八年级数学培优竞赛专题25 配方法
八年级数学下册《配方法》教案、教学设计
（1）探究配方法在解决其他类型问题中的应用，如不等式的求解等。
（2）查阅资料，了解配方法在数学发展史上的地位和作用，撰写一篇小论文。
3.创新题：
（1）结合生活实际，设计一个具有挑战性的问题，运用配方法解决，并与同学分享解题过程。
（2）尝试对配方法进行拓展，如解决含有两个变量的方程组问题。
（2）课后反思自己的教学效果，找出存在的问题，不断优化教学设计，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：以一个与学生生活密切相关的问题为背景，如“小明家的花园是一个正方形，边长比小明身高多2米，如果小明身高1.6米，那么花园的面积是多少？”引发学生思考。
2.提出问题：引导学生从问题中提炼出一元二次方程，如x^2 - 3.2x + 2.56 = 0，让学生思考如何解这个方程。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选择一个典型例题，如x^2 - 6x + 9 = 0，进行讨论。
2.小组成员共同探讨配方法的步骤，尝试用配方法解方程。
3.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和讨论。
4.教师引导学生总结讨论过程中的优点和不足，给出改进建议。
（四）课堂练习
1.设计具有梯度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
注意事项：
1.学生在完成作业过程中，要注意规范书写，养成良好的学习习惯。
2.鼓励学生独立思考，遇到问题时可以与同学讨论，提高解决问题的能力。
3.做题过程中，要求学生注重细节，避免出现计算错误。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，给予有针对性的评价和指导。
5.鼓励学生在完成作业后进行自我反思，总结学习过程中的优点和不足，不断提高。
配方法计算专题
配方法计算专题配方法可是数学里超有趣的一个小技能呢！那啥是配方法呢？简单来说，就是把一个式子或者一个等式，通过加上或者减去一些数，让它变成一个完全平方式。
就像变魔术一样哦！比如说对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），我们就可以用配方法把它变成\(y=a(x + h)^{2}+k\)的形式。
具体咋做呢？1. 先提出二次项系数\(a\)。
就像\(ax^{2}+bx + c=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c\)。
2. 然后在括号里加上和减去一次项系数一半的平方。
\(x^{2}+\frac{b}{a}x\)，一次项系数一半就是\(\frac{b}{2a}\)，那它的平方就是\((\frac{b}{2a})^{2}\)，式子就变成\(a(x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c\)。
3. 把前三项写成完全平方式\(a((x + \frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c\)，然后再化简一下就好啦。
再举个简单的例子吧，比如\(x^{2}+6x + 5 = 0\)。
1. 先看\(x^{2}+6x\)，一次项系数\(6\)，一半是\(3\)，它的平方是\(9\)。
2. 就在式子上加上和减去\(9\)，变成\(x^{2}+6x+9 - 9+5 = 0\)。
3. 前三项写成\((x + 3)^{2}\)，式子就成了\((x + 3)^{2}-4 = 0\)，这样就很容易求解\(x\)啦。
下面来做几道练习题吧，每题20分哦。
1. 用配方法解方程\(x^{2}-4x - 5 = 0\)。
•首先把\(x^{2}-4x\)拿出来，一次项系数\(-4\)，一半是\(-2\)，平方是\(4\)。
•式子变成\(x^{2}-4x+4 - 4 - 5 = 0\)。
人教版 初二数学 竞赛专题：配方法(包含答案)
人教版 初二数学 竞赛专题：配方法（含答案）【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.能力训练1=_________.2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小. 6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1 BC、 D、8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？间数（个）yx0 50 100540990 单价（元）答案例 1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+12(c −3−6√c −3+9)=0即(√a −1−1)2+(√b −2−2)2+12(√c −3−3)2=0例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+188⋯88⏟ n+1+1=44⋯44 ⏟ n+100⋯00⏟ n+1+88⋯88⏟ n+1+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+110n+1 +8×11⋯11 ⏟n+1+1=4()2211111111119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L 12312312312312314243 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L L=()()()()()333343121222x x y y x y x y ⨯--+----++=()222102231684x y x y y -++++ =()221021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=()2210212631631648y x y +⎛⎫-+-+≥ ⎪⎝⎭又当x=27，y=6时，=316S 最小值.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()24n 19n 91-+也是完全平方数.设()224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()222n 193=m -+，0 50 100单价（元）∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 解得：=2=2=10=10m m n n ⎧⎧⎨⎨⎩⎩或故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数. 能力训练1.4+ 2. 0 3. 6 4.5. -3，-2, 56. B7. C8. A 提示：()()()222x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定A 、C 、D 、E ，而()224n 4n 4=4n n 1++++，()222n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当n<8时，(22222=01+ab a b =m--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.若n=2，则22256265n +=⨯；若n=4，则42256217n +=⨯；若n=6，则6225625n +=⨯；若n=8，则8225622n +=⨯.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设()2n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于是n 1022-=，故n=11.13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()222124327339k b +==⨯=⨯，解得542428a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 14. 由()222292a b =5093k +⨯，得到2a+b=509k ，b=509k-2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-⨯，()k 5119k a=2-，因为a 为质数，故有以下情况：⑴当k=1时，5119a==2512-，为质数，b=509k-2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-•为质数且k>2，则5119k=12-，此方程无整数解，舍去.⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k12>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S 元，则()()22914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.。
初中数学配方法公式
初中数学配方法公式及其应用一、常规配方法公式常规配方法是指将一个数平方根分解成两个数的平方根，即: a2 = b2 + c2其中，a、b、c 分别为不等式两侧的数值。
常规配方法的公式如下:若 a > b > c，则 a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc若 a < b < c，则 a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc若 a = b = c，则 a2 = b2 + c2 = 2bc二、逆配方法公式逆配方法是指将一个数开方分解成两个数的开方，即:x = √c2 + √d2其中，x 为不等式两侧的数值，c、d 分别为不等式两侧的数值。
逆配方法的公式如下:若 c > d，则 x = √(c2 + d2) = √cd + √cd = 2√cd若 c < d，则 x = √(c2 + d2) = √cd - √cd = -2√cd若 c = d，则 x = √(c2 + d2) = √cd = 0三、配方法的应用配方法在初中数学中是非常重要的一部分，可以用于解决求平方根和开方的问题。
以下是一些配方法的应用案例:1. 求解方程√x2 + √y2 = 2。
解：将方程两边同时平方，得到 x2 + y2 = 4。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
2. 求解方程 (√x + √y)2 = 4x + 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x + y)2 = 16x + 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
3. 求解方程 (√x - √y)2 = 4x - 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x - y)2 = 16x - 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
配方法是初中数学中非常重要的一个知识点，可以用于解决很多数学问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到常规配方法和逆配方法两种公式，以及它们的应用。
八年级培优--因式分解之配方法法与待定系数法
因式分解------配方法与待定系数法配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。
配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。
例1、分解因式： (1)44x +(2)、344422-+--y y x x(3)、1232234++++x x x x (3)`、()()22221x x x x ++++ （另见最后一题）练习 ：分解因式： (1)4416b a +；(2)4224y y x x ++；(3)432234232a a b a b ab b ++++；(4)、1724+-x x ；(5)、22412a ax x x -+++；(6)、24222)1()1(2)1(y x y x y -+--+。
待定系数法对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1、根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的多项式； 2、利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3、解方程组，求出待定系数，再代人所设问题的结构中去，得到需求问题的解。
例1、如果823+++bx ax x 有两个因式1x +和2x +，则a b +＝( )。
A 、7B 、8C 、15D 、2l练习1、如果3233x x x k +-+有一个因式1x +，求k 。
课后练习、已知是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的一个因式为62-+x x ，求a 的值。
例2、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?练习：1、已知代数式 22342x xy y x by ---+-能分解成两个关于 , y x 一次因式的积求 b 的值。
【精】初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法
专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2222()a ab b a b ±+=±2、2a b ±=3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.例题与求解【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想2144448889(66661)n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.几个有趣的结论： (1) 21444488889(66661)n nn+=+(2) 21111155556(33331)n nn+=+这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.能力训练1=_________.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.(全国通讯赛试题)6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1BC 、D 、(全国初中数学联赛试题)8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？(全国初中数学联赛试题)13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.(全国初中数学联赛试题)14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。
配方法因式分解例题及答案
配方法因式分解例题及答案引言在代数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为多个乘积的过程。
因式分解在代数方程、多项式简化和多项式求解中起着重要的作用。
其中一种常见的因式分解方法是配方法。
配方法通过寻找两个数的乘积等于首项和末项乘积，并将多项式进行重写，使得其能够进行因式分解。
本文将介绍配方法因式分解的基本原理，并提供一些例题及其详细的解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
配方法因式分解的基本原理配方法的核心思想是通过适当的变换，将多项式转化为可被因式分解的形式。
一般来说，配方法适用于满足以下条件的多项式：1.多项式为二次多项式，即其中包含一个二次项（二次项的最高次数为2）。
2.多项式的首项和末项可以进行因式分解。
基于上述条件，配方法的基本步骤如下：1.把多项式写成ax2+bx+c的形式，其中a、b、c为常数。
2.计算并确定ac的因子对，使得其乘积等于ac的值，同时求出b的值。
3.将b分解为两个数的和，这两个数就是求得的因子对的一部分。
通过将多项式进行变换，将其转化为可分解的形式。
4.使用因子分解的方式将多项式进行分解。
下面将通过例题更详细地介绍配方法的步骤。
例题1将多项式2x2+5x+3进行因式分解。
解答：首先，我们可以看到这个多项式满足配方法的条件：是一个二次多项式，并且首项和末项可以进行因式分解。
按照配方法的步骤，我们依次进行如下计算：1.将多项式写成ax2+bx+c的形式。
给定多项式为2x2+5x+3，所以a=2, b=5, c=3。
2.计算ac的因子对，并求出b的值。
ac=(2)(3)=6，因子对有(1,6)和(−1,−6)，而b=5。
3.将b分解为两个数的和。
由于(1,6)是6的一个因子对，我们可以将5分解为1+4。
4.进行变换，将多项式转化为可分解的形式。
将2x2+5x+3变为2x2+1x+4x+3。
5.使用因子分解方法将多项式进行分解。
对2x2+1x+4x+3，我们可以进行分组因式分解，即x(2x+1)+4(2x+1)。
初中数学配方法讲解
初中数学配方法讲解稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊初中数学里超有趣的配方法！配方法啊，就像是给数学式子穿上漂亮的衣服，让它变得整整齐齐，更好看也更好用。
比如说，咱们有个二次方程x² + 6x + 8 = 0 。
这时候，咱们就得施展配方法的魔法啦！先看看 x 前面的系数 6 ，一半就是 3 ，然后把 3 平方得到9 。
咱们就在式子里面加上 9 ，再减去 9 。
变成x² + 6x + 9 9 + 8 = 0 。
前面那部分（x + 3）²就出来啦，是不是很神奇？配方法在解决很多数学问题的时候都特别管用呢。
比如说求最值，还有图形的一些问题。
学会了配方法，就像是手里多了一把神奇的钥匙，可以打开好多数学难题的大门哟！小伙伴们，加油练习，让配方法成为咱们的数学好帮手！稿子二：宝子们，咱们今天来唠唠初中数学的配方法！你看啊，配方法就好像是搭积木，咱们得把式子搭得漂漂亮亮的。
比如说有个式子x² + 4x 5 = 0 ，咱们来给它打扮打扮。
先瞅瞅 4x ，它的一半是 2 ，2 的平方是 4 。
咱们就在式子里头加上 4 ，再减去 4 ，变成x² + 4x + 4 4 5 = 0 。
嘿，这时候（x + 2）² 就现身啦！式子就成了（x + 2）² 9 = 0 。
是不是感觉一下子就清晰多啦？配方法用处可大了去了！像那种要找抛物线顶点的题目，配方法一上，轻松搞定！还有啊，有时候题目里的式子看起来乱糟糟的，咱们用配方法一整理，哇塞，豁然开朗！所以呀，宝子们可别小瞧这配方法，多练练，它能让咱们在数学的世界里畅游无阻！加油加油，相信你们都能把配方法玩得溜溜的！。
(八年级数学)一元二次方程(二)——配方法
（八年级数学）一元二次方程（二）——配方法第 周 星期 班别_______ 姓名____ ____ 学号_____（一）学习目标：1、正确理解配方法：了解配方法的实质是通过配方将一元二次方程化为()()02≥=+b b a x 的形式，再用直接开平方法求解。
2、学会运用配方法解方程。
3、体会数学的转化思想。
（二）学习过程：环节一：复习引入：1、解方程：2(2)1x -=解：直接开平方，得：2x -=则：2x -= ，2x -= ，∴1x = ，2x = ；2、对比：2(2)1x -=与2430x x -+=有什么联系？思考：能否经过适当的变形，将方程2430x x -+=转化为2( )a =的形式环节二：配方法解一元二次方程：例1：用配方法解方程：2430x x -+=解：24x x -= （把常数项移到右边）24x x -+ =－3+ （方程两边都加上一次项系数的一半的平方）（x - ）2= （把等号的左边写成完全平方的形式）直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；小结：通过变形，使等号的左边是一个完全平方式，右边是一个非负的常数，再用直接开平方法求解，这种解方程的方法叫做配方法。
环节三：练习 A 组：1、填空：①22x x -+（ ）=()2-x ； ②26x x -+（ ）=()2-x ③28x x ++（ ）=()2+x ； ④24x x -+（ ）=()2-x2、运用配方法解方程：（1）2670x x +-=解：26x x += （把常数项移到右边）26x x ++ =7+ （方程两边都加上一次项系数的一半的平方）（x + ）2= （把等号的左边写成完全平方的形式） 直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；（2）2650x x -+=解： （把常数项移到右边） （方程两边都加上一次项系数的一半的平方）（把等号的左边写成完全平方的形式） 直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；（3）24120x x +-= （4）22150x x --= 解： 解：3、填空：①x x 32++（ ）=()2+x ②25x x -+（ ）=()2-x4、解方程：（1）220x x +-=解：2x x += （把常数项移到右边）2x x ++ = （方程两边都加上一次项系数的一半的平方） （x + ）2= （把等号的左边写成完全平方的形式） 直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；（2）0232=++x x （3）0432=--x xB 组1、用配方法解方程：22620x x ++=（思考：若二次项系数不是1时，如何配方？能把二次项系数化为1吗？） 解：二次项系数化为1，得：2、用配方法解方程：（1）241290x x -+= （2）23690x x --= 解：（3）2+-=；260x x 4620x x++=；（4）2C组解方程：22+=++3(1)246x x x。
初中数学配方法的公式
初中数学配方法的公式
嘿，你知道初中数学里超厉害的配方法不？配方法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！
配方法的步骤其实不难。
先把二次项系数化为1，然后加上一次项系数一半的平方，哇塞，这不就神奇地把式子变成了完全平方式。
就好比你在搭积木，把合适的积木块放在一起，就能搭出漂亮的造型。
注意事项也得牢记哦！二次项系数一定要先化为1，不然可就乱套啦。
还有啊，加那个平方的时候可别加错了。
这就像走钢丝，得小心翼翼，不然就掉下去啦。
配方法安全不？稳定不？那当然啦！只要你按照步骤来，绝对稳稳当当。
它可不是那种不靠谱的方法，放心大胆地用吧。
配方法的应用场景那可多了去了。
比如解方程，求最值，哇，简直无敌。
它的优势也很明显呀，能把复杂的式子变得简单易懂，就像把一团乱麻理得整整齐齐。
举个实际案例吧。
比如求二次函数的最值，用配方法一下子就搞定了。
你想想，要是没有配方法，那得费多大劲啊。
配方法就是这么牛，用起来超方便，能帮你解决好多数学难题。
相信我，没错的！。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结资料编号：20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式，叫做配方，它是完 全平方公式的逆用•配方时主要用到下面两个公式 ： 2 2 2(1) a 2ab b = a b ； (2) a 2 —2ab+b 2 =(a —b f . 重要结论：2221 T 22 21(2) a+b +c +ab+bc+ca=q (a+b )+(b +c ) +(c + a )」；(3)a 2 +b 2 +c 2 _ab _bc _ca =1 fa _b f +(b _c f +(c _a )2 】.例1.证明结论（2）证明:a 2 b 2 c 2 ab bc c^ =- 2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca 1 2=1〔a 2 2ab b 2 ］亠〔b 2 2bc c 2 ］亠〔c 2 2ca a 2 】1 I222a b ］亠［b c ］亠［c a、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法，有着广泛的应用.常用于： （1） 求字母的值； （2） 证明字母相等； （3 ）解一元二次方程； （4） 证明代数式的值非负； （5） 比较大小； （6） 求函数的最值. 三、配方法用于求字母的值例 2.已知 a 2 +b 2 +4a —2b +5 =0，则 a = __________ , b= ________ 解:T a 2 亠b 2 亠4a -2b 亠5 =0(1)x 2 _2 丄xa2 4a - 4 y-[b2 - 2b 1 =0亠2 “2c.(a +2 j +(b —1) =0T但+2 j > 0, (b _1 j > 0a 川'2=0,b -1 =0…a 二-2,b 二1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范.例 3.已知a2 b2• 1 =ab a b ,求3a -4b 的值.解：T a2 - b2 1 =ab a b2 2.a b 1 -ab -a -b =0.2a2 2b2 2 _2ab —2a —2b =0.a2 -2ab b2广ia2 -2a 1 j亠ib2 -2b 1 =02 2 2.a - b j 亠ia -1 j 亠ib -1 0j 2 2 2T a -b > 0, a -1 > 0, b -1 > 0.a -b =0,a -1 = 0,b -1=0.• a =b =13a -4b =3 -4 = -1.习题 1.已知x2y2 +x2 +4xy+13 =6x,贝y x= __________ , y = ________ .习题 2.已知x2+ y2+ z2 -2x +4y -6z +14 =0 ,贝x+ y + z = ______________ .习题 3.已知a、b、c 满足a2• 2b = 7, b2-2c = -1, c2 -6a = -17 ,求a b c 的值.x第3页四、配方法用于证明字母相等 例4.已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边，且满足a 2亠b 2亠c 2 _ ab _ be _ ca = 0,判断这个三角 形的形状并说明理由• 解:△ ABC 是等边三角形•理由如下：T a 2 • b 2 • e 2「ab -be -ca 二 02a 2 2b 2 2c 2「2ab 「2bc -2ca =0二 a 2 _2ab b 2 ］亠〔b 2 -2bc c 2 ］亠 ic 2 -2ca a 2 =02 2 2(a —b ) +(b —c ) +(c —a ) =0□22」 2T a -b > 0, b-c > 0, c-a > 0a -b — 0, b -c — 0, c - a — 0 •- a =b =c•/ a 、b 、c 是厶ABC 的三边• △ ABC 是等边三角形•习题 4.已知 3(a 2 +b 2 +c 2 )=(a +b +c ｝，求证：a =b =c •五、配方法用于解一元二次方程2用配方法解一元二次方程 ax ■ bx ■ c =0 a=0共分六步：一移、二化、三配、四开、 五转、六解. (1) 一移把常数项移到方程的右边，注意变号;ax 2 bx = -c(2)二化在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;(3) 三配 即配方，把方程的左边配成完全平方的形式，需要在方程的左右两边同时加上一、22采-.2 2bi b —4acX2 -V 2a 丿 4a(4)四开 直接开平方b b 2 -4ac x2a2a(5) 五转 把第(4)步得到的结果转化为两个一元一次方程b Jb 2—4ac 亠 b p b 2—4ac x或x2a 2a 2a2a(6 )解 解这两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个解说明：由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式 元二次方程ax 2 bx c =0 a = 0有实数根的条件是厶=b 2 -4ac > 0,求根公式为—b ±P b 2 —4acx = 2a21 x 2x = 221 x 2x 112 x 1 2丿 2 x,2••• x 1=—或 x 12(注意：当厶二b 2「4ac > 0时方程有实数根)X i-b rb 2 -4ac2a,X 2例5.用配方法解方程9:2x 4x 1 =0 .次项系数一半的平方习题5.用配方法解下列方程六、配方法用于证明代数式的值例6.已知代数式x 2 -5x 7,用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数上.2、52 225 25 ( 5 \ 3 证明：x _5x 7 =x _5x7 = x _ 44 V 2)45 2 3 2••• x -一 +- >0 即 x —5x +7 >0 I 2丿 4 '•不论x 取何值，这个代数式的值总是正数. 例7.求证:代数式x 2 y 2 -10x 8y 42的值总是正数证明：x 2 +y 2 -10x +8y +42 =(x 2 -10x +25 片(y 2 +8y +16 )+1 =(x —5 )2 +(y + 4 )2 +1T (x -5 丫 > 0,(y +4 j > 0• x - 5 ］亠 iy 4 2 1 0,即 x 2 y 2 -10x 8y 42 0•不论x,y 取何值，代数式x 2 y 2 -10x 8y 42的值总是正数.习题6.用配方法证明：不论x 取任何实数，代数式x 2 -4x 9的值总是正数2(1) 4x 2 _12x_1 =0;(2) 3x 2 2x _3 =0 .习题7.求证:不论x, y 取何值代数式x 2 _xy • y 2 _2x y 5的值总是非负数25 仁 2 2-2x y 2x - 2xy 2y _ 4x 2y 5 .七、配方法用于比较大小例 8.若代数式 M =10a 2，b 2_7a 8, N =a 2 b 2 5a ，1,则 M - N 的值（A ） 一定是负数 （B ） 一定是正数 （C ）一定不是负数（D ） 一定不是正数思路：作差比较大小法：作差M - N ,然后用配方法说明差的符号 ，从而也可以说明 大小关系•解: T M =10a 2 b 2 -7a 8,N ^a 2 b 2 5a 1••• M -N =10a 2 b 2 -7a 8—a 2 -b 2 -5a -1= 9a 2 -12a 7= 9a 2 -12a 4 3 2=3a - 2 33a - 2 i 》0• 3a -2 23 0,即 M -N 0,M N• M -N 的值一定是正数，选择【B 1 .习题8.用配方法说明代数式 2x 2 -4x-1的值总大于x 2 -2x-4的值.提示：x 2 -xy y 2M ,N 的••• a = -1 ：：： 02 81•••函数y =_x 9x 有最大值，最大值为y max .4例10.分别在下列范围内求函数y =x 2 -2x-3的最大值与最小值(1)0 :：: x :: 2 ； (2) 2< x < 3.解:y =x 2 -2x -3 二 x 2 -2x 1 一4 = x -1 2 -4 (1 )••• 0 ：：x ：：：2••当X 二1时，函数y = X - 2x - 3有最小值，最小值为y min = _4，无最大值(2) T y = x -1 2 -4•••当x > 1时,y 随x 的增大而增大•/ 2< x < 3•••当x =2时,y 有最小值，最小值为y min =[2 -1 2 - 4 - -3; 当x =3时,y 有最大值，最大值为y max = 3-1 2 -4=0.1 3习题9.函数y =—x 2 — — X 的最小值为2 2习题10.函数y = -2x? —3x 的最大值为 ___________ .八、配方法用于求函数的最值 对于二次函数 y =ax 2 bx c a =0，通过配方法可将其化为顶点式 然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值 •在顶点式中，h -,k 2a y = ax_hj + k , 4ac 一 b 2 4a(1 )当a 0,且x —时,函数有最小值 2a (2)当a < 0 ,且x —时,函数有最大值 2a ，最小值为，最大值为 4ac —b 2『min4a 4ac —b 2 ymax4a2 例9.求函数y = _x 9x 的最大值. 解: 2 =—x 9x = _*2 _9x 卫日「x2_9x 81 卫 4 4丿J 4丿4 J。
(八年级数学)一元二次方程(二)配方法
（八年级数学）一元二次方程（二）——配方法第 周 星期 班别_______ 姓名____ ____ 学号_____（一）学习目标：1、正确理解配方法：了解配方法的实质是通过配方将一元二次方程化为()()02≥=+b b a x 的形式，再用直接开平方法求解。
2、学会运用配方法解方程。
3、体会数学的转化思想。
（二）学习过程：环节一：复习引入：1、解方程：2(2)1x -=解：直接开平方，得：2x -=则：2x -= ，2x -= ，∴1x = ，2x = ；2、对比：2(2)1x -=与2430x x -+=有什么联系？思考：能否经过适当的变形，将方程2430x x -+=转化为2( )a =的形式环节二：配方法解一元二次方程：例1：用配方法解方程：2430x x -+=解：24x x -= （把常数项移到右边）24x x -+ =－3+ （方程两边都加上一次项系数的一半的平方）（x - ）2= （把等号的左边写成完全平方的形式） 直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；小结：通过变形，使等号的左边是一个完全平方式，右边是一个非负的常数，再用直接开平方法求解，这种解方程的方法叫做配方法。
环节三：练习 A 组：1、填空：①22x x -+（ ）=()2-x ； ②26x x -+（ ）=()2-x ③28x x ++（ ）=()2+x ； ④24x x -+（ ）=()2-x2、运用配方法解方程：（1）2670x x +-=解：26x x += （把常数项移到右边）26x x ++ =7+ （方程两边都加上一次项系数的一半的平方） （x + ）2= （把等号的左边写成完全平方的形式） 直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；（2）2650x x -+=解： （把常数项移到右边） （方程两边都加上一次项系数的一半的平方） （把等号的左边写成完全平方的形式）直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；（3）24120x x +-= （4）22150x x --= 解： 解：3、填空：①x x 32++（ ）=()2+x ②25x x -+（ ）=()2-x4、解方程：（1）220x x +-=解：2x x += （把常数项移到右边）2x x ++ = （方程两边都加上一次项系数的一半的平方） （x + ）2= （把等号的左边写成完全平方的形式） 直接开平方，得：则： ， ；∴原方程的解是：1x = ，2x = ；（2）0232=++x x （3）0432=--x xB组1、用配方法解方程：2++=2620x x（思考：若二次项系数不是1时，如何配方？能把二次项系数化为1吗？）解：二次项系数化为1，得：2、用配方法解方程：（1）23690--=x x41290x x-+=（2）2解：（3）2260+-=；x x++=；（4）2x x4620C组解方程：22+=++x x x3(1)246。
初二数学学习方法：配方法与因式分解法
初二数学学习方法：配方法与因式分解法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
配方法专题探究
配方法专题探究第一篇：配方法专题探究配方法专题探究例1：填空题：1．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为2．方程x2+y2+4x－2y+5=0的解是。
分析：利用非负数的性质3．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为。
分析：利用减法4．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式。
5．设方程x2+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）2。
6．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为。
分析：根与系数的关系，整体代入法7．若x、y为实数，且x+2y-3=-(2x+3),则y-1的值等于。
x+1分析：整理形式，非负数的应用。
拓展练习题：***1．完全平方式是_______项式，其中有_____完全平方项，________•项是这两个数（式）乘积的2倍．****2．x2+mx+9是完全平方式，则m=_______．分析：全面考虑3．4x2+12x+a是完全平方式，则a=________．分析：可以用判别式的方法4．把方程x2－8x－84=0化成（x+m）2=n的形式为（）．A．（x－4）2=100B．（x－16）2=100C．（x－4）2=84D．（x－16）2=845．已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为。
分析：重新组合，正确分割。
6．如果二次三项次x2－16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）．A．±8B．4C．－D．±分析：可以用代入验证法7．用配方法解方程：（1）2x2－x=0；（2）x2+3x－2=0．8．判断题．（1）x2+1522x－=（x+）2+（）9933（2）x2－4x=（x－2）2+4（）（3）121y+y+=（y+1）2（）229．已知（x2+y2）（x2+y2+2）－8=0，则x2+y2的值是（）．A．－4B．2C．－1或4D．2或－4分析：合情推理，十分重要。
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专题 25 配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、2222()a ab b a b ±+=±
2、2a b ±=
3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++
4、2
2
2
2221
[()()()]2
a b c ab bc ac a b b c a c ++---=
-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.
(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
例题与求解
【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.
【例2】 若实数a ，b ， c 满足2
2
2
9a b c ++= ，则代数式222
()()()a b b c c a -+-+- 的
最大值是 ( )
A 、27
B 、18
C 、15
D 、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；
(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】 已知1
52
a b c +--， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.
【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想
21
44448889(666
61)n n
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.
几个有趣的结论： (1) 21
444
488889(666
61)n n
n
+=+
(2) 21
111
1555
56(33331)n n
n
+=+
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
【例6】 已知自然数n 使得2
1991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知2
2
2
2()30a b c a b c ++-+++= ，则3
3
3
3_________a b c abc ++-=.
3、x ，y 为实数，且2
2
422
y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.
4、当x ＞2，得___________.
5、已知2
2
4121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.
(全国通讯赛试题)
6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )
A 、负数
B 、正数
C 、非负数
D 、可正可负
7 的值为 ( )
A 、1
B
C 、
D 、
(全国初中数学联赛试题)
8、设a ，b , c 为实数，2
222,2,23
6
2
x a b y b c z c a π
π
π
=-+
=-+
=-+
，则x ，y ，z 中
至少有一个值 ( )
A 、大于零
B 、等于零
C 、不大于零
D 、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )
A 、2
333n n -+ B 、2
444n n ++ C 、2
555n n -+ D 、2
777n n -+ E 、2
111111n n -+
10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数. (1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.
11、解方程组2222
22212121z x z x y x y z y
⎧=⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)
12、能使2256n
+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)
13、已知b a >，且()()243a
a b a ab b b
+++-+
= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)
13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.
(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；
(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。