席位分配
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为分配公平必须使相对不公平值尽量小,因此 若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1)则增加的一席应分 配给A,反之分配给B.
Q值的定义
rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1)等价于 p2(n1+1)/(p1n2)< p1(n2+1)/(p2n1).
为判断方便,对上式“分离变量”得
p22
不公平现象:总席位增加了一席,丙系少了一席!
分配原则的讨论
在上述的分配原则中,所谓的惯例(即按照小数 部分的大小来分配取整后剩下的席位)导致了 丙系的不公平. 如何对惯例加以修正? 在席位分配时,若严格按照学生人数的比例分 配席位,一般都会出现小数.此时,无论小数部 分分配给哪个系,都会出现不公平的情形.我们 必须给出一个分配原则,来降低不公平程度.
最合理的方案应该是11,6,4.
不公平程度
分析:上面的两个数学模型从表面上看都有一 定的合理之处.但有一个根本的不足,即没有分 别衡量各个系的不公平程度.
不公平程度:对于两个系,如果有p1/n1>p2/n2,绝 对的不公平程度可用p1/n1-p2/n2来衡量. 例如:p1=120,p2=100,n1=n2=10,则p1/n1p2/n2=12-10=2. 不过若p1=1020,p2=1000,n1=n2=10,仍然有 p1/n1-p2/n2=2.但是后者的不公平程度显然要比 前者大为改善.
某学校有3个系,共200名学生,其中甲系100名, 乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20个 席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生 人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有 10,6,4席. 现在丙系有6名学生分别转入甲乙两系,三个 系的人数分别为103,63,34.各系应得到的席位 分别应该是10.3,6.3,3.4.将取整的10,6,3个席 位分别分配给三个系.剩下的一个席位按照管 惯例(小数部分最大)分给丙系.分配方案仍然 是10,6,4席.
增加席位后20个的席位分配方案21个席位
系2系别0同个意学人席生数增位加会比一在例(个表%)席决位时比分.出例配此现时1,惯分201:例配1个0的席比分局位例配面中,,三三个个惯分例配 甲系分别10应3 该5得1.到5 10.1801.53,6.61105,3.5107.08个15席位1.1 乙取剩整 下得的63到2个的席311位0.5,6若,3按个1照席7.惯0位例分(别小6 分数配部6.给分61三最5 个大系)进7. 丙行分配34,则分1别7.0应该分3.给4 甲乙4两系3. .570 3 总这和 样,22010个席10位0.0的分2配0.方0 案是2011,72,13..000 21
i 1
原则一求解
对于前面提到的具体问题,我们仅考虑下面三 个可行解x1=(11,7,3),x2=(10,7,4),x3=(11,6,4). 分别代入目标函数(用f表示)中计算可以得到: f(x1)=3.574,f(x2)=1.925,f(x3)=2.027 其中f(x2)值最小,所以应考虑方案x2,即三个系 分别得10,7,4个席位.
原则一
设某系的人数为pi,最终得到的席位为ni,则每 个席位所代表的人数为pi /ni,显然该数越大,说 明对这个系越不公平.
再设总人数为p,总席位数为n,我们考虑以下数
学模型 该模型的数学含义是每个系每
min k ( pi n i1 i
p )2 n
个席位代表的人数都和总体每
k
个席位代表的人数尽量接近 s.t. ni n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
p12
n2(n2 1) n1(n1 1)
记Qi
pi2 ni (ni 1)
若Q1>Q2,下一席位给甲系, 若Q1<Q2,下一席位给乙系.
Q值分配原则
上面的“分离变量”的好处是,对每一方可以 独立地计算出一个Q值,然后比较各方的Q值 就可以进行席位的分配. 根据上面的分析,最终可以归纳出Q值分配原 则: •分别计算各方的Q值,将增加的席位分配给Q 值大的一方.
确定分配方案
假设A,B两方已分别占有n1席和n2席,现在讨论, 当总席位增加1席时,应该分配给哪一方. 不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即对A不公平. 下面分情况讨论(根据席位和不公平的情况). (1)p1/(n1+1)>p2/n2,即增加一席对A仍然不公平. 此时增加的一席显然应分配给A.
(2)p1/n1<p2/(n2+1),这种情况不会出现.
(3)p1/(n1+1)<p2/n2,A增加一席对B不公平,其相 对不公平值为rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)/(p1n2)-1
(4)p1/n2>p2/(n2+1),B增加一席对A不公平,其相 对不公平值为 rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/(p2n1)-1
原则二
类似与上面的原则一,我们可以给出下面的数学
模型
其中ni/pi表示某个系平均每个
min
k ( ni p i1 i
n )2 p
人分得的席位.n/p表示总体每
k
个人分得的席位
s.t. ni n
i 1
对于前面的三个方案,其目标函数值分别为
g(11,7,3)=3.216×10-4, g(10,7,4)=2.599×10-4, g(11,6,4)=2.585×10-4.
相对不公平值
既然前述的绝对不公平值不太合理,我们引入
相对不公平值:
若p1/n1>p2/n2,则定义 对A的相对不公平值为
rA (n1, n2 )
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
若p2/n2>p1/n1,则定义对 B的相对不公平值为
rB (n1, n2 )
p2 / n2 p1 / n1 p1 / n1
问题讨论(一)
•上面的讨论中(1),(3),(4)的情况仅针对情况(3) 和(4)讨论得到Q值方法,和情况(1)是否矛盾?
分配方案
对于前面提到的21个席位分配的问题,假设整 数部分的19个席位已经分配给三个系,即
n1=10,n2=6,n3=3 下面用Q值方法分配第20及21席. 第20席:Q1=96.4,Q2=94.5,Q3=96.3.Q1最大, 第20席应分配给甲系. 第21席:Q1=80.4,Q2=94.5,Q3=96.3.Q3最大, 第21席应分配给丙系. 最终的分配方案:11,6,4
Q值的定义
rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1)等价于 p2(n1+1)/(p1n2)< p1(n2+1)/(p2n1).
为判断方便,对上式“分离变量”得
p22
不公平现象:总席位增加了一席,丙系少了一席!
分配原则的讨论
在上述的分配原则中,所谓的惯例(即按照小数 部分的大小来分配取整后剩下的席位)导致了 丙系的不公平. 如何对惯例加以修正? 在席位分配时,若严格按照学生人数的比例分 配席位,一般都会出现小数.此时,无论小数部 分分配给哪个系,都会出现不公平的情形.我们 必须给出一个分配原则,来降低不公平程度.
最合理的方案应该是11,6,4.
不公平程度
分析:上面的两个数学模型从表面上看都有一 定的合理之处.但有一个根本的不足,即没有分 别衡量各个系的不公平程度.
不公平程度:对于两个系,如果有p1/n1>p2/n2,绝 对的不公平程度可用p1/n1-p2/n2来衡量. 例如:p1=120,p2=100,n1=n2=10,则p1/n1p2/n2=12-10=2. 不过若p1=1020,p2=1000,n1=n2=10,仍然有 p1/n1-p2/n2=2.但是后者的不公平程度显然要比 前者大为改善.
某学校有3个系,共200名学生,其中甲系100名, 乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20个 席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生 人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有 10,6,4席. 现在丙系有6名学生分别转入甲乙两系,三个 系的人数分别为103,63,34.各系应得到的席位 分别应该是10.3,6.3,3.4.将取整的10,6,3个席 位分别分配给三个系.剩下的一个席位按照管 惯例(小数部分最大)分给丙系.分配方案仍然 是10,6,4席.
增加席位后20个的席位分配方案21个席位
系2系别0同个意学人席生数增位加会比一在例(个表%)席决位时比分.出例配此现时1,惯分201:例配1个0的席比分局位例配面中,,三三个个惯分例配 甲系分别10应3 该5得1.到5 10.1801.53,6.61105,3.5107.08个15席位1.1 乙取剩整 下得的63到2个的席311位0.5,6若,3按个1照席7.惯0位例分(别小6 分数配部6.给分61三最5 个大系)进7. 丙行分配34,则分1别7.0应该分3.给4 甲乙4两系3. .570 3 总这和 样,22010个席10位0.0的分2配0.方0 案是2011,72,13..000 21
i 1
原则一求解
对于前面提到的具体问题,我们仅考虑下面三 个可行解x1=(11,7,3),x2=(10,7,4),x3=(11,6,4). 分别代入目标函数(用f表示)中计算可以得到: f(x1)=3.574,f(x2)=1.925,f(x3)=2.027 其中f(x2)值最小,所以应考虑方案x2,即三个系 分别得10,7,4个席位.
原则一
设某系的人数为pi,最终得到的席位为ni,则每 个席位所代表的人数为pi /ni,显然该数越大,说 明对这个系越不公平.
再设总人数为p,总席位数为n,我们考虑以下数
学模型 该模型的数学含义是每个系每
min k ( pi n i1 i
p )2 n
个席位代表的人数都和总体每
k
个席位代表的人数尽量接近 s.t. ni n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
p12
n2(n2 1) n1(n1 1)
记Qi
pi2 ni (ni 1)
若Q1>Q2,下一席位给甲系, 若Q1<Q2,下一席位给乙系.
Q值分配原则
上面的“分离变量”的好处是,对每一方可以 独立地计算出一个Q值,然后比较各方的Q值 就可以进行席位的分配. 根据上面的分析,最终可以归纳出Q值分配原 则: •分别计算各方的Q值,将增加的席位分配给Q 值大的一方.
确定分配方案
假设A,B两方已分别占有n1席和n2席,现在讨论, 当总席位增加1席时,应该分配给哪一方. 不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即对A不公平. 下面分情况讨论(根据席位和不公平的情况). (1)p1/(n1+1)>p2/n2,即增加一席对A仍然不公平. 此时增加的一席显然应分配给A.
(2)p1/n1<p2/(n2+1),这种情况不会出现.
(3)p1/(n1+1)<p2/n2,A增加一席对B不公平,其相 对不公平值为rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)/(p1n2)-1
(4)p1/n2>p2/(n2+1),B增加一席对A不公平,其相 对不公平值为 rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/(p2n1)-1
原则二
类似与上面的原则一,我们可以给出下面的数学
模型
其中ni/pi表示某个系平均每个
min
k ( ni p i1 i
n )2 p
人分得的席位.n/p表示总体每
k
个人分得的席位
s.t. ni n
i 1
对于前面的三个方案,其目标函数值分别为
g(11,7,3)=3.216×10-4, g(10,7,4)=2.599×10-4, g(11,6,4)=2.585×10-4.
相对不公平值
既然前述的绝对不公平值不太合理,我们引入
相对不公平值:
若p1/n1>p2/n2,则定义 对A的相对不公平值为
rA (n1, n2 )
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
若p2/n2>p1/n1,则定义对 B的相对不公平值为
rB (n1, n2 )
p2 / n2 p1 / n1 p1 / n1
问题讨论(一)
•上面的讨论中(1),(3),(4)的情况仅针对情况(3) 和(4)讨论得到Q值方法,和情况(1)是否矛盾?
分配方案
对于前面提到的21个席位分配的问题,假设整 数部分的19个席位已经分配给三个系,即
n1=10,n2=6,n3=3 下面用Q值方法分配第20及21席. 第20席:Q1=96.4,Q2=94.5,Q3=96.3.Q1最大, 第20席应分配给甲系. 第21席:Q1=80.4,Q2=94.5,Q3=96.3.Q3最大, 第21席应分配给丙系. 最终的分配方案:11,6,4