计算方法(孙志忠)习题第三章线性方程组数值解法

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第三章线性方程组数值解法

a 11 Di xi , D det( A ), D i det D a n1

a 1i 1
b1 bn
a1i 1 a ni 1

a ni 1

a1 n a nn
第3章
线性方程组的数值解法
但Gram法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
所以，Gauss消元法的可行条件为： a ( k ) 0 kk
《计算方法与实习》
因此，有些有解的问题，不能用Gauss消元求解
另外，如果某个 a kk
(k )
很小的话，会引入大的误差
第3章
线性方程组的数值解法
高斯主元素消元法是消去法的一种改进。它的基
本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按消元法的步骤消元。
《 n次运算 ① 计算方 A diag ( a , a , , a ) x b i , i 1, , n 11 22 nn i 法 a ii 与实② （n＋1）n/2次运算习 i 1 》 l11
l 21 A l n1
l 22 ln 2 l nn
《解线性方程组的方法可以分为2类：计 ①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的,但由于计算中有舍入误差,故算得到的也是近似解. 方法 ②迭代法：速度快，但有误差（雅可比迭代法、高斯—赛得尔迭代法）与实习》
第3章
线性方程组的数值解法
3.2 消元法
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：
运算量： (n-2)*(1+n-1)=(n-2)n

计算方法与实习第四版 (孙志忠著) 东南大学出版社课后答案

2
ww
w.
kh
da
w.
co
∗ − y | → ∞, 计算过程不稳定。注：此题中，|yn n
m
× 10−3 .
w.
n = 1, 2, · · ·
co m
e2 e2 r r = . 1 + er 1 − er
w.
课后答案网
aw . kh d
∗ − y | = 510 e ≤ n = 10时，|yn n 0
√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答：设x∗ = 783, x = 27.982, x∗ = x + e.
−2 ∗ = y∗ yn n−1 − 10 (x + e), yn = yn−1 − 10−2 x,
1 √ 783, 100
概率与数理统计第二, C语言程序设计教程第西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程第复变函数全解及导学[西三版 (浙江大学三版 (谭浩强张 (高鸿业著) 中二版 (谭浩强张安交大第四版]
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/
2009-10-15
ww
er − er = er −
e2 e e 1 r = . = e − = e − r r x∗ e+x 1 + er 1 + e1 r ·········
7. 设y0 = 28, 按递推公式
案答
yn = yn−1 −
网课后
1 2
6. 机器数–略。
w. kh da
∗ −y |=e≤ n = 100时，|yn n
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数值方法课后习题答案第3章

第三章直接法解线性方程组习题3-11. 写出列主元消去算法。

For k =1 to n-1 do1）消元：(1) 选主元：(2) 判别： , than stop(3) 换行： (j=k,k+1,...,n+1)(4) 计算乘数： (i=k+1,...,n)(5) 消元：(i=k+1,...,n; j=k+1,...,n+1) 2) 回代：(1) ,than stop(2) 回代：for k=n,n-1,...,1 do(3) 打印：print x j =a j,n+12. 用全主元高斯—约当消元法求下列方程的解3. 用全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵4. 请用列全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵6．如果在解方程组过程中，希望顺便求出系数矩阵A的行列式值det(A)，用什么方法比较方便？需注意一些什么问题？如果用高斯—约当列主元消去法，如何求出det(A)?高斯消元法解方程时；主元素高斯消元法解方程时，注意换行列会改变行列式的符号；用高斯—约当列主元消去法解方程时，把列主元记录下来，把换行的次数m记录下来，。

7. 设A x=b是线性方程组1) 用列元高斯约当消去法，求解此方程组。

2) 求系数矩阵的行列式。

3) 求系数矩阵的逆矩阵。

也是一个指标为k的初等下三角阵，其中I i,j 为排列阵：证明：只是m i,k与m j,k换了个位置。

9．试证明单位下三角阵的逆矩阵仍然是一个单位下三角阵。

证：证得下三角阵的逆阵仍是下三角阵。

当A为单位下三角阵时，，B也是单位下三角阵。

习题3-25. 设A为n阶非奇异阵，且有分解式 A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证：A的所有顺序主子式均不为零。

证明：U一定是非奇异阵，否则A=LU也奇异。

记A的顺序主子阵为A k ，L的顺序主子阵为L k ，U的顺序主子阵为U k ，由分块阵的乘法6. 设A对称正定，试证明A一定可以进行以下分解:A=UU T，其中U是上三角阵，若限定U的对角元为正的，此分解唯一。

数值计算方法第3章解线性方程组的数值解法1

,i

2 ,3 ,...,
n

a
(1 11
)
A（ 1） A ( 2 )
a (1) 11
a (2) 22
...... ......

......

a (2) n2
......
a a
(1) 1n
(2) 2n

a
(2 nn
)

b (1)

b (2)

[
b
( 1
1
)
b (2) 2
a(k) kk
...
a(k) kn
... ... ...
...
...
a(n) nn
b1(1) b2(2)

...
bk(k)
...

bn(n)
21
高斯顺序消去法
也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：
ai(jkl1i)k

a(k) ik

a(k) ij
/
a(k) kk
3)顺序消元
31
高斯列主元消去法
第k步
从A ( k ) 的第
k
列
a (k) kk
，a (k) k 1k
，...a
(k) nk
中选取绝对值
最大项，记录所在行，即
|a(k) ikk
|m kina|axi(kk)
|
记 lik
若 l k 交换第k行与l行的所有对应元素，再进行顺序消元。
32
其中， lii 0, i 1,2,..., n
（1）
10
高斯顺序消元法

第三章线性代数方程组的解法

于是由于 e
e
(0)
(k )
= Me
( k - 1)
= M e
2 ( k - 2)
=L = M e
时
Mk - 0
Mk ® 0
k (0)
可以是任意向量,故 e
(k )
收敛于0当且仅
0
k M 当收敛于零矩阵，即当 k
矩阵序列：M1，M2，M3……Mk 收敛于零矩阵
15
3.1 简单迭代法的一般形式
于是 0 ? (r (M )) 所以必有
k
13
3.1 简单迭代法的一般形式
定理3-1 简单迭代公式 x(k + 1) = Mx( k ) + g , k = 0,1, 2,L
收敛的充要条件是迭代矩阵M的谱半径 r (M ) < 1
证:必要性设迭代公式收敛,当k→∞时,
x
(k )
® x
*
则在迭代公式两端同时取极限得 x* = Mx* + g
x( k + 1) = Mx( k ) + g
M 1- M
k
(k = 0,1,L )
收敛,且有误差估计式,且有误差估计式
x - x
* (k )
?
x( k )
x( k- 1)
及
x - x
*
(k )
M ? 1- M
x (1)
x (0)
18
3.1 简单迭代法的一般形式
收敛时令k→∞，有等价地有Ax*=b . 控制迭代结束的实用标准：
计算方法吴筑筑编
第三章线性代数方程组的解法
孙剑
计算机学院信息管理系
1
本章主要内容：

第三章解线性方程组的直接方法

(7) 矩阵的行列式设A∈Rn×n，则A的行列式可按任一行(列)展开,
n
det( A) aij Aij (i 1,2,, n), j 1
其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij，为Mij元素aij的余子式.
行列式性质：
(a) det( AB) det(A)det(B), A, B Rnn . (b) det( AT ) det( A), A Rnn .
乘矩阵的第1行加到第 i 行上, 得到矩阵:
26
a1(11) a1(12) a1(13) ... a1(1n) b1(1)
0 a2(22) a2(23) ... a2(2n) b2(2)
(
A( 2 )
,
b(2)
)

0
a3( 22)
a3( 23)
...
a3( 2n)
b3( 2
再消去最后一个方程的x2得

x1

2 x2 5 x2

x3 1 2x3 2

42 5
x3

7 5
消元结束.

x1

1 2
经过回代得解:

x2

1 3

x3

1 6
24
消元过程: 先逐次消去变量 x1, x2, 将方程组化为同解的上三角形方程组. 回代过程: 按方程相反的顺序求解上三角形方程组.
)

0
an( 22)
an( 23)
...
an( 2n)
bn( 2
)

数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT课件

个顺序主子式
a a (1)
(1)
11
12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k 1, 2,..., n 1).
a a (1)
(1)
k1
k2
a(1) kk
.
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
.
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32 1
y1 b1
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
.
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3,, n
28
对于 Ux =y
u11 u12 u1n x1 y1
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
.
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
0.8334
5.910
12.10
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
3200
1200
4.200 981.0

计算方法数值分析第三章考点总结CH.3

第三章解线性方程组的迭代法解线性方程组：10,(,......,)Tn Ax b x x x -== 将方程组变形为1,(,......,)T n x Bx f x x x =+= 的形式移项法111213112122232231323333a a a x b a a a x b a a a x b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭131211111111123212222222223331323333333000a a b a a ax x a a b x x a a a x xaa b a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭很容易推广到n 阶简单迭代法（Jacobi 迭代法）1122(,,......,)nn D diag a a a =迭代：11100()1,2,...k k x B x f B I D A f D b k +--=+=--== 0x ：初值，任意。

分量式：(1)()11()nk k ii ij j j ii j ixb a x a +=≠=-∑ 1,2,...,i n = ,L U 分别表示A 的下三角和上三角部分（不含对角线）。

A=D+L+U10();0()ij n n ij ij ij L l l a i j l i j B D L U ⨯-==>=≤=-+迭代次数的控制：迭代到1*(1)k k k xx x x ε++-<≈ 取(1)()(1)1()1?()k k k k x x x I D A x D b ++---==-- (1)()1()1()()k k k k x x D Ax b D r +---=-=前述()*()()||||k k x x r cond A xb -≤，控制()()*,()k k rx x cond A - 与有关，对病态方程组，可能ε很小而解的精度不高。

计算方法线性方程组解法

(k ) (k )
( k 1)
(2) (3) (1)
x1
(0)
x2
(0)
x3
(0)
0
§3.1 问题的提出
得
§3.1 问题的提出
如果A非奇异，则线性方程组Ax=b有唯一解x*，将上式化为x=Bx+f，给出初始向量x0，则有：！！！！xk+1=Bxk+f, k=0,1,2… 可以构成一向量序列{xk}，若向量序列 {xk}收敛于x*，则x*=Bx*+f, 即x*是方程组的解。
x1 2 .5 x 2 0 .2 5 x 3 5 .2 5 ( k 1) (k ) (k ) x2 1 .5 x 1 2 .5 x 3 8 .0 x ( k 1 ) 4 x ( k ) 0 .5 x ( k ) 6 .0 1 2 3
(k ) (k ) ( k 1)
x1
(0)
x2
(0)
x3
(0)
0
§3.1 问题的提出
得
§3.1 问题的提出
由原方程构造
8 x1 x 2 2 x 3 1 2 4 x1 1 0 x 2 x 3 2 1 3x 2 x 5 x 16 1 2 3
§3.1 问题的提出
如果A是非奇异阵时，方程组有唯一解，且可以用克莱姆(Grammer)法则表示:
xi Di D , ( i 1, 2 , ..., n )
其中xi是解向量x*的第i个分量，D=detA, Di是用b代替A的第i列后得到矩阵的行列式。
§3.1 问题的提出
克莱姆方法求解计算量太大，需要计算(n+1)个n阶行列式，共需要(n+1)!次乘法运算。

第三章线性方程组求解的数值方法

用 4 位浮点数计算精确解，然后舍入到 4 位有效数字，解出原方程的组的解为：（MATLAB 求解程序如下） A=[0.001 2.0 3.0;-1 3.712 4.623;-2 1.072 5.643]; >> b=[1 2 3]'; >> X=A\b
x1 0.4904 ， x2 0.05104 ， x3 0.3675 ，
A L U ，则 AX b 变为 L U X b Y UX ，则变为 LY b
解出：
Y y1 y2 其中 yn
y 1 b1 i 1 ， i 2 , 3, , n ）（ y bi m ij y j i j 1
列式。克莱姆法则解线性方程组的计算量（乘法次数）： S n ( n 1) n ! ( n 1) ( n 1) !( n 1) 次。
xk
Dk
， k 1, 2 , , n ）（
运算量很大！！
• 基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为三角形方程组再求解。 • 消元：用初等变换将原方程组的系数矩阵化为三角形矩阵（简称三角阵）再求解的方法。 • 回代：解出三角形方程组的最后一个方程，将求得的值逐步往前一个方程代入的方法。
r1
a r i m r k u r i m rk u ki u ri ，有：
k 1 r 1 k 1
n
u r i a r i m r k u ki ， i r , r 1, , n ）（
k 1 r 1
a i r m ik u kr
得： m ir
( k 1, 2 , , n )

第3章线性方程组的直接解法

第三章线性方程组的数值方法在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++nnnn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111当它的系数行列式不为零时，由克莱姆法则可以给出方程组的唯一解，但是这一理论上完善的结果，在实际计算中可以说没有什么用处。

因此如何建立在计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义。

这些方法大致可分为两类：一类是直接法，就是经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法(如果每步计算都是精确进行的话)；另一类是迭代法，就是用某种极限过程去逐步逼近其精确解的方法.本章将阐述这两类算法中最基本的高斯消元法及其变形、矩阵分解法、雅可比迭代法、高斯 -塞德尔迭代法等.第一节高斯消元法一回代过程设系数矩阵为n 阶上三角矩阵的线性方程组(1)2222211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++nn nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a如果a ,...a ,a nn 2211都(1)自下而上可以逐次求出x ,...x ,x n n 11-为()21211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=∑-==+=,...n ,n k ,a x a b x a b x kk jn k j kj k k nn n n按上述公式求方程组(1) 解的过程称为回代过程.不难看出，解方程组(1)共需()121+n n 次加法和()121-n n 次乘法.这恰好是用一个n 阶三角方阵乘n 维向量所需的运算次数。

当n 较大时,n n >>2，同时加法运算速度远快于乘法的运算速度，所以，可用n 221次乘法来近似表示回代过程的运算量.二消元过程设有线性方程组()322112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 为了符号统一，记()()()n ...,j ;n ,...,i b a ,a a i in ij ij2121010====+, 则原方程组改写成()()()()()()()()()()()()()301020*******2022*********10120121011'nnnnn n n n )n nn n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++++如果()0011≠a ，那么就可以保留其中第一个方程并利用它分别与其余方程消去第一个未知量.令()()n,..,,i ,a a l i i 32011011==()4则以l i 1-乘第一个方程加到第i个方程中，就把方程组()3'化为()()()()()()()()()()()51112121121221220110120121011⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+++++a x a x a a x a x a a x a x a x a nn nnn n n nn n n n其中()()()1323201101+==-=n ,...,j ,n ,...,i ,a l a a j i ij ij ()6由方程组(3′)化为(5)的过程中，元素()a 011起着特殊的作用，特把元素()a 011称为主元素.如果方程组(5)中()0122≠a , 则以()a 122为主元素，并利用类似的方法消去第n ,...,43个方程中的第二个未知量，即令()()n ,..,,i ,a a l i i 43122122== ()7则以l i 2-乘以第二个方程加到第i 个方程中,于是得到新的方程组()()()()()()()()()()()()()()()()8212323213233233112123123212201101301320121011⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++++++a x a x a a x a ....x a a x a x a x a a x a x a x a x a nn n nn n n n n n n n n n n其中()()()13312212+==-=n ,...j ,n ,...i ,a l a a j i ij ij ()9重复上述过程1-n 步后，我们得到原方程组等价的系数矩阵为三角形方阵的方程组()()()()()()()()()()()()()()()10111213233233112123123212201101301320121011⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++=+++=++++-+-+++a x a a x a ....x a a x a x a x a a x a x a x a x a n nn n n nn n n n n n n n n n其中()()a a l k kk k ikik 11--= ()11()()()⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=-=-=--1212112111n ,...k ,k j ;n ,...k ,k i n ,...,k a l a a k kj ik k ij k ij()12把方程组(3)逐步化为方程组(10)的过程称为消元过程.最后，由回代过程可求得原方程组的解为()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=∑-==-+=--+--+122111111111,,...n .n k ,a x a a x a a x k kk n k j j k kjk kn k n nnn nn n ()13这种通过消元、再回代的求解方法称为高斯(Gauss)消元法(其特点是始终消去主对角线下方的元素).注意到，上标k 仅仅用来识别一次消元前后系数矩阵的变化，而()a k ij 变为()a k ij 1+后,()a k ij不再使用，所以在计算机存贮中只要用()a k ij1+冲掉()a k ij即可；另一方面，主元素所在列中主元素下面的各元素在消元过程中必然是零，而且在后面将要列出的回代过程中也不用它们，所以没有必要通过计算得到它们，从而在消元过程中j 就可从1+k 开始，这样做还可以节约计算时间.例1 用高斯消元法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++52213614282321321321x x x x x x x x x解用第一个方程消去后两个方程中的x 1，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=++9962214282232321x x x x x x 再用第二个方程消去第三个方程中的x 2，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=++18962214282332321x x x x x x 最后，经过回代求得方程组的解为52281412262918321323=--==+=-=-=x x x x x x 三高斯消元法的条件与运算量从消元过程可以看出，对于n 阶线性方程组，只要各步主元素不为零，即()01≠-a k kk ，经过1-n 步消元，就可以得到一个等价的系数矩阵为上三角形阵的方程组，然后再利用回代过程可求得原方程组的解.因此,有下面结论.定理1 如果在消元过程中A 的主元素不为零，即()01≠-a k kk (k=1,2,…,n),则可通过高斯消元法求出b Ax =的解.矩阵A 在什么条件下才能保证()01≠-a k kk ,下面的定理给出了这一条件.引理在高斯消元过程中系数矩阵A 的主元素不为零，即()01≠-a k kk (k=1,2,…，n)的充要条件是矩阵A 的各阶顺序主子式不为零，即n...,k ,a ...a .........a ...a D a D kkk kk 32001111111=≠=≠=证明首先利用归纳法证明引理的充分性，显然，当1=n 时，引理的充分性是成立的，现假设引理对1-n 时也成立，求证引理对n 也成立，由归纳法假设有()01≠-a k kk , 121-=n ...,k于是可用高斯消元法将A 化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→--------)n (nn)n (n ,n )n (n n)(n )(n )()(n )(n )()(a a a a a a a a a a A 1212111211212201011012011且()()a a D 0110111==()()()()()a a a a a D 1220111220120112==()()()a ...a a a a a a a a a a D n nn)n (nn )(n )(n )()(n )(n )()(n 112201111211212201011012011----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=由假设,n ,...,k ,D k 210=≠所以有()01≠-a n nn .反过来,由上式可知必要性是显然的.定理2 如果n 阶矩阵A 的所有顺序主子式均不为零，即,n ,...,k ,D k 210=≠则可通过高斯消元法求出的解.下面考虑求解(3)的高斯消元法的运算量.消元过程需要除法()()()1211221-=+++-+-n n ...n n次，而需要的乘法和加法的次数都是()()()()131122112-=⋅++-⋅-+-⋅n n ...n n n n加上回代过程的运算次数，共需乘、除法的次数为()()()()133112113112122-+=++-+-n n n n n n n n n加、减法的次数为()()()5326112113122-+=-+-n n n n n n n 当n 较大时,n n 23>>,消元过程的运算量远大于回代过程，从而，高斯消元法中乘除法的次数与加减法的次数近似为n331.第二节第二节高斯主元素消元法一问题的提出由高斯消元法可知，在消元过程中如果出现()01=-a k kk 的情况，这时消元法将无法进行；另一方面，即使主元素()01≠-a k kk ，但很小时，用其作除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算结果很不可靠.例1 例1 解方程组⎩⎨⎧=+=+0000100001000010001200003000302121.x .x ..x .x .(它的精确解为323121==x ,x )解法一用高斯消元法求解(取5位有效数字)，用第一个方程消去第二个方程中的x 1得⎩⎨⎧-=-=+0666609999000120000300030221.x ..x .x . 因而再回代，得000300666700003000120666799990666612=⨯-=≈--=....x ...x 显然，这个解与精确解相差太远，不能作为方程组的近似解其原因是我们在消元过程中使用了小主元素，使得约化后的方程组中的元素量级大大增长，再经舍入使得计算中舍入误差扩散，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了.为了控制舍入误差，我们采用另一种消元过程. 解法二为了避免绝对值很小的元素作为主元，先交换两个方程，得到⎩⎨⎧=+=+0001200003000300000100001000012121.x .x ..x .x .消去第二个方程中的x 1，得⎩⎨⎧==+9998199972000010000100001221.x ..x .x .再回代，解得()3333066670000010000166670999729998112....x ...x =⨯-=≈=结果与准确解非常接近.这个例子告诉我们，在采用高斯消元法解方程组时,用做除法的小主元素可能使舍入误差增加，主元素的绝对值越小，则舍入误差影响越大。

计算方法线性方程组数值解法

d
2
a3b3c3
x3
d3
an
1bn1cn
1
xn
1
d
n
1
anbn xn dn
其系数矩阵为三对角形，元素满足以下条件：
|b1|>|c1|>0
|bi|≥|ai|+|ci|，且aici≠0 i=2，3，……n-1; |bn|≥|an|>0。
可以采用追赶法求解
4
线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。
5
设有线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2a2nxnb2 an1x1 an2x2 annxn bn
式中，aij，bi为已知常数，xi为待求的未知量。记
u
2
2
u 2 n
u n 1,n 1u n 1,n
u n n
10
若uii≠0（i=1,2,……n）,则由下至上依次回代得
xn yn / unn
xn1 ( yn1 xi yi
un1,n xn ) / un1,n1
n
uij x j ) / uii
0
a
( 2
2 2
)
a
( 2
2) ,k 1
a
( 2
2) ,k
a
( 2
2) ,n
a
( 2
2) ,n 1
0 A(k)
0 0
a
( k
k) ,k
a
( k
k) ,k 1
a
k
k ,n
a
( k
k) 1,n
1

线性方程组求解的数值方法答案

Step 3 For j = 2, …, n1, do steps 4 and 5
Step 4 Set l jj a jj
; l j1 2
k 1 jk
Step 5 For i=j+1, …, n,set lij aij
l l j1
k 1 ik jk
l jj ;
Step 6 Set lnn ann
1
，试求
A
的
Cholesky
分解。
1
2
解：因为 A 的 Cholesky 分解为 A LDLT ，其中 L 为单位下三角阵。由公式和步骤依次按列计算 L 矩阵的所有下三角元素：
Step 1 Set l11 a11 ;
Step 2 For i = 2, …, n, set li1 ai1 / l11 ;
0 1 2
n
解：
A
1
max
1 jn
i 1
| aij
|
max{3,
4,
3}
4
n
A
max
1in
| aij
j 1
|
max{3,
4, 3}
4
A 2
( AT A)
max i
|
i
(
AT
A)
|
5 4 1
5 4 1
又因为 AT A 4 6 4 ，所以| I AT A | 4 6 4 ＝0 解得
2) 又问参数取何值时迭代矩阵的谱半径最小？解： 1) 因为
X (k 1) X (k ) AX (k ) b (I A) X (k) b
所以迭代矩阵为 B I A
a. 充分性：欲证迭代法收敛只需 (B) 1，只需证明

3解线性方程组的直接法习题+答案

2 1 2 1 2
1 5 2 3 5

1

3
2

3
5

1 0 0
2 1 1
得
A

LU
，其中 L

1 2
1

0

,
U

0
5 2
3

2

1
3
1
0
0
3

2 5
姓名
第三章线性方程组的直接解法
学号
班级
习题主要考察点：高斯消去法，LU 分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。
要点：（1）利用列主元高斯消去法求解线性方程组
（2）矩阵的 Doolittle 分解
（3）利用系数矩阵的 Doolittle 分解求解线性方程组
例 1 用列主元消元法的方程组

2
x
1
3 x1
4 0 0
5 7
3 1 22 12 6
15
7

2
31

4 5 7 15 4 5 7 15

0 12 6 31 0 12 6 31
主元 0
3
1
7

消去
0
0
1

3

2 2 2
4 8
得等价的线性方程组为：
1 2 3 x1 2 2 7 2 x2 3 4 8 4 x 3 0

第三章线性方程组的数值解法

主元素所在的行称为主行。
高斯消去法的计算步骤为：
1〉消元过程
设 a 0 ，对 k 1,2,, n 1 ，计算
k kk
2〉回代过程
bnn xn n ann n , i bi aiji x j j i 1 xi aiii
结果与准确解非常接近。这个例子告诉我们，在采用高斯消元法解方程组时，用做除法的小主元素可能使舍入误差增加，主元素的绝对值越小，则舍入误差影响越大。固应避免采用绝对值小的主元素，同时选主元素尽量的大，可使该法具有较好的数值稳定性。
为避免上述问题，可在每一次消元之前增加一个选主元的过程，将绝对值大的元素交换到主对角线的位置。根据交换的方法可分成全选主元和列选主元两种方法。
a11
1 2 a 22
Hale Waihona Puke a121 2 a 23

k a kk k a nk
A
k
a1n a 22 n k a kn k a nn
1 ai1 mi 1 1 , i 2,3,, n a11
用 mi1 乘以第1个方程，加到第 i 个方程，消去
第 2个方程到第 n个方程的未知数x1 ，得 A2 x b2
即:
1 a11 1 a12 a11 x1 b11 n 2 2 2 a 22 a 2 n x 2 b2 2 2 2 a n 2 a nn x n bn
写成矩阵-向量形式
Ax b
其中 A 为系数矩阵，x 为解向量，b 为右端常向量。

数值方法第三章2线性方程组

就得到 Lk1 。即
1
...
1
Lk1
1
mk 1,k 1
...
...
mi1= a(1) i1/ a(1) 11
mnk
i=2,3,……n
1
于是有
A (L11L21...Ln11)A(n) (L11L21...Ln11)U LU
其中
1
m21 1
L m..3.1
m32 ...
1 ... ...
3.3 矩阵三角分解法
矩阵三角分解法是高斯消去法解线性方程组的一种变形解法
3.3.1 矩阵三角分解原理
应用高斯消去法解n阶线性方程组Ax=b, 经过n 步消元之后, 得出一个等价的上三角型方程组 A(n) x=b(n), 对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。上述过程可通过矩阵分解来实现。
将非奇异阵A分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积
a i1 u11
i 1,2,..., n
i 2,3,..., n
a11 a11 ... a11 1
a 21
a 22
...
a
2n
l21
1
... ... ... ... ... ... ...
a n1
an2
...
a nn
ln1
ln2
...
1
u11 u12 ... u1n
u 22
设A有两种LU分解 A LU LU
把A分解成一个单位下三角阵L和一个上
三角阵U的乘积称为杜利特尔（Doolittle）
分解。其中
1

L l21 1
,
... ... ...
ln1 ln2 ... 1

计算方法3-4

化为零；消元：用a11将ai1(i = 2,L, n)化为零； ai1 1 i 把− a ×第行，加到第行。 11
(3.1)
a 以后各步类似。问题： 11 = 0或 a11 ≈ 0?以后各步类似。
用Matlab实现顺序Gauss消去法 Matlab实现顺序Gauss消去法实现顺序Gauss 在Matlab程序编辑器中输入： Matlab程序编辑器中输入：程序编辑器中输入 %解线形方程组ax=b，解线形方程组ax=b function x=nagauss(a,b,flag) %解线形方程组ax=b，为系数矩阵，为右端列向量，flag若为若为0 a为系数矩阵，b为右端列向量，flag若为0，则显示中间过程，否则不显示，默认为0 过程，否则不显示，默认为0，x为解向量 if nargin<3,flag=0;end n=length(b); a=[a,b]; % 消元 k=1:(nfor k=1:(n-1) a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(na((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,end
直到(n-1) 原方程组化为直到(n(n
a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = a1,n+1 a22 x2 +L+ a2n xn = a2,n+1