函数A函数的概念与表示法(烟台市芝罘区数学精品一轮)
山东高考数学一轮总复习学案设计-第二章第一讲函数及其表示含答案解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的概念及表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射.(2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则.(3)函数的表示法:解析法、图象法、列表法.(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才相同.知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数叫分段函数,分段函数是一个函数而不是几个函数.重要结论1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;(2)映射的两个特征:第一,在A中取元素的任意性;第二,在B中对应元素的唯一性;(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 3.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 4.与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.双基自测题组一 走出误区1.(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A .函数f (x )的图象与直线x =1的交点只有1个 B .已知f (x )=m (x ∈R ),则f (m 3)等于m 3 C .y =ln x 2与y =2ln x 表示同一函数D .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,-1≤x ≤1,x +3,x >1或x <-1,则f (-x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,-1≤x ≤1,-x +3,x >1或x <-1题组二 走进教材2.(必修P 23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )A .1B .2C .3D .4[解析] ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象,②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.3.(必修1P 24T4改编)已知f (x 5)=lg x ,则f (2)等于( D ) A .lg 2 B .lg 32 C .lg132D .15lg 2[解析] 解法一:由题意知x >0,令t =x 5,则t >0,x =t 15,∴f (t )=lg t 15=15lg t ,即f (x )=15lg x (x >0),∴f (2)=15lg 2,故选D .解法二:令x 5=2,则x =215,∴f (2)=lg 215=15lg 2.故选D .4.(必修1P 25BT1改编)函数y =f (x )的图象如图所示,那么f (x )的定义域是[-3,0]∪[2,3];值域是[1,5];其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5].题组三 考题再现5.(2019·江苏,5分)函数y =7+6x -x 2的定义域是[-1,7].[解析] 要使函数有意义,则7+6x -x 2>0,解得-1≤x ≤7,则函数的定义域是[-1,7].6.(2015·陕西,5分)设f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f [f (-2)]=( C )A .-1B .14C .12D .32[解析] ∵f (-2)=2-2=14,∴f [f (-2)]=f (14)=1-14=12,故选C .KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射,能否构成函数? ①A ={1,2,3},B =R ,f (1)=f (2)=3,f (3)=4. ②A ={x |x ≥0},B =R ,f :x →y ,y 2=4x . ③A =N ,B =Q ,f :x →y =1x2.④A ={衡中高三·一班的同学},B =[0,150],f :每个同学与其高考数学的分数相对应. (2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( BC )(3)以下给出的同组函数中,是否表示同一函数? ①f 1:y =xx ;f 2:y =1;f 3:y =x 0.②f 1:y =x 2;f 2:y =(x )2;f 3:y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x >0,-x ,x <0.③f 1:y =⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2.f 2:x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123f 3:[解析] (1)①是映射,也是函数;②不是映射,更不是函数,因为从A 到B 的对应为“一对多”; ③当x =0时,与其对应的y 值不存在.故不是映射,更不是函数; ④是映射,但不是函数,因为集合A 不是数集.(2)A 图象不满足函数的定义域,不正确;B 、C 满足函数的定义域以及函数的值域,正确;D 不满足函数的定义,故选B 、C .(3)①中f 1的定义域为{x |x ≠0},f 2的定义域为R ,f 3的定义域为{x |x ≠0},故不是同一函数; ②中f 1的定义域为R ,f 2的定义域为{x |x ≥0},f 3的定义域为{x |x ≠0},故不是同一函数; ③中f 1,f 2,f 3的定义域相同,对应法则也相同,故是同一函数. [答案] (1)①是映射,也是函数 ②不是映射,更不是函数 ③不是映射,更不是函数 ④是映射,但不是函数 (3)不同函数①②;同一函数③名师点拨 ☞ 1.映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应;至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓.(2)函数是特殊的映射:当映射f :A →B 中的A ,B 为非空数集时,且每个象都有原象,即称为函数.2.判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中,定义域和对应法则相同,则值域一定相同. (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时,才是相同函数. 考向2 求函数的解析式——师生共研例2 已知f (x )满足下列条件,分别求f (x )的解析式. (1)已知f (x -1)=x -2x ,求f (x );(2)函数f (x )满足方程2f (x )+f (1x)=2x ,x ∈R 且x ≠0.求f (x );(3)已知f (x )是一次函数且3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )的解析式;(4)已知f (0)=1,对任意的实数x ,y ,都有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),求f (x )的解析式. [分析] (1)利用换元法,即设t =x -1求解; (2)利用解方程组法,将x 换成1x 求解;(3)已知函数类型,可用待定系数法; (4)由于变量较多,可用赋值法求解.[解析] (1)解法一:设x -1=t (t ≥-1),∴x =t +1,x =(t +1)2=t 2+2t +1,∴f (t )=t 2+2t +1-2(t +1)=t 2-1,∴f (x )=x 2-1(x ≥-1).解法二:由f (x -1)=x -2x =(x -1)2-1,∵x ≥0,∴x -1≥-1,∴f (x )=x 2-1(x ≥-1).(2)因为2f (x )+f (1x )=2x ,①将x 换成1x ,则1x 换成x ,得2f (1x )+f (x )=2x.②由①②消去f (1x ),得3f (x )=4x -2x .所以f (x )=43x -23x(x ∈R 且x ≠0).(3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数,可设f (x )=ax +b (a ≠0), ∴3[a (x +1)+b ]-2[a (x -1)+b ]=2x +17. 即ax +(5a +b )=2x +17,因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,5a +b =17,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =7.故f (x )的解析式是f (x )=2x +7.(4)令x =0,得f (-y )=f (0)-y (-y +1)=1+y 2-y , ∴f (y )=y 2+y +1,即f (x )=x 2+x +1.名师点拨 ☞函数解析式的求法(1)凑配法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,即令t =g (x ),反解出x ,代入原式可得f (t ),改写即得f (x ).此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).(5)赋值法:给变量赋予某些特殊值,从而求出函数解析式. 〔变式训练1〕(1)已知f (cos x )=sin 2x ,则f (x )=1-x 2,x ∈[-1,1].(2)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=12x 2+12x (x ∈R ).(3)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=-x (x +1)2.[解析] (1)(换元法)设cos x =t ,t ∈[-1,1], ∵f (cos x )=sin 2x =1-cos 2x , ∴f (t )=1-t 2,t ∈[-1,1]. 即f (x )=1-x 2,x ∈[-1,1]. (2)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx (a ≠0). 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R ).(3)(转换法)当-1≤x ≤0,则0≤x +1≤1,故f (x +1)=(x +1)(1-x -1)=-x (x +1),又f (x +1)=2f (x ), 所以当-1≤x ≤0时,f (x )=-x (x +1)2.考点二 分段函数及应用——多维探究角度1 分段函数求值问题例3 (2020·山西太原期中)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ,x ≥2,f (x +1),x <2,则f (log 23)=( A )A .16B .3C .13D .6[解析] ∵函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ,x ≥2,f (x +1),x <2,∴f (log 23)=f (log 23+1)=(12)log 23+1=(12)log 1213×12=13×12=16.故选A .角度2 分段函数与方程的交汇问题例4 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0.若f (1)+f (a )=2,则a =1或-22.[解析] 由于f (1)=e 1-1=1,再根据f (1)+f (a )=2得f (a )=1.当a ≥0时,f (a )=e a -1=1,解得a =1;当-1<a <0时,f (a )=sin(πa 2)=1,解得a 2=12+2k ,k ∈Z .由-1<a <0,得a =-22.综上,a =1或-22. 角度3 分段函数与不等式的交汇问题例5 (2018·全国Ⅰ,12)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 取值范围是( D )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[解析]画出函数f (x )的图象如图所示,由图可知:①当x +1≥0且2x ≥0,即x ≥0时,f (2x )=f (x +1),不满足题意; ②当x +1>0且2x <0,即-1<x <0时,f (x +1)<f (2x )显然成立;③当x +1≤0时,x ≤-1,此时2x <0,若f (x +1)<f (2x ),则x +1>2x ,解得x <1.故x ≤-1.综上所述,x 的取值范围为(-∞,0).名师点拨 ☞分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·江西抚州质检)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -22m +1,x ≤3,log 2(x -3),x >3,其中m ∈R ,则f (3+4m )=( A )A .2mB .6C .mD .2m 或6(2)(角度2)(2020·安徽江淮十校联考)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-2,则f (4-a )=( C )A .-4B .-2C .-1D .0(3)(角度3)(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是(-14,+∞).[解析] (1)因为3+4m >3,所以f (3+4m )=log 24m =2m ,故选A .(2)当a ≤1时矛盾;当a >1时,令-log 2(a +1)=-2得a =3,∴f (4-a )=f (1)=-1,故选C .(3)当x >12时,x -12>0,f (x )>212=2,f (x -12)>20=1,∴f (x )+f (x -12)>1,在x >12时恒成立,当0<x ≤12时,x -12≤0,f (x )+f (x -12)=2x +(x -12)+1>1,当x ≤0时,x -12<0,此时f (x )+f (x -12)=x +1+(x -12)+1=2x +32,令f (x )+f (x -12)>1,则有2x +32>1,∴x >-14,当-14<x ≤0时,有f (x )+f (x -12)>1恒成立,综上,当x >-14时,f (x )+f (x -12)>1恒成立.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升数学抽象——函数新定义问题中的核心素养例6 设函数f (x )的定义域为D ,若对任意的x ∈D ,都存在y ∈D ,使得f (y )=-f (x )成立,则称函数f (x )为“美丽函数”,下列所给出的几个函数:①f (x )=x 2;②f (x )=1x -1;③f (x )=ln(2x +3);④f (x )=2x -2-x ;⑤f (x )=2sin x -1. 其中是“美丽函数”的序号有②③④.[解析] 由已知,在函数定义域内,对任意的x 都存在着y ,使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数,即f (y )=-f (x ).故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件.①中函数的值域为[0,+∞),值域不关于原点对称,故①不符合题意;②中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域关于原点对称,故②符合题意;③中函数的值域为(-∞,+∞),值域关于原点对称,故③符合题意;④中函数的值域为R ,值域关于原点对称,故④符合题意;⑤中函数f (x )=2sin x -1的值域为[-3,1],不关于原点对称,故⑤不符合题意.名师点拨 ☞以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题.〔变式训练3〕定义a ☆b =⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ,a ·b ≥0,a b ,a ·b <0,设函数f (x )=ln x ☆x ,则f (2)+f (12)=( D )A .4ln 2B .-4ln 2C .2D .0[解析] 2×ln 2>0,所以f (2)=2×ln 2=2ln 2.因为12×ln 12<0,所以f (12)=ln 1212=-2ln 2.则f (2)+f (12)=2ln 2-2ln 2=0.。
高考数学一轮 2.1 函数及其表示精品教学案 新人教版(教师版)
【考纲解读】【要点梳理】1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射,它有以下特点: (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.分段函数是指函数由n 个不同部分组成,但是一个函数.4.函数解析式求法:(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法;(2)已知复合函数[(()]f g x 的表达式,求()f x 可用换元法;(3)配凑法与方程组法. 【例题精析】考点一 函数的概念【变式训练】1.下列函数中,与函数1y x=有相同定义域的是( ) A.2()log f x x = B.1()f x x= C.()||f x x = D.()2x f x = 【答案】A【解析】选项A 的定义域为(0,)+∞,与原题相同;而选项B 中的x 可以为负数,选项C 、D 的定义域都为R ,故选A.考点二 函数值的求解例2.(2012年高考福建卷文科9)设,则f(g(π))的值为 ( )A 1B 0C -1D .π2. (2012年高考江西卷文科3)设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则f (f (3))=( )A.15 B.3 C. 23 D. 139【答案】D【解析】考查分段函数,f (3)=23,f (f (3))=f (23)=139. 【易错专区】问题:求分段函数的函数值例.已知2,0()(1),0x xf xf x x>⎧=⎨+≤⎩,则4()3f+4()3f-的值等于( )A.-2B.4C.2D.-41.下列各组函数表示相同函数的是( )A. f(x)=2x, g(x)=2()x B. f(x)=|x|,g(x)=2xC. f(x)=1x-, g(x)=11xx--D. f(x)=1x+. 1x-, g(x)= 21x-【答案】B【解析】由题意可分析出,选项A、C、D的定义域不相同,而选项B的定义域与对应法则均相同,故选B.2. (2008年高考山东卷文科第5题) 设函数2211()21x xf xx x x⎧-⎪=⎨+->⎪⎩,,,,≤则1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭的值为()A.1516B.2716- C.89D.18【答案】A【解析】因为(2)4f=,所以1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭=1()4f=1516,故选A.3.(北京市东城区2012年1月高三考试)已知函数3,0,()(1),0,x xf xf x x≤⎧=⎨->⎩那么5()6f的值为.4.(山东省青州市2011年4月抽样监测文科第14题)已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=fxxfxxfx则=_________.【答案】2【解析】(8)(5)(2)(1)2f f f f-=-=-==.【考题回放】1.(2010年高考湖北卷文科3)已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-142.(2009年高考山东卷理科第10题)定义在R 上的函数f(x )满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ,则f (2009)的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【答案】C【解析】由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f (2009)= f (5)=1,故选C.3. (2012年高考陕西卷文科11) 设函数发f (x )=,则f (f (-4))=【答案】4【解析】41(4)()16,((4))(16)16 4.2f f f f --==∴-===4.(2011年高考浙江卷文科3)设函数k 4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =____5.(2010年高考陕西卷文科13)已知函数f (x )=232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f (f (0))=4a ,则实数a = . 【答案】26.(2009年高考北京卷文科第12题)已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =,则x = .。
芝罘区高一数学函数及其表示(含答案)
函数及其表示一、选择题1、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是 ( ) A 、{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-:A 中的数平方; B 、{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==:A 中的数开方; C 、,,A Z B Q f ==:A 中的数取倒数; D 、,,A R B R f +==:A 中的数取绝对值;2、设集合A=R ,集合B=R +,则从集合A 到集合B 的映射只可能是( ) A 、x y x f =→: B 、 x y x f =→:C 、 x y x f -=→3:D 、)1(log :2x y x f +=→3、已知集合A={1,2,3},集合B={4,5,6},映射B A f →:,且满足1的象是4,则这样的映射有( )A 2个B 4个C 8个D 9个4、设集合}21|{≤≤=x x A ,}41|{≤≤=y y B ,则下述对应法则f 中,不能构成A 到B 的映射的是( )A 、2:x y x f =→B 、23:-=→x y x fC 、4:+-=→x y x fD 、24:x y x f -=→5、函数y =ax 2+a 与y =xa(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )6、直角梯形OABC 中AB ∥OC 、AB=1、OC=BC=2, 直线t x l =:截该梯形所得位于l 左边图形面积为S , 则函数S=)(t f 的图像大致为( ) A BCD A B C D7、若)(x f 的定义域为[0,1],则)2(+x f 的定义域为( ) A 、[0,1]B 、[2,3]C 、[-2,-1]D 、无法确定二、填空题8、给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+,点11(,)66-的原象是__________________。
9、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =_______________________。
高考数学一轮复习 2-1函数的概念及其表示课件 理
• (1)函数的定义
• 设A,B是两个数非集空的 应法则f,对于集
,如果按某种对
唯一
• 合A中的每一个元素x,在集合B中都有 元素y=y和f(x)它,x∈A
• 对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个 函数,记
•作
.精品
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基础诊断
考点突破
课堂总结
•(2)函数的定义域、值域
•在函数y=f(x),x∈A中,其中所有的输入值x组 成的集合A称定为义域
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基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 1】 (1)函数 f(x)=log21x-2的定义域为________.
(2)函数 f(x)=ln1+1x+ 1-x2的定义域为________. 解析 (1)由题意知lxo-g22x>-02,≠0, 解得xx≠ >32, , 所以函数
f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
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考点突破
课堂总结
•规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使 解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集 合 ,在求解时,要把各个部分自变量的限制条 件列成一个不等式(组),这个不等式(组)的解集 就是这个函数的定义域,函数的定义域要写成 集合或者区间的形式.(2)对于实际问题中求得 的函数解析式,在确定定义域时,除了要考虑 函数解析式有意义外,还要使实际问题有意 义.
• 第1讲 函数的概念及其表示
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基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.映射、函数的概念,求简单函数 的定义域和值域,B级要求;2.选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,B 级要求;3.简单的分段函数及应用,A级要 求.
山东省烟台市芝罘区高考数学知识点总结专题1函数新人教A版
壹专题一函数【知识概要】一、映射●映射:映射是两个集合A 、B 间一种特殊的对应,:f A B →表示对集合A 中的任何一个元素,在集合B 中有唯一确定的元素与之对应。
如果a A ∈,b B ∈,且元素a 和元素b 对应,那么,元素a 叫做元素b 的原像,元素b 叫做元素a 的像,记为()b f a =。
【特别提醒】:(1)映射由三要素组成,集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ,集合A 、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合。
对于A 中每一个元素,在B 中有且只有一个元素和它对应。
(2)A 中的不同元素允许对应B 中的相同元素,即映射允许“多对一”、“一对一”,但不允许“一对多”。
B 中的元素可以在A 中没有元素和它对应。
二、函数的概念●1. 函数的定义:如果A 、B 都是非空的数集,映射:f A B →就叫做A 到B 的函数,记作:()y f x =,x A ∈,其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{}|()y y f x x A =∈叫做函数的值域.如果用()f A 表示值域,则有()f A B ⊆。
通常()y f x =表示“y 是x 的函数”,简记作函数()f x 。
●2. 函数的三要素:定义域A ,对应法则f ,值域()f A 。
●3. 函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法.函数解析式的求法: (1)待定系数法. 若已知函数的类型,可用待定系数法;(2)换元法. 已知复合函数(())f g x 的解析式,可用换元法,要注意变量的取值范围; (3)消参法. 若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出()f x 。
(4)直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域,特别是利用换元法求解析式时,不注明定义域往往导致错解。
分段函数:在定义域内不同部分上有不同的解析式,这样的函数通常叫分段函数,分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数。
芝罘区数学必修一函数的表示法
高中数学——函数的表示法(一)(一)函数的三种表示方法:1、解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点:简明扼要;给自变量求函数值。
图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(2); 优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势。
2、列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(3); 优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车时刻表;银行利率表等。
例1.某种笔记本的单价是2元,买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元.试用三种表示法表示函数y=f(x) .例2:下表是某校高一(1)班三位同学高一六次数学测试成绩及班级平均分表:(二)分段函数的定义:在函数的定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数。
说明:(1).分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对应法则;画分段函数图象时,应根据不同定义域上的不同解析式分别作出; (2).分段函数只是一个函数,只不过x 的取值范围不同时,对应法则不相同。
例3:某市出租车:(1)5公里内(含5公里),票价2元;第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 686573727582班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的俺公里计算)。
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。
例4.已知f(x)=⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ,求f(0)、f[f(-1)]的值(三)课堂练习:1.作业本每本0.3元,买x 个作业本的钱数y (元)。
高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示公开课课件省市一等奖完整版
方法 3 分段函数的解题策略
1.求函数值,弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,从最内层逐 层往外计算,求“层层套”的函数值. 2.求最值,分别求出每段上的最值,然后比较大小取得最值. 3.解不等式,根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式求 解. 4.求参数,“分段处理”,利用代入法列出各区间上的方程求解.
17,
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)当x∈(-1,1)时,有
2f(x)-f(-x)=lg(x+1). ①
以-x代x,得
2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). ②
由①②消去f(-x)得
f(x)= 2 lg(x+1)+1 lg(1-x),x∈(-1,1).
3
3
评析 (1)用的是换元法,定义法的实质也是换元;(2)用的是待定系数法; (3)-x与x互为相反数,赋值消元可求得函数解析式.
1.已知函数解析式,函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范
围,只需要解不等式(组)即可.
2.对于复合函数的定义域问题,若已知f(x)的定义域为[a,b],a,b∈R,其复
合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
3.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题或几
高考数学
§2.1 函数及其表示
知识清单
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的概念 如果A、B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数, 记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的 集合C⊆B叫做函数y=f(x)的值域. 2.函数的三要素:① 定义域 ,值域,对应关系. 3.两个函数能成为同一函数的条件是定义域、值域、② 对应关系 都相同. 4.函数的表示法主要有:③ 解析法 ,④ 图象法 ,⑤ 列表法 . 图象法表示函数是函数变量间对应关系的直观体现,是数形结合思想的 重要表现,是研究函数性质的基础.利用函数解析式作出函数图象,利用
[高三数学第一轮复习]函数的概念及其表示PPT课件
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
•规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段 的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内 到外依次求值.
•(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出 相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的 自变量的值是否满足相应段自 诊断·基础知识变量的取 突破·高频考点 值范围 培养·解题能力
不同而分别用几个不同的式子来并表集示,这种函
并集
数称为分段函数.
•分 段 函 数 的 定 义 域 等 于 各 段 函 数 的 定 义 域 的
,其值域等于各段函数的值域的
,分段
函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函
数.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
• 2.函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
突破·高频考点
培养·解题能力
•三审图形:观察y=ax的图象总在y=|f(x)|的下 方,则当a>0时,不合题意;当a=0时,符合 题意;当a<0时,若x≤0,f(x)=-x2+2x≤0,
•所以|f(x)|≥ax化简为x2-2x≥ax,
(2)函数 y=xx- +31的值域为________.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由题意x1+-32>x≥00,, 解得-3<x≤0. (2)y=xx-+31=x+x+1-1 4=1-x+4 1,因为x+4 1≠0, 所以 1-x+4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}.
(√)
(8)已知 f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2.
高三数学第一轮复习 函数的概念及表示教案 文
函数的概念与表示一、 知识梳理:(阅读教材必修1第15页—第26页) 1、 函数 (1)、函数的定义:(2)、构成函数的三要素:函数的定义含有三个要素,即定义域A ,值域C ,对应法则f ,当定义域A ,对应法则f 相同时,两个函数表示是同一个函数,解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域,函数的定义域包含四种形式: 自然型;限制型;实际型;抽象型;(3)函数的表示方法:解析式法,图象法,列表法 2、 映射映射的定义: 函数与映射的关系:函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解:函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同,则可以用多个不同的解析式来表示该函数,这种形式的函数叫分段函数,分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有:(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;(2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式;(4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 二、题型探究探究一:求函数的定义域 例1:1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B ,本题在解题时,突破点可以抓住定义域。
2、函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二:求函数的解析式 例2.(1).(15年新课标2文科)已知函数()32f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = .【答案】-2 【解析】试题分析:由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点:函数解析式(2).已知2(1)lg f x x+=,求()f x ;(3).已知是定义在实数R 上的奇函数,当,,的解析式。
山东省烟台市芝罘区高三数学专题复习函数(1)抽象函数及题型
烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-函数(1)抽象函数及题型无明确解析式,解()f x 的有关问题,记为抽象函数问题。
挺行总结如下 1.判断函数的奇偶性例1 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠, 求证:()f x 为偶函数。
证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-= ∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.求参数的取值范围例2:奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解:由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在(-1,1)内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式例3:如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在[2,+∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)◆方法总结:抽象函数常见考点题型解法综述1、定义域问题例1. 已知函数的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。
解:的定义域是[1,2],是指,所以中的满足从而函数f(x)的定义域是[1,4]例2. 已知函数的定义域是,求函数的定义域。
烟台芝罘区数学新课标人教A版高中数学必修1知识点总结
【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图
【芝罘区数学】
【芝罘区数学】
【芝罘区数学】
(1)A A
A BBiblioteka (2) A A 中的任一元 素都属于 B (3) 若 A B 且 B C , 则
AC
B
A(B)
子集
(或
B A)
或
A
(4) 若 A B 且 B A , 则
单调性 (1) 利用定义 如果对于属于定义 (2) 利用已知 域 I 内某个区间上 函数的单调性 的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < 1 . . . x 时 , 都 有 2 . . f(x )>f(x ) ,那么 1 2 . . . . . . . . . . . 就 说 f(x) 在 这 个 区间上是减函数 . ... ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两 个减函数的和是减函数, 增函数减去一个减函数为增函数, 减 函数减去一个增函数为减函数.
u g ( x ) 为增,则 y f [ g ( x )] 为增;若 y f (u ) 为减, u g ( x ) 为减,则 y f [ g ( x )] u g ( x ) 为减, u g ( x) 为增; 若 y f (u ) 为增, 则 y f [ g ( x)] 为减; 若 y f (u ) 为减,
o
x
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
(3) 利用函数 图象(在某个
x2
o
x1
x
区间图 象下降为减) (4) 利用复合 函数
y
③ 对 于复 合函 数 y f [ g ( x)] , 令 u g ( x ) , 若 y f (u ) 为 增,
高考数学一轮复习第二章《函数》第一节函数的概念及其表示
C
易错提醒 本题在换元时容易忽视新元的取值范围致误.
关键能力·突破
考点一 求函数的定义域
角度1 求给定解析式的函数的定义域
例1
角度2 求抽象函数的定义域
例2
C
B
迁移应用
B
考点二 求函数的解析式
例3
迁移应用
B
考点三 分段函数
角度1 分段函数的求值问题
例4
B
C
C
角度2 分段函数的值域问题
例5
D
D
方法感悟求分段函数的值域的方法(1)代数法:先分别求出每段函数的最值,再取其最大者为最大值,最小者为最小值,即可得到分段函数的值域.(2)几何法:作出分段函数的图象,根据图象即可得到分段函数的值域.
角度3 分段函数的不等式问题
例6
方法感悟涉及分段函数的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
迁移应用
BD
自变量
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.注 意判断两个函数是不是同一个函数时,若解析式可以化简,则要注意化简过程的等价性.
解析法、列表法、图象法.
(2)相关概念:分段函数的定义域是各段定义域的______,值域是各段值域的______.分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数,各部分函数的定义域不可以相交.注 意一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义区间端点应不重不漏.
第二章 函数
第一节 函数的概念及其表示
必备知识·整合
芝罘区数学必修一函数及其表示复习课
课题:函数及其表示复习课一、基础习题练习:(口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法)1.说出下列函数的定义域与值域: 835y x =+; 243y x x =-+; 2143y x x =-+; 2.已知1()1f x x =-,求(2)f , ((3))f f , (())f f x ; 3.已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩,(1)作出()f x 的图象;(2)求(1),(1),(0),{[(1)]}f f f f f f -- 的值二、讲授典型例题:例1.已知函数)(x f =4x+3,g(x)=x 2, 求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].例2.求下列函数的定义域:(1)0(1)x y x x +=-;(2)22423x y x x -=+-; 例3.若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++的定义域为R,求实数a 的取值范围. ([]1,9a ∈)例4. 中山移动公司开展了两种通讯业务:“全球通”,月租50元,每通话1分钟,付费0.4元;“神州行”不缴月租,每通话1分钟,付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟,两种通讯方式的费用分别为12,y y (元).(1).写出12,y y 与x 之间的函数关系式?(2).一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?(3).若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯方式?三.巩固练习:1.已知)(x f =x 2-x+3 ,求:f(x+1), f(x1)的值; 2.若(12f x x x +=+),求函数(x f )的解析式; 3.设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求)(xf的解析式.4.已知函数3231()3xf xax ax-=+-的定义域为R,求实数a的取值范围.。
(一轮)2.1函数的概念及其表示课件新人教A版
x
1
2
3
f
3
1
2
g
3
2
1
1- 2 , ≤ 1,
1
4.(2020 辽宁大连模拟,文 2)设函数 f(x)= 2
则 f((2))的值为
+ -2, > 1,
(
)
15
A.
16
27
B.16
8
C.
9
D.18
答案 A
解析 因为当 x>1 时,f(x)=x +x-2,所以
数的是(
)
1
A.y=2x
1
B.y=3x
2
C.y= x
3
D.y=√
(2)下列四个图象中,是函数图象的是(
A.①
B.①③④ C.①②③
D.③④
)
(3)下列四组函数中,表示同一个函数的是(
A.y=√ 2 ,y=(√)2
B.y=|x|,y=√ 2
2 -1
C.y= ,y=x+1
-1
2
D.y=x,y=
2 + = + 1,
1
所以
解得 a=b=2.
+ = 1,
所以
1 2 1
f(x)=2x +2x,x∈R.
(3)∵f(x)+2f
∴f
1
1
=x,
1
+2f(x)= .
解方程组
得 f(x)=
2
3
() + 2
1
= ,
1
+ 2() = ,
高一数学必修一知识点总结a函数
高一数学必修一知识点总结a函数高一数学必修一知识点总结:a函数a函数是高一数学必修一中的重要知识点之一。
a函数常用于表示二次函数的一般形式,是解决与二次函数相关的各类问题的基础。
本文将从定义、性质和应用三个方面总结a函数的知识点。
一、定义a函数通常写作f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为实数,且a ≠ 0。
其中,a表示二次项系数,b表示一次项系数,c表示常数项。
a函数是一个二次函数,图像一般为抛物线。
二、性质1. 对称轴:对于a函数f(x) = ax^2 + bx + c,对称轴的方程为x = -b/(2a)。
对称轴将抛物线分为两部分,左右对称。
2. 顶点:抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。
顶点是抛物线的最低点或最高点,也是对称轴上的点。
3. 开口方向:当a > 0时,抛物线开口向上;当a < 0时,抛物线开口向下。
4. 最值:当抛物线开口向上时,最小值对应顶点;当抛物线开口向下时,最大值对应顶点。
5. 零点:a函数与x轴的交点称为零点,即f(x) = 0的解。
零点可能有两个、一个或零个解。
三、应用1. 图像判断:通过二次函数的a值,可以判断抛物线的开口方向。
当a > 0时,抛物线开口向上;当a < 0时,抛物线开口向下。
利用顶点坐标,也可以判断抛物线的最值和对称轴。
2. 方程求解:解二次方程可以应用抛物线与x轴的交点。
根据零点的个数,可以判断二次方程的解的情况,进而解决相关问题。
3. 优化问题:在实际问题中,a函数可以用来描述一些最优化问题。
通过对a函数的分析,可以得到相关问题的最佳解。
综上所述,a函数是高一数学必修一中的重要知识点,它是二次函数的一般形式,具有一些固定的性质和应用场景。
掌握a函数的定义、性质和应用,对于解决与二次函数相关的各类问题具有重要意义。
通过在实践中灵活运用所学知识,可以提高数学解题的能力和应用能力。
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第二章 函数例题解析A【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数,指数函数,对数函数和三角函数映射特殊化函数具体化一般化概念图像表 示 方 法定义域 值域单调性 奇偶性 基本初等函数Ⅰ幂函数指数函数 对数函数二次函数指数 对数互 逆 函数与方应用问题的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研究分段函数,含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解.1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点.利用定义,可直接判断所给的对应是否满足函数的条件,证明或判断函数的单调性和奇偶性等.2.重视“数形结合思想”渗透.“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.当你所研究的问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议:画个图像!利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题.3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”.4.掌握“函数与方程思想”.函数与方程思想是最重要,最基本的数学思想方法之一,它在整个高中数学中的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题,转化问题和解决问题.第1课 函数的概念【考点导读】1.体会:函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,对应关系在刻画函数概念中的作用;2.了解:构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.3.应用:理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数. 【基础练习】1.设有函数组:①y x =,2y x =;②y x =,33y x =;③y x =,xy x=;④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩,x y x =;⑤lg 1y x =-,lg 10xy =.其中表示同一个函数的有___②④⑤___.2.设集合{02}M x x =≤≤,{02}N y y =≤≤,从M 到N 有四种对应如图所示:其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____. 3.写出下列函数定义域:(1) ()13f x x =-的定义域为________; (2) 21()1f x x =-的定义域为__________;{1}x x ≠± (3) 1()1f x x x=++的定义域为_________; [1,0)(0,)-⋃+∞ 1 22xy O①y 1 22xO②1 22xO③y 1 22xO④y R4) 0(1)()x f x x x+=-的定义域为__________.(,1)(1,0)-∞-⋃-4.已知三个函数:(1)()()P x y Q x =; (2)2()n y P x =(*)n N ∈; (3)()log ()Q x y P x =.写出使各函数式有意义时,()P x ,()Q x 的约束条件:(1)________(2)_______ (3)_________()0Q x ≠()0P x ≥ 5.写出下列函数值域:(1) 2()f x x x =+,{1,2,3}x ∈;值域是{2,6,12}. (2) 2()22f x x x =-+; 值域是[1,)+∞. (3) ()1f x x =+,(1,2]x ∈. 值域是(2,3].【范例解析】例1.设有函数组:①21()1x f x x -=-,()1g x x =+;②()11f x x x =+⋅-,2()1g x x =-;③2()21f x x x =-+,()1g x x =-;④()21f x x =-,()21g t t =-.其中表示同一个函数的有③④.分析:判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同. 解:在①中,()f x 的定义域为{1}x x ≠,()g x 的定义域为R ,故不是同一函数;在②中,()f x 的定义域为[1,)+∞,()g x 的定义域为(,1][1,-∞-⋃+∞,故不是同一函数;③④是同一函数.点评:两个函数当它们的三要素完全相同时,才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对应法则确定时,它的值域也就确定,故判断两()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可.例2.求下列函数的定义域: ① 2112y x x =+--; ② 12()log (2)xf x x =-; 解:① 由题意得:220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠,故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞.② 由题意得:12log (2)0x ->,解得12x <<,故定义域为(1,2).例3.求下列函数的值域: (1)242y x x =-+-,[0,3)x ∈;(2)221x y x =+()x R ∈;(3)21y x x =-+.分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域. (1) 解:2242(2)2y x x x =-+-=--+, [0,3)x ∈ ,∴函数的值域为[2,2]-;(2) 解法一:由2221111x y x x ==-++,21011x <≤+ ,则21101x -≤-<+ , 01y ∴≤<,故函数值域为[0,1).解法二:由221x y x =+,则21yx y=-,20x ≥ ,∴01yy≥-,01y ∴≤<,故函数值域为[0,1).(3)解:令1x t +=(0)t ≥,则21x t =-,2221(1)2y t t t ∴=--=--,当0t ≥时,2y ≥-,故函数值域为[2,)-+∞.点评:二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围.【反馈演练】1.函数f (x )=x 21-的定义域是___________.(,0]-∞ 2.函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________. 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________. 4. 函数23134y x x =-+-的值域为_____________.5.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________.6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ,g (x )=lg [(x -a -1)(2a -x )](a <1) 的定义域为B .(1) 求A ;(2) 若B ⊆A ,求实数a 的取值范围. 解:(1)由2-13++x x ≥0,得11+-x x ≥0,x <-1或x ≥1, 即A =(-∞,-1)∪[1,+ ∞) .(2) 由(x -a -1)(2a -x )>0,得(x -a -1)(x -2a )<0. ∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1) .(1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃∵B ⊆A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥21或a ≤-2,而a <1, ∴21≤a <1或a ≤-2,故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(-∞,-2]∪[21,1).第2课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.2.求解析式一般有四种情况:(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式;(2)给出函数特征,利用待定系数法求解析式;(3)换元法求解析式;(4)解方程组法求解析式. 【基础练习】 1.设函数()2f x x =+,()35g x x =-,则(())f g x =_________;(())g f x =__________.2.设函数1()1f x x =+,2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______;[(2)]f g =17;[()]f g x =213x +. 3.已知函数()f x 是一次函数,且(3)7f =,(5)1f =-,则(1)f =__15___.4.设f (x )=2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩,则f [f (21)]=_____________.第5题67x - 64x + 413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________. 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4,且(0)(2)6f f ==,求()f x 的解析式.分析:给出函数特征,可用待定系数法求解.解法一:设2()(0)f x ax bx c a =++>,则26,426,4 4.4c a b c ac b a⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+.解法二:(0)(2)f f = ,∴抛物线()y f x =有对称轴1x =.故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>.将点(0,6)代入解得2a =.故所求的解析式为2()246f x x x =-+.解法三:设()() 6.F x f x =-,由(0)(2)6f f ==,知()0F x =有两个根0,2, 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >,()(0)(2)6f x a x x ∴=--+, 将点(1,4)代入解得2a =.故所求的解析式为2()246f x x x =-+.点评:三种解法均是待定系数法,也是求二次函数解析式常用的三种形式:一般式,顶点式,零点式.例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ,甲10时出发前往乙家.如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程y (km )与时间x (分)的关系.试写出()y f x =的函数解析式.分析:理解题意,根据图像待定系数法求解析式. 解:当[0,30]x ∈时,直线方程为115y x =,当[40,60]x ∈时, xyO1 2 34 10 20 30 40 50 60例2直线方程为1210y x =-, 1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评:建立函数的解析式是解决实际问题的关键,把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达.要注意求出解析式后,一定要写出其定义域. 【反馈演练】1.若()2x x e e f x --=,()2x x e e g x -+=,则(2)f x =( D )A. 2()f x B.2[()()f x g x + C.2()g x D. 2[()()]f x g x ⋅2.已知1(1)232f x x -=+,且()6f m =,则m 等于________.3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称,且f (x )=x 2+2x .求函数g (x )的解析式.解:设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ,则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+,即 故.14-。