效用函数
柯布-道格拉斯效用函数
柯布-道格拉斯效用函数（Cobb-Douglas Utility Function）是一种常用的经济学中描述消费者效用函数的数学模型。
它用于表示消费者对不同商品的效用或满足程度。
柯布-道格拉斯效用函数的一般形式为：
U = A * X^a * Y^b
其中，U 表示效用，A 是常数，X 和Y 是两种商品的数量，a 和 b 是表示商品对效用的弹性或重要程度的参数。
柯布-道格拉斯效用函数具有以下特点：
多样性效应：当a 和b 的值大于0 时，增加某种商品的数量会增加效用，即多样性效应。
消费者越多样化地消费两种商品，效用越高。
边际效用递减：随着某种商品的数量增加，其边际效用递减，即每多消费一单位的商品，效用的增加幅度越来越小。
均衡性：在消费者选择最优消费组合时，边际效用与价格之比（边际替代率）应相等，以达到效用最大化。
柯布-道格拉斯效用函数在经济学中被广泛应用于描述消费者的偏好和选择行为，以及衡量经济中的效用和福利。
在实际分析中，参数a 和 b 的具体数值会根据具体情境和数据进行估计。
经济学中效用函数的
矩估计法
定义
矩估计法是一种利用样本矩来估计总体参数的方法。它通过比较样本矩和总体矩的关系来估计总体参数。矩估计法的一个主要优点是它不需要知道数据的分布 假设，因此可以用于任何类型的数据。
优点
矩估计法的优点包括：简单易行、不需要知道数据的分布假设、可以用于任何类型的数据。此外，在某些情况下，矩估计法的解具有唯一性。
要点二
单调递减
如果对于所有的商品组合X和Y，只要X中的商品总价值 低于Y，那么消费者对于X的效用也低于Y。
03
效用函数的应用场景
消费者选择理论
01
描述消费者的偏好
效用函数能够量化描述消费者的 偏好，为研究消费者行为提供依 据。
02
消费者选择模型
基于效用函数构建消费者选择模 型，解释消费者如何在有限的资 源下做出最优的购买决策。
最大似然估计法
定义
优点
缺点
最大似然估计法是一种参数估计方法 ，它通过找到一组参数值，使得模型 预测的结果与实际观察到的数据之间 的似然性最大。换句话说，它试图找 到最有可能产生观察数据的参数值。
最大似然估计法是一种强大的参数估 计方法，因为它可以充分利用已知的 数据信息，并且对于大多数分布假设 ，其估计量是渐近正态的，这意味着 随着样本大小的增加，估计量的精度 也会提高。此外，最大似然估计法还 可以方便地处理缺失数据和异常值。
03
凸函数
一种常见的效用函数，其形式为U(x) = e^(ax)，其中a为常数。凸函数
的特点是随着商品数量的增加，效用值的增加速度逐渐加快。
02
效用函数的基本性质
偏好关系
完全偏好关系
如果消费者对于所有的商品组 合A和B，都更偏好A，那么我 们称A在偏好关系中完全优于B
五种效用函数
五种效用函数
1.完全替代品（线性数用函数）
完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况，相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线，且在任何一条无差异曲线上，两商品的边际替代率保持不变。
效用函数：U（X1，X2）=aX1+bX2
2.完全互补品（里昂惕夫效用函数）
完全互补品是指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况，相应的无差异曲线为直角形状。
效用函数：U（X1，X2）=MIN（aX1，bX2）
只有在无差异曲线的直角点上，两种互补商品刚好按固定比例被消费。
3.拟线性效用函数
U(X1，X2)=V(X1)+X2。
效用函数对商品2来说是线性的，但对商品1来说是非线性的，因此称为拟线性。
无论消费者收入如何变化，他对X1的消费量都是不变的，人们会把所有增加的收入用于消费X2商品。
4.柯布-道格拉斯效用函数
U（X1，X2）=X1αX2β
5.CES效用函数
CES效用函数又称不变替代弹性效用函数，其表达式为：
当ρ=1时，它是表示完全替代的线性效用函数；
当ρ=0时，它是科布−道格拉斯效用函数；
当ρ→∞时，它是表示完全互补的里昂惕夫效用函数。
《效用函数》课件
05
效用最大化问题
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
消费者在购买某一商品时愿意支付的 最高价格与实际支付价格之间的差额 。消费者剩余反映了消费者对商品的 主观评价和实际支付之间的差异。
无差异曲线法
预算约束法
通过选择无差异曲线上的点来实现效用最 大化，无差异曲线上的点表示能给消费者 带来相同效用的不同商品组合。
在预算约束条件下，选择能够使总效用最 大的商品组合。
06
效用函数的发展趋势和未来展望
效用函数在经济学中的发展趋势
跨学科融合
随着经济学与其他学科的交叉研究， 效用函数的理论和应用将进一步融入 心理学、社会学和环境科学等领域， 以更全面地解释人类行为和经济现象 。
效用函数作为决策分析的重要工 具，为决策者提供了一套完整的 分析框架和方法。
04
效用函数的性质
边际替代效应
边际替代效应是指消费者在保持总效 用不变的情况下，通过改变消费组合 中不同商品的消费量，以获得最大效 用。
边际替代效应反映了消费者对于不同 商品之间的替代关系，是消费者行为 的一个重要特征。
对同一种商品的效用评价可能不同。
效用具有主观性和个体差异性，反映了消费者的个人偏好和价
03
值取向。
效用函数的定义
01
效用函数：表示消费者对不同消费组合的效用评价 的函数。
02
效用函数将商品的数量或消费组合映射到效用值上 ，反映了消费者的偏好和价值取向。
03
效用函数有多种形式，常见的有线性效用函数、二 次效用函数、对数效用函数等。
效用函数定义
三、效用函数的应用
效用函数在经济学中有广泛的应用，特别是在消费者理论、福利经济学和行为经济学方面。
1.消费者理论：效用函数是描述消费者行为和偏好的重要工具。根据效用函数，经济学家可以分析个体如何根据自身的收入和价格来最大化效用。例如，当收入和价格发生变化时，效用函数可以帮助我们理解个体对商品或服务的消费决策如何做出调整。
二、效用函数的属性
1.非负性：效用函数输出值不能为负数，即U(X1, X2, ..., Xn) >= 0。这意味着个体对商品或服务的满足程度不能为负，越多的商品或服务应该获得越高的效用。
2.递增性：效用函数对各个商品或服务的边际效用应该是递增的。即∂U/∂Xi >= 0，表示当个体获得更多的一种商品或服务时，他的总效用应该增加。
四、效用函数的局限性
尽管效用函数在经济学中具有重要的应用，但它仍然存在一些局限性和争议。首先，效用函数的构建需要基于个体主观感受的假设，而个体的主观感受很难准确度量和比较。其次，效用函数的属性并不适用于所有情况，实际消费决策中，个体行为可能受到其他因素的影响，如心理因素、社会环境等。
综上所述，效用函数是经济学中一个重要的概念，用于量化个体对不同商品或服务的满足程度。它具有一些基本属性，并在消费者理论、福利经济学和行为经济学等领域有广泛应用。然而，我们也应该意识到效用函数的局限性，尤其是在对个体主观感受和非理性行为的解释方面。通过进一步研究和探索，可以不断完善和丰富效用函数理论，提高其在经济学中的适用性和准确性。
效用函数的构造
效用函数的构造
效用函数是指用来描述个体对不同选择的偏好程度的数学函数，用于分析个体在做出决策时的选择行为。
效用函数的构造包括以下几个方面：
1. 偏好假设：效用函数的构造需要先假设个体的偏好，在不同的选择项之间进行选择时所产生的相对倾向性。
个体的偏好可以从心理学、经济学、行为学等方面的研究中得出。
2. 特征选择：除了偏好之外，效用函数的构造还需要选择与选择相关的特定特征。
这些特征可以是选择所涉及事物的属性和特性，比如价格、品牌、大小、配料等等。
3. 功用计算：对于每一个选择，都需要计算其所对应的效用值。
效用值可以是实际的数字、百分比或其他形式，需要考虑到每一种选择所对应的不同特征，以及这些特征对于个体偏好的影响。
4. 模型评估：构造效用函数后，需要对其进行定量评估。
评估的方式可以是基于数据的实证研究，也可以是基于理论的推演和假设。
只有在不断的评估和调整中，效用函数才能更好地反映个体选择行为的真实情况，并应用于更广泛的决策和分析中。
需要注意的是，效用函数的构造可能因不同的研究领域和个体情况而有所不
同，具体的构造方式需要根据实际情况加以优化和调整。
效用函数研究
VS
效用函数的应用研究
效用函数在经济学、金融学、决策科学等 领域都有广泛的应用，未来的研究将更加 注重对效用函数的应用进行研究，如基于 效用函数的投资组合优化、风险评估等。
效用函数的研究展望
跨学科的研究
效用函数涉及到多个学科领域，未来的研究将更加注重跨学科的研究，如将效用 函数与机器学习、人工智能等领域相结合，开展跨学科的研究和应用。
效用函数研究
2023-10-26
目录
• 效用函数概述 • 效用函数的分类 • 效用函数的应用 • 效用函数的优化方法 • 效用函数的研究进展
01
效用函数概述
效用函数的定义
定义
效用函数是用来描述消费者对不同商品或服务组合的主观感受和偏好的函数。它 可以将各种商品或服务组合的效用值量化，帮助我们更好地理解消费者的购买决 策过程。
更好地配置资源。
03
经济政策制定
政府可以通过研究效用函数来了解人民对不同政策的主观感受和偏好
，从而更好地制定经济数
定义
线性效用函数是效用与消费品的数 量呈线性关系的函数。
公式
U(x) = ax + b，其中a是效用斜率 ，b是常数。
特点
随着消费量的增加，效用以恒定的 速度增加。
无约束最优化方法
梯度下降法
根据函数梯度下降方向更新参 数，逐步逼近最优解。
牛顿法
利用海森矩阵的逆矩阵，找到最 优步长，逐步逼近最优解。
共轭梯度法
利用共轭方向更新参数，减少迭代 次数，提高收敛速度。
有约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约 束条件转化为目标函数，求解
最优解。
惩罚函数法
效用函数的参数估计
效用函数和边际效用的关系
效用函数和边际效用的关系概念解释效用函数是指在一定数量和质量的商品和服务下，消费者所得到的满足程度的度量函数，是描述消费者行为的一个基本工具。
因为每个人喜好不同，每个人对同一件物品的评价也不尽相同，故而每个人对同一件物品的效用也是不同的。
效用函数可以用数学函数形式来表示。
边际效用是指对效用函数中的每一个参数进行微小的变动，所引起的效用的变动量，即效用函数微分的值。
简单地说，边际效用是指消费者所得到的满足程度因为消费数量的变动而出现的变化。
效用函数和边际效用的关系效用函数和边际效用是密不可分的。
效用函数是描述消费者行为的基本工具，可以用来计算某一种商品或服务的效用，通常可表示为U(x1,x2,x3,...xn)，其中xi表示每种商品或服务的数量，U表示总效用。
而边际效用则是效用函数微分的值，表示每增加一单位的某种消费品，对总效用所增加的效用值。
在经济学中，边际效用是非常重要的，因为它可以帮助消费者进行决策。
当一个消费者在购买一个商品时，他会衡量这个商品所带来的效用和价格，他会一直购买该商品，直到它的边际效用等于商品的价格。
这是因为当边际效用等于价格时，说明再增加一个单位的商品所带来的效用已经比商品的价格更不值得了，即效用不再增长，消费者不再愿意购买。
而且边际效用可能会随着消费量的变动而发生变化，当消费量较小时，边际效用通常很高，因为在这个价位下，消费者需要这件商品来继续满足其需求。
但是，当消费量增加到一定点时，边际效用通常会下降，因为消费者对这种商品的需求得到了充分满足，再继续购买对他来说已不再有必要。
总之，边际效用与效用函数之间的关系是十分密切的。
消费者在做出购买决策时，通常会考虑各个商品或服务的边际效用及其价格，以最大化自己的总效用。
因此，边际效用的概念在消费者决策中扮演着十分重要的角色。
效用函数
L U Pi MU i Pi 0, (i 1,2,..., n) xi xi
n L I Pi xi 0 i 1
效用最大化条件的数学证明
dU 是货币的边际效用，即 ＝ dI
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
用U ( x, y )表示某消费者的序数效 用函数 , 那么， 消费者认为消费组合 ( x, y )比( x, y)更好，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y); 消费者认为 ( x, y )与( x, y)不相上下，当且仅当 U ( x, y ) U ( x, y)
效用最大化条件的数学证明
a 例子 已知某消费者的收入为: I，其效用函数为U x1 x b，其中 2
x1和x 2 是两种商品的消费量，a 0, b 0为常数。如果商品价格 分别为P1和P2，求该消费者对两种商品的需求函数。
根据最优化条件
b b ax1a 1 x2 bx1a x2 1 即aP2 x2 bP x1 1 P P2 1
第3章
效用函数
（Utility Function)
偏好理论的讨论比较抽象，效用理论是分
析偏好理论的一种简便方法
基数和序数效用
（Cardinal and Ordinal Utilities）
效用（Utility）是满意或幸福的同义词 19世纪经济学家认为
人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中 所获得的效用来度量 效用可以精确计量与加总 其大小可以用1,2,...表示
Px 第二章中消费选择的最 优条件 MRSxy 可改写为 Py MU x Px MU x MU y ＝ ,或 MU y Py Px Py
效用函数
应进行中批生产。
19
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假定对该决策人进行风险心理试验得到的效用曲线如图3-7 中A所示。将其决策表3-20中的货币量换成相应的效用值，得到 效用值决策表3-21。 表3-21 决策人甲效用值表
这时
E ( A1 ) 1.0 0.2 0.5 0.3 0 0.5 0.35 E ( A2 ) 0.82 0.2 0.57 0.3 0.3 0.5 0.485 E ( A3 ) 0.66 0.2 0.54 0.3 0.46 0.5 0.524
其决策表如表3-20所示。按期望值法以损益值进行决策，可得： 表3-20 生产方案决策表
E ( A1 ) 20 0.2 0 0.3 (10) 0.5 1(万元) E ( A2 ) 15 0.2 2 0.3 (5) 0.5 1.1(万元) E ( A3 ) 5 0.2 1 0.3 (1) 0.5 0.8(万元)
u ( 20) 1, u (10) 0
第二步，向决策人提出下面两种选择方案，第一方案：以50% 的机会获利20万元，50%的机会损失10万元；第二方案：以 100%的机会获利5万元（注：这 5万元正是第一方案的期望 值）。
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再继续进行下去就可以得到足够的试验数据，如假定在-10~0 万元之间的心理试验得到的结果是 -5.85 万元。这说明-5.85万元
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第4章 效用函数
第四章
效用函数
随机决策问题
例
“
有这样一场赌博：掷硬币直到头部出现为止。
当头部出现
4.1
一、事态体及其关系
2. 事态体的表示和性质
T=( p
1,o
1;
p
2,
o
2;
…
,
p
n,
o
n
)可以用树形图表示
的树形图
……
例
一、事态体及其关系
一、事态体及其关系
4.1
二、理性行为公理
2. 传递性公理
二、理性行为公理
3. 复合保序性公理
二、理性行为公理
4. 相对有序性公理
4.2性质1：
4.2
基本性质（三）说明
4.4
4.4
于是，决策问题就转化为对
4.4
4.4
一、效用（utility）
二、
例
4.4
三、效用函数定义
4.4
效用函数的构造方法
归一化
)
x
)
4.5
4.5
4.5
4.5
3. 冒险型效用函数
效用值随结果值增加而增加，但增加的速度随之逐渐加快。
4.5
4.6 效用函数表
4.6 效用函数表
线性内插法
效用函数表使用举例
解题确定当量
下凸型效用函数
效用函数对称关系。
效用函数几种常见的公式
效用函数几种常见的公式效用函数是描述消费者对不同商品组合的偏好程度的数学函数。
常见的效用函数有线性效用函数、凹凸效用函数、倍诺效用函数和Cobb-Douglas效用函数等。
下面将详细介绍这几种常见的效用函数。
1.线性效用函数线性效用函数是最简单的效用函数形式，表示消费者对不同商品数量的偏好是线性的。
线性效用函数的一般形式为U = ax + by，其中U表示总效用，x和y分别表示两种商品的数量，a和b是效用的边际收益（表示单位商品数量带来的边际效用）。
线性效用函数假设消费者对每单位商品数量的边际效用保持不变，即边际效用处处相等。
2.凹凸效用函数凹凸效用函数是消费者偏好曲线呈现凹（convex）或凸（concave）形状的效用函数。
凹凸效用函数可以是一次函数、二次函数、对数函数等。
凹凸效用函数的特点是随着消费数量的增加，边际效用递减。
凹凸效用函数可以用来描述消费者的递减边际效用的情况，即对于同一商品，消费数量越多，边际效用越低。
3.倍诺效用函数倍诺效用函数是消费者偏好曲线呈现S形状的效用函数，也被称为双曲正切函数（Hyperbolic Tangent function）或双曲正切效用函数。
倍诺效用函数的一般形式为U = a * tanh(bx)，其中U表示总效用，x表示商品的数量，a和b是函数的参数。
倍诺效用函数具有递增边际效用和递减边际效用的特点，即当消费数量较小或较大时，边际效用较高，而在中间数量区间边际效用较低。
4. Cobb-Douglas效用函数Cobb-Douglas效用函数是一种常用的多商品效用函数形式，常用于描述消费者对多种商品的偏好。
Cobb-Douglas效用函数的一般形式为U = x^a * y^b，其中U表示总效用，x和y分别表示两种商品的数量，a和b 是表示商品相对重要性的参数，常常取值为0到1之间。
Cobb-Douglas效用函数的特点是递增的边际效用，但边际效用的增加率逐渐减小。
效用函数名词解释
效用函数名词解释一、什么是效用函数1.1 效用的概念效用在经济学中是一个基本的概念，它用于描述人们对不同选择的偏好程度。
效用是一个主观的概念，不同的人对同一种选择可能会赋予不同的效用。
1.2 效用函数的定义效用函数是用来表示人们对不同选择赋予的效用的函数。
它将不同的选择映射到一个数值上，数值越大则表示该选择对个体而言越有利。
效用函数是一种量化人们选择偏好的工具，通过它可以比较不同选择的效用大小。
二、效用函数的特点2.1 主观性效用函数的值是主观的，它取决于个体的偏好和价值观。
不同的人对同一种选择可能会有不同的效用函数。
2.2 正值性效用函数的值是正的，即效用函数的值不能为负。
这是因为效用是用来衡量个体对不同选择的好坏程度，若效用为负则表示该选择对个体来说是不利的。
2.3 边际效应递减性边际效应递减性是指随着某一选择数量的增加，对个体带来的额外效用逐渐减少。
例如，一个人一天喝一杯水可以获得一定的效用，但继续喝第二杯水时，获得的额外效用就会减少。
2.4 可比较性效用函数可以用来比较不同选择的效用大小。
通过效用函数，我们可以确定对个体来说哪种选择更优。
三、效用函数的形式3.1 效用函数的数学表达一般来说，效用函数可以用数学方程来表示。
常见的形式有线性效用函数、二次效用函数、指数效用函数等。
具体形式的选择取决于个体的偏好。
3.2 线性效用函数线性效用函数是一种简单的效用函数形式，它表示效用与选择数量成正比。
例如，一个人每天喝的咖啡数量和效用之间的关系可以用线性函数来描述。
3.3 二次效用函数二次效用函数是一种常用的效用函数形式，它表示效用与选择数量的平方成正比。
例如，一个人购买商品的数量和购买商品的效用之间的关系可以用二次函数来描述。
3.4 指数效用函数指数效用函数是一种常用的效用函数形式，它表示效用与选择数量的指数函数成正比。
例如，一个人对音乐会的参与人数和参与人数对自己的快乐感的影响可以用指数函数来描述。
效用函数几种常见的公式
效用函数几种常见的公式效用函数是衡量个体对不同商品或服务的偏好的一种数学表示方式。
在经济学和消费者理论中，效用函数是非常重要的工具，因为它能够帮助我们预测消费者的行为和认识不同商品之间的差异。
本文将介绍几种经济学中常见的效用函数公式。
1.柯布-道格拉斯效用函数柯布-道格拉斯效用函数是一种常见的经济学效用函数，它可以帮助我们定量地衡量商品数量对消费者福利的影响。
柯布-道格拉斯效用函数的公式如下：U(某,y)=某^αy^β其中，U表示效用，某和y分别表示消费者消费的商品1和商品2的数量，α和β分别表示商品1和商品2的边际效用。
2.边际效用递减效用函数边际效用递减效用函数是一种通用的效用函数，它描述了当消费者消费一定数量的某种商品时，其边际效用将逐渐减少。
边际效用递减效用函数的公式如下：MU(某)=U’(某)其中，MU表示某种商品的边际效用，U’表示效用函数的导数。
边际效用递减效用函数的应用范围和柯布-道格拉斯效用函数相似，但它更加侧重于描述商品数量对效用的影响。
3.指数效用函数指数效用函数是一种常见的描述风险偏好的效用函数，它可以帮助我们测量人们在面临风险情况下做出选择的倾向。
指数效用函数的公式如下：U(某)=e^{-a某}其中，U表示效用，某表示收益或者损失，a表示风险趋避系数。
根据指数效用函数的公式，我们可以看出当风险趋避系数较大时，消费者越容易选择安全的选项，而不会冒险去追求高回报的投资。
总的来说，以上介绍的效用函数公式只是经济学中的一小部分，不同的效用函数公式可以应用于不同的场景和分析方法。
学习和理解效用函数公式对于经济学专业的学生非常重要，它可以帮助我们深入了解消费者选择行为和市场竞争的本质，为我们进行经济决策和制定政策提供理论依据。
《中级微观经济学》教材第04章 效用函数
用函数为 , = 3 2 + + 12， G的效用函数为
, = ， H的效用函数为 , = + 1 。请问以
上几位消费者的偏好与A的偏好之间关系。
例子2
画出下列效用函数的无差异曲线:
A.U(x, y) = min{2x + y, x + 6y};
如果消费者总是愿意以b单位的商品1交换a单位的商品2，那么该
消费者对两种商品的偏好为完全替代偏好，无差异曲线的斜率为
− Τ ，即以商品2表示商品1的边际替代率为：
21 = − Τ
所以，该偏好对应的效用函数可以表示为:
1 , 2 = 1 + 2
具体偏好的效用函数
1.完全替代偏好的效用函数
效用函数定义
1.效用函数与无差异曲线
直观上讲，效用函数就是对每个消费束按照偏好规律赋予一个
数值，使得较高偏好的消费束被赋予的数值大于较低偏好的消
费束被赋予的数值的一一对应关系。可见，一条无差异曲线被
赋予一个相同的数值。
效用函数定义
1.效用函数与无差异曲线
如考虑消费束 (4,1), (2,3) 及 (2,2)。
1 , 2 满足 1 1 , 2 > 2 1 , 2 ，那么称函数
1 , 2 为原效用函数 1 , 2 的正单调变换。
正单调变换的判断：函数 1 , 2 为效用函数 的复合函
1 ,2
数，且
1 ,2
> 0，那么函数 1 , 2 为原效用函数
MRS = -f(x1”)
对于给定 x1的MRS 是个常数
x1’
x1”
x1
不同效用函数的边际替代率
不同效用函数的边际替代率引言边际替代率是衡量经济学中效用函数的重要概念，它反映了一个经济主体对两种商品之间平均交换比例的愿意程度。
不同的效用函数会导致不同的边际替代率，本文将探讨几种常见的效用函数及其边际替代率的特点。
常见效用函数1.线性效用函数线性效用函数是一种简单且常用的效用函数形式，其边际替代率是恒定不变的。
线性效用函数的形式可以表示为：U(x,y)=a x+by其中，x和y分别表示两种商品的数量，a和b为常数。
根据该线性效用函数求导可得到边际效用函数：M U x=aM U y=b由于导数值为常数，线性效用函数的边际替代率为常数：M R S=MU x/MU y=a/b2.边际效用递减的效用函数边际效用递减的效用函数是一种常见的效用函数形式，其边际替代率会随着消费水平的增加而递减。
一个典型的边际效用递减的效用函数可以表示为：U(x,y)=x^a*y^b其中，x和y同样表示两种商品的数量，a和b为正常数。
根据该效用函数求导可得到边际效用函数：M U x=a*x^(a-1)*y^bM U y=b*x^a*y^(b-1)边际效用递减的效用函数的边际替代率为：M R S=MU x/MU y=(a/b)*(x/y)可以看出，当x和y的比值不同时，边际替代率会随着消费水平的不同而变化。
3.单位弹性效用函数单位弹性效用函数是一种特殊的效用函数形式，其边际替代率恒定为常数1。
单位弹性效用函数的形式可以表示为：U(x,y)=f(x/y)其中，f()为任意单调递增函数。
边际效用函数为：M U x=f'(x/y)/yM U y=-f'(x/y)*x/y^2可以看出，边际替代率为：M R S=MU x/MU y=(f'(x/y)/y)/(-f'(x/y)*x/y^2)=1单位弹性效用函数的边际替代率恒定为1，这意味着两种商品之间的交换比率始终保持一致。
总结不同的效用函数形式会导致不同的边际替代率。
效用函数
03 相关研究 05 存在问题
目录
02 相关解释 04 形式表现
基本信息
效用函数通常是用来表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数，以衡量消 费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。
效用函数的定义是设f是定义在消费集合X上的偏好关系,如果对于X中任何的x,y,xfy当且仅当u(x)≥u(y), 则称函数u:X→R是表示偏好关系f的效用函数。
存在问题
存在问题
效用函数的存在性,用数学式表示了效用函数的2个特征：效用是随着单个商品数量递增而增长的,且单个商 品的边际效用是递减的同时,得出了对于效用函数,商品组合X和商品组合Y产生的效用之和大于商品组合X+Y产生 的效用. 西方经济学效用函数的存在性定理：假定消费者偏好具有完备性、自返性、传递性、连续性和强单调 性，那么，存在着一个能代表该偏好的连续效用函数。
在上述假设下，西方经济学首先构造一个由所有商品的1个单位所组成的单位消费束e（e是每个分量均为1的 n维实数空间Rn中的向量），然后将所有的消费束与这个单位消费束进行比较，“证明”这些所有的消费束都分 别与这个单位消费束的某一个倍数是无差异的，从而可以用这个倍数来表示效用，即效用函数是存在的。
但是，西方经济学对效用函数的存在性的证明，是一种自我循环的论证。这是因为，效用函数存在性定理的 那些假设条件，不是基于事实，而是基于数学证明的需要。而要满足这些假设条件，就必须事先要求效用函数的 存在。事实上，如果没有效用函数的事先存在，消费者是不可能对数百万种商品的各种数量的无穷组合进行满足 完备性、传递性和连续性的偏好判断的。而这正是在心理实验中发现那些事先没有设定效用函数的人们的选择缺 乏传递性的根本原因。
现代西方经济学关于效用函数与商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m等其他经 济变量的关系，被认定为：效用函数值的大小实际上被消费者本人的消费束X唯一地确定；除消费束X之外的其他 变量（如P和m）对消费者效用水平的影响，只能通过影响X间接地决定或影响效用水平。即只要消费者购买（或 消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量如价格向量P如何置定或变动），其偏好或效用大小便唯 一地确定。然而，实际情形并非如此。
效用函数求需求函数
效用函数求需求函数
效用函数是指消费者对某种商品的喜好程度的表达式，而需求函数是指消费者在不同价格下愿意购买的该商品的数量。
需求函数可以从效用函数推导而来。
具体地，当消费者对某种商品的效用达到最大化时，其对应的边际效用等于该商品的价格。
而边际效用是指增加一单位商品所带来的额外效用。
因此，我们可以将效用函数对商品的数量求导，并将其等于商品的价格，从而得出该商品的需求函数。
需要注意的是，需求函数是受到价格和消费者收入变化的影响的。
当商品价格上升时，需求量会下降；当收入增加时，消费者对商品的需求也会增加。
因此，需求函数的形式是：Q = f(P, Y)，其中Q为商品的需求量，P为商品的价格，Y为消费者的收入。
α-公平效用函数
α-公平效用函数
α-公平效用函数是一种效用函数，其特性体现在其具有调节系数α，用以权衡效率与公平性。
该效用函数的目标是在系统效率（记为e）和用户间公平性（记为f）之间达到一种平衡。
其中，效率的测量方式是通过将资源分配给一个用户，看是否可以满足其效用。
而公平性则是以所有用户效用的相对差值为标准进行衡量。
α-公平效用函数的数学表达式为：U=α*e+(1-α)*f，其中U表示总效用，e 表示效率，f表示公平性。
α的取值范围在0到1之间，用以调节效率与公平性之间的权重。
当α接近0时，系统更注重公平性；而当α接近1时，系统更注重效率。
α-公平效用函数可应用于很多场景，比如负载均衡、无线资源管理、服务管理等，是一个重要工具来评估和设计符合公平和效率的资源分配策略。
如果你还有其他关于这个问题的疑问或困惑，或者需要对该话题做进一步的理解或深入探讨，我会很乐意提供帮助和信息。
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整理得 x u(x)
2c b
1 b2
u(x)
令Z
x u(x)
,
A
2c b
,B
1 b2
得到：Z
A
B u( x)
设 0.4,查效用函数表，得到效用曲线上的64个点的坐标，由最小二乘法，分别计算得：
u(x)
1 64
得到归一化决策矩阵：
X
(xij ) 1.000
0.500
0.000
0.760 0.440 0.100
• 查效用函数表，将归一化矩阵的xij转化为相应的效用值u(xij)， 不能直接查到的取其邻近值，得到相应效用值，用线性内插法得 出结果：
0.7338 0.6094 0.4306
个值x1，x2，用线性内插法计算,如下：������
效用函数是单调增加函数，有u(x1)<u(xj)< u(x2)
u(x2 ) u(x j ) u(x2 ) u(x1 _
x2 x j x2 x1
u(xj )
u(
x2
)
u(
x2
)
u(
x1
)
x2 x2
xj x1
• 例：某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。假设市场 划分为三种状态，即市场畅销、一般、滞销，三种方案在不同的 市场状态下所获利润额，根据预测分析可以表示决策矩阵
1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，并假定o1 o2
• 1，若p1=p2 ，则称事态体T1无差异与T2，记作T1∼T2
• 2，若p1> p2 ，则称事态体T1优于T2，记作T1 T2反之，称事态体
T1劣于T2，记作T1 ≺ T2。
1.2基本概念与符号
• （4）设有两个简单事态体T1,T2，仅具有一个相同结果值，另一个
• 效用函数主要用于解决随机决策问题，在进行决策分析时，主 要步骤分别是：
得到确定 当量
效用测定
查效用函数 表或效用曲
线
效用函数 值
决策效用 矩阵
画出决策 树
1.2基本概念与符号
• （1）事态体的概念
• 具有两种或两种以上的有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体 。 p1，设p事2，态…体，的pnn，个并可且能结jn1 p果j 1值为o1，，o则2，事o态3，体…记，作on，相应出现的概率为
x0.25 x0 x0.5 x0
x0.5 x0 x x0
x0.75 x0.5 x x0.5
x0.5 x0 x x0
于是可以得到:
x0.25 xo (x0.5 x0 ) 2 x0.75 x0.5 (x x0.5 ) 2 2
• 求出幂函数型效用函数的拟合表达式，
由A
2c b
,
B
1 b2
, 解得b
1 1.3279，c ( Ab )2 0.0796
B
2
得到 0.4的效用函数的拟合表达式为：
u(x) -0.3749 1.3279 x 0.0796
• （3）对数函数型效用曲线
• y=lnt
(0<t<+∞)
i 1
i 1
64
u(xi ) u X i X
b i1 64
1.2323; a u b X 0.3073
(Xi X )2
i 1
u(x) 0.30731.2323ln(x 0.8)
• 三、进行决策树分析
• 根据各种状态与相应的效用值画出决策树图，计算各方案的期 望效用值，然后进行修枝选方案。
U u(xij ) 1.000 0.6715 0.0000
0.8750 0.6010 0.2070
• （2）幂函数型效用曲线 • 幂函数y=ta (0<a<1)
t
y
T Y
c ca
Y
ca
(T
c)a
令Y 1 u(x)(b 0),且T x,则u(x) -bca b(x c)a (0 a 1) b
• 在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数 值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表。
• 实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲线上的26（64）个点，效用 函数的精度已经足够。书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值 ε(ε<0.5)的效用函数值。
• 查表方法 • 将条件结果值oj归一化处理 • 利用标准效用测定法，确定决策者的确定当量，归一化得 • 到权衡指标值ε，并在效用函数表中找到相应的(ε<0.5)列 • 若能够直接查到xj值，则该x值所在同一行位于u(xj)列的数值， • 即为所需查找的效用函数值u(xj)；否则找出同一列中相邻近值两
t T c y Y ln
c
Y
ln
c
ln(T
c)
令Y u(x) (b 0),T x则有u(x) b ln c b ln(x c) b
再令a b ln c,上式即为：u(x) a b ln(x c)
根据效用函数的性质，有u(1)
骤如下：
• ①设u(o*)=1,u(o。)=0；
• ②建立简单事态体（x， o* ，1-x， o。 ），其中x称为可调概率
• ③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，当
x=pj 时，得到无差异关系oj ∼（pj， o* ，1- pj， o。）
• ④ 测得结果值oj的效用u(oj)= pj u(o*)+（ 1- pj ）u(o。)= pj
结果值不相同，即T1=（p1,o1；1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，其中o2
o1 o0 • 若p1=p2 ，则称事态体T1优于T2，记作T1 T2 • 若T1∼T2 ，则一定有p1> p2 • 另外还具有连通性、传递性、复合性、相对有序性。
1.2基本概念与符号
1.2基本概念与符号
1,
u
(
)
0.5
:
得方程组b
b ln ln c
c b
b ln(1 c) 1 ln( c) 0.5
c
1
2
2
u(x) a b ln(x 2 ) 1 2
令X ln(x 2 )得线性函数：u a bX 1 2
由最小二乘估计，分别计算得
1.2基本概念与符号
• (2) 事态体的比较（严格序“ ”）
•设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，
o1和o2有如下关系：
•1、o1 o2
2、 o1 ≺ o2
3、 o1∼o2
4、o1 ≼ o2
5、o1 ≽ o2
• （3）设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1 o2，即T1=（p1,o1；
效用函数
刘孔柏
目录
• 第一节效用及效用函数概述 • 第二节效用函数决策模式 • 第三节效用函数类型 • 第四节决策方案的敏感性分析
假如你打算买台笔记本电脑，你会选择哪 个牌子的？
1.1效用及效用函数概述
• 在经济学中效用（utility）：商品或劳务满足人的欲望或需 要的能力。
• 效用完全是消费者的一种主观心理感受。
• 例：某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利10 万元，滞销时将亏损1万元，该公司另有一个无风险方案，即如 果生产某种老产品，可以获利5万元。
不妨设o* =10， o。 =-1，这个风险方案可表示为事态体（p， o* ，1- p， o。 ）
设o=5，于是有o* o o。 需要测定效用值u(o)，经过反复提问，让
o o
o0 o0
归一化变换后，效用曲线上的三个已知点对应于变换后的三个已知点 (0,0),(ε,0.5),(1,1)，在坐标平面上用横轴表示归一化值x，用纵轴表 示效用函数值u(x)，就可以粗略地画出相应的效用函数曲线。
• 为了较精确地绘出效用函数曲线，仅有上述三个点还远远不够， 还需要补充足够的点，为此将纵轴效用函数值区间[0,1]，划分 为4等份，相应地得到4个效用值0.25,0.5,0.75,1相应的横坐标 值依此记为x0.25,x0.5,x0.75,x*,按照效用函数的构造假设，根据统 一标准用线性内插方法计算其他效用函数值，即按下列比例关系 式计算x0.25和x0.75
2效用函数决策模式
• 一、效用测定
• 标准效用测定方法（简称V—M方法）——冯·诺依曼与莫根斯坦
• 设有决策系统,其结果值集合为O={o1，o2，…，on}，
• 记o* ≽max {o1，o2，…，on }
o。≼min {o1，o2，…，on }
• 用标准效用测定法测定结果值oj(j=1,2, …,n)的效用值u(oj)，其步
（单位：万元）
9.5 6.2 2.0 O (oij )33 20.0 7.5 5.0
14.0 6.0 2.5
根据标准效用法测定，该企业的决策者认为，某风险方案盈利20万 元和亏损5万元的机会各占一半，等价于稳获利4.5万元的无风险方 案。求该企业决策者效用矩阵。
64 i 1
u(xi )
0.5078Z
1 64
64 i 1
xi u(xi )