km=-时，l的方程为27y k x⎛⎫=-⎪⎝⎭，直线过定点27⎛⎫⎪⎝⎭，所以，直线l过定点，定点坐标为20 7⎛⎫ ⎪⎝⎭，15、【2011-2012密云二中第一学期期末】已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(0F ，．若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求PAB ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()222210y x a b a b+=>>．由题意222:a b c a b c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………………………………………………2分解得 24a =，22b =． 所以椭圆C 的方程为22142y x +=．……………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB的斜率为k ，则PB 的直线方程为()1y kx =-．由()221142y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()))2222240k x k k x k +++-=．………………6分设()A A A x y ，，()B BB x y ，，则1B B x x =⋅= 同理可得A x= 则22A B x x k-=+，()()28112A B A B k y y k x k x k -=----=+． 所以直线AB 的斜率A B AB A By y k x x -==- ……………………………………8分（Ⅲ）设直线AB的方程为y m =+由22142y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22440x m ++-=由()()221640m ∆=-->，得28m <此时2424A B A B m x x x x -+=-⋅=， ……………………………………10分 P 到直线AB的距离d =AB ==则12S ABC AB d ∆=⋅=()228122m m +-==……12分 因为24m =使判别式大于零所以当且仅当2m =±时取等号分。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(完整资料).doc
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线 离心率为2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A B C D
9、无论 为何值，方程 所表示的曲线必不是（ ）
20在平面直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线 与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时 的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ， 故 ．
，即 ． 而 ，
于是 ．
所以 时， ，故 ．
当 时， ， ．
，
而 ，
所以 ．
21A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)
一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝ ＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已 知 椭 圆 与 双 曲 线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2， 令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α）， 则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝ 时， 的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案
圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A. B. C. 2- D.14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对8．方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。
2021年高二数学 圆锥曲线期末考综合练习一
2021年高二数学 圆锥曲线期末考综合练习一班级：__________ 座号：__________ 姓名：_______________成绩：第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程是( )A ．B ．C ．D ． 2．抛物线的准线方程是，则a 的值是（ ）A ．18B ．－18 C ．8 D ．－8 3．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ） A. B. C. D.4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．2 D ． 5．若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D ．7．过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则线段的中点坐标为（ ） A ．（4,3） B ．（3,2） C ．（2,2） D ．（2,1）8．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )．A ．B ．C ．D ． 9．若直线与曲线恒有公共点，则的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D ．10．已知圆，为圆内一定点，是圆周上一个动点，的中垂线与交于，则点的轨迹方程是 ( ) A ． B ． C ． D ．11．设椭圆的离心率为，右焦点为，若方程的两个实根分别为和，则点（ ） Ａ．必在圆内Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能12．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点．当静止的小球从点开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点时，此时小球经过的路程可能是 （ ） A ．32或4或 B ．或28或 C ．28或4或 D ．32或28或4二、填空题（每小题4分，共16分．将答案填在答题纸相应的位置上） 13．已知双曲线的渐近线方程是，且过点，则该双曲线的标准方程是．14．顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点的抛物线方程为．15．设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则的值等于16．已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知是抛物线：的焦点．（Ⅰ）求抛物线的标准方程和准线方程；（Ⅱ）直线过定点，则其斜率为何值时，直线与抛物线恰有一个公共点？18．(本小题满分12分)已知到距离之和为4，设点的轨迹为，直线与轨迹交于．（Ⅰ）求轨迹的方程（Ⅱ）若,求．19．(本小题满分12分)双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线：与双曲线交于、两点，当为何值时，以为直径的圆经过原点．20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，四个顶点分别为，且四边形是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点满足，连结交椭圆于另一点，证明为定值（为坐标原点）．21． (本小题满分12分)已知椭圆的短轴长为，椭圆上动一点到右焦点距离的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，求面积的最大值，并求此时的直线的斜率．22．（本小题满分14分）已知点到点和直线的距离相等，记点的轨迹为．ODAB（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）过点作相互垂直的两条直线，，曲线与交于点,,与交于点,．证明：；（Ⅲ）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性．在（Ⅱ）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论．请你写出关于椭圆的一个相类似的结论（不需证明）．南安一中xx 届高二年上学期期末考综合练习一（数学理科）答案（圆锥曲线）1~6：C B A A D C 7～12：B D D B C D 1．解：化为标准方程：，，故准线为，选C ． 2．解：抛物线标准方程为，其准线方程为，解得 3．解：双曲线的标准方程为，由得，解得4．解：由条件可知渐近线方程为，又焦点在轴，所以双曲线方程可设为，所以，故选A ． 5．解：法一（待定系数法）椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，点在椭圆上，，解得，故选D ． 法二（定义法）：12222a PF PF a =+=+=∴=D ． 6．解：，解得，故选C ．7．解：，直线：代入得212000610,3,122x x x x x y x +-+=∴===-=，故选B ． 8．解：由已知，由椭圆的定义知，，故选D ． 9．解：直线恒过，则在曲线内或曲线上，，故选D ． 10．解：，所以点的轨迹是以为焦点，的椭圆，则，故选B ．11．解：()22222121212*********,,2133b c b c b x x x x x x x x x x a a a a a +=-=-=-∴+=+-=+=+>，故选C ．12．解：可知，如图依次为，，，故选D ．二、13：； 14：； 15：； 16：413．解：设双曲线为 ，把点代入求得，所以． 14．解：设抛物线，把代入求得，所以方程为． 15．解：由得222121212418161cos 2233PF PF c F PF PF PF +--∴∠===⋅⋅ 16．解：设到准线的距离为，由定义，．17．解：（Ⅰ）依题意即 ， …………2分从而抛物线的标准方程为， ……………3分 准线方程为． ……………4分（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线与抛物线无交点……5分则直线斜率必存在，设直线的方程为 ． ……6分 联立方程组,消得， ……………7分（i ）当时，直线为轴，恰与抛物线C 相交且只有一个公共点，符合要求； ……8分 （ii ）当时，直线与抛物线相切，即即 得，……………11分综上可得当 时，直线与抛物线恰有一个公共点． …………12分 18．解：（Ⅰ）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为2的椭圆． ，故曲线的方程为．…………4分（Ⅱ）设，联立有，………5分 则……………6分 且……………7分则()()()()2221212122216344k x x x x x x k+-=+-=+……………8分所以()()()()()22222122216312811254k AB kx x k k +=+-=+⋅=+，整理得 解得，所以．……………12分19．解：（Ⅰ）由条件可设双曲线，即，则222222244,1333k k c a b k k =+=+==∴=，所以双曲线的方程是．…… 4分 （Ⅱ）由得， ………………6分由，得且 ． …………8分 设、，因为以为直径的圆经过原点， 所以，所以 ．又，，所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=，所以 ，解得符合条件．所以……12分20．解：（Ⅰ）如图，由题知,……2分由正方形可得,，……3分∴所求椭圆的方程为． ……4分（Ⅱ）,直线斜率一定存在，记为，则直线的方程为 即联立化简得 记点则，得，代入直线方程得即 222222444(12)244121212k k k OM OQ k k k k -+⋅=⨯+⨯==+++（定值） 21．解：（Ⅰ）由条件知，，方程为…3分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时显然不符合题意；………………4分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 由得 ………………6分 由，得， ……7分== ………………10分令，则（由上可知），1OAB S ∆==≤=（当且仅当即时取等号） 当面积的最大值为………………12分 22．解：（Ⅰ）因为点到点和直线的距离相等，由抛物线定义可知曲线是抛物线，其中是焦点，所以方程为．…3分 （Ⅱ）显然直线，的斜率存在且不等于0， 不妨设的方程为，，， 由得，由韦达定理得：，， ……………5分 因为曲线与交于点,且过焦点， 所以 ， ……………7分同理可得， ……………8分 所以． ……………10分（Ⅲ）若，是过椭圆的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆与交于点,,与交于点,，则． （没有指出定值为扣1分）……14分25487 638F 掏20214 4EF6 件31207 79E7 秧39691 9B0B 鬋37989 9465 鑥 Pi35141 8945 襅{35310 89EE 觮v26742 6876 桶35757 8BAD 训40137 9CC9 鳉。
(完整word版)圆锥曲线专题
圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。
设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。
如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。
a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。
“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜ ＝ 或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。
完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)
完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)高二数学圆锥曲线基础练题（一）1.抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标为（）A．$(1,0)$ B．$(0,1)$ C．$(-1,0)$ D．$(0,-1)$2.双曲线 $mx+y=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）A．$-\frac{1}{2}$ B．$-4$ C．$4$ D．$\frac{1}{4}$3.双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的一个焦点到渐近线距离为3，则双曲线的另一个焦点到渐近线的距离为（）A．$6$ B．$5$ C．$4$ D．$3$4.已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $B$、$C$ 在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，顶点 $A$ 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 $BC$ 边上，则 $\triangleABC$ 的周长是（）A．$23$ B．$6$ C．$43$ D．$12$5.已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 右支上的一点，双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线方程为 $3x-y=0$。
设该点到该渐近线的距离为 $a$，则该点到双曲线的焦点距离为（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4\sqrt{2}$ C．$3\sqrt{2}$ D．$2\sqrt{2}$6.已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F_1$、左焦点为 $F_2$。
若$PF_2=3$，则 $PF_1=$（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4$ C．$3$ D．$2$7.将抛物线 $y=(x-2)^2+1$ 按向量 $a$ 平移，使顶点与原点重合，则向量 $a$ 的坐标是（）A．$(-2,-1)$ B．$(2,1)$ C．$(2,-1)$ D．$(-2,1)$8.已知双曲线的两个焦点为 $F_1(-5,0)$，$F_2(5,0)$，$P$ 是此双曲线上的一点，且 $PF_1\perp PF_2$，$|PF_1|\cdot|PF_2|=2$，则该双曲线的方程是（）A．$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ B．$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ C．$y^2=1-\frac{x^2}{16}$ D．$x^2-\frac{y^2}{9}=1$9.设 $A(x_1,y_1)$，$B(4,0)$，$C(x_2,y_2)$ 是右焦点为$F$ 的椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上三个不同的点，则“$AF,BF,CF$ 成等差数列”是“$x_1+x_2=8$”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件10.已知双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 为此双曲线上一点，且$PF_2=F_1F_2$，则 $\triangle PF_1F_2$ 的面积等于（）A．$24$ B．$36$ C．$48$ D．$96$11.已知点 $P$ 在抛物线 $y=4x$ 上，那么点 $P$ 到点$Q(2,-1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（）A．$(\frac{1}{3},1)$ B．$(-\frac{1}{3},-1)$ C．$(1,2)$ D．$(1,-2)$12.设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 上的一点，若 $2P$ 是该双曲线上的点，则 $P$ 的坐标为（）A．$(\sqrt{2},\sqrt{2})$ B．$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ C．$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ D．$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$1.在第一行加上“已知”，并且将“F1、F2”改为“左、右焦点”，将“ab圆”改为“以线段PF2为直径的圆”，将“双曲线的实轴”改为“实轴”，最后将选项改为“内切、外切或不相切”。
高二数学圆锥曲线习题及答案.docx
（数学选修 1-1 ）第二章圆锥曲线 [ 提高训练 C 组] 及答案一、选择题1．若抛物线y 2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）1 2 1 2 ) 121 2A ．( , 4 )B ．( ,4 C ． (,) D ．(,4)484 4 82．椭圆x 2y 21上一点 P 与椭圆的两个焦点F 1 、 F 2 的连线互相垂直，49 24则△ PF 1F 2 的面积为（）A ． 20B ． 22C ． 28D ． 243．若点 A 的坐标为 (3, 2) ， F 是抛物线 y 2 2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使MFMA 取得最小值的 M 的坐标为（）A ．0,0B ．1 ． 1, 2D ．2,2,1C24．与椭圆x 2 y 2 1共焦点且过点 Q (2,1) 的双曲线方程是（ ）4A ． x 2 y 21 B ．x 2y21 C ． x 2y 21D ． x 2y 21243325．若直线 ykx 2 与双曲线 x 2 y 26 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是（ ）A ．（ 1515 B ．（ 0,15 C ．（15D ．（15 ）3,3 ））,0 ） , 13336．抛物线 y2x 2 上两点 A( x 1 , y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 关于直线yx m 对称，且x 1 x 21，则 m 等于（ ）235A ．B ． 2D ． 32C ．2二、填空题x2y21的焦点 F1、 F2，点P为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时,点P横坐标的取值1．椭圆49范围是。
2．双曲线tx2y2 1 的一条渐近线与直线2x y 1 0 垂直，则这双曲线的离心率为___。
3．若直线y kx2与抛物线 y28x 交于A、B两点，若线段AB 的中点的横坐标是 2 ，则AB ______。
4．若直线y kx1与双曲线 x2y24始终有公共点，则 k 取值范围是。
高二数学圆锥曲线练习题及答案(超经典习题)
京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。
正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。
高二数学—圆锥曲线综合练习一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|→a |=|→b |，→a⊥→b ，且（→a +→b ）⊥（k →a -→b ），则k 的值是( )A ．1B ．-1C ．0D ．-22、已知3a = ，23b = ，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ）A 、150︒B 、120︒C 、60︒D 、30︒ 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=（ ）A 、23B 、223C 、323D 、423 4、已知(1,2)a = ,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x =（ ）A 、－3B 、34-C 、0D 、345．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 ( ）A ．45 B ．25 C ．32D ．456．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82-=B ．y x 82=C ． y x 162-=D ．y x 162=7．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-=F xyABCO8．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍9．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 ( ）A ．422=+y xB ．522=+y xC ．1622=+y xD ．2522=+y x10．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ）A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为（ ）(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D)22154x y -= 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________．14．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．15．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．16．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =- ，1223b e e =-， (1)求a b ⋅ ; (2)求a b + 与a b -的夹角.18 双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点(15,4)，求双曲线的方程19．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积； （2） 求P 点的坐标．（12分）20．已知抛物线x y 42 ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）21、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22、(2010年高考题)设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0<b<1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。
高二文科数第一学期期末复习《圆锥曲线》(含答案)
高二文科数学第一学期期末复习《圆锥曲线》一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．102双曲线1422=-y x 的焦点坐标为（ )A ．)0,3(±B ．)3,0(±C ．)0,5(±D ．)5,0(±3抛物线24y x =的准线方程是( )A .1y =B .1y =- C.116y = D. 116y =-4若R k ∈，则3>k 是方程22133x y k -=-表示双曲线的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要5双曲线22221x y b a-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．236抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于A B C.2 7过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( ) A ．9B ．8C ．7D ．68以椭圆2212449x y +=的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( )A.2212524x y -=B. 2212425x y -=C. 2212524y x -=D. 2212425y x -=9 过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则||AB 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.810竖在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米，相距20米，则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹是（ ） A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11已知双曲线112222=-y ax 的离心率2e = ，则双曲线的焦距为12以双曲线2213y x -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是___________13椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON = .14设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________三、解答题:本大题共6小题，共80分。
高中数学高二圆锥曲线试题
圆锥曲线综合练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为（ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x82= B ．y x82-= C ．y x162= D ．y x162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为 （ ）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy 最大值 （ ）A ．21B ．33C ．23D ．39．过双曲线x 2－22y=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A ．x y 232=B ．x y 32= C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个. 13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .yPO xAB三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点， 且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切， 又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（1）求双曲线C 的方程； （2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）．（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点， ∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方 程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222b y a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：222ba x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分yPO xAB参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321( 14． 25三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aaa a x ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-a y a x ． 又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当y p =2时，x p=8又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以ky y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21bbx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及a x ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a .20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-b y a a x ， 又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PBPD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+by a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。
高二数学圆锥曲线测练题.doc
高二数学圆锥曲线测练题(总分100分)班级 高二（ ）班 姓名 座号 成绩 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡的表内（每小题4分，共40分）。
1．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23 （B ）23（C ）26 （D ）332 2．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23 C ．38 D ．32 3．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （ ）A ．163B ．83C ．316D ．38 4．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615 C ．87 D ．05．抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A 2B 3C 4D 56．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（ ） (A) x y 32±= (B) x y 94±= (C) x y 23±= (D)x y 49±= 7．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A2 B 12C 2 1 8. 椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ） A 15 B 12 C 10 D 89. 以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）（A ）222=-y x （B ）222=-x y（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y10．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8 二、填空题：请把答案填在答题卡的横线上（每小题4分，共16分）.11．抛物线y 2=4x 的准线方程是 ；焦点坐标是 ．12．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是________ __。
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圆锥曲线专项训练一、填空题x 2 y 2 。
y3 x 1．若双曲线1的渐近线方程为16 94222 倍，则 m 等于12. 双曲线 m x y1 的虚轴长是实轴长的 。
43. 设双曲线以椭圆x 2 y 2, 其准线过椭圆的焦点 , 则双曲线的渐近线的斜1的长轴的两个端点为焦点25 91率为。
2y4．如图，在平面直角坐标系x o yB中，已知椭圆x 2 y 2 1(a b0)AFOxa 2b 2的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，5 1第 11 题若 BAOBFO900 ，则椭圆的离心率是。
2225．已知 F 1、 F 2 是椭圆 C : x2y2 1（ a ＞ b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 PF 1PF 2 .a b若 PF 1 F 2 的面积为 9，则 b =______. 36. 已知双曲线 x2y 2 1 的焦点为 F 1、F 2 ，点 M 在双曲线上，且 MF 1 MF 2 0，则点 M 到 x 轴的22 3 距离为。
3x 2 y 27．已知 F 1、F 2 是双曲线 22 1(a 0,b 0) 的两焦点，以线段 F 1、F 2 为边作正三角形 MF 1F 2 ，若 MF 1ab的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 。
3 18．在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k （ k ＞ 0）上任意一点 P ，若点 P 在 x 轴、 y 轴上的x 2 y 2 1（a ＞ 0，b ＞0）上任射影分别为 M 、N ，则 |PM| ?|PN| 必为定值 k ”、类比于此，对于双曲线b 2a 2意一点 P ，类似的命题为： 。
若点 P 在两渐近线上的射影分别为 M 、 N ，则 |PM|?|PN|必为定值a 2b 22 2ab9．已知定点 A 、B 且 |AB|=4 ，动点 P 满足 |PA|－ |PB|=3，则 |PA|的最小值是7 。
210. 已知 F 1 、 F 2 是椭圆x 2+y 2=1 的两个焦点 , P 是该椭圆上的一个动点,则 |PF 1| · |PF 2| 的最大值4是.4[ 解析 ] ：由焦半径公式 |PF 1|= a ex ， |PF 2|= aex|PF 1| · |PF 2|= （ a ex ）（ aex ） = a 2 e 2 x 2 ，则 |PF 1| · |PF 2| 的最大值是 a 2 =4.11. x 2 y 2 1(a 0,b 0) 的左焦点，且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于M 、N过双曲线b 2a 2两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于。
212. 点 P 在椭圆x 2 y 2(x 1)2y 2 1和 (x 1)2 y 2 1上运动，则41上运动， Q 、 R 分别在两圆3PQ PR 的最大值为；最小值为 。
6， 213.若直线 l 过抛物线 yax 2 ( a >0) 的焦点，并且与 y 轴垂直，若 l 被抛物线截得的线段长为4，则a 1=_______14.4 2、3、4、5、6（单位： cm ）的5 根细木棒围成一个三角形用长度分别为 （允许连接， 但不允许折断） ，能够得到的三角形的最大面积为。
6 10我们普遍了解这样一个事实： 在周长一定的 n 边形中， 正 n 边形面积最大。
或许这个东西有点超纲，当 n = 3 时，这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释：设三角形△ ABC 的周长 l 为定值，角 A 、 B 、C 分别对应三边 a 、 b 、 c 。
先固定 B 、C 两点，则 b + c 是定值，这意味这点 A 在 B 、 C 为焦点的椭圆上（去除俩长轴端点） ，当A 为椭圆的短轴端点时， A 到线段 BC 的距离最远，此时△ ABC 为等腰三角形，满足 b = c 。
①假若 a b ，我们再固定A 、C 两点，再次调整点B 的位置。
由 ① 我们知道， a 'c ' 时，△ ABC 面a ' c ' a c a ba '2 2 2 ，即 a ' （ a ， b ）。
或者换句话说，在数轴上，点 a '对应的点被 积最大。
所以： a 、b 分别对应的两个点“夹逼”着。
无论是用代数语言还是几何语言，我们都能得到结论：再次调整后| a ' b '| | a b | 。
②只要类似于①、② 的调整我们可以一直进行，每进行一次，三角形的三边就“接近一次” ，直到三边长最接近。
最接近的情况当然是正三角形。
（以上只是感性理解，并不代表证明。
）按照我们所普遍了解的事实，调整 3 个边尽可能的相等： 7，7， 6 此时三角形面积为：6 10。
二、解答题15. 经过原点的直线 l 与圆 x2 y 2 6x 4y 9 0 相交于两个不同点 A 、 B ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 .解：x 2 y 2 3x 2 y 016. 设椭圆x 2y 2 1(a b 0) 的左，右两个焦点分别为F 1 ， F 2 ，短轴的上端点为 B ，短轴上的两个a 2b 2三等分点为 P ， Q ，且 F 1 PF 2 Q 为正方形．（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在3 2 x 轴上的一个截距为，求此椭圆的方程．4（ 1）由题意知： P(0, b) ，设 F 1 ( c,0)3因为 F 1 PF 2Q 为正方形，所以 cb3即 b 3c ，∴ b 29c 2 ，即 a 2 10c 2 ，10所以离心率 e10（ 2）因为 B （0， 3c ），由几何关系可求得一条切线的斜率为2 2 所以切线方程为 y2 2x 3c ，因为在轴上的截距为 3 2 ，所以 c1 ，4x 2 y 2 1所求椭圆方程为91017. 已知椭圆 C ：x 2y 21 a b 0 的离心率为 1， F 1 、 F 2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，若椭 a 2b 22圆 C 的焦距为 2．⑴求椭圆 C 的方程；⑵设 M 为椭圆上任意一点， 以 M 为圆心， MF 1 为半径作圆 M ，当圆 M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△ MF 1 F 2 面积的最大值．解：⑴因为2c 2 ， 且c1 ， 所 以c 1 ,a ． 所 以 b 2 3．所以椭圆C 的方程为a22x 2 y 26 分41．3⑵设点 M 的坐标为x 0 , y 0 ，则x 02y 02 1 ．4 3因为 F 1 1,0 a 24 ，所以直线 l 的方程为 x4 ． 8 分，c由于圆 M 与 l 由公共点，所以 M 到 l的距离 4x 0 小于或等于圆的半径 R ．因为 R 2MF 12x 0124 2 2y 02 ， 10 分y 02 ，所以 x 0x 0 1即 y 02 10 x 0 15 0 ．又因为 y 023 1 x 02 ，所以 3 3x 02 10x 0 15 0 ．12 分4 4解得4x 0 2 ．14 分3当 x 04y 0 15SMF 1F 2115 15时，，所以 max2．3323318．（本小题满分 16 分）x 2 y 2如图，已知椭圆a 22 1( a b 0) 的 长 轴 为 AB ， 过 点 B 的 直 线 l 与 x 轴 垂 直 ． 直 线b( 2 k )x( 1 k2 y) ( 1 k 2 ) k 0 (所R 经 过 的 定点 恰 好 是椭圆 的 一 个顶 点 , 且 椭 圆的 离 心 率e3 .2（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH x 轴， H 为垂足，延长 HP 到点 Q 使得 HP PQ ，连结 AQ 延长交直线 l 于点 M ， N 为 MB 的中点．试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系．解：（ 1）将 (2 k )x (1 2k) y (1 2k)整理得 ( x 2 y 2)k2x y 1 0x 2y 2 0， 解方程组y1 02x y得直线所经过的定点（ 0， 1），所以 b1．由离心率 e3得 a 2 ．2MQ所以椭圆的标准方程为x 22．P N4y 12（ 2）设 P x 0 , y 0 ，则x 0y 02 1 ．AO HBx4∵ HP PQ ，∴ Q x 0 ,2 y 0 ．∴ OQx 022 y 0 22∴ Q 点在以 O 为圆心， 2 为半径的的圆上．即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上．l又 A2,0 ，∴直线 AQ 的方程为y 2 y 0 x 2 ．x 02令 x8 y 0 ．又 B 2,0， N 为 MB 的中点，∴ N4 y 0．2，得 M 2,2,2x 0 2x 0∴ OQ x 0 ,2 y 0 ， NQx 0 2,2 x 0 y 0．x 02222 x 0 y 0x 0 4 x 0∴ OQ NQ x 0 x 0 2 2 y 0x 0 x 024 x 0 y 0 x 0 x 0 2x 0 2 x 0 2 x 0 2x0 x0 2 x0 2 x0 0 ．∴ OQ NQ ．∴直线 QN 与圆 O 相切．19. （本题满分16 分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M (2, t ) (t 0) 在椭圆的准线上。
（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）求以 OM 为直径且被直线3x 4 y 5 0 截得的弦长为2的圆的方程；解：（ 1）由2b 2 ，得 b 1 1 分又由点 M 在准线上，得a22 2 分c故 1 c2 2 ， c 1 从而 a 2 4 分c所以椭圆方程为x2 y2 1 5 分2（ 2）以 OM为直径的圆的方程为x( x 2) y( y t ) 0即 ( x 1)2 ( y t )2 t 2 1 ，其圆心为 (1,t) ,半径2 4 2t 21 7 分r4因为以 OM 为直径的圆被直线3x 4 y 5 0 截得的弦长为 2所以圆心到直线3x 4 y 5 0 的距离 d r 2 1 t9 分23 2t 5 t，解得 t 4所以5 2所求圆的方程为 ( x 1)2 ( y 2) 2 5 10 分20. 已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在x 坐标轴上，且经过点A(0, 2 3)1 ,离心率为（ 1）求椭圆 P 的方程：2（ 2）是否存在过点E（ 0，－ 4）的直线 l 交椭圆P 于点 R， T，且满足OR OT 16．l 的方程；若不存在，请说明理由．7若存在，求直线解：（ 1）设椭圆 P 的方程为x2 y2 1(a b 0)a 2 b2b=2 3c 12, e＝a 2a22-c 23c 22c, b ＝ a22,a45c ＝4,cPx 2y 21716 122L.,OROT0.L k,R(x 1 , y 1), T( x 2 , y 2 ) .OR OT16 , x 1x 2 y 1 y 216. 877y kx 4由 x 2y 2 得(3 4k 2 ) x 232kx 16 0. 916 12 1由 >0得 ,(-32k)24(3 4k 2) 160解得k 2 1..4x 1 x 232k 2 , x 1 x 216.114k 3 4k 23y 1 y 2 (kx 1 4)(kx 2 4) k 2 x 1 x 24k( x 1 x 2 ) 16. 12故 x 1x 2y 1 y 2 1616k 2128k 2 16 16 21..3 4k 23 4k 23 4k 2. 解得 k7k1.直线 l 的方程为 y=x 4.14故存在直线 l : x y 4 0或 x y 4 0 满足题意 .。