人高中数学选修1-2 2.2.2 反证法
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4.已知 f(x)axx2(a1)，
x1
求证：方程 f (x)0没有负数根
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题
例 2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x ＋π6.求证 a，b，c 中至少有一个是大于 0 的.
1.已知a，b，c是互不相等的实数，求证： 由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和 y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点.
不成立 成立
原词语
否定词
p或q p且q
￢p且￢q ￢p或￢q
练习
1.写出下列各结论的反面： （1）a//b；
（2）a≥0；
a不平行b a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角” 时，应假设 三角_形__中__有__两__个__或_ 三个角是直角 .
1.直接证明的方法: (1)比较法: 作差比较法; 作商比较法; (2)综合法: (3)分析法: 2.没有特别要求的证明题: 用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程!
2.2.2 反证法
学习目标：
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法； 2.识别反证法所适用的数学问题； 3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）； 4.会用反证法解决数学问题.
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
证明：
假设所求证的结论不成立，即 ∠Ａ＿＜＿60°， ∠Ｂ＿＿＜60°， ∠Ｃ＿＿＜60° 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
这于＿三＿角＿形＿三＿个＿内＿角＿的＿和＿等＿于＿1＿80＿°＿矛盾
所以假设＿不＿成＿立＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
5.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
那么__l_3∥_l_2____.
推因理为已知___l_1_∥_l2___,
思考：
将9个球分别染成红色或白色， 那么无论怎样染，至少有5个球 是同色的。你能证明这个结论吗？
新课讲解
1.间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证法是一种常用的间接证明方法.
反证法定义: 2.
假设原命题 不成 立 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_假__设__错__误_ ， 从而证明了 原命题成立 ，这样的证明方法叫做反证法. 3.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与 定义、公理、定理、事实 矛盾等.
用反证法证明否定性命题的适用类型： 结 论 中 含 有 “ 不 ”“ 不 是 ”“ 不 可 能”“不存在”等词语的命题称为否定性 命题，此类问题的正面比较模糊，而反面 比较具体，适合使用反证法.
1. 证明：2不是有理数.
2. 求证: 1, 2 , 3 不可能是同一个等差
数列中的三项. 3.已知0<a,b,c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a, 不能都大于1/4
人教A版选修1-2第二章推理与证明 2.2.2间接证明 ---反证法
复习
综合法
条件
条件 定义 定理 公理 数学推理
结论
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
由因导果
wenku.baidu.com
复习
Q P1
P1 P2
分析法
P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
要证：
只要证：
格 式
只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立
执果索因
4.反证法解题的实质：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
5.反证法的思维方法：正难则反
6.反证法的一般步骤 一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
7.反证法所适用的证明问题
类型一 用反证法证明否定性命题 例1：设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，
证明：数列{an＋1}不是等比数列.
下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个
小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个
对所有x, 存在某x， 对任何x， 存在某x,
成立 不成立
l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“经__过__直_线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直__线_与__已__
知矛_直_盾_线_平__行_______”矛盾.
命所题以成_假_立设__不__成__立_,即求证的命题正确.
典例剖析
例1、已知a≠0，证明：关于x的方程 ax=b有且只有一个根.
3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
Ａ
Ｂ
Ｃ
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
2.若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数， 求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个 实根.
类型三 用反证法证明唯一性命题 例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.
用反证法证明唯一性命题的类型：以 “有且只有”，“只有一个”，“唯一 存在”等形式出现的命题。
宜用反证法证明的题型
分析：由于ab≠0，因此方程至少 有一个根x= a 。从正面较难说 清为什么只有这个根，我们采 用反证法，即证明如果不只一 个根则会导致矛盾。
（1）以否定性判断作为结论的命题. （2）某些定理的逆命题. （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈
述的命题. （4）关于“唯一性”结论的命题. （5）解决整除性问题. （6）一些不等量命题的证明.
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段. （8）涉及各种“无限”结论的命题等.
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，
x1
求证：方程 f (x)0没有负数根
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题
例 2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x ＋π6.求证 a，b，c 中至少有一个是大于 0 的.
1.已知a，b，c是互不相等的实数，求证： 由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和 y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点.
不成立 成立
原词语
否定词
p或q p且q
￢p且￢q ￢p或￢q
练习
1.写出下列各结论的反面： （1）a//b；
（2）a≥0；
a不平行b a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角” 时，应假设 三角_形__中__有__两__个__或_ 三个角是直角 .
1.直接证明的方法: (1)比较法: 作差比较法; 作商比较法; (2)综合法: (3)分析法: 2.没有特别要求的证明题: 用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程!
2.2.2 反证法
学习目标：
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法； 2.识别反证法所适用的数学问题； 3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）； 4.会用反证法解决数学问题.
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
证明：
假设所求证的结论不成立，即 ∠Ａ＿＜＿60°， ∠Ｂ＿＿＜60°， ∠Ｃ＿＿＜60° 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
这于＿三＿角＿形＿三＿个＿内＿角＿的＿和＿等＿于＿1＿80＿°＿矛盾
所以假设＿不＿成＿立＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
5.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
那么__l_3∥_l_2____.
推因理为已知___l_1_∥_l2___,
思考：
将9个球分别染成红色或白色， 那么无论怎样染，至少有5个球 是同色的。你能证明这个结论吗？
新课讲解
1.间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证法是一种常用的间接证明方法.
反证法定义: 2.
假设原命题 不成 立 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_假__设__错__误_ ， 从而证明了 原命题成立 ，这样的证明方法叫做反证法. 3.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与 定义、公理、定理、事实 矛盾等.
用反证法证明否定性命题的适用类型： 结 论 中 含 有 “ 不 ”“ 不 是 ”“ 不 可 能”“不存在”等词语的命题称为否定性 命题，此类问题的正面比较模糊，而反面 比较具体，适合使用反证法.
1. 证明：2不是有理数.
2. 求证: 1, 2 , 3 不可能是同一个等差
数列中的三项. 3.已知0<a,b,c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a, 不能都大于1/4
人教A版选修1-2第二章推理与证明 2.2.2间接证明 ---反证法
复习
综合法
条件
条件 定义 定理 公理 数学推理
结论
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
由因导果
wenku.baidu.com
复习
Q P1
P1 P2
分析法
P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
要证：
只要证：
格 式
只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立
执果索因
4.反证法解题的实质：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
5.反证法的思维方法：正难则反
6.反证法的一般步骤 一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
7.反证法所适用的证明问题
类型一 用反证法证明否定性命题 例1：设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，
证明：数列{an＋1}不是等比数列.
下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个
小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个
对所有x, 存在某x， 对任何x， 存在某x,
成立 不成立
l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“经__过__直_线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直__线_与__已__
知矛_直_盾_线_平__行_______”矛盾.
命所题以成_假_立设__不__成__立_,即求证的命题正确.
典例剖析
例1、已知a≠0，证明：关于x的方程 ax=b有且只有一个根.
3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
Ａ
Ｂ
Ｃ
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
2.若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数， 求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个 实根.
类型三 用反证法证明唯一性命题 例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.
用反证法证明唯一性命题的类型：以 “有且只有”，“只有一个”，“唯一 存在”等形式出现的命题。
宜用反证法证明的题型
分析：由于ab≠0，因此方程至少 有一个根x= a 。从正面较难说 清为什么只有这个根，我们采 用反证法，即证明如果不只一 个根则会导致矛盾。
（1）以否定性判断作为结论的命题. （2）某些定理的逆命题. （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈
述的命题. （4）关于“唯一性”结论的命题. （5）解决整除性问题. （6）一些不等量命题的证明.
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段. （8）涉及各种“无限”结论的命题等.
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，