函数A函数的概念与表示法(烟台市芝罘区数学精品一轮)

第二章 函数例题解析A

【知识导读】

【方法点拨】

函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数

映射

特殊化

函数

具体化

一般化

概念

图像

表 示 方 法

定义域 值域

单调性 奇偶性 基本初等函数Ⅰ

幂函数

指数函数 对数函数

二次函数

指数 对数

互 逆 函数与方应用问题

的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．

1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．

2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．

3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．

4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．

第1课 函数的概念

【考点导读】

1.体会：函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，对应关系在刻画函数概念中的作用；

2.了解：构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

3.应用：理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】

1．设有函数组：①y x =，2y x =；②y x =，33y x =；③y x =，x

y x

=

；④1(0),

1

(0),

x y x >⎧=⎨

-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10x

y =．其中表示同一个函数

的有___②④⑤___．

2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：

其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：

(1) ()13f x x =-的定义域为________

； (2) 21

()1

f x x =

-的定义域为__________；{1}x x ≠± (3) 1()1f x x x

=++的定义域为_________； [1,0)(0,)-⋃+∞ 1 2

2

x

y O

①

y 1 2

2

x

O

②

1 2

2

x

O

③

y 1 2

2

x

O

④

y R

4) 0(1)()x f x x x

+=

-的定义域为__________．(,1)(1,0)-∞-⋃-

4．已知三个函数:(1)()

()

P x y Q x =

； (2)2()n y P x =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：

(1)________(2)_______ (3)_________()0Q x ≠()0P x ≥ 5.写出下列函数值域：

(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．

【范例解析】

例1.设有函数组：①21()1

x f x x -=-，()1g x x =+；②()11f x x x =+⋅-，

2()1g x x =-；

③2()21f x x x =-+，()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同． 解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同

一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．

点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两

()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠

个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．

例2.求下列函数的定义域： ① 2112y x x =

+--； ② 12

()log (2)

x

f x x =-； 解：① 由题意得：220,

10,

x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，

故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．

② 由题意得：12

log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．

例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；

（2）2

21

x y x =+()x R ∈；

（3）21y x x =-+．

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+， [0,3)x ∈ ，∴函数的值域为[2,2]-；

（2） 解法一：由2221

111

x y x x ==-++，

21011x <

≤+ ，则2

1101

x -≤-<+ ， 01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．

解法二：由221x y x =+，则21y

x y

=-，

20x ≥ ，∴

01y

y

≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．