等参单元和数值积分
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10-有限元参数单元-数值积分
Legendre多项式的定义域为[-1,1]
-1
x 1
-1 1
x
x 1
零阶 Legendre多项式 一阶 Legendre多项式 二阶 Legendre多项式
L0 ( x) 1
L1 ( x) x 根 x1 0
L２( x)
3 2 1 3 3 ( x ) 根 x1 , x 2 2 3 3 3 5 3 15 15 三阶 Legendre多项式 L3 ( x) ( x 2 ) x 根 x1 , x 2 0, x3 2 5 5 5
解决这一矛盾的办法是探索新型单元，比如非协调元就是其中的一类。
n 1 d m 1 2 m d m 1 ( x 1) ( x 2 1) n dx dx dx n 1 1 1 m 1 n 1
1
1
1
1 d n m n (1) m n 1 ( x 2 1) m 2 m!n! dx
m n 1
1
0
1
当 m=n
1 2
时则有
1 1
1 1 2 Lm ( x)dx 2 m (1) m ( x 2 1) m dx 2 m (1 x 2 ) m dx 1 2m 1 2 (m!) 2 2 (m!) 2 1 1
(2) 若在 (1) 的证明中将 Ln (x) 换成任何次数不超过m-1次的多项式 P m－１(x) 则有
f(x)
f(xi)
n
f(xi+1)
f(x)
I f x dx Wi f xi
a i 1
b
n
W
i 1
i
ba
a
xi h xi+
《有限元基础及应用》课程大纲
《有限元基础及应用》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：有限元法是求解复杂工程问题进行数值模拟非常有效的方法，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它应用于科学研究中，可以成为探究物质客观规律的先进手段；将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
有限元法已经成为机械工程、车辆工程、航空航天工程、土木建筑等专业的必修课或选修课，有限元商用软件也是广大工程技术人员从事产品开发、设计、分析，以及生产服务的重要工具。
通过本课程的学习使同学们掌握有限元分析方法的基础知识和原理；掌握大型有限元分析软件（ANSYS）的使用；有限元方法的实际应用：能够针对具有复杂几何形状的变形体完整获取复杂外力作用下它内部准确力学信息，在准确进行力学分析的基础上，可以对所研究对象进行强度、刚度等方面的判断，以便对研究结构进行静态、动态的强度和刚度分析、参数设计以及结构优化设计。
内容由浅入深，通俗易懂，结合实践应用分析，培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：掌握有限元方法的基本原理，分析过程和步骤，形函数的构造方法，以及针对不同维度、不同结构准确选择合适的单元的技巧；课程目标2：掌握有限元分析方法，具有对不同工程问题建立相应力学模型再选取适合的有限元模型离散，最后得到高精度低成本的数值模拟结果；课程目标3：利用有限元原理和应用软件（ANSYS），能够针对车辆结构中具有复杂几何形状的零部件完整获取复杂外力作用下其内部的准确力学信息（位移、应力和应变），并能根据强度、刚度、稳定性及疲劳等进行分析判断结构的安全性，具有分析和解决工程实际问题的能力；课程目标4：掌握大型商用有限元软件（ANSYS）对车辆结构部件的静力学、动力学和多物理场耦合问题进行数值模拟和分析。
能够了解不同单元的适用范围以及有限元方法数值模拟的局限性。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1、2、3、5。
等参单元
等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元
等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3
V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1
1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1
A
g ( x, y, z )dS e
1 1
1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
等参单元及其应用
等参单元及其应用摘要本文主要讲述等参单元的原理及其对有限元法工程应用的意义。
等参单元的数值积分方法，等参单元刚度矩阵的数值积分方法及确定积分阶的原理。
全积分、减缩积分单元讨论和评价。
线性等参单元和非协调元，全积分、减缩积分线性等参单元和非协调元有关问题的分析讨论。
关键词等参单元; 数值积分; 应用1.引言用有限元法划分单元时，单元的节点数越多，单元精度越高。
因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元。
但单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。
所有上述单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。
解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。
任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法，必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标，采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。
这类单元称为等参单元。
等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。
2.等参单元的数值积分方法2.1 高斯数值积分的基本概念一维高斯数值积分公式：i ni i H x f dx x f I )()(111∑⎰=-== 其中：积分点-i x ，积分点数目，积分阶-n ，权重系数-i H结论：n 阶高斯积分公式对 2n-1 次多项式被积函数可求得精确积分！ 同理，对二维高斯积分：),(),(111111i i j n i nj i F H H d d F I ηξηξηξ∑∑⎰⎰==--==积分公式对ξ，η方向最高方次为 2n-1 的多项式可求得精确值。
2.2 减缩积分的原理实际应用中选取的积分阶往往可以低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数，这种积分方案称为减缩积分。
第5章 等参单元与数值积分
2020/6/30
13
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
我们定义的形函数满足：
N i ( i ,i ) ij
1 当 j 0 当 j
i i
4
Ni ( , ) 1
i 1
(5-1-6)
设真实位移场为x，y的线性函数
u 1 2x 3 y
v 4 5x 6y
将x，y按(5-1-3)代入，
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3
第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
母体单元ê：边长为２的正
η
方形，自然坐标系ξ，η 示于左
4
3 (1,1)
图。取四个角点为结点，在单元
内的排序为１、２、３、４。仿
ξ
照矩形单元，可定义出四个形函 数
(-1,-1) １
2
Ni
(
,
)
1 4
1
i
(1
i )
(5-1-1)
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
(1)单元内位移场连续
x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数(连续函数)。只要Jacobi 行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元 内u、v连续。
(2)刚体位移和常应变条件
对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总 体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移 场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当试 探函数直接用总体坐标的多项式描述时(像第四章所做的那 样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐 标表述的，则用后一种提法更合适一些。
x 则由(5-1-3)，可得出坐标变换为
第五章 等参元和数值积分
y1 y2 y3 y4
N 2 N 2
N 3 N 3
y x
N 4 x1 x2 N 4 x3 x4
J
y 1 J x
N1 N m x1 N1 N m J xm N1 N m
y1 ym
z1 zm
N i N i x N i 1 N i J y N i N i Z
B 与 Se 算
e
Ni Ni x 1 N J Ni i y
N i x e Bi 0 N i y
i 1,,4
1 N i 1 i 1 i 4
i 1,,4
N i x N x i
x y
y N i x y N i y
2
0 3
1
4
3
x
四边形单元 一、 坐标变换 坐标变换:
x N i xi 1 4 y N i yi 1
4
母单元 位移场函数:
4 u N i ui 1 4 v N i vi 1
或记为矩阵形式:
u
e
N a
e
e
1 N i 1 i 1 i i 1,,4 4
0 N i y N i x
i 1,,4
N 2 N 2
N 3 N 3
y x
N 4 x1 x2 N 4 x3 x4
J
y 1 J x
N1 N m x1 N1 N m J xm N1 N m
y1 ym
z1 zm
N i N i x N i 1 N i J y N i N i Z
B 与 Se 算
e
Ni Ni x 1 N J Ni i y
N i x e Bi 0 N i y
i 1,,4
1 N i 1 i 1 i 4
i 1,,4
N i x N x i
x y
y N i x y N i y
2
0 3
1
4
3
x
四边形单元 一、 坐标变换 坐标变换:
x N i xi 1 4 y N i yi 1
4
母单元 位移场函数:
4 u N i ui 1 4 v N i vi 1
或记为矩阵形式:
u
e
N a
e
e
1 N i 1 i 1 i i 1,,4 4
0 N i y N i x
i 1,,4
10-有限元参数单元-数值积分
(x2
3 5
)
x 根 x1
15 5
, x2
0, x3
15 5
四阶 Legendre多项式
L4
(x)
35 8
(x3
15
120 35
)(x 2
15
120 35
)
根 x1、4
15
120 35
, x2、3
15 120 35
一般n阶Legendre多项式的定义为
Ｌ n
(
x)
1 2n n!
dn dx n
(x2
1) n
n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。
1 x2 y 2xy nn 1y 0
Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义
Ｌ 0
(
x)
1
11 1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n dx＝ 1 d n1 2n n! dx n1
(x2
1) n
1 1
0
对于 m≠n （m、n 非零，不妨认为 m>n ）
1
Lm (x) Ln (x)dx
1
1
1 dn
2mn m!n! 1 dx n
(x2
1) n
(4)八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136 个元素进行数值积分。
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
例
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
5.1.15.1等参数单元及空间问题分析
注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普 遍采用高斯数值积分法（略）。
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
第4章_等参单元和数值积分
Ni yi i 1
m
Ni zi i 1
m
Ni zi i 1 m Ni zi i 1 m Ni zi i 1
m
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
导数之间的变换
x, y , z J , , N1 N1 N1
N2 N2 N2
Nm Nm Nm
x1 x2 xm
y1 y2 ym
z1 z2 zm
Ni x Ni y Ni z
0
g* 0, L2 , L3 dL2 dL3
类似地，三维四面体1234，在 L4=0 的表面上有L1=1- L2 -L3
Ve
GdV
1
0
1 L3
0
1 L2 L3
0
G* L , L2 , L3 dL dL2 dL3 1 1
等参变换的条件和等参单元的收敛性
等参变换的条件
sin dξ , dη
推广至三维情况 防止任意的二个结点退化为一个结点 防止单元过分歪曲
dA dη dζ
c
2 2 y z y z z x z x
x y x y
d 和 d 在笛卡儿坐标系内所形成的面积微元
dA J d d
在=常数 (c) 的曲线上，在笛卡儿坐标内的线段微元的长度
1
x y ds
有限元第5章-等参数单元
5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
2021/8/14
1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
2021/8/14
27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
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30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
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27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
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30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
2021/8/14
四、 弹性力学有限元法基本原理(三)
该单元位移模式及其形函数的构造可采用根据形函数性质直接
构造插值函数的方法。或从对应的二维单元进行推广，再用形
函数性质进行验证。 • 为了突破这类单元几何上的限制，得到实用的单元，必须引
入等参变换。
第二节 等参单元
• 问题的提出
从前面介绍的各种二、三维单元看出，这些单元可能有两个方面 的约束： 第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因 此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面 体单元； 第二是单元几何上的限制。单独使用矩形或长方体单元都不能 模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。所有上述单元
n
n
n
n
•
显然，只要形函数满足性质 满足。
N
i 1
n
i
1 ，等参单元的完备性就得到
六、等参单元力学特性分析
• 等参单元特性分析的所有公式的导出原理与前面介绍的其它单元相同。
•
等参单元的形函数矩阵、应变矩阵、应力矩阵均用自然坐标描述。应变 矩阵中涉及到形函数对总体x,y,z坐标求导数时，须进行坐标变换。
•
该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次式的不完全三次多项式。
插值基函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号，8个节 点形函数为：
1 (1 i )(1 i )( i i 1)(i 1,2,3,4) 4 1 N i (1 2 )(1 i )( i 5,6) 2 1 N i (1 2 )(1 i )(i 7,8) 2 Ni
一、等参单元的概念
• 图4-3为一个4节点任意四边形单元（Q4），单元有8个自由度。将矩 形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。 • 但在建立单元位移模式时产生了新的问题：
有限元作业——精选推荐
有限元作业等参单元的原理及应⽤摘要：在平⾯问题的有限元法中，最简单因⽽最常⽤的是具有三个节点的简单三⾓形单元，其次是具有四个节点的矩形单元。
矩形单元能较好地反映实际盈利的变化情况，但是矩形单元不鞥适应曲线边界和⾮正交的直线边界，也不能随便改变其⼤⼩，如果改⽤任意四边形单元，则在相邻两单元的公共边界上，位移将不是相性变化，公共边上位移的连续性将得不到保证。
利⽤等参变换，则可以解决这个⽭盾。
关键字：等参单元；有限元⽅法；Newton-Cotes 积分；刚度矩阵；1概述部分：1.1等参单元的概念及其原理所谓的等餐变换是指单元的位移模式与坐标变换表达式中具有完全相同的插值函数的变换。
采⽤等参变换的单元即称为等参单元。
对于如图1.1（a ）所⽰的任意四边形单元，参照前⾯源于矩形单元的位移模式，可以取+++=+++=4433221144332211νννννN N N N u N u N u N u N u （1-1）图1.1 等参单元⽽其中的形函数为：()()1114i i i N ξξηη=++ （1-2）式中：ζ、η为该四边形单元的局部坐标，ζi 、ηi 为四个⾓节点的局部坐标值，其值为：（1-3）由公式（1-1）、（1-2）可以看出，该位移模式在四个节点处给出节点位移。
⽽且，在单元的死边上，位移是线性变化的，从⽽保证了位移的连续性，因此，式（1-1）、（1-2）就是所需的正确的位移模式。
同时，如果效仿位移模式式（1-1）、（1-2），把坐标变换式取为：+++=+++=4433221144332211x N x N x N x N y x N x N x N x N x （1-4）也显然可见，该变换式在四个节点处给出节点的整体坐标；⽽且，在单元的四边上，⼀个局部坐标等于±1，⽽另⼀个局部坐标是线性变化的，从⽽课件，整体坐标也是线性变化的。
因此，式（1-4）就是所需的正确的坐标变换式。
在这⾥，图1-1（b ）中的正⽅形单元称为基本单元或母单元，⽽图1-1（a ）中的任意四边形单元，是由该基本单元通过变换⽽得来的实际单元。
第三讲补充-等参数单元
70,1
31,1
8
u(x, y)
Ni
(
x,
y)
e 2 i 1
i 1
8
81,0
v(x, y)
N
i
(
x,
y)
e 2i
i 1
成矩阵形式为
u N e
11,1
其中：
r
61,0
50,1
21,1
图（三）
u
ux, vx,
0,0 i1,1
r
j1,1
三、单元分析 s
在l单1,1元内部分 假定k：1,1
r
0,0
v
e k
y
v
e l
k
u
e k
u
e l
vx, y
l
v
e j
i1,1
j1,1
4
u(x, y) Ni (x, y) uie
x, y
v
e i
iu
e i
ux, y
因为该直线必然通过i, j点,且由量点确定的直线是唯一的确定
实际计算中应注意的问题
1、旋向，指推导时I,J,K,L。 2、单元形状 ，线性应变单元。
一，等参数变换 §4-3 平面八节点四边形单元Q6e
令
x N1x1 N2x2 N3x3 N4x4 N5x5 N6x6 N7x7 N8x8
y y
N
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
N5 0
0 N5
N6 0
0 N6
N7 0
0 N7
第三章--等参数单元(等参元)
Fab
ax bx
ay by
x d x d
y d y d
而 F ab 又可以看成是在整体坐标中的微分面积Fabdxd，y故有
dd x y x xd d
y yd d x x
y
yddJdd
（3-15） 式中
x y
J
x
y
(3-15)’
为了进一步阐明和计算任意四边形等参元的单元刚度矩阵k e
然后，将式(3-19)代入 B 中，就把 B 的各元素化成 ,的函
数；再将式(3-17)代入式(3-15)，并将式(3-15) 及 B 代入
ke BTDBtdxd ，就y把 k e的每个元素化成对局部坐标
,
A
的重积分
k e1
1B T D B tJdd，其被积函数
1 1
都是 和的复杂函数，对于各单元的应力 也可以化成是和
根据上述已求得的 J，J 及 J 1 等函数表达式，就可以将
及 k e表达式中的有关B 及 dx dy都换成局部坐标的函数表达式。
此时，任意四边形等参元的一切计算都可以立足在局部坐标系下进 行了。
首先，由式(3-13)引出：
N i
x N i
J
1
N i
N i
y
4
( a1a 4 a 2 a 3 ) ( Ba 1 Aa 2 ) ( Aa 4 Ba 3 )
的函数式。
应该指出，k e 中的每个元素都含有对和 的重积分，尽管
其积分区域变得十分简单，而其被积函数都比较复杂，需要采用数
值积分（通常是采用高斯求积法），由于任意四边形等参元的应力
是和 的函数，因此在求解单元应力时，必须指明是求哪一
由于任意四边形单元的位移插值函数(3-3)，在局部坐标系下满 足形容条件，因此坐标变换式(3-5)也就满足相容条件，从而使得式 (3-3)在整体坐标下满足相容条件。也就是说，在两相邻任意四边形 单元公共边上的位移是连续的，坐标变换后仍然是连续的，两相邻 单元公共边上的公共点在坐标变换后仍为公共点，决不会出现重叠 和开裂现象。
有限元法基础5等参元与数值积分
14
有限元法基础
5.1等参变换的概念
J 的伴随矩阵
15
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素
16
有限元法基础
5.1等参变换的概念 2）体积微元的变换
17
有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元刚度矩阵
等效体积力
18
有限元法基础
5.1等参变换的概念 3）面积微元的变换 以 为例，
等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……
12
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
13
有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换
由复合函数求导规则有
写成矩阵形式
J 称为Jacobi 矩阵
➢Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积 分精度。
60
有限元法基础
5.4 数值积分方法
61
有限元法基础
5.4 数值积分方法
62
有限元法基础
5.4 数值积分方法 4）Hammer积分方案
讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分
63
有限元法基础
5.4 数值积分方法
64Байду номын сангаас
有限元法基础
5.4 数值积分方法
单元刚度矩阵的计算公式
C是dXd的方阵，d是应变数量，三维问题为6，平面 问题为3，轴对称问题为4。
必有一点
，不具备等参变换条件。
26
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 畸变单元举例
有限元法基础
5.1等参变换的概念
J 的伴随矩阵
15
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素
16
有限元法基础
5.1等参变换的概念 2）体积微元的变换
17
有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元刚度矩阵
等效体积力
18
有限元法基础
5.1等参变换的概念 3）面积微元的变换 以 为例，
等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……
12
有限元法基础
5.1等参变换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
13
有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换
由复合函数求导规则有
写成矩阵形式
J 称为Jacobi 矩阵
➢Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积 分精度。
60
有限元法基础
5.4 数值积分方法
61
有限元法基础
5.4 数值积分方法
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有限元法基础
5.4 数值积分方法 4）Hammer积分方案
讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分
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有限元法基础
5.4 数值积分方法
64Байду номын сангаас
有限元法基础
5.4 数值积分方法
单元刚度矩阵的计算公式
C是dXd的方阵，d是应变数量，三维问题为6，平面 问题为3，轴对称问题为4。
必有一点
，不具备等参变换条件。
26
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 畸变单元举例
有限元分析及应用_05_袁锐_等参单元和数值积分
5.1.1 坐标变换
上述变换关系中插值基函数Ni和插值节点数目n是两个关键的参数。 若变换函数中的插值基函数（即形函数）以及插值节点与描述单元位移函 数的插值基函数及插值节点完全相同，则这种变换称为等参变换，这种单 元称为等参单元。也就是说，等参单元的位移函数和坐标变换式具有相同 的插值基函数（即形函数），且它们分别用同一节点的位移值和坐标值进 行函数插值来表示单元内任意点的位移和几何坐标。
华中科技大学船海学院 袁锐
a7 =y3/4 - y2/4 - y1/4 + y4/4 a8 =y1/4 - y2/4 + y3/4 - y4/4
x4 y4 + + + + x4/4; x4/4; x4/4; x4/4; y4/4; y4/4; y4/4; y4/4;
有限元分析及应用
6
5.1 等参单元的概念
华中科技大学船海学院 袁锐 有限元分析及应用
5
5.1 等参单元的概念
5.1.1 坐标变换
clc;clear; syms x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 syms e1 n1 e2 n2 e3 n3 e4 n4 eq1='x1=a1+a2*e1+a3*n1+a4*e1*n1'; eq2='y1=a5+a6*e1+a7*n1+a8*e1*n1'; eq3='x2=a1+a2*e2+a3*n2+a4*e2*n2'; eq4='y2=a5+a6*e2+a7*n2+a8*e2*n2'; eq5='x3=a1+a2*e3+a3*n3+a4*e3*n3'; eq6='y3=a5+a6*e3+a7*n3+a8*e3*n3'; eq7='x4=a1+a2*e4+a3*n4+a4*e4*n4'; eq8='y4=a5+a6*e4+a7*n4+a8*e4*n4'; a=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,'a1','a2','a3','a4','a5','a6','a7','a8'); aa1=a.a1;a1=subs(aa1,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) aa2=a.a2;a2=subs(aa2,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) aa3=a.a3;a3=subs(aa3,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a1 =x1/4 + x2/4 + x3/4 + x4/4 aa4=a.a4;a4=subs(aa4,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a2 =x2/4 - x1/4 + x3/4 - x4/4 aa5=a.a5;a5=subs(aa5,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a3 =x3/4 - x2/4 - x1/4 + x4/4 aa6=a.a6;a6=subs(aa6,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a4 =x1/4 - x2/4 + x3/4 - x4/4 aa7=a.a7;a7=subs(aa7,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a5 =y1/4 + y2/4 + y3/4 + y4/4 aa8=a.a8;a8=subs(aa8,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a6 =y2/4 - y1/4 + y3/4 - y4/4
上述变换关系中插值基函数Ni和插值节点数目n是两个关键的参数。 若变换函数中的插值基函数（即形函数）以及插值节点与描述单元位移函 数的插值基函数及插值节点完全相同，则这种变换称为等参变换，这种单 元称为等参单元。也就是说，等参单元的位移函数和坐标变换式具有相同 的插值基函数（即形函数），且它们分别用同一节点的位移值和坐标值进 行函数插值来表示单元内任意点的位移和几何坐标。
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a7 =y3/4 - y2/4 - y1/4 + y4/4 a8 =y1/4 - y2/4 + y3/4 - y4/4
x4 y4 + + + + x4/4; x4/4; x4/4; x4/4; y4/4; y4/4; y4/4; y4/4;
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5.1 等参单元的概念
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5.1 等参单元的概念
5.1.1 坐标变换
clc;clear; syms x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 syms e1 n1 e2 n2 e3 n3 e4 n4 eq1='x1=a1+a2*e1+a3*n1+a4*e1*n1'; eq2='y1=a5+a6*e1+a7*n1+a8*e1*n1'; eq3='x2=a1+a2*e2+a3*n2+a4*e2*n2'; eq4='y2=a5+a6*e2+a7*n2+a8*e2*n2'; eq5='x3=a1+a2*e3+a3*n3+a4*e3*n3'; eq6='y3=a5+a6*e3+a7*n3+a8*e3*n3'; eq7='x4=a1+a2*e4+a3*n4+a4*e4*n4'; eq8='y4=a5+a6*e4+a7*n4+a8*e4*n4'; a=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,'a1','a2','a3','a4','a5','a6','a7','a8'); aa1=a.a1;a1=subs(aa1,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) aa2=a.a2;a2=subs(aa2,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) aa3=a.a3;a3=subs(aa3,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a1 =x1/4 + x2/4 + x3/4 + x4/4 aa4=a.a4;a4=subs(aa4,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a2 =x2/4 - x1/4 + x3/4 - x4/4 aa5=a.a5;a5=subs(aa5,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a3 =x3/4 - x2/4 - x1/4 + x4/4 aa6=a.a6;a6=subs(aa6,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a4 =x1/4 - x2/4 + x3/4 - x4/4 aa7=a.a7;a7=subs(aa7,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a5 =y1/4 + y2/4 + y3/4 + y4/4 aa8=a.a8;a8=subs(aa8,{e1,n1,e2,n2,e3,n3,e4,n4},{-1,-1,1,-1,1,1,-1,1}) a6 =y2/4 - y1/4 + y3/4 - y4/4
第六章曲边等参单元和数值积分
Ni ? x
Ni ? y
Ni ? z
1. 雅可比矩阵
求导的计算：
( x, y, z ) ( , , ) Ni Ni x N i y N i z x y z Ni Ni x Ni y N i z x y z N i N i x N i y N i z x y z
必须位于所在边的中间1/3范围内。若单元为三次函数， 这样的一般性是不可行的，必须对雅可比行列式的正负号 进行数值检验。不过这类单元在实际应用中不多见。
详见： W.B. Jordan, The plane isoparametric structural element. General Elec. Co. Report KAPL-M-7112, Schenectady,New York, 1970
J 雅可比矩阵
1. 雅可比矩阵
N i N i x 1 N i N i J y N i N i z m
y N y
i 1 ' i i
引入 : x N x
i 1
m
' i i
z Ni' zi
i 1
' N m x1 ' x2 N m ' xm N m
m
m Ni' xi i 1 m Ni' J xi i 1 m N ' i xi i 1
1 在四个结点处给出结点的整体坐标。
2 在四条边上的整体坐标是线性变化的。 只要给出任意四边形单元四个结点的整体坐标，用（6-1）式就可以 建立局部坐标系中的正方形单元和整体坐标系中的任意四边形单元 之间的坐标变换关系。 变换的关键是什么？？ 关键在于，首先要解决进行任意形状单元和规则单元之间的几何变换。
第4讲—等参元与数值积分
节点条件： ui u (i ,i ) vi v(i ,i )
(1 ,1 ) (1, 1) ( 2 , 2 ) (1, 1)
(3 ,3 ) (1,1) ( 4 , 4 ) (1,1)
19:45
有限单元法
崔向阳
7
4节点四边形等参单元
u1 1 21 31 411 u 2 1 2 2 3 2 4 2 2 u3 1 23 33 433 u4 1 2 4 3 4 4 44 u1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4 u3 1 2 3 4 u4 1 2 3 4
1
2a 1 (1, 1) (u1, v1) 2 (1, 1) (u2, v2)
N 3 at node 4 1 4 (1 )(1 ) 1 0
1
i 1
4
N i N1 N 2 N 3 N 4
1 4 [(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )] 1 4 [2(1 ) 2(1 )] 1
1
Nj 1 (1 j )(1 j ) 4
4 (1, +1) (u4, v4) 3 (1, +1) (u3, v3)
N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
1
Delta 性质
2b
N 3 at node 3 1 4 (1 )(1 ) 1 1
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
第五讲 等参单元
对于这样的八结点单元，我们可以通过划线法来构造 单元的形函数。把待构造的形函数表示为：
其中是
通过除结点i之外所有结点的三条直线方程 的左端项， 是代入结点i坐标之 后的多项式值。 当 时， 为通过结点5、8 的直线方程的左端项， 为通过结点2、3 的直线方程的左端项， 为通过结点3、 4 的直线方程的左端项，如图5-7 所示。
x J x
y y
y x
从上式解出：
N i N i x 1 N J N i i y
差较大。
•
解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元几何上的限制， 使其成为平面任意四边形，如果再增加边中间节点，
还可以成为曲边四边形高精度单元。
• 任意四边形的位移模式、形函数的构造和单元列式的
导出不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所
谓的等参变换，采用相同的插值函数对单元的节点坐 标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等参 单元。 • 等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具 有重要意义。
二、平面四节点等参元 1、局部坐标系与位移模式 • 下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。
将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。 • 建立位移模式时的新问题：
直接对任意四边形进行分析是困难的，由于它的形 状的不规则，对各个单元逐个按不同的公式计算，工 作量大且难以进行。 如果直接用x，y坐标系下，双线性位移模式，由于 任意四边形单元的边界与坐标轴不平行，因此位移沿 边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调 性
•
关于高斯积分有如下结论： 采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以
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0
g* 0, L2 , L3 dL2 dL3
类似地，三维四面体1234，在 L4=0 的表面上有L1=1- L2 -L3
Ve
GdV
1
0
1 L3
0
1 L2 L3
0
G* L 1, L 2, L 3 dL 1dL 2 dL 3
等参变换的条件和等参单元的收敛性
等参变1
n
形式相同
m 用以进行坐标变换的单元结点数
xi , yi , zi
Ni
这些结点在总体坐标的坐标值
形状函数，也是局部坐标表示的插值函数
等参变换 坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用 相同的插值函数，即 m n, Ni Ni 超参变换 坐标变换结点数多于函数插值的结点数 m n 亚参变换 坐标变换结点数少于函数插值的结点数 m n
x1 x2 xm
y1 y2 ym
z1 z2 zm
Ni x Ni y Ni z
J
1
Ni 1 Ni J Ni
第4章 等参单元和数值积分
第 4 章 单元和插值函数的构造
本章要点
等参变换的概念和实现单元特性矩阵变换的内容和方 法。 实现等参变换的条件和等参元满足有限元收敛准则的 条件。 数值积分的基本思想及以高斯积分为代表的几种常用 数值积分方法的特点。 刚度矩阵数值积分阶次选择的原则，以及保证这些原 则实现的具体方案。
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
面积（体积）坐标与笛卡儿坐标之间的变换 积分限的改变 在 L1=0 的表面上 在 34 边上， L2=0 在 23 边上， L1 +L2+L3+ L4 =1， L1=0, L4=0，即 L2=1-L3
4 L3=0
3 L3=1
2
Se
gdS
1
0
1 L3
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
体积微元、面积微元的变换 二维问题
Jacobi 矩阵
m Ni xi x, y i 1 J m , Ni xi i 1 N1 N1 N2 N2 Ni yi i 1 m Ni yi i 1
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
有限元中的单元体积内和面积内的积分
Ve
GdV gdS
Ve
G x, y, z dxdydz
Se
Se
g x, y, z dS
G 和 g 中常包含场函数对于整体坐标 x,y,z 的导数
希望在自然（局部）坐标内按规格化进行数值积分
等参变换的条件和等参单元的收敛性
等参变换的条件
dA J d d
笛卡儿坐标中 dA dξ dη dξ dη sin dξ , dη
dξ dη sin dξ , dη J d d
dξ 0 dη 0 sin dξ , dη 0
J 0 J 0
导数之间的变换
Ni Ni x Ni y Ni z x y z
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
导数之间的变换
Ni Ni Ni x x x y y y z Ni x z Ni y z Ni z
m
Nm Nm
x1 x2 xm
x1 y2 ym
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
体积微元、面积微元的变换 二维问题
二个坐标之间的偏导数关系
Ni x N i y Ni 1 J Ni
sin dξ , dη
推广至三维情况 防止任意的二个结点退化为一个结点 防止单元过分歪曲
等参变换的概念和单元矩阵的变换
几何形状规则的单元离散几何形状复杂的求解域比较困难 规则形状的单元 转化 边界为曲线或曲面的单元
等参变换
等参变换 等参单元
单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同 数目的结点参数及相同的插值函数的变换 采用等参变换的单元
L 1 x L2 y f or f L3 z L4
i, j, k 在是笛卡儿坐标 x, y, z 方向的单位向量
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
体积微元、面积微元的变换
x x dV dξ dη dζ x 面积微元 y y y z z d d d J d d d z
在=常数 (c) 的面上
dA dη dζ
c
2 2 y z y z z x z x
x y x y
dA J d d
Ni x Ni y Ni z 1 J Ni Ni Ni
笛卡儿坐标的一个点
不是一一对应
J 0 J 1 不成立
笛卡儿坐标中划分单元时， 要防止出现 J 0的情况。
J 0
等参变换的条件和等参单元的收敛性
等参变换的条件
=1 2 = - 1 3
1 =1 4 = -1 2
=1 =1 3，4
1
= - 1 = -1
正常情况
结点3，4退化为一个结点 该点 dξ 0
等参变换的条件和等参单元的收敛性
等参变换为一种坐标变换，其一一对应的条件是 Jacobi 行列 式 J 不得为0。 体积微元 三维问题
x x dV x y y y z z d d d J d d d z J 0 自然坐标的微元
面积微元 二维问题
m
Ni x Ni J y Ni z
J 称为 Jacobi 矩阵，可表示为
m Ni xi i 1 m Ni xi i 1 m Ni xi i 1 Ni yi i 1 Ni yi i 1
1
1
1
G* , , d d d
1
Se
1
g* c, , d d
（在 1 的面上， c 1 ）
其中 G* ,, G x ,, , y ,, , z ,, J
g* c,, g x c,, , y c,, , z c,, A
2
1
2
d d Ad d
在面上的 dA 可以通过轮换 ，， 得到
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
体积微元、面积微元的变换 有限元中的单元体积内和面积内的积分变换到自然坐标系的 规则化域内，分别表示成
Ve
GdV gdS
1
1
1 1 1
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
面积（体积）坐标与笛卡儿坐标之间的变换 面积或体积坐标不完全独立 二维问题 重新定义自然坐标
L1 , L2 , 1 L3
Ni Ni Ni L L3 1 Ni Ni Ni L2 L3
导数之间的变换
x, y , z J , , N1 N1 N1
N2 N2 N2
Nm Nm Nm
单元矩阵变换
面积（体积）坐标与笛卡儿坐标之间的变换 面积或体积坐标不完全独立
L L 1L 2 L 3 1, 1L 2 L 3 L 4 1
重新定义自然坐标 三维问题
L1 , L2 , L3 , 1 L4
Ni Ni L Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni 1 L L2 L3 L4 L L4 1 1 Ni Ni Ni L2 L4 Ni Ni Ni L3 L4
局部坐标单元 几何形状规则 整体坐标单元 几何形状扭曲
坐标变换
等参变换的概念和单元矩阵的变换 等参变换
等参变换的概念和单元矩阵的变换 等参变换
等参变换的概念和单元矩阵的变换 等参变换
坐标变换表示成插值函数的形式
x Nixi , y Niyi , z Nizi
i 1 i 1 i 1 m m m
m
x, y , z J , ,
Ni zi i 1
m
Ni zi i 1 m Ni zi i 1 m Ni zi i 1
m
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换
d 和 d 在笛卡儿坐标系内所形成的面积微元
dA J d d
在=常数 (c) 的曲线上，在笛卡儿坐标内的线段微元的长度
1
x y ds
2 2
2
d sd
等参变换的概念和单元矩阵的变换
是 J 的逆矩阵，可按下式计算
J 1
1 * J J
等参变换的概念和单元矩阵的变换
单元矩阵变换