理论力学教案--运动学

第六章 点的运动学

第一、二节 矢量法 直角坐标法

重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 难点：点的曲线运动的直角坐标法 一、运动学引言

运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。

学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。 二、点的运动学

本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。

点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。

本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。 三﹑矢量法

1、点的运动方程

如图，动点M 沿其轨迹运动，在瞬时t ，M 点在图示位置。 由参考点O 向动点M 作一矢量 r =OM ，则称 r

为矢径。 于是动点矢径形式的运动方程为

显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。

用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。

2、点的速度

)

(t r r )

()(t r t t r r M M

如图，动点M 在时间间隔 △t 内的位移为

则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向，称

为点的平均速度。

当 △t →0时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的速度。即

即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。

3、点的加速度

如图，动点M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 v v v

则t v a

表示动点的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度。

当△t →0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。即

r v dt

v d t v a a t t

00lim lim

即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 四、直角坐标法 1、点的运动方程

A

t r v

r dt

r d t r v v t t

00lim lim

如图，在参考体上建立直角坐标系。则 )(1t f x )(2t f y )(3t f z 这就是直角坐标形式的点的运动方程。

由运动方程消去时间t 可得两个柱面方程：

0),(1 y x F 0),(2 z y F

这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。 2

、点的速度在直角坐标轴上的投影

由图可知，动点的矢径为 将上式两边对时间求导，可得 将动点的速度表示为解析形式，则有

比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影

x dt dx v x

y dt dy v y z dt

dz

v z 这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。

3、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为 2

22z

y x v

k

z j y i x r k

dt

dz j dt dy i dt dx dt r d v

k v j v i v v z y x

其方向余弦为

v z k v v y j v v x

i v ),cos(),cos(),cos(

4、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则

k dt

dv j dt dv i dt dv k dt z d j dt y d i dt x d a z y x 222222

将动点的加速度表示为解析形式，则有 k a j a i a a z y x

比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影

x dt x d dt dv a x x 22 y dt y d dt dv a y y 22 z dt

z

d dt dv a z z 22

这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。 若已知加速度的投影，则加速度的大小为

2

22222z y x a a a a z y x 其方向余弦为

a z k a a y j a a x i a ),cos(),cos(),cos(

例1、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。求小环M 的运动方程、速度和加速度。

解：建立如图所示的直角坐标。则

2cos 2sin R y R x

即

t R y t

R x 2cos 2sin

即为小环M 的运动方程。

t R x

v x 2cos 2 t R y v y 2sin 2 故M 点的速度大小为 R v v v y x 22

2

其方向余弦为 2cos ),cos(

v

v i v x

2sin ),cos( v v j v y

x t R v a x x 2

242sin 4

y t R v a y y 2242cos 4

故M 点的加速度大小为 22

24 R a a a y x

且有 r j y i x j y i x a 22224)(444

加速度的方向如图。

例2、半径为R 的圆轮在地上沿直线匀速滚动，已知轮心的速度为C v 试求轮缘上一点M 的运动方程﹑轨迹﹑速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）

解：建立直角坐标如图，0 t 时M 点位于O 点

M 点的运动方程： sin R OP x 其中vt OP ，t R

v c

即

t

R v

R R y t R v R t v x C C C cos sin 轨迹为摆线（可演示轮子运动时，M 点的轨迹画出来） 速度：t R v v v x

v C C C x cos t R

v

v y

v C C y sin 2

sin 22sin 22

2

C C C y

x v t R v v v v v 2cos ,cos v v y v y 可知 PM v

（如图） 当n 2 ,2,1,0 n 时， 即M 点接触地时 0 v

加速度：t R

v R v x a C

C x sin

t R v R v y a C C y cos 2

R v a a a C y

x 2

2

2 cos cos ,cos t R

v y a C

即M 点的加速度大小为常量，方向恒指向轮心C

本章介绍研究动点运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线成为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。点作运动就是点的位置随时间变化。表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程，本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。

第三节 自然法

重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。 难点：矢量求导及自然轴系的概念。 自然坐标法 1、运动方程

前提：点的轨迹已知

显示火车沿轨迹行驶的一段动画

弧坐标的建立：在轨迹上确定O 点，规定“+”，“-”

M 点位置确定：弧坐标S

设动点M 的运动轨迹如图。

当动点运动时，弧坐标随时间t 连续变化，且为时间t 的单值连续函数，即

)(t f s

这就是自然坐标形式的点的运动方程。

2、曲率和曲率半径

图示空间曲线， 表明曲线在弧长M M s 内弯曲的程度。

(

s

k

称为M M s 的平均曲率。

当M ′点趋近于M 点时，平均曲率的极限值就是曲线在M 点的曲率，即

s

k s 0lim

M 点曲率的倒数称为曲线在M 点的曲率半径，即

s k 0lim 1 3、自然轴系

如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即

n b

自然轴系不是固定的坐标系。 4、用自然法表示点的速度

由点的速度的矢径法 ds

r

d dt ds ds ds dt r d dt r d v

由于

ds r d v t s

dt ds t 0lim ，所以 dt

ds v v 即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s 对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当dt

ds 为正时指向与

相同，反之，与 相反。

)

(

)

5、用自然法表示点的加速度

由点的加速度的矢径法 dt

d v

dt dv v dt d dt v d a

)( 由于

n v dt d

， 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量a 是由两个分矢量组成：分矢量

dt

dv a

的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 n v a n

2

的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。

加速度在三个自然轴上的投影为

s dt

s

d dt dv a 22 2v a n 0 b a

全加速度位于密切面内，其大小为

2

222

2

)()(

v dt dv a a a n

方向余弦为 a a a

),cos(

a

a n a n ),cos( 例1、在曲柄摇杆机构中，曲柄OA 与水平线夹角的变化规律为24

t

，设cm O O OA 101 ，

cm B O 241 ，求M 点的运动方程和s t 1 时M 点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将B 点

的轨迹画出来）

解法1 自然坐标法

B 点的运动方程 s 2

324t B B D

速度 t s v 6

加速度 6 s a

2

324362

2222t t s

a n

4

时s t 1 6 v 6 a 232

n a 解法2 直角坐标法（坐标建立如图）

O j

B 点的运动方程：

218cos 242cos

24cos t B O x B

218

sin

24sin t B O y B

速度：t t x v B Bx

28sin

6

t t y v B

By

28cos 6 加速度：2

222

8

cos 238sin 6t t t x a B

Bx

2

2228sin 238cos

6t t t y a B By s t 1 时 8

sin

6

Bx v 8cos 6

By

v j i v

8

cos 68sin 6

8cos 238sin 62

Bx

a 8

sin 238cos 62

By a j a i a a Bx Bx

例2、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。求小环M 的运动方程、速度和加速度。

解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为

t R R s 2)2(

速度为 R dt

ds

v 2

加速度为 0 dt

dv

a 2224)2( R R R v a n 例3、一点作平面曲线运动，其速度在x 轴上的投影始终为一常数C 。试证明在此情形下，点的加速

度的大小为

C v a 3

。其中v 为点的速度的大小，ρ为轨迹的曲率半径。

证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得

C v cos （1）

由于速度在x 轴上的投影始终为一常数，所以 0 x a 由于 0sin cos n x a a a 所以 tg a a n

于是可得

cos 122

2n

n n a tg a a a a

由于 2

v a n ，所以 cos 2

v a

将（1）式代入上式得

C v a 3

证毕。

本章介绍了描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法。矢量法在理论上概括性强，分析方法直接明了，但在求解具体的力学问题时，需把矢量运算变换为标量运算的形式，因而将速度和加速度表示为投影的形式。在运动轨迹不知的情况下，采用直角坐标法比较方便。但其缺点是对运动规律的分析不太直观。当轨迹已知时，可采用自然坐标法。自然法比较直观，而且运算时速度的大小变化率与方向变化率是分开来计算的。直角坐标法与自然法在求解力学问题时用得较多。但矢量法是这两种方法的理论基础。

第七章 刚体的简单运动

第一、二、三节 刚体的平动、定轴转动及转动刚体内各点的

速度和加速度

重点：刚体平动及其运动特征,刚体的定轴转动，转动方程、角速度和角加速度 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。 难点：定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。

研究刚体运动时：首先要了解每种运动形式的特征，并研究整个刚体的描述方法，然后再研究刚体上各点的运动。 一、刚体平动

先看几个实例：

实例1 汽车沿直线行驶时车身的运动；

实例2 推拉窗户的运动； 实例3 游乐车车厢的运动；

1．定义：刚体运动时，其上任一直线始终与原位置平行。

A

B

A

B O

A

r B

r

2．特征分析

运动方程r r A B

是常矢量 轨迹：形状相同

速度：r r A

B ，0 A B v v

加速度：A B r r ，B A a a

结论：研究刚体的平动，可归结为研究其上任一点的运动。

3．平动分类

直线平动，其上各点轨迹均为直线

曲线平动，其上各点的轨迹为曲线

D

1

O 2

O

演示机构运动 21O O AB 、AB //21O O ， 角不变并画出A 、B 、C 点的轨迹，以3O 为圆心

A O C O 13 为半径的圆

二．刚体定轴转动

实例分析

实例1 门绕其转动的轴转动 实例2 风车上的叶片绕其转轴转动

1、定义：刚体运动时，其上有一直线始终保持不动，其余各点均作圆周运动。 1、 整体运动描述

位置确定：转角

转动方程： t 单值连续函数 角速度：s rad dt

d t

t

lim 0

角加速度：20

lim s rad dt d t t

、 均为代数量，其正﹑负号表示刚体的转向，从轴正向往负向看逆时针为正，顺时针为负。

开始 平面与0 平面重合0 ，然后刚体转动至图示位置，画出转角

特例：（1）若0 ， 常量，称为匀速转动，此时t 0，0 是0 t 时的转角 （2）若 常量，称为匀变速转动，此时t 0，2

002

1t t ，

0 、0 是0 t 时的转角和角速度

三、转动刚体上各点运动分析 自然坐标法

运动方程： R M M s 0

速度： R s v ，R v

指向如图所示。半径上各点速度分布如图

M

加速度：切向加速度 R s a

，R a

，指向如图所示

M

法向加速度22

R s

a n

,

方向0 M ，422

2

R a a a n ,2tan

n a a 任一半径上各点加速度分布如图。

例1、荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示，钢索长为l ，长度单位为m ，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为t 6

sin

2

，其中t 以s 计，试求当0 t 和1 t 时荡木中点M 的速度，加速度。

解：运动分析：A O 1 //B O 2，B O A O 21 荡木作平动，M 点与A 点的运动相同 研究钢索A O 1，当钢索拉紧时，就相当于刚性杆绕转轴1O 转动

t 6

cos

12

2

t 6

sin

72

3

当s t 0 时 12

2

0 ,0

l v v A M 12

2

A M a a l a n

M 144

4

方向如图

当s t 1 时 4

,2432 ,1443

l v v A M

2432 ,l a a A M 144

3

l a a n

A n

M 192

43

方向如图

在上章研究点的运动的基础上，本章转入对刚体运动的研究。刚体的运动形式很多，但刚体的平动和定轴转动是两种最基本、最简单的运动形式。刚体的其他形式的运动，都可以看作上述两种运动的合成。将刚体其他形式的运动称为刚体的复杂运动。刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础，因此称这两种运动为刚体的基本运动。

第四节 轮系的传动比

第五节 以矢量表示角速度和角加速度

以矢积表示点的速度和加速度

重点：用矢积表示刚体上一点的速度与加速度。 难点：用矢积表示刚体上一点的速度与加速度。

1、角速度﹑角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示 1）有限转动不是矢量，无限转动是矢量

描述转动刚体位置的转角虽然有三个要素：转轴在空间的方位，转角的大小和转角的转动方向，但实践证明转角不能用矢量表示。如图所示 原来位置

先绕x 轴正向转90 后绕z 轴正向转90 先绕y 轴正向转90 后绕x 轴正向绕90

但无限转动可用矢量表示，即x z z x

(证明略） 2）角速度﹑角加速度的矢量表示，

角速度矢量

的表示：方位沿转轴，大小等于角速度的绝对值 ，指向由右手定则定，它表示角速度的转向，如图

z

z

如以k 表示沿转轴的单位矢量，则k 式中 为

在转轴上的投影是代数量，角加速度为k k dt

d dt d

即角加速度矢量 也沿转轴，表示方法

与类似，如图所示。 1） 各点速度﹑加速度的矢量表示

在转轴上任取一点O ，向点M 引矢径r

如图

r

v

r

1

O M

R O

r

1O M

O

r

a n a

1O v

v

M 点的速度可表示为r v

a

证明：R r r sin

r

的方向垂直于 ，r 确定的平面即垂直于转动半径R ，指向

用右手定则判定，与自然法分析的分析的速度方向一致，所以式 a 成立。

由第七章点的运动学知：v dt

r d

所以可得出r dt

r d

b

式 b 表示了大小不变，只是方向变化的矢量r

的导数公式，由此，可得出泊桑公式：i dt i d

，j dt

j d

，k dt k d 其中i ，j

，k 是固连于转动刚体上的三个单位矢量。

将式对时间求一次导数，可得加速度公式，即v r a

其中 a r 切线加速度，n a v

法向加速度 2、轮系的传动比

在机械工程中，常常把主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比，用附有角标的符号表示

2

1

12

i （1）由齿轮的节圆半径1r 、2r 或齿轮的齿数1z 、2z ，齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成反比），可表示为2

1

212112z z r r i

d

几点说明：

1）式的定义的传动比是两个角速度大小的比值，与转动方向无关，因此不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于传动轴成任意角度的圆锥齿轮传动﹑摩擦轮传动或不计厚度的皮带轮的传动。

2）有时为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值。 2

1212112z z

r r i

e 式中正号表示主动轮与从动轮转向相同（内啮合）如图8.21 b ，负号表示转向相反（外啮合）如图 a 例1、齿轮传动是常见的轮系传动方式之一，可用来提高或降低转速，可用来改变转向。两齿轮外啮合时，其转向相反图 a ；而内啮合时，其转向相同（图 b ）。设齿轮1和齿轮2的节圆半径分别为

1r 和2r ，齿轮1的角速度1 和角加速度分别为1 ，求齿轮的角速度2 和角加速度2 ?

解 两齿轮啮合时，由于两节圆的接触点1M 、2M 间无相对滑动，故21v v 并且速度方向也相同，即 11r v ， 22r v 有 21r r a 将 a 式对时间求一次导数， 有

21r r

从式 a 和 b ，可得到齿轮2的角速度和角加速度

1212 r r

，12

12 r r

例2、减速箱由四个齿轮构成如图所示。齿轮Ⅱ和安装Ⅲ在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为361 z ，1122 z ，1283 z 。如主动轴Ⅰ的转速min

14501r

n ，试求从动轮Ⅳ的转速

4n ？

解：用1n 、2n 、3n 和4n 分别表示各齿轮的转速，于是有32n n ，应用上例中的式 e ，有

122112z z n n i

，3

44334z z

n n i 于是有3

14

2214321341214z z z z n n n n n n i i i 代入数值得4.1232

36128

11214

i （正值说明轮Ⅳ与轮Ⅰ转向相同）

从动轮Ⅳ的角速度为-min 1174

.1214501214r i n n

若n 级传动，有k 对外啮合齿轮 n k ， 则

各级主动轮齿数连乘积

各级从动轮齿数连乘积134121 i i i n

齿轮传动是常见的轮系传动方式之一，可用来提高或降低转速，可用来改变转向。

轮系的传动比 2

1212112z z

r r i

若n 级传动，有k 对外啮合齿轮 n k ， 则

各级主动轮齿数连乘积

各级从动轮齿数连乘积

134121 i i i n