人教版数学必修五模块综合测试题
人教A版高中数学必修五模块综合测试(二).docx
必修五模块综合测试（二）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1.不等式201x x -+≤的解集是 （ ）A 、(1)(12]-∞--U ，，B 、[12]-，C 、(1)[2)-∞-+∞U ，，D 、(12]-，2.等比数列{}n a 的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{}n a 的首项为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 83．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对 4、已知实数n m 、满足22=+n m ，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 （ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、12 5、若11<β<α<-，则下面各式中恒成立的是（ ）．（A ）02<β-α<- （B ）12-<β-α<- （C ）01<β-α<- （D ）11<β-α<-6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量(),,m b c c a =--u r (),n b c a =+r，若向量m n ⊥u r r ，则角A 的大小为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 7、已知函数c ax x f -=2)(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 应满足（ ）（A ）26)3(7≤≤-f （B ）15)3(4≤≤-f （C ）20)3(1≤≤-f （D ）335)3(328≤≤-f 8. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 B ．49．如果02>++c bx ax 的解集为{}42>-<x x x 或，则对于函数c bx ax x f ++=2)(应有 （ ）A. )1()2()5(-<<f f fB.)1()5()2(-<<f f fC.)5()2()1(f f f <<-D. )5()1()2(f f f <-<10.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21=a ，若数列{}n a +1也是等比数列，则n S 等于（ ） A. n 2 B. n 3 C. 221-+n D. 13-n11．下列不等式组中，同解的是 （ ） A ．6>x 与22)5(6)5(->-x x x B ．3231332-->-++-x x x x x 与0232>+-x x C ．0)1)(1(22>+--x x x 与0232>+-x x D ．012)2(≥+-x x 与2≥x12、若实数n m y x ,,,满足22222,1x y m n +=+=，则ny mx +的最大值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、2二、 填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13函数143++=x x y )1(->x 的最小值是___________. 14. 数列{}n a 中，)(,1111+++∈=-=N n a a a a a n n n n ，则{}n a 的通项=n a .15．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列{}a n 是等积数列且a 12=，公积为10，那么这个数列前21项和S 21的值为_____________.16．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，其中,i j a 表示表格中第i 行第j 列的数，则4,5a = ，,i j a = .三．解答题（共6小题，共计70分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin2A ＋B2－cos 2C ＝72. (1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式.19．已知)(x f 是二次函数，对任意x R ∈都满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(0)1f =. （1）求)(x f 的解析式；（2）当[2,1]x ∈-时，()y f x =的图像恒在y x m =-+的图像上方，求实数m 的取值范围. 20．已知△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34cos cos ==a b B A （1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧»AC 上，∠PAB =60°.求四边形ABCP 的面积.21.某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为300002m 的宿舍楼（每层的建筑面积相同）.已知土地的征用费为2250元/2m ，土地的征用面积为第一层的1.5倍.经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/2m 元，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/2m .试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.22、(12分) 已知函数2()1f x x ax =++，()f x 在[3,1)x ∈-上恒有()3f x ≥-成立，求实数a 的取值范围. .综合测试（二）答案1. D 解(2)(1)01x x x -+≤≠-原不等式可化为且所以(12]x ∈-，2.C 解析： 6060)(31424=+⇒=+-a a a a S ，∴.6,313142==++=a a a a a q3.A 解析：a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.12112144.=2+22m nD m n m n m n n m+++=≥解析：（）（2++2）45A 解析： 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11<α<-，11<β<-和β<α，根据不等式的性质，可得11<β-<-，0<β-α，继而得到22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ．6．B 解析：m n ⊥u r r ⇒m ⋅n 0=⇒2221()()()0cos 2b c b c a c a b c a bc A -+-+=⇒+-=⇒=3A π⇒=.7 C 解析：∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-=∴)]1(4)2([31)],1()2([31f f c f f a -=-=故)]1(4)2([31)]1()2([39)3(f f f f c a f ---=-=)1(35)2(38f f -=由不等式的基本性质，得.20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4≤≤-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤≤-⇒≤≤-≤-≤⇒-≤≤-f f f f f8.A 解析：由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.9. D 解析：由02>++c bx ax 的解集为{}42>-<x x x 或可得0>a ，对称轴为1=x ，所以)5()1()2(f f f <-<10.A 解析：Θ数列{}n a +1是等比数列，∴1)21(3)21(22=⇒+=+q q q ，.2n S n = 11．D 解析：分别解出每组不等式的解，易得答案D 组的不等式解集一样.12.B 解析：三角换元，设2,2;sin ,cos ,x y m n ααββ====2sin 2cos 2)mx ny αβαβαβ+=+=-所以最大值为213. 433解析：4433(1)343311y x x x x x =+=++-≥++. 14..12n a n =解析： 由11++=-n n n n a a a a ，得1111=-+nn a a∴n n a n=-⋅+=)1(111，∴.12n a n =15. 72解析：由定义及已知，该数列为{2，5，2，5，……}，所以7221=S .要理解好题意，分项数为偶数和奇数的情况进行计算，先计项数为偶数的情况，将项数为奇数的转化偶数情况即可． 16． 49,2ij i j ++ 解析：1,54(51)316a =+-⨯=,2,57(51)527a =+-⨯=,∴4,516(41)1149a =+-⨯=．1,4(1)331j a j j =+-⨯=+,2,7(1)552j a j j =+-⨯=+∴第j 列的公差为(52)(31)21j j j +-+=+， 故,(31)(1)(21)2i j a j i j ij i j =++-⨯+=++17.解：(1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin2A ＋B2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72，∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.18、解析：⑴证明：2132,n n n a a a ++=-Q∴)(2112n n n n a a a a -=-+++,Θ3,121==a a ,∴)(2112++++∈=--N n a a a a nn n n{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列.⑵解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n n n N --=++++=-∈⑶证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+Q 12(...)42,n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即，1(1)20.n n n b nb +--+= ③21(1)20.n n nb n b ++-++= ④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即，2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列.19解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，(0)11f c =∴=Q ，又(1)()221f x f x ax a b x +-=++=-+，1,2a b ∴=-=，所以2()21f x x x =-++（2）由题意221x x x m -++≥-+在[2,1]x ∈-上恒成立，即231m x x ≤-++在[2,1]x ∈-上恒成立.令2()31g x x x =-++易知()g x 在[2,1]x ∈-上为增函数，则min ()(2)9g x g =-=-，所以9m ≤-.20. 解：（1）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos A B B A =整理为，sin A cos A=sin B cos B ，即sin 2A=sin 2B.∴2A=2B 或2A+2B=π，∴2π=+=B A B A 或.Q,34=a b ∴舍去A=B.∴2A B π+=即2π=C .故△ABC 是直角三角形.（2）解：由（1）可得：a =6，b =8.在R t △ACB 中，.54cos ,53sin =∠==∠CAB ABBC CAB∴)60sin(sin CAB PAC ∠-︒=∠=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10153215423-=⨯-⨯连结PB ，在R t △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5.∴四边形ABCP 的面积PAC AC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2121四边形=24+386-=18+38.21.解：设楼高为n 层，总费用为y 万元，则征地面积为21.530000()m n ⨯，征地费用为 1.532250n⨯⨯万元，各楼层建筑费用和为(1)3400302n n n n-⎡⎤+⨯⨯⎢⎥⎣⎦万元.总费用为，(1)31.5367540030225015(377)1577)25052n n y n n n n n -⨯⎡⎤=+⨯⨯+⨯=⨯++≥⨯=⎢⎥⎣⎦当且仅当6753n n=即15n =时上式取等号.所以这幢宿舍楼高层数为15时，总费用最少为2505万元. 22解：由于222()1()124a a f x x ax x =++=++-(i)当32a -<-即6a >时，易知()f x 为[3,1)x ∈-上的增函数，则min 13()(3)10333f x f a a =-=-≥-⇒≤，此时a 无解；(ii)当312a -≤-<即26a -<≤时，则2min ()()134424a a f x f a =-=-≥-⇒-≤≤，此时24a -<≤；(iii)当12a-≥即2a ≤-时，易知()f x 为[3,1)x ∈-上的减函数， 则min ()(1)235f x f a a ==+≥-⇒≥-，此时52a -≤≤-. 综上所述，a 的取值范围{|54}a a -≤≤.。
最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 由已知得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.答案： C2．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－23 C ．⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞)解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x >－23，B ＝{x ∈R |x >3或x <－1}， ∴A ∩B ＝{x ∈R |x >3}． 答案： D3．等差数列{a n }的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C ．－3D ．3解析： ∵a 1，a 2，a 4成等比数列， ∴a 22＝a 1·a 4即(a 1＋1)2＝a 1·(a 1＋3) 解得：a 1＝1，∴a 3＝a 1＋2d ＝3. 答案： D4．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( ) A ．t ≤s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t >s 解析： ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1＝－(b －1)2≤0，∴t ≤s . 答案： A5．各项不为零的等差数列{a n }中，有a 27＝2(a 3＋a 11)，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析： b 6b 8＝b 27＝a 27，又a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16，故选D. 答案： D6．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析： ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝42，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B ＝5 2.(R 为△ABC 外接圆的半径)答案： C7．在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4，若前n 项和S n 满足S n ＜a n (n ∈N *)，则n 的最小值是( )A ．60B ．63C ．70D ．72 解析： S n ＜a n ⇔120n ＋n (n －1)2×(－4)＜120＋(n －1)×(－4)，即n 2－63n ＋62＞0，解得n ＜1(舍去)或n ＞62，∴n 的最小值为63. 答案： B8．在R 上定义运算☆，a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析： 根据定义得：x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得 －2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2，1)，故选B.答案： B9．一艘客船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82海里，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．东偏南75°C ．北偏东75°或东偏南75°D ．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB ＝32×12＝16，BS ＝82，∠A ＝30°.在△ABS 中，由正弦定理得 AB sin S ＝BSsin A， sin S ＝AB sin A BS ＝16sin 30°82＝22，∴S ＝45°或135°， ∴B ＝105°或15°，即灯塔S 在B 处的北偏东75°或东偏南75°. 答案： C10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1解析： 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1.∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.答案： A11．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析： 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.答案： C12．在R 上定义运算⊕：x ⊕y ＝x2－y ，若关于x 的不等式x ⊕(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[－3,1]C ．[－3，－1)∪(－1,1]D ．[－1,1)∪(1,3]解析： x ⊕(x ＋1－a )＝x 2－x －1＋a ＝－xx －(a ＋1)>0⇒xx －(a ＋1)<0，(1)⎩⎪⎨⎪⎧a >－10<x <a ＋1≤2⇒－1<a ≤1； (2)⎩⎪⎨⎪⎧a <－1－2≤a ＋1<x <0⇒－3≤a <－1； (3)a ＝－1时，不等式为x x －0<0，x ∈∅显然成立，故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝____________. 解析： 由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74. 答案： 7414．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为________．解析： 由ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12得－2，－12为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根且a <0，∴⎩⎨⎧－2－12＝－b a，－2×⎝⎛⎭⎫－12＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52a <0，c ＝a <0，∴不等式ax 2－bx ＋c >0等价于2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <215．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析： 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A. 所以AC ＝BC sin A ·sin B ＝12sin 60°sin 45°＝4 6.答案： 4 616．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析： 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案： [－3,0]三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解析： 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a <b ，∴B >A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形， S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形， S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析： 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0， 解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅； 当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14， z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分13分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2,3，…(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .解析： (1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1的前n 项和为T n ，则T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴S n ＝T n ＋n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋n ＝n ＋1－⎝⎛⎭⎫12n . 22．(本小题满分13分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析： 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则 f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x.∵x ≥10，∴48x ＋10 800x ≥1 440，当且仅当x ＝15时，等号成立． ∴f (x )≥2 000.因此，当x ＝15时，f (x )取得最小值f (15)＝2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．23 B ．2 2 C ． 3D ． 2解析： 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.答案： D2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21解析： 由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案： B3．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．cb 2＜ab 2 B ．c (b －a )＞0 C ．ab ＜acD ．ac (a －c )＜0 解析： 若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立． 答案： A4．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析： 将通项公式变形得： a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48. 答案： C5．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： 由c ＝a cos B 得，c ＝a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a sin C ＝a ×ca ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： D6．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析： ∵Δ＝1＋8＝9>0，∴方程2x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根， 解得x 1＝－12，x 2＝1.∴2x 2－x －1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案： D7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析： 作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A (－1，0)，B (3,0)，C (1,2)，由可行域可知，z ＝2x ＋y 过点B (3,0)时，z 有最大值，且z max ＝6.答案： C8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B ．22C ．12D ．－12解析： 利用余弦定理求解． ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2， ∴cos C ≥12.答案： C9．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析： z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝7.当且仅当3x ＝27y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．故选B.答案： B10．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B ．15C ．2D ．3解析： ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c ， ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 答案： A11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析： 设左、右臂长分别为t 1，t 2，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10(g)，即大于10 g.答案： B12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.故选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析： 利用三边长是公比为2的等比数列，可把三边长表示为a ，2a,2a ，再利用余弦定理求解．设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a .在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a ＝－24.答案： －2414．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析： 如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，∴B (－6,3)， ∴z min ＝－6＋3＝－3.答案： －315．已知△ABC 中三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，则△ABC 的形状为________．解析： 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ① 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ②②2－①得2ac ＝2b ，即b 2＝ac ，①平方得a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2， 将b 2＝ac 代入得a 2＋2ac ＋c 2＝4ac ， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵a ＋c ＝2b ，∴2a ＝2b ， ∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c . 答案： 等边三角形16．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则xy 的取值范围是____________． 解析： 由已知得x ＋y ＝xy ，又x ＞0，y ＞0， ∴xy ＝x ＋y ≥2xy ，∴xy ≥4. 答案： [4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解析： (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.18．(本小题满分12分)(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解析： (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0＜A ＜π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2. 19．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0， 即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.20．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )， 化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0， ∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.21．(本小题满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解析： (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.答：sin α的值为3314.方法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.答：sin α的值为3314.22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解析： 设桌子、椅子各买x 张和y 张， 则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007. 点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752， 则前面的不等式组所表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0，得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时，亦即x ＝25，y ＝752时，z 取最大值．因为x，y∈N*，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适．。
人教版高中数学必修五模块综合检测题 试题+答案解析(精教版)
6. 若 a b 0 ， c d 0 ，则一定有
A.
a c
b d
B.
a c
b d
C.
a d
b c
7.
数列an 中， an
n
n
1
，则
an
是
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
M
D.
a d
b c
北 P
东
75o 45o
N
D. 摆动数列
8. 已知 x 1 与 y 1的等差中项为 10，则 x y 等于
则 x 的取值范围为
A. , 1 3,
B. ,1 3,
C., 1
D.3,
二、填空题.（每小题 5 分，共 4 小题）
x y 1 0
13. 若变量 x, y 满足约束条件 3x y 1 0 ，则 z 2x y 的最大值为
A. 有一个解
B. 有两个解
C. 无解
D. 不能确定
3. 已知在 ABC 中， b cos A a cos B ，则 ABC 是
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形
4. 已知 ABC 的三边分别为 a 、 b 、 c ，且 a 1， B 45o ， SABC 2 ，则 ABC 外接圆的直径为
19. （10 分）在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 cos C cos A 3 sin A cos B 0 .
（1）求角 B 的大小； （2）若 a c 1，求 b 的取值范围.
人教新课标版数学高二-人教A版数学必修5 模块综合测试(习题答案解析,11页)
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ⇒1sin A ＝3sin120°，∴sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案：A2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析：A 组不成三角形；对于B ，∵b sin30°＝22<1<2，∴B 有两解；C 组不成三角形，D 正确．答案：D3．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝( ) A.23 B.14 C ．－23D ．－14解析：由正弦定理知sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，得到a :b :c ＝3:2:4，令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(4k )22×3k ×2k ＝－14，故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }中，a n ＝4n －3，则首项a 1和公差d 的值分别为( )A ．1,3B ．－3,4C ．1,4D ．1,2解析：∵a n ＝4n －3，∴a 1＝4－3＝1，d ＝a n －a n －1＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项之积为T n ，若T 5＝1，则必有( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝(a 3)5＝1， ∴a 3＝1. 答案：B6．若△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ， ∴sin A ＝2sin B ·cos C .∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C . ∴sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝sin(B －C )＝0. ∴B ＝C ，故选A. 答案：A7．等比数列{a n }的公比为13，前n 项的和为S n ，n ∈N *如S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，则其公比为( )A ．(13)2B ．(13)6C.13D.23解析：∵S 4－S 2S 2＝a 4＋a 3a 2＋a 1＝q 2(a 2＋a 1)a 2＋a 1＝q 2＝(13)2.答案：A8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题可知log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5，又因为在等比数列中a 5a 6＋a 2a 9＝18，所以a 5a 6＝9，代入求解得原式的值为10，故选B.答案：B9．递减的等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n取最大值，n 的值为( )A ．10B ．7C ．9D ．7或8解析：∵S 5＝S 10，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负， ∴S n 取最大值时，n ＝7或8. 答案：D10．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案：A11．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：因为3a ·3b ＝3. 所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4.当且仅当b a ＝ab 即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B.答案：B12.差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝1＋58＋38＝2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．不等式1x ≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1x ≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}14．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时满足条件；当k ≠0时满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解得－3<k ≤0.答案：－3<k ≤015．已知在△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么边BC 的长为________．解析：设方程3x 2－27x ＋32＝0的两根分别为b ，c 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝9bc ＝323，由余弦定理可知BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， ∴BC ＝7. 答案：716．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)解析：由题S 6<S 7，S 7>S 8可知a 7>0，a 8<0，等差数列为递减数列，故①正确，且④也正确，由等差数列的前n 项和为关于n 的二次式可知，其单调性为先增再减，而S 9离对称轴的距离比S 6离对称轴的距离要远，因此对应的函数值要小，故②正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10. (3)S ＝12ab sin C ＝32.18．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1·a 13即(1＋2d )2＝1＋12d ，得d ＝2或d ＝0(舍去)．故d ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2a n ＝22n －1，所以数列{b n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)．19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B ，C 的俯角α，β，如果这时气球的高度是h ，求桥梁BC 的长度．解：过A 作垂线AD 交CB 于D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝α，AB ＝h sin α.又在△ABC 中，∠C ＝β，∠BAC ＝α－β， 由正弦定理，得BC sin (α－β)＝ABsin β，∴BC ＝AB ·sin (α－β)sin β＝h ·sin (α－β)sin α·sin β.20．(12分)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0.要使①②成立的x 也满足③，请你找一个这样的a 值．解：解①x 2－4x ＋3<0， 即(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3.解②x 2－6x ＋8<0，即(x －2)(x －4)<0， ∴2<x <4，∴①②同时成立的x 的范围是2<x <3.2x 2－9x ＋a <0对应的二次方程为2x 2－9x ＋a ＝0，对应的二次函数f (x )＝2x 2－9x ＋a 的对称轴为x ＝94∈(2,3)．∵3－94>94－2，∴f (3)>f (2)，∴只须f (3)≤0即可．即2×32－9×3＋a ≤0，∴a ≤9.这样a 的值可取小于等于9中任一个，不妨取a ＝9.21．(12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2nS n＝4，n ＝1,2，…，(1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2nS n＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1， S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，① 2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，② ①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1.所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b (万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S ＝1a ＋1b 为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)解：(1)设片集甲、乙分别播放x ，y 集，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86，x ，y ∈N .要使收视观众最多，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可．如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)， z max ＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a ＋4b ＝1，S ＝1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋4b ) ＝6＋2a b ＋4b a ≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a ＝2－12，b ＝2－24时，取等号． 所以效益调和指数的最小值为11.64万元．。
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必修五模块综合测试卷（一）一、 选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1.若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是（ ） A ．c b d a +>+ B.bd ac > C.dbc a > D.b c ad -<- 2. 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（ ）A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3.设2()1f x x bx =++，且(1)(3)f f -=，则()0f x >的解集是（ ）A: (,1)(3,)-∞-+∞U B:R C: {|1}x x ≠ D:{|1}x x =4.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 255.实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③()()0<--d b d a ，则有( ) A ．b d c a <<< B ．d b a c <<< C ．d b c a <<< D ．b d a c <<< 6、若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ）A ．c b c a >B ．ac ab >C ．c b c a ->-D ．cb a 111<< 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定8. 在平面直角坐标系中，动点Ｍ（ｘ，ｙ）满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-01,02,02y y x y x ，动点Ｑ在曲线21)1(22=+-y x 上，则|MQ|的最小值为 （ ）A ．2B ．223 C ．221-D ．215-9．在∆ABC 中，60A ︒∠=，16AC =，面积为3BC 的长度为（ ）A ．25B ．51C ．493．4910.已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边长为a ,b,则集合},|),{(b y a x y x P ===所表示的平面图形的面积是（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．4π-211.如图，设P 、Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，2134AQ AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积的比为 （ ）A ．15 B.45 C.14 D.1312．已知中ABC ∆，3AB =，5BC =，且cos B 为方程25760x x --=的根.则cos AB A ⋅cos BC C +⋅的值为（ ）A ．213B ．213或-26C ．45 D ．35二． 填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．对任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是.14．若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的*n N ∈都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +=++_________.15.若,,A B C 为ABC △的三个内角，记A α=，B C β=+，则41αβ+的最小值为 ．16.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是_________.三．解答题（共6小题，共计70分）17.（本题满分10分）AB 是底部B 不能到达的烟囱，A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H .G .B 三点在同一条直线上，在相距为d 的G .H 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α.β，已知测角仪器高m h 5.1=，试完成如下《实验报告》（要求：1. 计算两次测量值的平均值,填入表格；2. 利用α.β.d 的平均值，求AB 的值，写出详细计算过程；3. 把计算结果填入表格） 相关数据：.7.13,4.12≈≈题目测量底部不能到达的烟囱的高 计算过程测量 数 据测量项目 第一次第二次 平均值α74°52' 75°8'β30°12'29°48' d (m ) 59.7860.22测量目标 （附图）结果18．已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =L ，且1n T =，求n 的值. 19.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a⑴当n 为何值时，n S 取得最大值； ⑵求208642a a a a a +++++Λ的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T20. 7月份，有一款新服装投入某市场销售，7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，以后每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大(只有l 天)后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件. (1)问7月几号该款服装销售件数最多?其最大值是多少?(2)按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天?说明理由.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =, 21(1)n n nS n S n cn +-+=+（c ∈R ，1,2,3,...n =）.且1S ，22S ，33S 成等差数列. （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.22.数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+(c 是不为零的常数, 1,2,3,n =⋅⋅⋅),且1,2,3a a a 成等比数列.(1) 求c 的值;(2) 求{}n a 的通项公式;(3) 求数列n n a c n c -⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项之和n T . 必修五模块综合测试卷（一）答案1. D 解：由不等式的性质知：A 、B 、C 成立的条件都不充分，所以选D ，其实D 正是异向不等式相减的结果，.b c a d c d d c b a b a -<-⇒⎭⎬⎫<⇒>-<-⇒>2. C 解析： 5)4)(1()1(2=⇒+-=+a a a a ，23,41==q a ，∴1)23(4-⋅=n n a . 3.C 解析： 由(1)(3)f f -=知2)31(-=+--=b ，则0)1(12)(22≥-=+-=x x x x f ，则()0f x >的解集是{|1}x x ≠. 4.C 解析：22124)24(2)(--=+=n a a n S n n ，∴24=n 时，n S 达到最小值. 5. D 解析：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧 ∵d c b a <<,∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情况由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 6 C 解析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．故选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c -），原不等式成立．7． A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b>c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x 2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．8. A 解析：21)1(22=+-y x 的圆心坐标为(1,0)，半径22r =，则圆心到可行域的最小距离为到直线20x y -+=的距离，即10232,22d -+==∴|MQ|的最小值为2d r -= 9．D 解析： 1sin 604322032ABC S AB AC AB ︒=⋅⋅==V Q ,得55AB =，再由余弦定理，有222165521655cos602401BC ︒=+-⨯⨯⨯=，得49BC =．10.C 解析:由题中三角形为钝角三角形可得①2222<+b a ；②a +b>2；③a >0,b>0,于是集合的含义即为由条件①②③组成的图形,如图所示,则其面积为22221422-=⨯⨯-⨯=ππS ,故选C ． 11.B 解析：如图，设25AM AB =u u u u r u u u r ，15AN AC =u u u r u u u r，则AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r.由平行四边形法则知，//NP AB ，则1,5ABPABC AN S S AC ∆∆==u u u r u u u r 同理可得，1,4ABQ ABC S S ∆∆=故45ABP ABQ S S ∆∆=. 12. A 解析： sin sin sin AB BC CAC A B ==由正弦定理得 sin sin cos cos cos cos sin()sin sin sin AC C AC A ACAB A BC C A C A C B B B+=+=+g g g g g g gsin sin AC B AC B==g 2222cos 52,AB BC B -=g g 再由余弦定理得，AC =AB +BC 213.cos cos 213AC AB A BC C ∴=+=g g 即.13．(]2,2-解答： ①当2=a 时，不等式为04<-，恒成立；②当2≠a 时，由题意可得：⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4022a a a ，解得：22<<-a ；综上可得：实数a 的取值范围是(]2,2-. 14．1941 解析：∵939361111157846661111121922241a a a a a a a S b b b b b b b b b T ++=+====+++,∴填1941.15.9π解析：πA B C ++=，即παβ+=，则41αβ+=411()()αβαβπ++=14(5)βαπαβ++9π≥，当且仅当4βααβ=，即2αβ=时等号成立．16. ()∞+，2解析：设ABC ∆中，C B A <<，且C B A ,,成等差数列，则︒=60B ，设其公差为α，则︒>-︒=90120A C ，∴ ︒<<︒300A ，∴AA A R C R a c m sin )120sin(sin 2sin 2-︒===21tan 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=A A A A .由33tan 0<<A 得3tan 1>A，∴221323=+⋅>m .题目测量底部不能到达的烟囱的高 计算过程测 量 数 据测量项目第一次第二次平均值 mAB m AE AC AE AEC AC ACCD CD ACD CAD 425.15.40.5.40)31(15,462)4530sin(75sin ,75sin ,230,30sin 45sin ,60,4530,75≈+=∴≈+=∴+=+==∆=︒==∆︒=∠∴︒=︒=︒︒︒︒︒而中，在则由正弦定理，中，在解：βαΘα74°52' 75°8'75°β30°12' 29°48' 30° d (m)59.7860.2260测量目标（附图）结果m 4218．解析：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵Θ242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===ΛΛ令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 19.解：⑴Θ等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵Θ数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++Λ20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a 50)103-=⨯； ⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a . ∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(ΛΛ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n20. 解：（1）设7月n 日售出的服装件数为)4,(),311,(**≥∈≤≤∈k N k a n N n a k n 为最大.⎩⎨⎧=---+=3)31(2)1(33k a k a kk ，∴,13=k 39=k a ，∴7月13号该款服装销售件数最多，其最大值是39件. （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，∵)(,3114,265131,3*N n n n n n an∈⎩⎨⎧≤≤-≤≤= ∴)(,3114),13)(51(273131,233*N n n n n n n nS n ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--+≤≤⋅+=∵20027313>=S ，∴由12200,131≥>≤≤n S n n 得时，由2320,3114≥<≤≤n a n n 得时. ∴从7月12日到7月22日共11天该服装在社会上流行.21. 解：（Ⅰ）∵21(1)n n nS n S n cn +-+=+（1,2,3,...n =），∴()2111n n S S n cnn n n n ++-=++（1,2,3,...n =）.∵1S ，22S ，33S 成等差数列，∴32122132S S S S -=-，∴14226c c ++=，∴1c =. （Ⅱ）由（Ⅰ）得111n nS S n n+-=+（1,2,3,...n =）. ∴数列{}n S n 为首项是11S ，公差为1的等差数列. ∴1(1)11n S S n n n =+-⋅=.∴2n S n =. 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-. 当1n =时，上式也成立.∴21n a n =-（1,2,3,...n =）.22. 解:(1) 1232,2,23a a c a c ==+=+. 因为1,2,3a a a 成等比数列,所以2(2)2(23)c c +=+,解得0c =或2c =∵0c ≠,∴2c =(2)当2n ≥时,由于21321,2,,(1)n n a a c a a c a a n c --=-=⋅⋅⋅-=-, 所以[]112(1)n a a n c -=++⋅⋅⋅+-(1)2n n c -=. 又12,2a c ==，故有22(1)2(2,3,)n a n n n n n =+-=-+=⋅⋅⋅.当1n =时，上式也成立，所以22(1,2,3,)n a n n n =-+=⋅⋅⋅(3)令1(1)()2nn n na cb n nc -==-⋅. 123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+2341111023(1)2222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ①3411111102(2)(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②①-②得111122n n n n T --⎛⎫=--⎪⎝⎭。
【精品习题】高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ac 2+1>bc 2+1C.a 2>b 2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴a c 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( ) A.√3 B.3 C.√7 D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则ab 等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1−(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为 ( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-3a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数, 故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2a +1b=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞) 答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0, 且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1−tanAtanB <0, 则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1), 得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1). 所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+⋯+ (1−12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a<b ,∴a+b2>√ab . 又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n-1B.3n+1+2C.3n -1D.3n+1-1答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1−3n )1−3=3n -12.故选C .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nT n=3n -12n+3,则a 8b 8= .答案:43解析:2a82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15−12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab>0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sinC=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1−cos 2B =35.由正弦定理可得:a sinA=b sinB. 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac ×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.ac sin 60°=√3,即ac=4.又△ABC的面积为√3,∴12∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f (x )=x 2-abx+2a 2=x 2-3ax+2a 2,①∵不等式f (x )≤0的解集为[1,2], ∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n =2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2).又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤ann+1,由(1)可知当n ≥2时,a nn+1=2·3n -2n(n+1), 设f (n )=n(n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f(n+1)≥1f(n).又1f(2)=13及a12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。
人教版高中数学必修五模块综合测评2含答案
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1【解析】 取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}【解析】 不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5. 【答案】 B3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于()A.12 B.32C．1 D.3 4【解析】∵a＝3b sin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，∴sin B＝1 3.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．【答案】 C7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，即381＝a 1(1－27)1－2，∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯． 【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】 由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π， 所以A －B ＝0， 即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA→＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】 由BC →·BA→＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】 点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)． 由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2， 又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】 316．若1a <1b <0，已知下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2； ⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______． 【解析】 ∵1a <1b <0， ∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】 ①④⑥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0， 即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0， 又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值． 【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)， 则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )．21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9， 得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∵a n >0， ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ， 设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1， 即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】 轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC＝AE sin C ， 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x ， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C ，即AB＝BC sin Csin 120°＝4x×12xsin 120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米)．故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时)．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1<1B.a2>b2 C.a 2>b 2 D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴ac 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( )A.√3B.3C.√7D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则a等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1-(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2+1=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞)答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1-tanAtanB<0,则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1),得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1).所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+…+ (1-12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a<b ,∴a+b2>√ab .又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n ,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n -1B.3n+1+2C.3n -12D.3n+1-12答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n ,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1-3n )1-3=3n -12.故选C . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nn=3n -1,则a 8b 8= .答案:43解析:2a 82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15-12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab >0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sin C=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =35.由正弦定理可得:asinA =bsinB . 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn (c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√3,∴1ac sin 60°=√3,即ac=4.2∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a ,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a ,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n 2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n=2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2). 又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤a n, 由(1)可知当n ≥2时,an=2·3n -2, 设f (n )=n (n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f (n+1)≥1f (n ).又1f (2)=13及a 12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。
最新精编高中人教A版必修五高中数学模块综合测评1(1)和答案
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，1.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC的面积为3，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋nn －2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A．189 B．186 C．180 D．192【解析】由a n＋1＝2a n，知{a n}为等比数列，∴a n＝2n.∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c b＋aabc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝( )A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋32＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·qn n －2＝64，即(a 21qn －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________.【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3，12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2＋2n －2＝－n n ＋2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n n －2＋n 2＝n n ＋2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n n ＋2.【答案】 (－1)n ＋1n n ＋2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·ta n B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3actan B，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 tA,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225t 时，可得最大利润． (2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15， 则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。
高中数学人教B版必修五 模块综合测评2
模块综合测评(二)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．数列，…的通项可能是()．．＋．－－【解析】取＝时，＝，排除、，取＝时，＝，排除.【答案】．不等式－－>的解集是()．{≤－或≥}．{<－或>}．{<<}．{－≤≤}【解析】不等式化为－－>，所以(－)(＋)>，所以<－或>.【答案】．在正项等比数列{}中，和为方程－＋＝的两根，则··等于()．．．【解析】∵{}是等比数列且由题意得·＝＝(>)，∴··＝＝.【答案】．下列不等式一定成立的是()．> (>)．＋)≥(≠π，∈)．＋≥(∈)>(∈)【解析】．在△中，角，，的对边分别为，，，＝，且＝，则△的面积等于()．【解析】∵＝，∴由正弦定理得＝，∴＝.∵＝，∴△的面积＝＝××＝，故选.【答案】．等比数列{}前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是() 【导学号：】．．．【解析】由等比数列的性质得＝＝＝，而＝，故为常数．【答案】．已知不等式－－<的解集为，不等式＋－<的解集为，不等式＋＋<的解集是∩，那么＋等于()．－．．－【解析】由题意：＝{－<<}，＝{－<<}，∩＝{－<<}，由根与系数的关系可知：＝－，＝－，∴＋＝－.【答案】．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头。
人教版高中数学必修五模块综合测评1含解析
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c(b＋a)abc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝()A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n1·qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料 每种产品所需原料(t) 现有原 料数(t) A B 甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
[精品]新人教A版必修五高中数学模块综合测评2和答案
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模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】 由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1－q n1－q，即381＝a 1－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯． 【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示．yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】 由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π， 所以A －B ＝0， 即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2.【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】 由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】 点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______． 【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】 ①④⑥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0， 又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率． 取B (－1,0)，C (－3,1)， 则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3.当且仅当b ＝c ＝3时取等号．∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ， 即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅； 当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和． 【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ， 设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，①12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1， 即S n ＝3－2n ＋32n ， 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】 轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ， 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin C， 即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得 BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313， 所以BE ＝313(千米)． 故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时)．。
(人教版)高中数学必修5检测模块综合检测A Word版含答案
模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在△中，已知(＋)(－)＝＋，则等于( )．°．°．°．°解析：由已知得＋－＝－，∴＝－，∴＝°.答案：．已知集合＝{∈＋>}，＝{∈(＋)(－)>}，则∩＝( )．(－∞，－) ．．．(，＋∞)解析：＝，＝{∈>或<－}，∴∩＝{∈>}．答案：．等差数列{}的公差为，若，，成等比数列，则＝( )．．．－．解析：∵，，成等比数列，∴＝·即(＋)＝·(＋)解得：＝，∴＝＋＝.答案：．已知＝＋，＝＋＋，则和的大小关系正确的是( )．≤．≥．＜．>解析：∵－＝＋－－－＝－(－)≤，∴≤.答案：．各项不为零的等差数列{}中，有＝(＋)，数列{}是等比数列，且＝，则＝( )．．．．解析：＝＝，又＝(＋)＝，∴＝，∴＝，故选.答案：．△的三边分别为，，，且＝，＝°，△＝，则△的外接圆的直径为( )．．．．解析：∵△＝，∴＝，由余弦定理＝＋－＝，∴＝.由正弦定理＝＝.(为△外接圆的半径)答案：．在等差数列{}中，＝，公差＝－，若前项和满足＜(∈*)，则的最小值是( )．．．．解析：＜⇔＋×(－)＜＋(－)×(－)，即－＋＞，解得＜(舍去)或＞，∴的最小值为.答案：．在上定义运算☆，☆＝＋＋，则满足☆(－)<的实数的取值范围为( )．() ．(－)．(－∞，－)∪(，＋∞) ．(－)解析：根据定义得：☆(－)＝(－)＋＋(－)＝＋－<，解得－<<，所以实数的取值范围为(－，)，故选.答案：．一艘客船上午∶在处，测得灯塔在它的北偏东°，之后它以每小时海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午∶到达处，此时测得船与灯塔相距海里，则灯塔在处的( )．北偏东°．东偏南°．北偏东°或东偏南°．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知＝×＝，＝，∠＝°.在△中，由正弦定理得＝，＝＝＝，∴＝°或°，∴＝°或°，即灯塔在处的北偏东°或东偏南°.。
高中数学 综合模块测试23 新人教B版必修5
高中数学 综合模块测试23 新人教B 版必修5一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，) 1．如图,这是一个正六边形的序列,则第n 个图形的边数为（ ）.A. 5n-1B. 6nC. 5n+1D.4n+22．在等比数列{}n a 中T n 表示前n 项的积，若T 5 =1，则（ ） A ．13=a B ．11=a C ．14=a D ．15=a3.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( ) A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45°4．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A. 22B. 21C. 19D. 185. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32-D ．32 6．不等式(1)20x x -+≥的解集是( )A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或7．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则( )A ．2a b x +=B.2a b x +≤ C . 2a b x +> D. 2a bx +≥ 8．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12,则△ABC 为（ ）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 9. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 311 D. 410.若250ax x b -+>解集为{|32}x x -<<,则250bx x a -+>解集为 ( )A ．11{|}32x x -<< B ．{|32}x x -<< C ． 11{|}32x x x <->或 D ．{|32}x x x <->或 11已知点(3,A ，O 是坐标原点，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP上的投影，则z=|OA |cos ,OA OP 〈〉的取值范围是（ ）．A.[,B.[3,3]-C.[,3]D.[3,-12.正奇数集合{1,3,5,…},现在由小到大按第n 组有(2n -1)个奇数进行分组: {1}, {3,5,7}, {9,11,13,15,17},… (第一组) (第二组) (第三组) 则2009位于第（ ）组中.A. 33B. 32 C . 31 D. 30二、填空题：(本题共小题，每小题5分，共20分．) 13. 等差数列{a n }中，10a <，n S 为前n 项和，且316S S =，则nS取最小值时，n 的值为____14.△ABC 的三个角A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,则三内角之比为 .15．设220,0,12b a b a ≥≥+=，则的最大值为 16.若对任意实数]1,1[-∈x ，不等式230x mx m ++<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 三、解答题：（共70分） 17.（本题10分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足A b a sin =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求C A cos cos +的取值范围．18. （本小题满分12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。
高中数学人教版必修5模块测试题及答案
必修五数学模块测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，则下列关系正确的是 A.222cos C a b c =+-B.222cos C a b c =-+C.222cos 2a b c C ab+-=D.222cos a b c C ab +-=2．不等式(2)(1)0x x +->的解集为 A.{}21x x x <->或 B.{}21x x -<< C.{}12x x x <->或D.{}12x x -<<3．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是 A.12B.24C.36D.484．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2220a b c +-<，则△ABC 是 A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 钝角三角形5．在△ABC中，1,AB AC ==∠A ＝30︒，则△ABC 的面积等于D.126．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若a b >，则11a b< 中，真命题为 A. ①B. ②C. ③D. ④7.在△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若8,60,75a B C =∠=︒∠=︒,则b 等于A.B.C.D.3238．已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为A.24B.20C.16D.129．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则1a 等于 A.4-B.6-C.8-D.10-10．在R 上定义运算a c ad bc b d =-，若32012x x x <-成立，则x 的取值范围是 A.(4,1)-B.(1,4)-C.(,4)(1,)-∞-+∞D.(,1)(4,)-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．比较大小：(2)(3)x x -+ 27x x +-（填入“>”，“<”，“=”之一）. 12．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知1231,6,a a a =+=则数列{}n a 的通项公式为 .13．用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米. 14．数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+（*n ∈N ）,则它的通项公式是_______. 三、解答题：本大题共3小题，共30分. 15．（10分）已知函数6)(2++=ax x x f .（Ⅰ）当5=a 时，解不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.C16．（10分）某货轮在A 处看灯塔B在货轮北偏东75︒，距离为mile ；在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30︒，距离为mile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，求： （Ⅰ）A 处与D 处之间的距离； （Ⅱ）灯塔C 与D 处之间的距离.21．（本小题满分10分） （Ⅰ）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出适当 的图形；（Ⅱ）下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式n b ；（Ⅲ）依照（Ⅰ）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为(1,2,3,)n a n = ，设21n nn a b c n =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .图1 图2 图3 图4数学必修5模块测试题答案及评分参考二、填空题(每小题5分,共20分) 15．> 16．12n n a -= 17．25 18． 2(1)2 1 2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩（三、解答题(共3小题,共30分) 19．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0.即 （0)3)(2<++x x .所以 32x -<<-.………………5分（Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a .解得6262<<-a ，即实数a的取值范围是)62,62(-. ……………10分20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABD 中，由已知得 ∠ADB =60，B =45． 由正弦定理得1sin 24sin AB BAD ADB===．………………5分（Ⅱ）在△ADC 中，由余弦定理得 2222c o s 30C D A D A CA D A C =+-⋅︒，解得CD =.所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为 ………………10分21．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）答案如图所示：………………3分 （Ⅱ）易知，后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，着色三角形的个数的通项公式为：13n n b -=． ………………6分（Ⅲ）由题意知(1)2n n n a +=，11(1)23231n n n n n c n n --+⨯⨯=⋅+＝， 所以 01113233n n S n -=⋅+⋅++⋅①12131323(1)33n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ②①－②得 0112(333)3n n n S n --=+++-⋅2n S -＝13313nn n --⋅-． 即 (21)31()4n n n S n -+=∈N + ． ………………10分。
人教A版高中数学必修五练习模块综合测评(B)
模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式2-xx ≥0的解集是( ) A .{x|0<x<2}B .{x|0<x ≤2}C .{x|x<0或x ≥2}D .{x|x<0或x>2}{x (x -2)≤0,x ≠0,解得0<x ≤2,故不等式的解集为{x|0<x ≤2}.2.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 3=2a 1,则下列结论错误的是( ) A .a 4=0 B .S 4=S 3C .S 7=0D .{a n }是递减数列{a n }的公差为d ,由S 3=2a 1,得3a 1+3d=2a 1,即a 1+3d=0,所以a 4=0,S 4=S 3,S 7=7a 1+21d=7(a 1+3d )=0,故选项A,B,C 正确,选D .3.在△ABC 中,a=√3b ,A=120°,则角B 的大小为( ) A .30°B .45°C .60°D .90° 由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=b ·√323b=12.因为A>B ,所以B=30°,故选A .4.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n (n ∈N *),若p-q=5,则a p -a q 等于( ) A .10B .15C .-5D .20S n =2n 2-3n (n ∈N *),所以a n =S n -S n-1=4n-5(n ≥2).又a 1=S 1=-1,适合上式,所以数列{a n }的通项公式为a n =4n-5(n ∈N *).于是a p -a q =4(p-q )=20.故选D .5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=b+√3c,sin C=2√3sin B ,则tan A 等于( )A .√3B .1C .√3D .-√3sin C=2√3sin B ,得sinC=2√3,利用正弦定理化简得sinC=c=2√3,即c=2√3b.由a=b+√3c,整理得a 2-b 2=√3bc ,所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√3bc+c 22bc=-√3bc+2√3bc2bc=√32.由A ∈(0,π),知A=π6,则tan A=tanπ=√3.故选C .6.在等差数列{a n}中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,则{a n}的前14项和为()A.55B.60C.65D.70在等差数列{a n}中,a5,a10是方程x2-10x-6=0的两个根,∴a5+a10=10,∴{a n}的前14项和S14=142(a1+a14)=7(a5+a10)=7×10=70.故选D.7.已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)中的x,y满足{x≥0,y≥0,3x+4y≤12,则△PMN面积的取值范围是()A.[12,24]B.[12,25]C.[6,12]D.[6,252]{x≥0,y≥0,3x+4y≤12表示的平面区域如图中的阴影部分所示.因为过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,且两条直线间的距离d=|12+12|√3+4=245,所以当点P在原点O处时,△PMN的面积最小,其面积为△OMN的面积,此时S△OMN=12×3×4=6;当点P在线段AB上时,△PMN的面积最大,且为12×√32+42×245=12,故选C.8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=√3b,且B=2A,则cos 2A等于()A.1B.-1C.√3D.-√3a=√3b,所以sin A=√3sin B,即sin A=√3sin 2A=2√3sin A cos A,于是cos A=√3,故cos 2A=2cos2A-1=12.9.已知不等式组{2x -y -2≥0,3x +y -8≤0,x +2y -1≥0则z=yx+1的最大值与最小值的比值为( )A .-2B .-12C .-83D .-12,不等式组{2x -y -2≥0,3x +y -8≤0,x +2y -1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知z=yx+1表示平面区域内的点与定点P (-1,0)的连线的斜率.由{3x +y -8=0,2x -y -2=0,可得{x =2,y =2,即A (2,2).由{3x +y -8=0,x +2y -1=0,可得{x =3,y =-1,即B (3,-1).由图知直线AP 的斜率最大,此时z=y x+1最大,故z max =23;直线BP 的斜率最小,z min =-14.故z=yx+1的最大值与最小值的比值为-83,选C .10.已知等差数列12,-13,-76,-2,…,从首项到第n 项的绝对值的和等于50,则项数n 等于( ) A .11B .12C .13D .142项开始各项均为负,且首项到第n 项的绝对值的和等于50,设第n 项的绝对值为a ,所以13+76+2+…+a=50-12=992.设新数列13,76,2,…,a 的项数为m ,且该数列是公差为56的等差数列,则13m+m (m -1)2×56=992,得m=11(m=-545舍去),所以n=m+1=12.故选B .11.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a=b cos C+c sin B ,且△ABC 的面积为1+√2,则b 的最小值为( ) A .2B .3C .√2D .√3a=b cos C+c sin B 及正弦定理,得sin A=sin B cos C+sin C sin B ,即sin(B+C )=sin B cos C+sin C sin B ,得sin C cos B=sin C sin B.因为sin C ≠0,所以tan B=1.因为B ∈(0,π),所以B=π4.由S △ABC =12ac sinB=1+√2,得ac=2√2+4.又b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac-√2ac=(2-√2)(4+2√2)=4,当且仅当a=c 时,等号成立,所以b ≥2,b 的最小值为2,故选A .12.已知正实数x ,y 满足x>12,y>1,不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立,则m 的最大值为( )A .2√2B .4√2C .8D .16,2x-1>0,y-1>0,4x 2y -1+y 22x -1=[(2x -1)+1]2y -1+[(y -1)+1]22x -1≥4(2x -1)y -1+4(y -1)2x -1≥4×2√2x -1y -1·y -12x -1=8,即4x 2y -1+y 22x -1≥8,当且仅当{2x -1=1,y -1=1,2x -1y -1=y -12x -1,即{x =1,y =2时,取等号,因此4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8,即m ≤8.故m 的最大值是8,选C .二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知在△ABC 中,AB=√3,BC=1,sin B+√3cos B=0,则△ABC 的面积为 .sin B+√3cos B=0可得tan B=-√3,所以B=120°,于是△ABC 的面积为S=12·AB ·BC ·sin B=12×√3×1×sin 120°=34.14.若关于x 的不等式x 2-ax+1≤0和ax 2+x-1>0对任意的x ∈R 均不成立,则实数a 的取值范围是 .x 2-ax+1>0和ax 2+x-1≤0对任意x ∈R 恒成立,故a ≠0,且{a 2-4<0,a <0,1+4a ≤0,解得{-2<a <2,a <0,a ≤-14,即-2<a ≤-14.-2,-14]15.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的大小依次成等差数列,最大边和最小边的长是方程x 2-9x+20=0的两实根,则AC= .A ,B ,C 成等差数列,所以2B=A+C ,又因为A+B+C=π,所以B=π3.设方程x 2-9x+20=0的两根分别为a ,c ,则{a +c =9,ac =20,由余弦定理可知:AC 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac-2ac cos B=92-2×20-2×20×12=21,所以AC=√21. √2116.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,…,1n ,2n ,…,n -1n ,…,若S k =14,则a k = . 因为1n +2n +…+n -1n =1+2+…+n -1n=n 2−12,1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+…+nn+1=n 2,所以数列12,13+23,14+24+34,…,1n+1+2n+1+…+n n+1是首项为12,公差为12的等差数列,所以该数列的前n 项和T n =12+1+32+…+n 2=n 2+n4.令T n =n 2+n4=14,解得n=7,所以a k =78.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},∴-3,-2是一元二次方程kx 2-2x+6k=0的两根,且k<0.∴{(-3)×(-2)=6,(-3)+(-2)=2k ,∴k=-25. (2)∵不等式的解集为R , ∴{k <0,Δ=4-4k ·6k <0,即{k <0,k >√66或k <-√66,∴k<-√6.故k 的取值范围是(-∞,-√66).18.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=1,2cos C+c=2b. (1)求A ;(2)若b=12,求sin C.因为a=1,2cos C+c=2b ,由余弦定理得2×12+b 2-c 2+c=2b ,即b 2+c 2-1=bc.所以cos A=b 2+c 2-12=bc =1.因为0°<A<180°,所以A=60°. (2)由b=12及b 2+c 2-1=bc ,得(12)2+c 2-1=12c , 即4c 2-2c-3=0,解得c=1+√134或c=1-√134(舍去). 由正弦定理csinC =a sinA, 得sin C=1+√134×sin 60°=√3+√398.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (k ∈N *),且S n 的最大值为4. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n =5-a n2n,求数列{b n }的前n 项和.由题意知当n=-2k2×(-1)=k 时,S n 取得最大值4,所以-k 2+2k ·k=k 2=4,解得k=2或k=-2(舍去),所以S n =-n 2+4n.当n=1时,a 1=S 1=3.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=5-2n.经验证n=1时也符合该式. 故数列{a n }的通项公式为a n =5-2n (n ∈N *). (2)由(1)知b n =n 2n -1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =12+221+322+423+…+n2n -1,12T n =121+222+323+424+…+n2n ,两式相减得12T n =120+121+122+123+…+12n -1−n2n=1-(12)n1-12−n 2n =2[1-(12)n ]−n2n , 所以T n =4-(12)n -2−n 2n -1=4-2+n 2n -1.20.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点P 在BC 边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4. (1)求∠ACP 的度数;(2)若△APB 的面积是3√3,求sin ∠BAP 的值.在△APC 中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,PC 2=AP 2+AC 2-2·AP ·AC ·cos ∠PAC ,所以22=AP 2+(4-AP )2-2·AP ·(4-AP )·cos 60°, 整理得AP 2-4AP+4=0, 解得AP=2. 所以AC=2.所以△APC 是等边三角形, 所以∠ACP=60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB=120°.因为△APB 的面积是3√32,所以12·AP ·PB ·sin ∠APB=3√32,解得PB=3.在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2-2·AP ·PB ·cos ∠APB=22+32-2×2×3×cos 120°=19, 所以AB=√19.在△APB 中,由正弦定理得ABsin∠APB =PBsin∠BAP , 所以sin ∠BAP=√19=3√5738. 21.(本小题满分12分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A,B 两台机床上加工,A,B 两台机床每加工一件甲种产品所需工时分别为1工时、2工时;加工一件乙种产品所需工时分别为2工时和1工时.若A,B 两种机床每月有效使用时数分别为400工时、500工时,如何安排生产,才能使销售收入最大?最大销售收入是多少?x 件,乙种产品y 件,销售收入为z ,则z=3x+2y ,{x +2y ≤400,2x +y ≤500,x ≥0,y ≥0,作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.作直线l 0:3x+2y=0,平移直线l 0至经过点P 时,可使销售收入z 取最大值.解{x +2y =400,2x +y =500,得{x =200,y =100,所以z max =3×200+2×100=800(千元).故生产甲种产品200件,乙种产品100件,才能使销售收入最大,且最大销售收入是800千元.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-2,且满足S n =12a n+1+n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 3(-a n +1),设数列{1n n+2}的前n 项和为T n ,求证:T n <3.S n =12a n+1+n+1(n ∈N *),得S n-1=12a n +n (n ≥2,n ∈N *),两式相减,并化简,得a n+1=3a n -2, 即a n+1-1=3(a n -1). 因为a 1-1=-2-1=-3≠0,所以{a n -1}是以-3为首项,3为公比的等比数列, 所以a n -1=(-3)·3n-1=-3n . 故a n =-3n +1.b n =log 3(-a n +1)=log 33n =n ,得1b n b n+2=1n (n+2)=12(1n -1n+2), T n =12(1-13+12−14+13−15+…+1n -1−1n+1+1n −1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2) =34−2n+32(n+1)(n+2)<34.。
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人教版数学必修五模块综合测试题 （时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是 （ ）A ．()211+-nB ．cos2πn C ．cos ()21π+n D ．cos ()22π+n 思路分析：分别取n=1，2，3，4代入验证可得. 答案：B2．已知△ABC 的三边长分别为a-2，a ，a+2，且它的最大角的正弦值为23，则这个三角形的面积是 （ ） A ．415 B ．4315 C ．432 D ．4335 思路分析：先判断出a+2所对角最大，设为α，则sin α=23，∴cos α=±21. 当cos α=21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2-2a(a-2)·cos α，解得S=0，不合题意. 当cos α=-21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2-2a(a-2)·cos α，解得a=5或a=0(舍去).∴S=21 (a-2)·a ·sin α=21×3×5×23=4315.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a （a≠0），a 19+a 20=b ，则a 99+a 100等于 （ ）A ．89abB ．（ab）9C ．910abD ．（ab ）10 思路分析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10)(q 为公比）， ∴q 10=1092019a a a a ++=ab.又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(ab )8·b=89a b .答案：A4．首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n 、N 的值分别是 （ ） A ．n=2，N=6 B ．n=2，N=8 C ．n=3，N=6 D ．n=3，N>6 思路分析：∵S N -S n-1=720，∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720.由选择肢知N=6，n=3适合上述方程. 答案：C5．设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α，α+β，β成等差数列，则k 为 （ ） A ．2 B ．4 C ．±4 D ．±2思路分析：α+β=2，αβ=k 2，又(α+β)2=αβ，∴4=k 2.∴k=±2. 答案：D6．等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +r ，则r 等于 （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．3思路分析：当n=1时，a 1=3+r ；当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1，要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1. 答案：A7．在△ABC 中，AB=7，AC=6，M 是BC 的中点，AM=4，则BC 等于 （ ） A ．21B ．106C ．69D ．154思路分析：本题可以用平行四边形的结论：对角线的平方和等于四条边的平方和，或在三角形中用余弦定理求解.由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，得4AM 2+BC 2=2(AB 2+AC 2). ∴BC=164)3649(2⨯-+=106.答案：B8．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是 （ ） A ．0 B ．37 C ．100 D ．-37思路分析：设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1，b n =b 1+(n-1)d 2. ∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2). ∴{a n +b n }也是等差数列. 又a 1+b 1=100，a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列，故a 37+b 37=100. 答案：C 9．不等式组⎩⎨⎧≤≤≥++-30,0))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个 （ ）A ．三角形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．矩形思路分析：原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥+-30,0,05x y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤+-30,0,05x y x y x画出各不等式组表示的公共区域，即可看出图形的形状. 答案：C10．数列{a n }中，a n >0，且{a n a n+1}是公比为q （q>0）的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2>a n+2a n+3（n ∈N *），则公比q 的取值范围是 （ ）A ．0<q<221+ B ．0<q<251+ C ．0<q<221+- D ．0<q<251+- 思路分析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3>a 3a 4，∴a 1a 2+a 1a 2q>a 1a 2q 2.∵a 1a 2>0，∴1+q>q 2. 解得0<q<251+. 答案：B11．△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 （ ） A ．231+ B ．1+3C ．232+ D ．2+3思路分析：要求b ，由条件可知2b=a+c ，21ac ·sin30°=23，可由余弦定理求解. 解：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a+c. 在△ABC 中，∠B ＝30°，S △ABC =21ac ·sin30°=23，∴ac ＝6. 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac ·cos30°=(a+c)2-(2+3)ac ，即b 2=4b 2-6(2+3).∴b 2=4+23.∴b=3+1.故选B.答案：B12．某人从1996年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2000年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为 （ ） A ．a （1+r ）5元 B ．ra［（1+r ）5-（1+r ）］元 C ．a （1+r ）6元 D ．ra［（1+r ）6-（1+r ）］元 思路分析：1996年1月1日到1996年12月31日的钱数为a(1+r)； 1997年1月1日到1997年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)；1998年1月1日到1998年12月31日的钱数为{a ［(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；1999年1月1日到1999年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］； ∴2000年1月1日可取回的钱数为a ×)1(1])1(1)[1(5r r r +-+-+=ra ［(1+r)6-(1+r)］.答案：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．在△ABC ，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.思路分析：用正弦定理求角C 是解本题的关键，然后用三角形面积公式求解. 解：由正弦定理有B AC sin =CABsin ， ∴sinC=ACB AB sin ⋅=23. 又∵AB ＞AC ，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，S △ABC =21AC ·AB ·sinA=21×2×23sin90°=23； 当C ＝120°时，S △ABC =21AC ·AB ·sinA=21×2×23sin30°=3.答案：3或2314．数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于________.思路分析：∵a n =2n-49，∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2，由⎩⎨⎧≤--=>-=-,049)1(2,04921n a n a n n 解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，即前24项之和最小.答案：2415．若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是________.思路分析：由题意知首项为41，则第四项为43，则另两根应为：41+61=125，41+61×2=127. 所以a=41×43=163，b=125×127=14435.∴a+b=163+14435=7231.答案：723116．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程就超过2200km ，如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程（km ）范围是________.思路分析：设这辆汽车原来每天行驶的路程为xkm ，则⎩⎨⎧+<->+),19(8)12(9,2200)9(8x x x解之，得256<x<260. 答案：256<x<260三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8sin 22CB +-2cos2A=7， （1）求角A 的大小；（2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值. 思路分析：(1)由已知条件式可用角A 表示角2CB +，统一角，再用三角公式求出角A 的一个三角函数值，进而求出角A.（2）可由余弦定理先解出bc ，再联立b ＋c ＝3，求出b 、c.解：（1）∵A+B+C=180°，∴2C B +=90°-2A.∴sin 2C B +=cos 2A.由8cos 22A -2cos2A=7， 得4(1+cosA)-2(2cos 2A-1)=7，即(2cosA-1)2=0. ∴cosA=21.∵0°<A<180°，∴A=60°. （2）∵a=3，A=60°，由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴3=b 2+c 2-bc=(b+c)2-3bc=9-3bc. ∴bc=2.又b+c=3，∴b=1，c=2或b=2，c=1．18．（12分）写出数列13+2，13+6，13+12，13+20，13+30，…的一个通项公式，并验证2563是否为数列中的一项.思路分析：数列每项由两个数的和组成，第一个数都是13，第二个数分别是2，6，12，20，30，…，都是两个连续自然数的乘积：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，…. 解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1).令13+n(n+1)=2563，则n 2+n-2550=0，解得 n=50或n=-51（舍）.∴2563是该数列的第50项.19．（12分）在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，且sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状.思路分析：利用正弦定理结合三角形中的边角关系，对△ABC 的形状作出准确判断. 解：∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A=π-(B+C).∴sinA=sin ［π-(B+C)］=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. ∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin(B-C)=0.∴B-C=0.∴B=C. ∴A=π-2B.∴sin 2A=sin 22B=sin 2B+sin 2C=2sin 2B. ∵B=C ，∴B 是锐角.∴sin2B=2sinB. ∴2sinBcosB=2sinB. ∴cosB=22，∴B=C=4π，A=2π. ∴△ABC 是等腰直角三角形.20．（12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1，a n+1=nn 2+S n （n=1，2，3，…），求证： （1）数列{nS n}是等比数列； （2）S n+1=4a n .证明：（1）a n+1=S n+1-S n ，a n+1=nn 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ). 整理得nS n+1=2(n+1)S n ，∴11++n S n =2n Sn . 故{nSn }是以2为公比的等比数列.（2）由（1）知11++n S n =411--n Sn (n ≥2)，于是S n+1=4(n+1)11--n Sn =4a n (n ≥2).又a 2=3S 1=3，故S 1=a 1+a 2=4，因此对于任意整数n ≥1，都有S n+1=4a n .评注：本题求证的结论含有S n ，一般先用公式a n+1=S n+1-S n 把题中所给的关系式转化为含S n 的递推关系式，这是本题的一个灵活之处，考查了同学们灵活运用所学知识的能力，而第二问又考查了分析问题和逻辑推理的能力.21．（12分）一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项. （1）求{a n }各项的和S ； （2）记{b n }的末项不大于2S，求{b n }项数的最值N ； （3）记{a n }前n 项和为S n ，{b n }前n 项和为T n ，问是否存在自然数m ，使S m =T n .解：设{a 1}的公差为d ，a 1=5，a 4=5+3d ，a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项，∴(5+3d)2=5(5+15d)，即d=5或d=0(舍). （1）S=100×5+299100⨯×5=25250. （2）∵b 1=a 1=5，b 3=a 4=20， ∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍)，b n =5·2n-1． 令5·2n-1≤225250， ∴2n≤5050.又212<5050<213，即n<13，且212=4096<5050， ∴n 的最大值N=12. （3）设有S m =T N 即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)， 整理得m 2+m-8190=0.∴m=90<100或m=-91（舍），即存在m=90使S 90=T 12.22．（14分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t ，B 种矿石5t ，煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t ，B 种矿石4t ，煤9t ；每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t ，B 种矿石不超过200t ，煤不超过360t.那么甲、乙两种产品各生产多少（准确到0.1t ），才能使利润总额达到最大？ 思路分析：将已知数据列成下表：甲产品(1t) 乙产品(1t) 资源限额(t) A 种矿石(t) 10 4 300 B 种矿石(t) 5 4 200 煤(t) 4 9 360 利润(元) 600 1000解：设生产甲、乙两种产品分别为xt ，yt ，利润总额为Z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,0,36094,20045,300410y x y x y x y xZ=600x+1000y ，作出以上不等式组所表示的平面区域（如图）即可行域.作直线L ：600x+1000y=0，即作直线L ：3x+5y=0，把直线L 向右上方平移至L 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时Z=600x+1000y 取最大值， 解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x ＝29360≈12.4，y=291000≈34.5.答：生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨时，能使利润总额达到最大.。