医药数理统计 第一章 随机事件与概率70页
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医用数理统计方法课件第一章精品
A
B
Ω
（一）事件的关系和运算
5.事件的差: 若事件A发生而事件B不发生，这一事件 称为事件A与事件B的差，记为A-B
属于A而不属于B的样本点的集合
A
B
A={2,4} B={1,4,5,6}
Ω
（一）事件的关系和运算
6.互斥关系: 若事件A与事件B不能同时发生，即A∩ B =Ø ，则称事件A与B事件互斥（或互不相容） A与B没有相同的样本点
A
三、随机事件
将样本空间Ω也看成一个事件，它包含了全体 样本点，而在任何一次试验中，必然会出现 其中的某个样本点，即它必然会发生，所以 我们又把Ω称为必然事件。
将空集Ø 也看成一个事件，它不包含任何样本 点，由于在任何一次试验中出现的样本点都 不属于Ø ，所以Ø 称为不可能事件。
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个 极端情况。
医药数理统计方法
南京医科大学数学教研室 韩新焕
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验（random trial） 自然界现象分为确定性现象和随机现象
在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这 类试验称为确定性试验，这种类型的试验所 对应的现象，称为确定性现象.否则称为随机 现象 例子
统计规律
定义1.1 若随机事件A在n次独立重复试验中 出现了m次，此比值m/n称为事件出现的频率 (frequency)，记为 fn(A)=m/n
三个事件都不发生：
A B C , A B C,
三个事件中至少有一个不发生：
AB C
第二节 随机事件的概率
对于事件A，用一个数P(A)来度量该事件发生 的可能性大小，这个数称为事件发生的概率。
从函数的观点来看出,概率是事件的函数, 定义域为事件,值域为一个数
第一章随机事件及概率概率与统计 100页PPT文档
（4） A、B、C同时发生 ABC
（5） A、B、C 中至少有一个发生 A B C
（6） A、B、C中至多有一个发生
A B C AB C ABC A BC
（7） A、B、C 中恰有两个发生
ABC ABC ABC
（8）A、B、C 中至少有两个发生
ABC ABC ABC ABC或AB AC BC
注意： 样本点重复时只写一次！
注：对任合事件 A，B 有
(1)A A+B ， B A+B (2)A+A=A，
(3)A+Ω=Ω
(4)Aư、、An 中至少有一个发
生的事件称为事件 A1、A2、、An 的和事件 .记之为
n
n
A1 A2 An , 简记为 A i 或 Ai
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两 个以上的基本事件构成的事件)。
事件发生：如果当且仅当样本点ω 1,ω 2,…,ω k有一个出 现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即 A={1， 2，…... k}
样本空间
A AB
∩ B
在例1中， A={取到5号球}， B ={取到编号是奇数的球}
则： Ａ∩Ｂ={取到编号为 5 的球}
注：对任合事件 A，B 有
(1)A B A ，(2)AA=A，（3）AΦ = Φ,（4）AΩ=A
事件交的推广
“n 个事件 A1,A2,,An 都发生” 这一事件称为事
件A1,A2,,An的交。记为： A1∩A2∩∩An 或 ∩Ai。
医药数理统计自考复习
第一章J一、事件之间的关系及运算：包含：事件A发生必然导致事件B发生，记作AuB或BnA。
相等：若AuB,同时有BuA,记为A二B并事件：C = A + B二｛A,B至少有一个发生｝交事件：AB=｛A9B同时发生｝互斥事件：A,B不同时发生即互斥完备群：即•柑S)且壬4=：。
/-I对立事件：在一次试验中A与B有且仅有一个发生，即AB=^且4 + B=C二、事件的概率1 •频率的定义：进行条件相同的n次试验，事件A出现m次，则称m为事件A的频数, 比值n/m称为事件A发生的频率。
记作/(A)= m/n2•概率的古典定义：主要看例题3.概率的性质:11 OSP⑷VI；2 \叱)=1 ；P(O)= 0三、概率的运算1. 加法定理：互斥事件P(4 + B)= P(A)+ P(B)—般事件P(A + B)= P(A)+ P(B)一P(AB)对立事件P(A + B)= P(4)+P(B)= 12 .乘法定理：独立事件P(AB) = P(A)P(B)(独立的定义：P(A) = P(A/B)或P(B) = P(B/A))一般事件P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)注意:独立不胡，胡不独立3 .条件概率：P(B/A)= ^# , P(B/A)= 1-P(B/A)四. 全概公式和逆概公式(重点)定理1 :若事件组〃显2,…B“是一列互不相容的事件,且有= 6对任何事件A ,有1-1P(A)^P(B i)P{A/B i).即r-1P(A) = P(AB, + g +•• + AB)f-11-1定理2 :若〃”伙,…〃”是一列互不相容的事件，且产C,P(Bj>0,心1,2,…r-1则对任一事件A,P(A)>0 有Pg/A)= j(3)P0/Bj,即D(B J P(4/B JPg*需例题Z书后习题。
第二章概率分布与数宇特征离散型变量的概率分布与数宇特征一. 概率函数1、定义：P{X =心}=久，写成表格的形式(分布率)2、基本性质：戸n o ； Z竹=1r二、分布函数1、泄义：F(x) = P{X Sx}, x G RP{x2 <X<>x5} = P{X VxJ-P{X <>x2} = F(X5)-F(X2)= P(x i) + P(x4) + P(x s)2、性质：OVF(x)Vl； F(x)是x 的不减函数；F(Y>)=0,F(*O)=1。
医药数理统计课件(概率论部分)_ppt课件
这种在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象规律性的一门 数学学科。
第一章 随机事件与概率
§1 随 机 事 件 及 其 运 算
一 随机事件 （一）随机试验 （二）样本空间 （三）随机事件 二 事件间的关系与运算 （一）事件间的关系 （二）随机事件的运算
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（一）随机试验
思考以下案例：
这些事件具有以下共同点：
一、随机事件
1、可以在相同条件下重复； E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T 2、每次试验的结果可能不止一个， （Tails）出现的情况。 并且能事先明确试验的所有可能结 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 果； E3：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼叫次数； 3、进行一次试验之前不能确定哪 E4：观察某一电子元件的寿命。 一个结果会出现。 称具备上面三个特点的试验为随机试验 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
（二）样本空间
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 Ω 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 要求：会写出随机试验的 样本空间。
一、随机事件
目 录
B S
A B发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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二、事件间的关系
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
医药数理统计课件
随机事件：随机试验的结果（样本空间的子集）（A， B…….）
基本事件:不能分解成其它事件的最简单的随机事件. 必然事件：每次试验必然发生（） 不可能事件：每次试验都不会发生（）
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事件与概率
二、事件间的关系与运算
事件的包含：如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包 含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB
量取这些可能值的概率是确定的，则称这种变量是随机变量。
注意：随机变量常用X,Y,Z表示，而表示随机变量所取的值通常用x,y,z表示。
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高。我们可把可能的身高看作随机 变量X，然后提出关于X的各种问题。如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=？一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就 得到X的一个具体的值，记作x。这时,要么x≥1.7米，要么x <1.7米，再去求 P(x≥1.7米)就没有什么意义。
则：A B C D F是两两不相容事件 P与F是互为对立的事件 即有PF A B C
D均为P的子事件 且有PA∪B∪C∪D
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事件与概率
三、随机事件的运算律
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B )∪CA∪(B∪C )A∪B∪C (结合律)
2 关于求交运算 (1) A∩BB ∩A (交换律) (2) (A∩B )∩CA∩(B ∩C )A∩B ∩C (结合律)
在二项分布中，X取不同值k（k=0, 1, 2…, n）的概率是不同的， 是P（X=k）取最大值的k（记为k0）称为二项分布的最可能值。当k在（n+1）p附
说明：AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A
基本事件:不能分解成其它事件的最简单的随机事件. 必然事件：每次试验必然发生（） 不可能事件：每次试验都不会发生（）
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事件与概率
二、事件间的关系与运算
事件的包含：如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包 含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB
量取这些可能值的概率是确定的，则称这种变量是随机变量。
注意：随机变量常用X,Y,Z表示，而表示随机变量所取的值通常用x,y,z表示。
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高。我们可把可能的身高看作随机 变量X，然后提出关于X的各种问题。如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=？一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就 得到X的一个具体的值，记作x。这时,要么x≥1.7米，要么x <1.7米，再去求 P(x≥1.7米)就没有什么意义。
则：A B C D F是两两不相容事件 P与F是互为对立的事件 即有PF A B C
D均为P的子事件 且有PA∪B∪C∪D
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事件与概率
三、随机事件的运算律
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B )∪CA∪(B∪C )A∪B∪C (结合律)
2 关于求交运算 (1) A∩BB ∩A (交换律) (2) (A∩B )∩CA∩(B ∩C )A∩B ∩C (结合律)
在二项分布中，X取不同值k（k=0, 1, 2…, n）的概率是不同的， 是P（X=k）取最大值的k（记为k0）称为二项分布的最可能值。当k在（n+1）p附
说明：AB属于A的每一个样本点一定也属于B 对任意事件A 易知A
医药数理统计方法复习总结资料
(5) 常见随机变量的数学期望
分布类型
二点分布 二项分布
表达式
01
X ~(
)
1 p p
X ~ B(n, p)
数学期望 EX p
np
泊松分布
X ~ P()
均匀分布 指数分布 正态分布
X ~ U[a,b] (a+b)/2
X ~ E() 1/
X ~ N (u, 2 )
u
例:已知随机变量X~B(50,p)且EX=10,求p
第二章 随机变量及其分布
(一)离散型随机变量的概率分布及分布函数 1 离散型随机变量的分布律
X X1 X2 …….. Xi ……
p
p1 p2 …… pi
……
(1) pi 0(i 1, 2, ..);
(2) pi 1
i 1
2 离散型随机变量的分布函数
F(x) P(X k) pk
kx
若级数 xi pi是一个有限值,则称级数 xi pi为
i=1
i=1
X的数学期望或总体均数,记作 : E( X ),即:
E( X ) xi pi
i1
例: X0 1 2 3 4 P 1/5 1/5 1/10 2/5 1/10
求EX
例:求掷骰子点数X的数学期望.
2 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率函数为f(x),
特别的, 0, 1的正态分布称为标准正态分布.
(x)
1
x2
e 2 , x
2
( x)
若随机变量X ~ N (, 2 ),则可通过变量替换
u=
t-
, 使得随机变量U
X
~
N (0,1),即随机
医学统计学第一章ppt课件
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+ 统计不是万能的：统计只能认识规律而不能“创造” 规律。 对统计结论的解释也要由专业知识解释
如：对出生性别比(103~107:100)的认识和解释
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+ 统计分析手段需要有正确的医学理论作指导，不 能将医学问题归结到纯粹的数量问题，否则会归 纳出错误的结论
如：在样本容量较大时，统计上有显著性和临床上 有实际价值有时候是两码事 实例：采用某种降压新药和传统药物治疗高血压 病人，各500 例，新药比传统药物平均多下降 0.5mmHg.
1. 使大家具备新的推理思维，学会从不确定性和概 率的角度去考虑问题
（借你一双慧眼！透过现象看清本质）
2. 学会结合专业问题合理设计试验，通过精细的试验 观察获得可靠、准确的资料
注：统计学的主要作用是体现在“统计研究设计”上
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3. 学会正确运用统计方法充分挖掘资料中隐含的信 息，并能恰如其分地作出理性概括，写成具有一 定学术水平的研究报告或科学论文。
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1.2 几个基本概念
1.2.1 同质
性质相同的事物称为同质的，否则称为异质 的或间杂的。
观察单位间的同质性是进行研究的前提
不同研究或同一研究中不同观察指标对观察对象的 同质性的要求不同，即同质是相对的。
如研究身高和红细胞数、血红蛋白等指标时，男女是异质的， 而在研究白细胞数指标时又是同质的。
+ 小概率原理是统计推断的一条重要原理
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Ronald A. Fisher(费歇尔，1890～1962)，英国统计 学家和遗传学家，现代统计学的奠基人
医药数理统计
•参数和统计量
–参数(总体量)：用来描述和表达总体的数量 特征指标。 –统计量：用来描述和表达样本数量特征的 指标。
总体
数量平均水平 和集中趋势
均数
变异大小和 离散程度
标准差
医药数理统计方法
样本
平均数 x
标准差S
医药数理统计方法
• 误差(error)
– 统计学的误差：观察值与真实值之差；样本统计量的 值与总体参数值之差。
– 资料：在确定总体后，研究者则应对每个观察 单位的某项特征进行测量和观察，这种特征称 为变量。对变量的测量值称为变量值(value of variable)或观察值(observed value），也称资料。
医药数理统计方法
•变异(variation)
–在同一个总体内，各个个体所表现出来的 参差不齐性。
( 2)
n
n
其中：f1,... fk及x1,...xk表示1至k组的频数及组中值
组中值＝（本段组上限＋本段组上限）/2
（三）均数的性质：
医药数理统计方法
1）均数的计算与样本内的每一个值都 有关
2）若每个xi都乘以相同的数k，则均数也 乘以k 3）若每个xi都加上相同的数A，则均数 也加上A
(四) 均数的应用
– 误差来源
• 系统误差
– 仪器初始状态未调整到零、标准试剂未经校正、医生掌握疗效 标准偏高或偏低、仪器的操作方法、治疗方法等原因，造成观 察测量结果倾向性的偏大偏小。
• 偶然误差
– 随机测量误差：指同一个体(观察单位)多次观测结果之差 – 抽样误差：样本指标与总体指标之差 – 过失性误差：操作人员读数、记录之差错
二、统计工作的步骤
医药数理统计方法
• 设计(design)：
–参数(总体量)：用来描述和表达总体的数量 特征指标。 –统计量：用来描述和表达样本数量特征的 指标。
总体
数量平均水平 和集中趋势
均数
变异大小和 离散程度
标准差
医药数理统计方法
样本
平均数 x
标准差S
医药数理统计方法
• 误差(error)
– 统计学的误差：观察值与真实值之差；样本统计量的 值与总体参数值之差。
– 资料：在确定总体后，研究者则应对每个观察 单位的某项特征进行测量和观察，这种特征称 为变量。对变量的测量值称为变量值(value of variable)或观察值(observed value），也称资料。
医药数理统计方法
•变异(variation)
–在同一个总体内，各个个体所表现出来的 参差不齐性。
( 2)
n
n
其中：f1,... fk及x1,...xk表示1至k组的频数及组中值
组中值＝（本段组上限＋本段组上限）/2
（三）均数的性质：
医药数理统计方法
1）均数的计算与样本内的每一个值都 有关
2）若每个xi都乘以相同的数k，则均数也 乘以k 3）若每个xi都加上相同的数A，则均数 也加上A
(四) 均数的应用
– 误差来源
• 系统误差
– 仪器初始状态未调整到零、标准试剂未经校正、医生掌握疗效 标准偏高或偏低、仪器的操作方法、治疗方法等原因，造成观 察测量结果倾向性的偏大偏小。
• 偶然误差
– 随机测量误差：指同一个体(观察单位)多次观测结果之差 – 抽样误差：样本指标与总体指标之差 – 过失性误差：操作人员读数、记录之差错
二、统计工作的步骤
医药数理统计方法
• 设计(design)：
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
医药数理统计方法1-2随机事件的概率
（2）每个样本点的发生是等可能的。
这类概率模型，称为古典概型。
数理统计
01-02-18
例 袋内装有5个白球，3个黑球。 从中任取一球，求取出的是黑球 （事件 A）的概率。
数理统计
01-02-19
例 设箱中装有100件产品，其中有 3件次品。为检查产品质量，从中任 取5件，求事件 A={所取的5件产品中 恰有1件次品}的概率。
数理统计
01-02-24
例 医院的某科门诊在一星期内曾 接待了 12 位病人，所有的这 12 位 病人看病都在周一或周五进行。试 分析该科门诊的看病时间是否有规 定？
设事件 A={12 位病人看病都在 周一或周五进行}
数理统计
小结：频率，频率的稳定性 概率的统计定义 概率的公理化定义 概率的古典定义 古典概型
数理统计
01-02-06
例 掷一枚质量均匀的硬币，出现
正面与出现反面的机会是相等的， 即在大量重复试验中，出现正面的 频率应接近于0.5。为了验证这一点， 历史上曾有几位数学家做过试验， 结果如下：
数理统计
01-02-07
试验者
试验次数
出现正 面次数
频率
狄摩根 2048 1039 0.5073
蒲 丰 4040 2048 0.5069
数理统计
01-02-13
概率统计定义的性质 对任何事件A，成立 0≤P(A)≤1。
对必然事件 P(Ω)=1 对不可能事件 P()=0
数理统计
01-02-14
概率的公理化定义
设 Ω 是一给定的样本空间，A 为其中的
任意一子集，规定一个实数，记作 P(A)，若
P(A) 满足下列三条公理：
（1）非负性：P(A)0；
医药数理统计课件演示文稿
概率的古典定义
前提：试验样本空间只包含有限个元素；每个基本事件发生等可能性。 定义：已知样本空间 中基本事件总数为n，若事件A 包含 k 个基本事
件，则有
例：将一枚硬币抛三次，求（1）事件A=｛恰有一次出现正面｝（2）事件B=｛ 至少有一次出现正面｝？
例：某学习小组有10名同学，其中7名男生，3名女生，从中任选3人去参加社会 活动，则3人全为男生的概率为？
Ａ发生的频数。称 m 为Ａ发生的频率。记作 f A m
n
n
l定义：当n足够大时，频率的稳定值p（注意概率与频率的区别）
性质： 0PA1 P 1 P 0的性质
稳 定值
概率 概率的统计定义
注：概率是一个随机事件所固有的属性，与试验次数以及每一次试验结果无关。
➢ 确定性现象：结果确定
➢ 不确定性现象：结果不确定
p 抛出的物体会掉落到地上 p 明天天气状况 p 买了彩票会中奖 p 抛硬币出现正（反）面
一次抛掷硬币试验 （出现正面朝上）
不确定
多次抛掷硬币实验 （出现正面朝上的次数）
近半数（规律）
这种在个别实验中其结果呈现出不确 定性，在大量重复试验中其结果又具有统 计规律性的现象，称为随机现象。
随机事件：随机试验的结果（样本空间的子集）（A， B…….）
基本事件:不能分解成其它事件的最简单的随机事件. 必然事件：每次试验必然发生（） 不可能事件：每次试验都不会发生（）
事件与概率
二、事件间的关系与运算
l事件的包含：如果事件A发生必然导致B发生 则称事件B包 含事件A 或称事件A包含于事件B 或称A是B的子事件 记作 BA或AB
事件与概率
三、随机事件的运算律
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B )∪CA∪(B∪C )A∪B∪C (结合律)
医药数理统计
则称为完备事件组(或称A1,A2,…,An为样本空间的一个 部分或分割)。 基本事件组：基本事件e1,e2,…,en的全体，显然满足
e1e2…en=Ф,
e1+e2+…+en=Ω,
是完备事件组的一个特殊情况。
事件运算的基本性质
交换律
A B B A A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
随机事件发生的可能性大小是不以人们意志为转移的, 就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样。 今后我们将用概率来度量随机事件发生可能性大小。
三、事件间的关系和运算 包含与相等
B A(或A B)
B A
若B A且A B，则称A与B相等
记为A = B 事件的并（和）、交（积）、差
AB
这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣 人类生活，开拓了道路。 而且也改变了我们的思维方 法，使我们能大胆探索自然的奥秘。
随着时间的推移，概率论与数理统计学已经成为理、工、 医、农等各类高等院校中一门必修的学科。 下面我们就来开始一门‚将不定性数量化‛的课程的 学习，这就是
第一章 随机事件及其概率
我们把随机试验的每个基本结果称为基本事件或样本 点，记作e；全体样本点集合称为样本空间，记作Ω。
Ω . 样本点e(sample point)
令e1={正面朝上} e2={反面朝上} 将一枚硬币抛掷一次，样本空间为：Ω ={e1, e2} 将一枚硬币抛掷两次，样本空间为： Ω ={(e1, e1), (e1, e2 ), (e2, e1 ), (e2, e2 )}
概率论与数理统计
概率论(第1至3章)
e1e2…en=Ф,
e1+e2+…+en=Ω,
是完备事件组的一个特殊情况。
事件运算的基本性质
交换律
A B B A A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
随机事件发生的可能性大小是不以人们意志为转移的, 就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样。 今后我们将用概率来度量随机事件发生可能性大小。
三、事件间的关系和运算 包含与相等
B A(或A B)
B A
若B A且A B，则称A与B相等
记为A = B 事件的并（和）、交（积）、差
AB
这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣 人类生活，开拓了道路。 而且也改变了我们的思维方 法，使我们能大胆探索自然的奥秘。
随着时间的推移，概率论与数理统计学已经成为理、工、 医、农等各类高等院校中一门必修的学科。 下面我们就来开始一门‚将不定性数量化‛的课程的 学习，这就是
第一章 随机事件及其概率
我们把随机试验的每个基本结果称为基本事件或样本 点，记作e；全体样本点集合称为样本空间，记作Ω。
Ω . 样本点e(sample point)
令e1={正面朝上} e2={反面朝上} 将一枚硬币抛掷一次，样本空间为：Ω ={e1, e2} 将一枚硬币抛掷两次，样本空间为： Ω ={(e1, e1), (e1, e2 ), (e2, e1 ), (e2, e2 )}
概率论与数理统计
概率论(第1至3章)
概率统计1
《医药数理统计方法》
§1.2
3、概率的统计定义 设在相同条件下，进行大量重复的 （独立）试验，若事件A的频率稳定在某 一确定值 p 的附近摆动，则称此数值 p 为事件A发生的概率(probability)。 记为 P(A)=p。 注：1）伯努利大数定律（P76）表明， 当n很大时，频率必然接近于概率。 2）在许多实际问题中，当事件的概率 不容易计算时，往往就是用频率近似代替概率。
01-01-11
三、随机事件(random event)： 样本空间的某个子集称为随机 事件，简称为事件(简单事件，复杂 事件，例子)。通常用大写的英文字 母 A ，B ，C 等表示。 事件A 发生，当且仅当事件 A 所包含的某个样本点发生。（补充 A不发生）
《医药数理统计方法》
§1.1
5、事件发生：（即“某一结果出现”） 在一次试验中，如果出现事件A中所包含的 某一个样本点e，则称事件A发生，记作 e A. 例：掷一颗色子，观察出现的点数，记
《医药数理统计方法》
§1.3
例1.16 设50支针剂中有3支不合格品，今 从中任意取4支，求其中不合格品数不少于2 支的概率。 解：设A={取出的4支针剂中的不合格品数不 少于2支}，Ai={取出的4支针剂中的不合格品 数为i支}，i=2，3.显然A=A2+A3，且A2∩A3=
2 C32 C47 69 P( A2 ) 4 C50 4900 3 1 C3 C47 1 P( A3 ) 4 C50 4900
B A
《医药数理统计方法》
§1.1
7、互逆关系： 若事件A与事件B互斥，且在任何一次试 验中二者必定有一个发生，即A∩B=， 且 A∪B=Ω，则称该情况为事件A与事件B互逆 （或相互对立）.称事件B为事件A的对立事 件，记为 A, 即B A
医用数理统计方法课件第一章
? 就一次试验而言，试验结果没有规律，但 “大数次”地重复这个试验，试验结果又遵 循某些规律，这种规律称之为“统计规律” 如掷硬币(下表)
? 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计 规律的数学学科
频率的稳定性
? 掷硬币试验
试验者 试验次数 正面出现次数 频率
德摩根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
2048 4040 12000 24000
四、事件的关系和运算
? 事件与集合的关系(表1.1)
（一）事件的关系和运算
1.包含关系: 事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A（或称事件A包含于事 件B），记为B? A（或A? B ）。
A的每一个样本点都包含在B中
A={2,4} B={2,4,5,6}
A
B
Ω
（一）事件的关系和运算
AB C , A ? B ? C , A ? ( B ? C )
A与B发生而C不发生： AB C , AB ? C
三个事件都发生：
ABC
三个事件恰好发生一个：
AB C ? ABC ? A B C
三个事件恰好发生二个： ABC ? A BC ? AB C
例：设A、B、C为三个事件，则 三个事件中至少发生一个：
（二）事件运算的基本性质
4.德·B ? A? B A? B ? A? B
n
n
? Ai ? ? Ai
i?1
i?1
n
n
? Ai ? ? Ai
i?1
i?1
例:对Ω={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3,4} B={1,3,5} 验证德 ·摩根原理
例：设A、B、C为三个事件，则 A发生而 B与C都不发生：
? 在随机试验中，它的每一个可能的直接结果， 称为样本点(sample point) ，或称基本事件， 一般用字母ω表示。 随机试验的所有样本点组成的集合称为样本 空间(sample space)，通常用Ω表示。
? 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计 规律的数学学科
频率的稳定性
? 掷硬币试验
试验者 试验次数 正面出现次数 频率
德摩根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
2048 4040 12000 24000
四、事件的关系和运算
? 事件与集合的关系(表1.1)
（一）事件的关系和运算
1.包含关系: 事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A（或称事件A包含于事 件B），记为B? A（或A? B ）。
A的每一个样本点都包含在B中
A={2,4} B={2,4,5,6}
A
B
Ω
（一）事件的关系和运算
AB C , A ? B ? C , A ? ( B ? C )
A与B发生而C不发生： AB C , AB ? C
三个事件都发生：
ABC
三个事件恰好发生一个：
AB C ? ABC ? A B C
三个事件恰好发生二个： ABC ? A BC ? AB C
例：设A、B、C为三个事件，则 三个事件中至少发生一个：
（二）事件运算的基本性质
4.德·B ? A? B A? B ? A? B
n
n
? Ai ? ? Ai
i?1
i?1
n
n
? Ai ? ? Ai
i?1
i?1
例:对Ω={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3,4} B={1,3,5} 验证德 ·摩根原理
例：设A、B、C为三个事件，则 A发生而 B与C都不发生：
? 在随机试验中，它的每一个可能的直接结果， 称为样本点(sample point) ，或称基本事件， 一般用字母ω表示。 随机试验的所有样本点组成的集合称为样本 空间(sample space)，通常用Ω表示。
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3、互不相容关系
如果A与B没有相同的样 本点，则称A与B互不相容 （互斥）。
图1-3
用概率论的语言说：A与B互不相容就是A与 B不可能同时发生。
在电视寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5 万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生。
（二）事件运算 事件的运算与集合的运算相当，有 并、交、差、余等四种。
1、抛一枚硬币。
2、掷一颗骰子。 3、电视机的寿命。
4、测量误差。
样本空间的元素，就是随机试验E 的每个基本结果，称为样本点。
（四）随机事件
在进行随机试验时，人们常常关心 满足某种条件的那些样本点所组成的集 合，称这个集合为随机事件。简称事件 ，常用大写字母A，B，C，…表示。
掷一颗骰子中，“出现奇数点”是一个事件， 记作
”表示；又如出现
“X<3”表示事件“ 出现点数小于3 ”
2、掷两颗骰子的样本空间为 共有36个样本点。
若记X表示第一颗骰子出现的点数，Y表示第
二颗骰子出现的点数，那么事件“点数之和等
于5”可表示成“X+Y=5”=
事件“
”表示事件“最大点数为6”
3、检查10件产品，其中不合格品数为X
是一个随机变量，它可以取值：
2、事件A与B的交（积），记为 （或AB）
含义：由事件A与事件B中 公共的样本点组成的新事
图1-5
件。
用概率论的语言说：事件A与事件B同时发生。
例如，在掷一颗骰子的试验中， 记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}， 事件B=“出现的点数不超过3”={1,2，3}， 则事件A与B的交为
若事件A与B为互不相容，其交为不可能事
事件D=“出现的点数大于6”， 中任一样本点都不 在D中，所以D是空集，即不可能事件。
（五）随机变量 用来表示随机试验结果的变量称为 随机变量，常用字母X，Y，Z表示。
例1-4 1、掷一颗骰子，出现的点数是一
个随机变量，记作X，则事件“出现3点”
可用“X=3”表示，事件“出现的点数不
小于3”可用“
例1-1 你能举出哪些随机现象的例子？
1、抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能 反面朝上。 2、掷一颗骰子，出现的点数。 3、一天内进入超市的顾客数。 4、某种型号电视机的寿命。 5、测量某物理量（长度、直径等）的误差。
（二）随机试验
在相同条件下，可以重复的随机现 象称为随机试验。简称试验，用字母E 表示。
该试验有两个基本事
件
。
Venn图表示事件
在概率论中，常用一个长方形表示样 本空间，用其中一个圆或其他几何图形表 示事件A，这类图形称为Venn图。
—样本空间 —样本点
两个或两个以上样本点需表示成：
图1-1
例1-3 掷一颗骰子的样本空间为
事件A=“出现1点”，它由 的单样本点“1”组成。 事件B=“出现偶数点”，它由 的三个样本点“2”， “4”，“6”组成。 事件C=“出现点数小于7”，它由 的全部样本点 “1”“2”“3”“4”“5”“6”组成，即必然事件。
1、事件A与B的并（和），记为 （或 A+B）
含义：事件A与事件B中所 有的样本点组成的新事件。
图1-4
用概率论的语言说：事件A与事件B中至少有一 个发生。
例如，在掷一颗骰子的试验中， 记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}， 事件B=“出现的点数不超过3”={1,2，3}， 则事件A与B的并为
0,1,2,3,4，…，10。事件“不合格品数
不多于1件”可以表示成“
”；
“
”表示事件“ 不合格品数超过2件 ”
4、电视机的寿命T是一个随机变量，
则事件“寿命超过40 000h”可表示成
“
”。
事件“寿命不超过10000h”可表示成
“
”
在不少场合，用随机变量表示事件较 为简洁明了，这样一来，事件有三种表 示方法：
含A，记为
）。
用概率论的语言说：事件A发生必然导致事 件B发生。
2、相等关系
如果事件A与事件B满足：属于A的样本点
必属于B，而且属于B的样本点也属于A，即
且
,则称事件A与B相等，记作A=B。
例如，掷两颗骰子，记事件A=“两颗骰子的点数之 和为奇数”，事件B=“两颗骰子的点数为一奇一 偶”，显然A发生必然导致B发生，并且B发生也必然 导致A发生，所以A=B
必然事件 样本空间 包含所有样本点，它是 自身的
子集，在每次试验中它总是发生。
不可能事件 空集 不包含任何样本点，它也作为样本
空间的子集，它在每次试验中都不发生。
事件发生
在每次试验中，当且仅当这一子集中
的一个样本点出现时，称这一事件发生。
基本事件
由一个样本点组成的单点集合。
例如，抛一枚硬币这个随机试验，样本空间
例如， ：从一批含有合格品和次品的 药品中任意抽取一个药品，抽得的药品质 量。
Hale Waihona Puke （三）样本空间对于随机试验E，尽管在每次试验之前不
能预知试验的结果，但试验的所有可能的基
本结果是已知的，我们将随机试验E的所有
可能的基本结果组成一个集合，那么这个集
合称为E的样本空间，记为
。其中
表示基本结果。
例1-2 写出下列随机试验的样本空间。
件，即
；反之亦然。这表明： 就
意味着A与B是互不相容事件。
3、事件A对B的差，记为A-B。
含义：由事件A中而不在事 件B中的样本点组成的新事 件。
图1-6
用概率论的语言说：事件A发生而事件B不发生。
例如，在掷一颗骰子的试验中， 记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}， 事件B=“出现的点数不超过3”={1,2，3}， 则事件A对B的差为
1、用集合表示。 2、用语言表示，但语言要明白无误。 3、用随机变量表示。
二、事件间的关系及其运算
（一）事件间的关系
下面的讨论总是假设在同一个样本 空间 （即同一个随机试验）中进行， 事件间的关系与集合的关系一样有以下 几种：
1、包含关系
如果属于A的样本点必
属于B，则称A被包含在B
中，记为 （或称B包 图1-2
再如，设X为随机变量，则有：
一、基本概念
医药数理统计，是研究和揭示随机现 象规律性的一门数学学科。
（一）随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相 同结果的现象称为随机现象。
例如：抛一枚硬币；新药对某疾病的治疗 效果
随机现象的特点：
1、结果不止一个； 2、哪一个结果出现，人们事先并不知道。
如果，发生了只出现一种结果的现象，那 我们称它为确定性现象。