理论力学教案--运动学

第六章 点的运动学第一、二节 矢量法 直角坐标法重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 难点：点的曲线运动的直角坐标法 一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。

也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。

运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。

学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。

其次运动学本身也有独立的应用。

由于物体运动的描述是相对的。

将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。

只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。

时间概念要明确：瞬时和时间间隔。

运动学所研究的力学模型为：点和刚体。

二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。

点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。

点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。

当轨迹为圆时称为圆周运动。

表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。

本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。

三﹑矢量法1、点的运动方程如图，动点M 沿其轨迹运动，在瞬时t ，M 点在图示位置。

由参考点O 向动点M 作一矢量 r =OM ，则称 r为矢径。

于是动点矢径形式的运动方程为显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。

用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。

2、点的速度)(t r r )()(t r t t r r M M如图，动点M 在时间间隔 △t 内的位移为则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向，称为点的平均速度。

当 △t →0时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的速度。

即即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。

方向沿轨迹的切线方向。

3、点的加速度如图，动点M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 v v v则t v a表示动点的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度。

当△t →0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。

即r v dtv d t v a a t t00lim lim即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。

四、直角坐标法 1、点的运动方程At r vr dtr d t r v v t t00lim lim如图，在参考体上建立直角坐标系。

则 )(1t f x )(2t f y )(3t f z 这就是直角坐标形式的点的运动方程。

由运动方程消去时间t 可得两个柱面方程：0),(1 y x F 0),(2 z y F这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。

2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知，动点的矢径为 将上式两边对时间求导，可得 将动点的速度表示为解析形式，则有比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影x dt dx v xy dt dy v y z dtdzv z 这就是用直角坐标法表示的点的速度。

即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。

3、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为 222zy x vkz j y i x r kdtdz j dt dy i dt dx dt r d vk v j v i v v z y x其方向余弦为v z k v v y j v v xi v ),cos(),cos(),cos(4、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则k dtdv j dt dv i dt dv k dt z d j dt y d i dt x d a z y x 222222将动点的加速度表示为解析形式，则有 k a j a i a a z y x比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影x dt x d dt dv a x x 22 y dt y d dt dv a y y 22 z dtzd dt dv a z z 22这就是用直角坐标法表示的点的加速度。

即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。

若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222z y x a a a a z y x 其方向余弦为a z k a a y j a a x i a ),cos(),cos(),cos(例1、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。

求小环M 的运动方程、速度和加速度。

解：建立如图所示的直角坐标。

则2cos 2sin R y R x即t R y tR x 2cos 2sin即为小环M 的运动方程。

t R xv x 2cos 2 t R y v y 2sin 2 故M 点的速度大小为 R v v v y x 222其方向余弦为 2cos ),cos(vv i v x2sin ),cos( v v j v yx t R v a x x 2242sin 4y t R v a y y 2242cos 4故M 点的加速度大小为 2224 R a a a y x且有 r j y i x j y i x a 22224)(444加速度的方向如图。

例2、半径为R 的圆轮在地上沿直线匀速滚动，已知轮心的速度为C v 试求轮缘上一点M 的运动方程﹑轨迹﹑速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）解：建立直角坐标如图，0 t 时M 点位于O 点M 点的运动方程： sin R OP x 其中vt OP ，t Rv c即tR vR R y t R v R t v x C C C cos sin 轨迹为摆线（可演示轮子运动时，M 点的轨迹画出来） 速度：t R v v v xv C C C x cos t Rvv yv C C y sin 2sin 22sin 222C C C yx v t R v v v v v 2cos ,cos v v y v y 可知 PM v（如图） 当n 2 ,2,1,0 n 时， 即M 点接触地时 0 v加速度：t Rv R v x a CC x sint R v R v y a C C y cos 2R v a a a C yx 222 cos cos ,cos t Rv y a C即M 点的加速度大小为常量，方向恒指向轮心C本章介绍研究动点运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。

点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线成为点的运动轨迹。

点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。

当轨迹为圆时称为圆周运动。

点作运动就是点的位置随时间变化。

表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程，本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。

第三节 自然法重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。

难点：矢量求导及自然轴系的概念。

自然坐标法 1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O 点，规定“+”，“-”M 点位置确定：弧坐标S设动点M 的运动轨迹如图。

当动点运动时，弧坐标随时间t 连续变化，且为时间t 的单值连续函数，即)(t f s这就是自然坐标形式的点的运动方程。

2、曲率和曲率半径图示空间曲线， 表明曲线在弧长M M s 内弯曲的程度。

(sk称为M M s 的平均曲率。

当M ′点趋近于M 点时，平均曲率的极限值就是曲线在M 点的曲率，即sk s 0limM 点曲率的倒数称为曲线在M 点的曲率半径，即s k 0lim 1 3、自然轴系如图。

由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。

且三个单位矢量满足右手法则，即n b自然轴系不是固定的坐标系。

4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法 dsrd dt ds ds ds dt r d dt r d v由于ds r d v t sdt ds t 0lim ，所以 dtds v v 即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s 对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当dtds 为正时指向与相同，反之，与 相反。

)()5、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法 dtd vdt dv v dt d dt v d a)( 由于n v dt d， 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量a 是由两个分矢量组成：分矢量dtdv a的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 n v a n2的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。

加速度在三个自然轴上的投影为s dtsd dt dv a 22 2v a n 0 b a全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(v dt dv a a a n方向余弦为 a a a),cos(aa n a n ),cos( 例1、在曲柄摇杆机构中，曲柄OA 与水平线夹角的变化规律为24t，设cm O O OA 101 ，cm B O 241 ，求M 点的运动方程和s t 1 时M 点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将B 点的轨迹画出来）解法1 自然坐标法B 点的运动方程 s 2324t B B D速度 t s v 6加速度 6 s a23243622222t t sa n4时s t 1 6 v 6 a 232n a 解法2 直角坐标法（坐标建立如图）O jB 点的运动方程：218cos 242cos24cos t B O x B218sin24sin t B O y B速度：t t x v B Bx28sin6t t y v BBy28cos 6 加速度：22228cos 238sin 6t t t x a BBx22228sin 238cos6t t t y a B By s t 1 时 8sin6Bx v 8cos 6Byv j i v8cos 68sin 68cos 238sin 62Bxa 8sin 238cos 62By a j a i a a Bx Bx例2、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。

求小环M 的运动方程、速度和加速度。

解：建立如图所示的自然坐标。

则点的自然坐标形式的运动方程为t R R s 2)2(速度为 R dtdsv 2加速度为 0 dtdva 2224)2( R R R v a n 例3、一点作平面曲线运动，其速度在x 轴上的投影始终为一常数C 。

试证明在此情形下，点的加速度的大小为C v a 3。