因动点产生的等腰三角形答案

1.1因动点产生的等腰三角形答案

1．如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ 是等腰三角形？

分析：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，根据等腰三角形得出方程12﹣2x=x，求出方程的解即可．

解答：解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，

∴∠B=90°，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴BP=BQ，

∴12﹣2x=x，

解得：x=4，

即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．

点评：本题考查了矩形性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程．

2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，

且MC=8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P有几个？并求出相应等腰三角形的腰长．

分析：连接DM，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：PM=CM或CM=PM，然后根据勾股定理进行分析计算．

解答：

解：根据已知得AD∥BM，AD=BM=6，则四边形ABDM是平行四边形．

又∠ABC=90°，根据勾股定理，得CD=10．

①作CM的中垂线交CD于P，则△PMC是等腰三角形，此时，

CP=5；

②当CP=CM=8时，△PMC是等腰三角形；

③当点P在AD上，DP=2时，CM=PM=8；

④当点P在AB上，BP=2时，CM=PM=8；

故有四个．

3．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．

（1）点A坐标是（﹣8，0），点B的坐标（0，6），BC=10．

（2）当点P在什么位置时，△ APQ≌△ CBP，说明理由．

（3）当△ PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．

分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．

（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．

解答：

解：（1）∵y=x+6

∴当x=0时，y=6，

当y=0时，x=﹣8，

即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），

∵C点与A点关于y轴对称，

∴C的坐标是（8，0），

∴OA=8，OC=8，OB=6，

由勾股定理得：BC==10，

（2）当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP，

理由是：∵OA=8，P（2，0），

∴AP=8+2=10=BP，

∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，

∴∠AQP=∠BPC，

∵A和C关于y轴对称，

∴∠BAO=∠BCP，

在△ APQ和△ CBP中，

，

∴△ APQ≌△ CBP（AAS），

∴当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP．

（3）分为三种情况：

①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，

∴PB=PQ，

即此时P的坐标是（2，0）；

②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，

∵∠BAO=∠BPQ，

∴∠BAO=∠BQP，

而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，

∴此种情况不存在；

③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，

即BP=AP，

设此时P的坐标是（x，0），

∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，

∴（x+8）2=x2+62，

解得：x=﹣，

即此时P的坐标是（﹣，0）．

∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．故答案为：（﹣8，0），（0，6），10．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．

4．（2010•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与交于点A，分别交

x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．

（1）求点A的坐标．

（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．

（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．

分析：

（1）利用直线y=x+1与交于点A，直接联立函数解析式求出即可；

（2）当△ CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD1=D1C时，当BC=BD2时，当CD3=BC分别得出即可；

（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．

解答：

解：（1）由题意，得：，

解得：，

∴点A的坐标为（，）．

（2）当△ CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．

在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，

∴x=﹣1，点B的坐标为（﹣1，0）．

在y=﹣+3中，当y=0时，﹣x+3=0，

∴x=4，

点C的坐标为（4，0）．

∴BC=5．

①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．

∴BM1=，OM1=﹣1=，x=，

∴y=﹣×+3=，点D1的坐标为（，）．

②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则

D2M22+M2B2=D2B2．

∵M2B=﹣x﹣1，D2M2=﹣x+3，D2B=5，

∴（﹣x﹣1）2+（﹣x+3）2=52，

解得：x1=﹣，x2=4（舍去）．此时，y=﹣×（﹣）+3=，∴D2的坐标为（﹣，），

③当CD3=BC时，CB=5，CD3=5，此时D3坐标为（0，3），

当CD4=BC时，BC=CD4，=5，M4D4=OD3=3，CO=CM4=4，则D点坐标为（8，﹣3）．（6分）

由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（﹣，），D3（0，3），D4（8，﹣3）．