高中数学必修一 第1讲函数及其表示

第4讲 函数及其表示

基础梳理

1．函数的基本概念

(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .

(2)函数的定义域、值域

在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．

2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．

3．映射的概念

一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．

两个防范

(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．

(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．

考向一 相等函数的判断

【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ）

A y =( x )2

B y=x x 2

C 33x y =

D y=2x 【例2】x x y 2

=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).

0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域

高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：

（1）分式函数中分母不为0；

（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；

（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；

（4）0次幂的底数不为0。

（5）正切函数2π

π+≠k x

【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 3

2)(的定义域。 【训练1】求函数02

)45()

34lg(-++=x x x y 的定义域 考向三 求函数的解析式

求函数解析式的方法主要有：(1) 配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．

（1）配凑法

【例1】若32)1(2-+=+x x x f ，求f(x)。

【训练1】若221)1(x x x x f +=+

，求f(x)。 （2）换元法

【例2】已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )

【训练2】已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 的解析式。

（3）待定系数法

【例3】已知f （x ）为二次函数，且f （x+1）+f （x －1）=2x 2－4x ，求函数)(x f 的解析式。

【训练3】设函数)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ,求函数)(x f 的解析式。

（4）解函数方程

【例4】定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．

【训练4】若)(x f 满足x x f x f =+)1(2)(，求)(x f 。

考向四 分段函数

分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题。涉及分段函数的函数值的问题，务必注意自变量属于哪一段的范围而使用哪一段的解析式，如果自变量范围不能确定，多数情况下需要对自变量进行讨论。分段函数的值域是各段值域的并集。

【例1】(2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1， 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．

A ．[－1,2]

B ．[0,2]

C ．[1，＋∞)

D ．[0，＋∞)

【例2】(2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．

【训练1】函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-0

,01),sin()(12x e x x x f x π，若f(1)+f(a)=2，则a 的所有可能值为___________________。

【训练2】对)|}(2||,1max{|)(,,,},max{,,R x x x x f b a b b a a b a R b a ∈-+=⎩

⎨⎧<≥=∈函数记的最小值是________________.

对于单调性的研究后面将有专题，本讲仅举分段函数一例

【例3】已知⎩⎨⎧≥<+-=1

,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 取值范围是______.

凡带绝对值的函数都可以看作分段函数，要求会画分段函数的图像，这是非常重要的内容。

【例4】画出下列函数的图像

（1）|1|+=x y （2）||2x y -= （3）|log |2x y =

考向五 函数的值域

新课程对求函数的值域降低了要求，因此不作为复习重点，但对于一些基本的方法应有所了解，如直接根据x 范围求出y 范围、根据初等函数的图像求值域、由基本不等式求值域、根据函数单调性求值域、利用导数求值域等。

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )．

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

2．(2011·江西)若f (x )＝1log 12

(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )． A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭

⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 3.下列四组函数中，表示同一函数的是 （ ）

A ．2)1(1-=-=x y x y 与

B ．11

1--=-=x x y x y 与

C ．2lg 2lg 4x y x y ==与

D ．100lg

2lg x x y =-=与 4.设函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( ) A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2

5．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )．