噪声驱动下的熵随机共振

Alfonso Sutera 和意大利物理学家 Angelo Vulpoiani 等人 1981 年在研
究古气象冰川问题时提出的。 他们利用随机共振概念创造性地对第四纪冰川发生的现 象做出了科学圆满的解释。他们认为古气象冰川期和暖和期以大约 10 万年为一周期 交替出现，而地球绕太阳转动的偏心率的变化周期也大约为 10 万年。这一变化意味 着太阳对地球施加了周期变化的信号。然而，这一周期信号很小，本身不足以产生地 球气候从冰川到暖和期的如此大幅度的变化（粗糙估计的变化幅度为 1Co 量级， 实际变化幅度为 10Co 量级）Roberto Benzi 等人提出的气候模型认为:地球处于 非线性条件下，这种条件使地球可能取冷态（冰川态）和暖态两种状态。 地球偏心率 的周期变化使气候有可能在这两种态之间变动， 而地球所受的噪声 （比如太阳常数的 无规律变化） 大大提高了小的周期信号对非线性系统的调制能力。 他们把这种引起地 球古气象大幅度周期变动的现象称为“随机共振” 。 目前， 人们从更多的物理现象和工程应用中去研究随机共振。 按照所研究的数学 模型，可以分为线性模型和非线性模型两大类。在线性模型随机共振研究方面， A.V.Barzykin、V.Berdichevsky，M. Gitterman 等基于线性系统理论，深入研究了 乘性噪声和加性噪声作用下一阶、 二阶线性模型统随机共振行为。 如果随机力(噪声) 强度很小，人们或许会认为，这种随机力对宏观运动的影响也是很小的，而且可以被 看成是消极的干扰。然而，本世纪 70 年代以来的非线性科学和统计物理的最新发 展告诉我们，一个小的随机力并不仅仅是对原有的确定性方程的结果产生微小的改
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出了熵垒的作用。 过阻尼布朗粒子在受限区域内自由扩散如图 1 所示， 当在垂直方向 施加一个恒力 G 的作用是， 可能会产生一种激活机制。 下面我们将呈现由熵势所产生 的约束和存在不规则边界相结合产生的一种有效的双稳势随机共振。
一、不受限布朗粒子运动随机运动模型
对于不受限的布朗粒子的运动在空间将是各向同性的，即无外界作用力时，其 每次的无规则行走间隔满足高斯分布， 且两次行走之间的时间间隔满足泊松分布， 通 过 MATLAB 模拟很容易得：
F (t )
F (t ) 。这些力被重新量化，为了便于易读性下面我们省略掉波浪符号，在无量纲化的情 FR
况下朗之万(Langevin)方程（1）和二维的边界函数（2）就可以简化为如下形式：
dr Gey F (t )ex D (t ), dt
（5）
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b wl ( x) wu ( x) w( x) x 4 2 ( x)2 , 2
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引言
20 世纪初，朗之万(P. Langin)在研究布朗运动时，在描述布朗粒子的牛顿运
动方程中引入了随机力(噪声)，用来表示—种涨落很快、引起粒子无规则运动的力。 这是第一次在物理学中使用随机微分方程， 其后在非平衡统计物理中被广泛应用。 随 机共振的概念是由意大利物理学家 家 Roberto Benz 、 美 国 物 理 学
Gw( x) 1 ，方程（8）势函数V ( x) Gw( x) D
（忽略掉不相关的量） ，这样又会恢复到传统的以能量控制的随机共振[1-3]。另一种相反的极限 情况，例如对于
Gw( x) 1的情况，相应的熵势函数则变为V ( x) D ln w( x). D
二项近似-对于分析两态近似条件下随机共振的发生有其重要意义。对于势V ( x) 和修正势 的势垒高度 V 在存在周期性驱动力的熵双稳势系统中，过阻尼布朗粒子从一边势到另一边的跃 迁转移几率，通过克拉莫斯逃逸率[21-23]被给出，无量纲化形式为：
图 1 布朗粒子在二位平面中的运动轨迹
二、局限区域内布朗粒子随机运动模型
随机共振现象在很多领域都有着潜在的应用价值， 引起许多学者在理论上和实验 上进行广泛的研究。在物理，工程，电子和地磁系统，生物和生理科学等领路中，人 们大多数是在宏观系统中研究随机共振现象， 也仅仅是从能垒上研究近年来， 在一些 软凝聚态物质和生物系统中，熵垒应该被考虑进来，在不规则的区域系统中，将产生 一种熵起主要作用的势， 布朗粒子在其中运动时将会发生随机共振行为， 我们将它称

dr Gey F (t )ex kT T (t ), dt
（1）
这里的 r 是粒子所处的位置， 表示摩擦系数，ex 和 e y 是 x 和 y 方向上的单位矢量， 随机 变量 (t ) 表示高斯白噪声且噪声平均服从涨落耗散，它的统计平均值性质可以写成如下形式：
i (t ) j (t ) 0,
关键词：噪声驱动；熵随机共振；熵垒；功率谱幅度；逃逸率
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目录
一、不受限布朗粒子运动随机运动模型 ............................................................................... 6 二、局限区域内布朗粒子随机运动模型 ............................................................................... 6 三、熵双稳理论模型 ........................................................................................................... 7 四、垂直常力 G 振幅 F0 和信号频率 的影响......................................................................11
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变，在一定的非线性条件下，它还可以对系统的演化起决定性的作用。这种随机干扰 在一定的条件下，会产生相干运动，对“序”的建立起到了建设性的创造作用。其中 最典型的就是“随机共振”现象。在一定的条件下增加系统输入的噪声，会导致输出 的信号的增加，降低噪声的输出，即增加输入的无序反而使系统的输出更加有序。这 就是“随机共振”效应。随机共振在于描述一种反常现象（反常效应） ，加入适当的 噪声并且不影响噪声的检测或者转换，通常的弱信号。但是不是结构性上的利用，在 亚稳态和非线性系统中，对于一个弱信号可以被放大[1]。随机共振第一次被发现是 在早期八十年代，随机共振已经在各种各样的系统中本发现，例如物理、化学、工程 学、生物和医学[1-10].这些模型和应用一直得到了发展，更突出的是，随机共振在 生物物理中引起了人们广泛的兴趣和应用。 本文对随机共振的研究主要集中在具有纯势垒的系统。 但在生物系统或者软凝聚 态物质的粒子运动中应该把熵垒考虑进去，粒子运动在受约束的区域，如小谐振腔， 孔隙或针孔通道的存在和形状， 随机共振发挥了重要的作用， 称之为随机共振动力学 [10]。有时候在这种充满障碍的系统中的运动远比之前的研究更有意义[11-14]。本 文我们阐述的是在形状，边界的不规则粒子的运动行为，通过熵势函数，引入噪声的 辅助，在不规则边界系统中观察布朗粒子的随机共振行为。约束，是小规模系统中固 有的特性， 是构成随机共振效应的噪声的主要来源， 在系统的设计和控制方面具有广 泛的应用价值。 随机共振现象主要是在于噪声引起的跳频事件和外部施加的驱动信号的之间的 随机协同，采取微弱信号系统，以克服势垒存在的障碍。首先，噪声能使系统发生转 换，实际上就是使所观察到的信号被放大或出现一定程度的序列。 随机共振最早最基本的表现是通过观察到的在一个周期性驱动力的布朗粒子的 随机运动的双稳态势，更重要的是，这种势的影响不仅表现出了能垒的作用，还表现
这里
（7）
2D Gw( x) V ( x, D) D ln sinh , D G
（8）
Gw( x) sinh 为双曲正玄函数，上述函数主要关系到对 x 的求导问题，这个方程主要表示布朗 D
粒子的双稳熵势。显然，双稳熵势函数不仅取决于垂直常力 G 的作用，还取决于温度和几何机构 的非稳态（非平凡）方式。尤其是对于图 1 中的两种相反几何结构的消失，双稳熵函数处理结果 趋于无穷，也就要考虑自然反射边界的结果。重要的是由于相关熵的限制和约束，这种双稳熵的 二维郎之万动力学又是不存在的。在一般情况下，粗粒化后的扩散系数取决于坐标 x，由于我们 考虑的情况是 w( x) 1 ，那么上述的修正就可完全被忽略掉，参考[15,17-22]。 有趣的是我么可以分析下面两种取极限情况，可以在不同的值之间的比例的能量关联的横向 力和热能量。 对于能量起主导地位的情况， 例如
由于受限边界的存在，动力学方程就必须考虑边界条件，由粒子运动的二维的结构示意图知 道， 其边界函数可写为如下形式：
wl Ly (
x 4 x b ) 2 Ly ( )2 wu , Lx Lx 2
（4）
其中 wl 和分别表示下边界函数和上边界函数，Lx 为瓶颈位置到最大宽度位置的距离， 相应的 Ly 为瓶颈位置到最窄地方的高度，b 表示瓶颈宽度， 2w wu ( x) wl ( x) 表示结构体系的宽度，这 样的几何选择只是为了让其像处理传统的随机共振势阱接近。如果垂直常力 G 非常大， 那么粒子 被限制在低边界区域里，区域里，又回到了经典的能量势双稳态系统。为了进行无量纲的描述， 把所有的长度量通过 Lx 来量化，得到 x
题 目
噪声驱动下的熵随机共振
学院：
物理与天文学院
专 业 ： 理 论 物 理 姓名 ： 李勇
学号 ： 12015001077 导 师 梅冬成 职称 教授
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噪声驱动下的熵随机共振
摘要： 本文我们提出一种对于动态的布朗粒子处在受限区域内的运动是所发生的随
机共振现象的方案。由于不规则边界的存在，将产生一种熵其主要作用的势，我们将 其称为熵垒。粒子处在该区域中运动时，在适当的噪声和周期性驱动力的作用下，使 得在一个最优值环境中噪声对系统的输出功率谱幅度起增强的作用。 其次， 熵随机共 振还具有小系统的特点，可以对操作和控制单分子和纳米器件构成一个有效的机制。
i (t ) j (t ) ij (t t ). 其中 i j x y.
（2） （3）
横向给出了水平驱动力可以写为正弦形式 F (t ) F0 sin(t ). 这里的 F0 水平周期驱动力的振幅
F0 ，相应 是正弦驱动频率
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图 3 显示布朗粒子在二位受限边界里的运动， 这个对称结构可由双势阱 函数所定义，方程（2）包含的几何参数 Lx 、 Ly 和 b 。布朗粒子就 会在横向驱动力和纵向常力 G 和 F (t ) 的驱动下运动。
这里我们定义了纵横比
（6）
Ly Lx
和噪声强度 D
T 。 TR
当不存在周期性的驱动力，例如： F (t ) 0 （粗略化的描述已经表明[15-17]）, 二维的朗之万方 程（1）可以演化成一维有效的福克普-朗克方程（无量纲形式） ：
P( x, t ) P D V ( x, D) P , t x x
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之为熵随机共(ESR) ESR 属于随机共振中的一种，我们通过功率谱幅度来描述
图 2 布朗粒子在二位平面中的运动轨迹
三、Fra Baidu bibliotek双稳理论模型
在一受限的几何区域中， 描述了布朗粒子在沿 X 轴方向的周期驱动力 F (t ) 和竖直方向常力
G 的作用下的动力学行为，这时的过阻尼运动系统可以用如下朗之万(Langevin)方程描述：
w x y b ，y ，b ，和 wl l wu 。 我们 Lx Lx Lx Lx
假设一个不相关的温度参量 TR 和单位时间
L2 x
k BTR
，这就意味着 2 时间内在温度TR 下，Lx 表
示粒子的扩散距离，例如： t
t

， ，力， FR
Lx G ，恒力 G 和水平驱动力 FR