运筹优化问题及算法
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实 例: 边赋权图G=（V，E，w) 可行解: 通过G中所有边的圈
（未必是简单的） 目 标：极小化圈上所有边的权和.
4.中国邮路问题 算 法： Edmonds, Johnson 1973
i) 设 G的奇点为v1,v2,,v2k , 构造 完全图H , V(H) {v1,v2,,v2k} , 边 viv j上的权为G 中
问题：给定平面上若干个点，如何将它 们连接起来使得连线长度最短？
解的结构： 该问题的解一定有树的结构 (Steiner树)，而且可能会引入一 些新的点( Steiner 点)
例：
Leabharlann Baidu
经典最小Steiner树问题
定理（M. R. Garey et al, 1979）最小Steiner树 问题是NP-难解的.
1. (修改临时标号）对所有 的v Si , l(v) minl(v),l(ui ) w(ui )v
2. l(ui1) min l(v) : v Si
3.If ui1 t, stop，else i i 1, go to step 1.
图与网络中的传统优化问题 1.最短路问题：Dijkstra算法
实 例: 边赋权图G=(V,E,w) 可行解: G中的边独立集M 目 标：极小化M上所有边的权和. 算 法： Edmonds 1965
图与网络中的传统优化问题 4.中国邮路问题
中国邮路问题：管梅谷 1960 一个邮递员送信时，要走遍他所负责的 每条街道，完成送信任务后回到邮局. 他 应按什么样的路线走，使走的总里程最短?
图与网络中的传统优化问题 2.最小支撑树问题
应用背景：交通网的设 计 实 例: 连通的边赋权图G = (V, E, w), 可行解 : G中所有支撑树T 目 标：极小化T上所有边的权和. 算 法：Greedy Algorithm (贪婪算法) 破圈法 ，避圈法
2.最小支撑树问题----破圈法 (Rosenstiehl 1967)
图论的起源： Konigsberg 七桥问 题
七桥问题：能否从某块陆地出发，经过每 座桥一次且仅一次，最后回到原出发地？
Euler：陆地→点 ，两点间的桥梁→线 七桥问题→图中Euler圈问题。
图与网络
图：有序对（V，E），V：顶点集，E： 边集。
赋权图G=（V，E，w), w: E→R+ 点→人，边→两个人相互认识 点→球队，有向边(x,y)→x胜y 点→城市，边→城市间的道路，w(e)→
i) G(0) G, k 0 ii) 若 G(k)不含圈， 则G(k)为G 的最小
支撑树，否则设 C（k）为 任意一个圈, 取 C（k）上最大权边ek ， 令 G(k1) G(k) ek iii) k k 1,转ii).,
2.最小支撑树问题----避圈法 (Rosenstiehl 1967)
网络优化问题及算法简介
胡智全 华中师范大学数学与统计学学院
Hu_zhiq@yahoo.com.cn
.
数学建模题目类型： B. 运筹学
1994 B 1998 B 2000 B 2001 B 2003 B 2007 B 2008 ?
锁具装箱 灾情巡视路线 钢管订购和运输 公交车调度 露天矿生产的车辆安排 乘公交，看奥运 汶川地震
定理（J. B. Kruskal, 1956; R. C. Prim, 1967） 最小生成树问题是多项式时间内可解的.
定理（D.-Z. Du et al, 1979）最小生成树与
最小Steiner树权重之比不超过 2 3
通讯网络中的优化问题；
2.网络上的Steiner树问题
实 例: 边赋权图G=(V,E,w)和顶点集合的一个子集S. 可行解: 连接集合S上所有顶点的树T (Steiner树). 目 标：极小化树T上所有边的权和. 应用背景：在通讯服务中经常需要把信息从一个源点
(欧氏距离下) 1.5 近似算法
5.货郎问题： (欧氏距离下) 1.5 近似算法
Find a MST of G. Say T . Find a minimum cost perfect Matching
M, on the set of odd-degree vertices of G. Add M to T and obtain an Eulerian
道路e的长度，修建道路e的费用等。
图与网络中的传统优化问题
1. 最短路问题
实 例: 边赋权图G=(V,E,w),点s,t∈V 可行解: G中所有s-t路 目 标：极小化路上所有边的权和. 算 法： Dijkstra 1959
0. u0 s, S0 {u0}, l(u0 ) 0， p(u0 ) 0，l(v) ,v u0
graph M∪T. Let μ be its Euler-tour
Output the tour that visit the vertices of G in the order of their first pearance
in μ.
例： 123453261 1234561
通讯网络中的优化问题 1.经典最小Steiner树问题
i) G(0) (V， ),k 0
ii) 若 G(k)连通，则G(k)为G 的最小 支撑树，否则设 G1(k ) ,G2(k )为 G(k) 的不同连通分图,ek 为连接它们 的最小权边,令 G(k1) G(k) ek
iii) k k 1,转ii).,
图与网络中的传统优化问题 3. 最大匹配问题
货郎问题：一个推销员要到若干个城市推销货 物，然后回到出发点. 他应该如何选择旅行路 线，使每个城市通过一次且仅一次，并且总的 里程最短?
实 例: 边赋权图G=(V,E,w) 可行解: 通过G中所有顶点一次且仅一次的圈 目 标：极小化圈上所有边的权和.
近似算法：两边交换算法、三边交换算法、
连结 vi与v j 的最短路的权.
ii) 在H 中求权和最小的完美匹配M {e1,e2,,ek}.
iii)
对j
1,2,,
k
,
设
P j是
G中连接
e
的 两个端点的
j
k
最短路. 令E* E(Pj ) , 则过E E *的Euler圈
j 1
即为中国邮路问题的解.
图与网络中的传统优化问题 5.货郎问题
（未必是简单的） 目 标：极小化圈上所有边的权和.
4.中国邮路问题 算 法： Edmonds, Johnson 1973
i) 设 G的奇点为v1,v2,,v2k , 构造 完全图H , V(H) {v1,v2,,v2k} , 边 viv j上的权为G 中
问题：给定平面上若干个点，如何将它 们连接起来使得连线长度最短？
解的结构： 该问题的解一定有树的结构 (Steiner树)，而且可能会引入一 些新的点( Steiner 点)
例：
Leabharlann Baidu
经典最小Steiner树问题
定理（M. R. Garey et al, 1979）最小Steiner树 问题是NP-难解的.
1. (修改临时标号）对所有 的v Si , l(v) minl(v),l(ui ) w(ui )v
2. l(ui1) min l(v) : v Si
3.If ui1 t, stop，else i i 1, go to step 1.
图与网络中的传统优化问题 1.最短路问题：Dijkstra算法
实 例: 边赋权图G=(V,E,w) 可行解: G中的边独立集M 目 标：极小化M上所有边的权和. 算 法： Edmonds 1965
图与网络中的传统优化问题 4.中国邮路问题
中国邮路问题：管梅谷 1960 一个邮递员送信时，要走遍他所负责的 每条街道，完成送信任务后回到邮局. 他 应按什么样的路线走，使走的总里程最短?
图与网络中的传统优化问题 2.最小支撑树问题
应用背景：交通网的设 计 实 例: 连通的边赋权图G = (V, E, w), 可行解 : G中所有支撑树T 目 标：极小化T上所有边的权和. 算 法：Greedy Algorithm (贪婪算法) 破圈法 ，避圈法
2.最小支撑树问题----破圈法 (Rosenstiehl 1967)
图论的起源： Konigsberg 七桥问 题
七桥问题：能否从某块陆地出发，经过每 座桥一次且仅一次，最后回到原出发地？
Euler：陆地→点 ，两点间的桥梁→线 七桥问题→图中Euler圈问题。
图与网络
图：有序对（V，E），V：顶点集，E： 边集。
赋权图G=（V，E，w), w: E→R+ 点→人，边→两个人相互认识 点→球队，有向边(x,y)→x胜y 点→城市，边→城市间的道路，w(e)→
i) G(0) G, k 0 ii) 若 G(k)不含圈， 则G(k)为G 的最小
支撑树，否则设 C（k）为 任意一个圈, 取 C（k）上最大权边ek ， 令 G(k1) G(k) ek iii) k k 1,转ii).,
2.最小支撑树问题----避圈法 (Rosenstiehl 1967)
网络优化问题及算法简介
胡智全 华中师范大学数学与统计学学院
Hu_zhiq@yahoo.com.cn
.
数学建模题目类型： B. 运筹学
1994 B 1998 B 2000 B 2001 B 2003 B 2007 B 2008 ?
锁具装箱 灾情巡视路线 钢管订购和运输 公交车调度 露天矿生产的车辆安排 乘公交，看奥运 汶川地震
定理（J. B. Kruskal, 1956; R. C. Prim, 1967） 最小生成树问题是多项式时间内可解的.
定理（D.-Z. Du et al, 1979）最小生成树与
最小Steiner树权重之比不超过 2 3
通讯网络中的优化问题；
2.网络上的Steiner树问题
实 例: 边赋权图G=(V,E,w)和顶点集合的一个子集S. 可行解: 连接集合S上所有顶点的树T (Steiner树). 目 标：极小化树T上所有边的权和. 应用背景：在通讯服务中经常需要把信息从一个源点
(欧氏距离下) 1.5 近似算法
5.货郎问题： (欧氏距离下) 1.5 近似算法
Find a MST of G. Say T . Find a minimum cost perfect Matching
M, on the set of odd-degree vertices of G. Add M to T and obtain an Eulerian
道路e的长度，修建道路e的费用等。
图与网络中的传统优化问题
1. 最短路问题
实 例: 边赋权图G=(V,E,w),点s,t∈V 可行解: G中所有s-t路 目 标：极小化路上所有边的权和. 算 法： Dijkstra 1959
0. u0 s, S0 {u0}, l(u0 ) 0， p(u0 ) 0，l(v) ,v u0
graph M∪T. Let μ be its Euler-tour
Output the tour that visit the vertices of G in the order of their first pearance
in μ.
例： 123453261 1234561
通讯网络中的优化问题 1.经典最小Steiner树问题
i) G(0) (V， ),k 0
ii) 若 G(k)连通，则G(k)为G 的最小 支撑树，否则设 G1(k ) ,G2(k )为 G(k) 的不同连通分图,ek 为连接它们 的最小权边,令 G(k1) G(k) ek
iii) k k 1,转ii).,
图与网络中的传统优化问题 3. 最大匹配问题
货郎问题：一个推销员要到若干个城市推销货 物，然后回到出发点. 他应该如何选择旅行路 线，使每个城市通过一次且仅一次，并且总的 里程最短?
实 例: 边赋权图G=(V,E,w) 可行解: 通过G中所有顶点一次且仅一次的圈 目 标：极小化圈上所有边的权和.
近似算法：两边交换算法、三边交换算法、
连结 vi与v j 的最短路的权.
ii) 在H 中求权和最小的完美匹配M {e1,e2,,ek}.
iii)
对j
1,2,,
k
,
设
P j是
G中连接
e
的 两个端点的
j
k
最短路. 令E* E(Pj ) , 则过E E *的Euler圈
j 1
即为中国邮路问题的解.
图与网络中的传统优化问题 5.货郎问题